《4.1.2 极坐标系》教案

极坐标系姓名： _ 班级：_ 【教学目标】1．理解极坐标系的概念，明确建立极坐标系的四个要素；2．一点的极坐标会在极坐标系中描点，极坐标系中一点能写出它的极坐标；3．理解极坐标系中点的极坐标的表现形式．【教学重难点】重点：极坐标系的概念；在极坐标系中描点及写出点的极坐标；难点：极坐标系的概念；平面上的点与极坐标之间的对应关系．【教学过程】一、问题导学：请同学们结合以下3个问题，自主预习课本第6-9页极坐标系内容问题1为什么要建立极坐标系？问题2建立极坐标系的要素有哪几个？问题3极坐标系内点的极坐标如何表示？二、建构数学：1极坐标系的建立情景再现1 鹤城在徐州的东北方向1800公里处情景再现2 敌机在我的两点钟方向60公里处2极坐标系内点的坐标表示对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对〔ρ，θ〕就叫做M的极坐标记为三、练一练：例1 请你写出图中各点的极坐标3注意：①一般地，极径ρ 0，θ取角②极径有时也可以取负值ρ<0 ，此时点M在角θ终边的上且|OM|=③Mρ, θ可以统一表示为或者形式④极点的极坐标为，θ取角⑤当ρ 0且0≤θ<2π时，平面上的点〔除外〕就与极坐标对应变式1 点M满足以下条件，请在极坐标系中将其对应的点标注出来⑴⑵⑶，例2 ⑴两点A，B,求线段AB的长度⑵两点C〔2，0〕，D,求线段CD的长度拓展1两点A，B，那么AB距离计算公式例3 在极坐标系中，点A的极坐标是，其关于极轴的对称点，关于极点O的对称点，关于直线的对称点拓展2 假设点A变为，那么例3结论推广为、、四、试一试：例4 请你根据图中数据，建立适当的极坐标系，标注相应地点的极坐标五、自我检测：1．在极坐标系中，标注出、、、2．在极坐标系内，点关于直线的对称点坐标为〔〕A〔3，0〕3．假设是极坐标系中的一点，那么四点中与的极坐标为，以下所给出的坐标中不能表示点M的坐标〔〕六、课堂小结：1建立极坐标系的四要素分别是、、、2点的极坐标的规定3点的极坐标统一表示形式或。

4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4­1­3所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x图4­1­3通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________写出图4­1­4中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．图4­1­4【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2.[再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，求A 、B 两点之间的距离． 【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得32ρ－12ρ＝4， 解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6， 所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝－2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内，∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________． 【解析】 由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝32＋－2－－π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

江苏省西亭高级中学高中数学选修4-4《4.1.2 极坐标系（1）学案学习目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．课前导学：（一）情境： 军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？（二）极坐标系的知识：1．极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做 ．引一条射线OX ，叫做 ．再选定 及 （通常取逆时针方向）．这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ叫做点M 的 ， θ叫做点M 的 ，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的 ．特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.课堂探究：例1 写出下图中各点的极坐标：例2 在极坐标系中，1.已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度； 2.已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的所组成的图形．例3．已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标．（1） P 是点Q 关于极点O 的对称点；（2） P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；（3） P 是点Q 关于极轴的对称点．课后训练：1．已知直角三角形两条直角边的长分别为6和8，选择两种不同的坐标系，表示它的顶点及外心的坐标.2．建立极坐标系，并画出点,6,4⎪⎭⎫ ⎝⎛πA ())32,3(,,1,3,5,45,3,2,2πππππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛F E D C B3.在极坐标系中，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛67,5,32,3,6,4,6,4ππππD C B A ，则AB=_________，AC=____________，AD=___________，BC=___________，BD=_____________.4.设点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πA ，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标（限定(]ππθρ,,0-∈>）.5.在极坐标系中，设O 是极点，A 、B 两点的极坐标分别是(4,)3π、5(5,)6π-，则⊿OAB 的面积是 .6.在极坐标系中，已知两点2(3,),(1,)33A B ππ-，求A ，B 两点间的距离.。

4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4-1-3所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).图4-1-3通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx (x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________0,0≤θ＜2π)．图4-1-4【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. [再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－π3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________． 【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝ ⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝－26＝－33， 又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3， y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3. 因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎭⎪⎫1，2π3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)， x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)． ∵AB ＝(32＋12)2＋(－332－32)2＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4，解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋(－2)2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋22＝22， tan θ＝2－2＝－1， ∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)． 【答案】 (22，3π4)2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2， 故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】 由余弦定理得 AB ＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2·cos (θ1－θ2) ＝32＋(－3)2－2×3×(－3)cos (π4－π12)＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】 36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

