复杂抽屉原理(基础篇)

[第14讲]复杂抽屉原理复杂抽屉原理，也被称为鸽笼原理或抽屉原理，是数学中一个非常重要的概念。

它通过分析在一定条件下，放入抽屉中的物体个数与抽屉的个数之间的关系，来说明一些事物的不可能性或必然性。

复杂抽屉原理的基本概念可以通过一个简单的例子来说明。

假设有4枚不同的硬币要放入3个抽屉中，根据简单的推理，至少有一个抽屉里会有两个硬币。

这是由于有4枚硬币，而只有3个抽屉，所以无论怎么放，至少有一个抽屉中的硬币数会超过1个。

这个例子可以理解为：如果有n+1个物体要放入n个容器中，那么至少有一个容器中至少有2个物体。

复杂抽屉原理的应用非常广泛，它可以帮助解决各种问题。

下面我们来探讨一些与复杂抽屉原理相关的例子。

首先，我们来看一个经典的例子：生日问题。

假设有一个房间里有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率有多大呢？根据抽屉原理，我们可以将365天当作365个抽屉，每个人的生日当作一个物体，那么至少有两个人生日相同相当于说至少有一个抽屉里放了两个物体。

根据概率计算，这个概率约为50%。

这个例子告诉我们，人数相对较小的时候，生日相同的概率并不是很高，但是随着人数的增加，这个概率会迅速增大。

接下来，我们来看一个与解决方案数量相关的例子。

假设一个班级里有30个学生，要选择其中的3个人组队，那么一共有多少种不同的组队方式呢？根据组合的原理，我们可以计算出这个数量为C(30,3)=4060种。

从另一个角度来看，我们可以将这个问题理解为将30个物体放入3个抽屉中，那么根据抽屉原理，至少有一个抽屉里的物体数目大于等于16，也就是说至少有一个组队里的人数大于等于16人。

最后，我们来看一个箱子与物品数量相关的例子。

假设我们有10个球，其中5个红色，5个蓝色。

如果我们要将这些球放入两个箱子中，那么至少需要将多少个球放入一个箱子中，才能确保另一个箱子中也有至少5个同色的球？根据抽屉原理，我们可以将红球当作一种物体，蓝球当作另一种物体。

抽屉原理问题知识点总结抽屉原理的基本形式是：如果n个物品被放置到m个抽屉中，并且n > m，那么至少有一个抽屉中有超过一个物品。

抽屉原理的应用非常广泛，它不仅出现在数学领域，还涉及到计算机科学、逻辑学、统计学、概率论等方面。

总结抽屉原理的知识点，可以从以下几个方面来展开。

一、基本概念1. 抽屉原理的概念抽屉原理是由德国数学家穆勒（Dirichlet）在1834年提出的。

它的基本概念是指如果有n个物品要放到m个抽屉里，且n > m，那么至少有一个抽屉里面有至少两个物品。

2. 抽屉原理的表述抽屉原理还可以用集合的交并运算来表述，即如果n个单个的数的和大于(n-1)倍的抽屉数，则必定存在多个数分配到同一个抽屉里。

3. 抽屉原理的思维方法抽屉原理是一种常见的数学论证方法，它的核心思想是通过将物品放入抽屉的过程，然后证明必然会有至少一个抽屉中包含多个物品。

这种思维方法在解决相关问题时非常重要。

二、抽屉原理的应用1. 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理经常用来解决散列冲突问题。

当散列表的大小是有限的时候，存储的数据项的数量可能会比散列表的大小大，这时就可能会出现散列冲突。

抽屉原理可以帮助我们理解为什么散列冲突总是不可避免的。

2. 统计学在统计学中，抽屉原理可以用来解释生日悖论。

生日悖论是指在一个小的群体中，其中两人有相同生日的概率实际上要比我们直觉上想象的要高得多。

这一现象可以通过抽屉原理来很好地解释。

3. 概率论在概率论中，抽屉原理可以用来解决一些排列组合的问题。

例如，如果有n+1个物品要放到n个抽屉中，那么必然有一个抽屉中至少有两个物品。

这对于解决某些赌博游戏中的概率问题很有帮助。

4. 逻辑学在逻辑学中，抽屉原理可以用来解释一些谬误和伪命题。

例如，当有大于两个的命题时，就一定会出现至少两个命题具有相同的逻辑值。

三、抽屉原理的证明1. 直接证明法抽屉原理最简单的证明方法是使用直接证明法。

假设放置的物品数大于抽屉的数量，通过逻辑推理可以得出至少有一个抽屉至少有两个物品。

复杂抽屉原理
主讲：黑豆
构造抽屉
抽屉原理和数论抽屉原理与图形
构造抽屉
【例题】将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明不管怎么染，总有两列染色方式是一样的。

构造抽屉
【例题】能否在4×4方格表的每个格子中填入1、2、3中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同？
抽屉原理和数论
【例题】从1至99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于100？最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于5？
抽屉原理和数论
【例题】从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？
抽屉原理与图形
抽屉原理与图形
【例题】在一个边长为1的正方形里随意放入3个点，这3个点所能连出的三角形面积最大是多少？（点可以放在正方形的边界上）
【例题】在边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积
不超过1
8。