极坐标系学习目标1理解极坐标的概念；2能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别学习重点理解极坐标的意义学习难点能够在极坐标系中用极坐标确定点位置学习过程一．建构数学（一）问题导引情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走12021到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？（二）形成概念1极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条 OX，同时确定和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），称为，射线OX称为2极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示___________ _______，用θ表示_________________________，ρ叫做点M的__________，θ叫做点M的________，有序数对____________就叫做M的极坐标．特别强调：由极径的意义可知ρ≥0；当极角θ的取值范围是[0,2π时,平面上的点除去极点就与极坐标（ρ，θ）建立的关系我们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角3负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角．当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于___________________________，且___________．M （ρ，θ）也可以表示为(,2)(,(21))k k ρθπρθπ+-++或 ()k z ∈．注意：这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系． 4极坐标与直角坐标的互化：1 互化公式的三个前提条件：① ______________________________ ___； ② ___________________________________； ③ ____________________________ _____．2设点(,)x y (,)ρθ54π(1,)4π的极坐标为（ρ，θ）且θ = 3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的位置．变式：1若ABC ∆的的三个顶点为),67,3(),65,8(),25,5(πππC B A 判断三角形的形状2 若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积（O 为极点）例3 已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点2πθ=的极坐标2(8,)3π化成直角坐标； （2）把点P 的直角坐标(6,2)-化成极坐标．三．梳理提炼。

《极坐标系》教学设计江苏省海州高级中学高静一、教材分析本节课是选修4-4的内容，由于生活中的许多问题都是用方位角和距离来确定点的位置，再用直角坐标表示不太方便，这时就需要建立以角度和距离为依据的坐标系，从而建立极坐标系。

教材通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，让学生体会数学在生活中的应用。

二、学情分析笔者所带的班级是高二年级理科班，学生具备了较好的分析问题的能力，对新知识的学习也有很浓厚的兴趣，能积极思考发言。

学生已经学习了三角函数、平面上两点间距离公式，以及解斜三角形的等本节课所需的预备知识，同时能熟练利用平面直角坐标系来刻画点的位置。

三、教学目标（1）认识极坐标系；（2）使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置：（3）体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；（4）能进行极坐标和直角坐标的互化。

四、重点、难点重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化难点：极坐标系的建立，认识点与极坐标之间的对应关系五、教学过程（一）情境引入电脑播放精彩的足球经典进球视频，引导学生关注给射门的运动员传球的运动员，没有这个巧妙的传球，就没有这个轻松的进球。

问题1：在运动员传球之前，他是如何确定队友的位置？（学生讨论，教师提炼关键词：距离，角度）【设计意图】这个问题的目的是让学生体会在生活中，我们经常会以当前所在位置，利用角度和距离来描述另一个点的位置。

【反思】可能是因为学生没有领会问题的含义，学生首先回答“用眼睛看”，教师进一步将问题细化为：“他是如何确定传球的线路的？”（二） 知识初建构问题2：你能建立一个合理的坐标系，描述上述的问题吗？（学生回答，教师总结）【设计意图】通过学生自己的思考和尝试，体会用距离和角度来刻画点的位置需要的参照物是什么？这里学生要自己找到极点，极轴，规定单位长度和角度的正方向。

教师总结（M O M ||OM M ρOx OM xOM M θρθM （ρ，θ）。

极坐标系的概念教学目标：1．理解极坐标的概念，了解极坐标平面上的点与极坐标间的对应关系。

2．会根据极坐标描点和根据点写极坐标，能认识同一点的各种极坐标。

教学重点：极坐标系的概念与极坐标的规定。

教学难点：点与极坐标的对应关系，一点对应的极坐标的通式。

教学过程：一、问题情境情境：1．预警机在高空指挥战斗机躲避地对空导弹的袭击，因不恰当的定位方式，致使战斗机错过了躲避时机，不幸被导弹击中。

2．一位外地游客向我打听从肯德基文化宫店去亚细亚影城怎么走？我的回答是：以和平路为轴，以延陵路为轴建立直角坐标系，亚细亚影城位于横标为…看着游客疑惑的表情，我知道这样的回答显然没能帮上他的忙。