（点可以放在正方形的边界上）
抽屉原理与图形抽屉原理与图形
本讲知识总结
一、抽屉原理解题关键 二、图形抽屉原理 → 分割法
抽屉和苹果数量 构造抽屉。

复杂抽屉原理从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。

从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数。

证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字。

开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字。

(★★★) (★★★)(★★★★)(★★★★)(★★★★★)在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．从1、3、5、…、19、21、23这12个自然数中，至少任选几个数，可以保证其中一定包括两个数，它们的差是10。

A．6 B．7 C．8 D．92．从1到10这10个数中，任取几个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数。

A．4 B．5 C．6 D．73．任选几个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

A．5 B．6 C．7 D．44．求证：对于任意的几个自然数，一定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得a b c d e f---是105的倍数。

()()()A．4 B．6 C．8 D．105．10个小朋友围在一张大圆桌前吃饭，每人点一道菜，菜上齐后发现每人面前的这道菜都不是自己点的，经几次转动圆桌，一定能使至少两个小朋友恰好对准自己点的菜。

A．8 B．9 C．10 D．11。

复杂抽屉原理知识点总结1.抽屉原理的基本概念抽屉原理是组合数学中的一个基本概念，它描述了一种常见的现象：如果有n个抽屉和m 个物品要放进这些抽屉中，那么当m>n时，至少有一个抽屉中会有两个或以上的物品。

这个原理背后的逻辑是很直观的，因为当物品的数量超过了抽屉的数量，就不可能每个物品都有自己独立的抽屉，必然会有抽屉中有多个物品。

这个概念在计算机科学、概率论、统计学等领域都有着十分重要的应用，因此对抽屉原理的理解和运用至关重要。

2. 抽屉原理的证明抽屉原理的证明可以通过反证法来进行。

假设有n个抽屉和m个物品，假设每个抽屉中最多只有一个物品，那么总共最多只能放n个物品，这与有m个物品的情况矛盾。

因此可以得出结论：当m>n时，至少有一个抽屉中会有两个或以上的物品。

3. 抽屉原理的应用抽屉原理在计算机科学、统计学、概率论等领域都有着广泛的应用。

在计算机科学中，抽屉原理常常用来证明算法的正确性。

在设计算法的过程中，要保证算法能够处理所有可能的输入，而抽屉原理能够帮助我们找到重复的输入，以便对算法进行优化。

在概率论中，抽屉原理可以用来解决一些问题，比如生日问题：如果在一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？抽屉原理可以帮助我们解答这个问题。

同样地，在统计学中，抽屉原理可以帮助我们理解抽样调查的有效性，以及分析数据的相关性等问题。

4. 抽屉原理的扩展除了基本的抽屉原理，还有一些抽屉原理的扩展和变种。

比如广义抽屉原理，它描述了更一般的情况，即如果有n个容量为m的容器，要放入(m+1)(n-1)+1个物品，那么至少有一个容器中会有n+1个或以上的物品。

除此之外，还有加强版的抽屉原理、弱化版的抽屉原理，以及抽屉原理的多重运用等。

了解这些抽屉原理的扩展，有助于我们更深入地理解这个概念，以及在更多的情况下运用抽屉原理进行问题的解决。

5. 抽屉原理的启示抽屉原理不仅仅是一种数学定理，更是一种思维方式。

1. 年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？【解答】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．2. 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【解答】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为7303661364÷=，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天.3. 把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？【解答】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把10只小兔放进-=个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．10194. 100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.【解答】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于12个，求这个数. 100个按每个学生分苹果不多于11个（即少于12个）苹果，最少也要分10人（9人11个苹果，还有一人一个苹果），否则9×11＜100，所以只要分苹果的学生不多余9人就能使保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个（即多于11个）.5. 三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？【解答】把43名同学看作43个抽屉，根据抽屉原理，要使至少有一个抽屉里有两个苹果，那么就要使苹果的个数大于抽屉的数量．因此，“图书角”至少要准备44本课外书．6. 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？【解答】首先应弄清不同的水果搭配有多少种．两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有4610+=（种）．将这10种搭配作为10个“抽屉”．由抽屉原理知至少需11个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的.。

第22讲抽屉原理知识梳理如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。

如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。

如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。

这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。

抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。

这样n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件。

这与有多于n个物品的假设相矛盾。

说明抽屉原理1成立。

抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+l。

假定这n个抽屉中，每一个抽屉中的物品都不到（m+l）件，即每个抽屉里的物品不多于m件，这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。

这与多于m×n件物品的假设相矛盾。

说明原来的假设不成立。

所以抽屉原理2成立。

运用抽屉原理解题的关键是选好“抽屉”，而构造“抽屉”的方法多种多样，会因题而异。

运用原理1还是原理2要看题目的问题和哪一个更直观。

抽屉原理2实际上是抽屉原理1的变形。

典型例题【例1】★某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？【解析】平年一年有365天，闰年一年有366天。

把天数看做抽屉，共366个抽屉。

把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。

【小试牛刀】某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？【解析】1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。

【例2】★某班学生去买语文书、数学书、外语书。