那我想问问在座的各位，如果是你，你会给出什么样的回答？问题1：我用的是直角坐标定位法，学生用的又是哪种定位法？试分析一下他的定位方式。

问题2：那大家是否可参照直角坐标系来定义极坐标系呢？二、学生活动分析定位方式；小范围内探讨，在学生回答的基础上纠正、整理出极坐标系的建立。

三、数学建构1．极坐标系的建立一般地,在平面上取一定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向通常取逆时针方向为正方向，这样就建立了一个极坐标系，其中点O称为极点，射线OX称为极轴。

极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角的正方向。

问题3：在建立了极坐标系的基础之上，用什么量来描述方向和距离以确定极坐标系内的点呢？2．极坐标系内一点极坐标的规定设M是平面上任一点，用ρ表示OM的长度，称为点M的极径，用θ表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角，称为点M的极角，那么，有序数对（ρ,θ）称为点M的极坐标。

规定：极点的极坐标：极径ρ=0,极角θ可取任意角。

例1：写出图中各点的极坐标：点定，极坐标是否唯一坐标不唯一是由谁引起的这些极角有何关系这些极坐标是否可以写出统一的表达式结论1：一般地,若ρ,θ是点M 的极坐标, 则ρ,θ2π∈Z 都可以作为它的极坐标。

《极坐标系》教学设计一.教学目标1、知识与技能：利用生活实例，体会极坐标的思想，用此思想自主建立极坐标系，并求点的极坐标；理解点的极坐标的不惟一性。

2、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法。

②通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3、情感态度与价值观：用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标系的好处，感觉数学源于生活用于生活。

采取探究的形式，合作交流的形式激发学生的学习兴趣。

二.教学重、难点1．重点：运用我们的生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。

2．难点：对点的极坐标的不惟一性（极角的不惟一）的理解三.教学方法问题探究法、讲解示范法四.教学媒体设计采取用多媒体课件进行辅助展示五.授课类型概念新授课六.教学过程（一）创设情境、导入新课知识来自生活，来自实践。

我在课前以一组独特美丽的牡丹花会图片进行展示，并且配上中国古典钢琴曲《梁祝》，让学生在美的视听环境中期待着一堂数学课的开始，同时也拓展学生的视野，并能点击热爱家乡等德育教育。

最后呈现出了一个迷路的游客在向志愿者问路的图片,假设你是一位志愿者,你如何为游客指路? (提问学生) 指路的信息引出方向和距离来定位这就是我们日常生活中常用的刻画位置的方法，它体现了极坐标的思想。

而我们这节课所要共同探讨的内容就是——极坐标系。

（板书）（二）初步探索，直观感知右图为某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处,请回答下列问题:(1)他向东偏北60 方向走120米后到达什么位置?(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应该如何描述?总结:在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

提问:(学生)生活中还有哪些应用?请你举例说明? 如:台风预报,地震预报（三）循序渐进，延伸拓展探究:上面的几个问题中,有距离和方向就可以确定一个点 在平面上的位置,但这是有基础和前提的,请讨论,有哪些前提?(1) 基点 (2)方向 (3)长度单位 (4)角的始边与方向成角把上述前提条件抽象成数学语言, 我们就可以:建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系1．极坐标系的建立(1)在平面内取一个定点O ，叫做极点；(2)引一条射线Ox ，叫做极轴；(3)选定1个长度单位、1个角度单位（常取弧度）(4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向).这样建立的坐标系叫做极坐标系.2．极坐标系内一点的极坐标的规定类比直角坐标系，建立极坐标系是为了表示平面内的点的位置，因此我们要表示极坐标系中点的极坐标，如何表示？（板书）对于平面内任意一点M ，用ρ 表示极点与点M 的距离，叫做点M 的极径,θ 表示以Ox 为始边,OM 为终边的角，叫做点M 的极角,有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标.3.极坐标系的历史4.学生活动------合作探究120m 50m 60m 60︒45︒办公楼 实验楼 图书馆 体育馆教学楼 D CB A E例 如图,在极坐标系中,(１)标出点 所在位置(２)并写出点Ｄ,Ｅ,Ｆ的极坐标5.提高创新极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(1)给定（ρ,θ）,在极坐标平面内确定唯一的一点 M(2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与它对应, 即极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2k π)(k Z∈)表示同一个点(3)当M 在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值当规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示;而极坐标(ρ,θ)表示的点也是惟一确定.6.拓展练习在图中,用点A,B,C,D,E 分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.（四）课堂小结及作业布置一建立极坐标系的必要性二极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（ρ,θ）,就可以在极坐标 平面内确定唯一的一点M.[2]给定平面上一点M ，但却有无数个极 坐标与之对应.作业布置：课本第12页 1，3 5453,,4,, 3.5,633A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。