一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.四边形ABCD是正方形,AC与BD,相交于点O,点E、F是直线AD上两动点,且
AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.(1)如图1,当点E、F在线段AD上时,①求证:∠DAG=∠DCG;②猜想AG与BE的位置关系,并加以证明;
(2)如图2,在(1)条件下,连接HO,试说明HO平分∠BHG;
(3)当点E、F运动到如图3所示的位置时,其它条件不变,请将图形补充完整,并直接写出∠BHO的度数.
【答案】(1)①证明见解析;②AG⊥BE.理由见解析;(2)证明见解析;(3)
∠BHO=45°.
【解析】
试题分析:(1)①根据正方形的性质得DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG,所以∠DAG=∠DCG;②根据正方形的性质得AB=DC,
∠BAD=∠CDA=90°,根据“SAS”证明△ABE≌△DCF,则∠ABE=∠DCF,由于∠DAG=∠DCG,所以∠DAG=∠ABE,然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°,于是可判断
AG⊥BE;
(2)如答图1所示,过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,证明△AON≌△BOM,可得四边形OMHN为正方形,因此HO平分∠BHG结论成立;
(3)如答图2所示,与(1)同理,可以证明AG⊥BE;过点O作OM⊥BE于点M,
ON⊥AG于点N,构造全等三角形△AON≌△BOM,从而证明OMHN为正方形,所以HO 平分∠BHG,即∠BHO=45°.
试题解析:(1)①∵四边形ABCD为正方形,
∴DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,
在△ADG和△CDG中
,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCG;
②AG⊥BE.理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,
在△ABE和△DCF中
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠ABE=∠DCF,
∵∠DAG=∠DCG,
∴∠DAG=∠ABE,
∵∠DAG+∠BAG=90°,
∴∠ABE+∠BAG=90°,
∴∠AHB=90°,
∴AG⊥BE;
(2)由(1)可知AG⊥BE.
如答图1所示,过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,则四边形OMHN为矩形.
∴∠MON=90°,
又∵OA⊥OB,
∴∠AON=∠BOM.
∵∠AON+∠OAN=90°,∠BOM+∠OBM=90°,
∴∠OAN=∠OBM.
在△AON与△BOM中,
∴△AON≌△BOM(AAS).
∴OM=ON,
∴矩形OMHN为正方形,
∴HO平分∠BHG.
(3)将图形补充完整,如答图2示,∠BHO=45°.
与(1)同理,可以证明AG⊥BE.
过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,
与(2)同理,可以证明△AON≌△BOM,
可得OMHN为正方形,所以HO平分∠BHG,
∴∠BHO=45°.
考点:1、四边形综合题;2、全等三角形的判定与性质;3、正方形的性质
2.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;
(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF2=2BE2+2DF2.
【解析】
试题分析:(1)根据旋转的性质可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可证△AEG≌△AEF;(2)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.由(1)知
△AEG≌△AEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,得出
CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后证明∠GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出
EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2;
(3)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,根据旋转的性质可以得到
△ADF≌△ABG,则DF=BG,再证明△AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换得到EF=BE+DF.
试题解析:(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,
∴AF=AG,∠FAG=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠GAE=45°,
在△AGE与△AFE中,
,
∴△AGE≌△AFE(SAS);
(2)设正方形ABCD的边长为a.
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.
则△ADF≌△ABG,DF=BG.
由(1)知△AEG≌△AEF,
∴EG=EF.
∵∠CEF=45°,
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,
∴CE=CF,BE=BM,NF=DF,
∴a﹣BE=a﹣DF,
∴BE=DF,
∴BE=BM=DF=BG,
∴∠BMG=45°,
∴∠GME=45°+45°=90°,
∴EG2=ME2+MG2,
∵EG=EF,MG=BM=DF=NF,
∴EF2=ME2+NF2;
(3)EF2=2BE2+2DF2.
如图所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.由(1)知△AEH≌△AEF,
则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,
即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2
又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,
即2(DF2+BE2)=EF2
考点:四边形综合题
3.如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DE⊥AG于E,BF∥DE,交AG于F.
求证:AF=BF+EF.
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
由四边形ABCD为正方形,可得出∠BAD为90°,AB=AD,进而得到∠BAG与∠EAD互余,又DE垂直于AG,得到∠EAD与∠ADE互余,根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF,利用AAS可得出△ABF≌△DAE;利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE,由AF-AE=EF,等量代换可得证.
【详解】
∵ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90°
∵DE⊥AG,
∴∠DEG=∠AED=90°
∴∠ADE+∠DAE=90°
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
∵BF∥DE,
∴∠AFB=∠DEG=∠AED.
在△ABF 与△DAE 中,
AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴△ABF ≌△DAE (AAS ). ∴BF=AE . ∵AF=AE+EF , ∴AF=BF+EF .
点睛:此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
4.(1)(问题发现)
如图1,在Rt △ABC 中,AB =AC =2,∠BAC =90°,点D 为BC 的中点,以CD 为一边作正方形CDEF ,点E 恰好与点A 重合,则线段BE 与AF 的数量关系为 (2)(拓展研究)
在(1)的条件下,如果正方形CDEF 绕点C 旋转,连接BE ,CE ,AF ,线段BE 与AF 的数量关系有无变化?请仅就图2的情形给出证明; (3)(问题发现)
当正方形CDEF 旋转到B ,E ,F 三点共线时候,直接写出线段AF 的长.
【答案】(1)2AF ;(2)无变化;(3)AF 313. 【解析】
试题分析:(1)先利用等腰直角三角形的性质得出2 ,再得出BE=AB=2,即可得出结论;
(2)先利用三角函数得出
2CA CB =,同理得出2
CF CE =
△ACF ∽△BCE ,进而得出结论;
(3)分两种情况计算,当点E 在线段BF 上时,如图2,先利用勾股定理求出
2,6,即可得出62,借助(2)得出的结论,当点E 在线段BF 的延长线上,同前一种情况一样即可得出结论. 试题解析:(1)在Rt △ABC 中,AB=AC=2, 根据勾股定理得,22,
点D 为BC 的中点,∴AD=
1
2
, ∵四边形CDEF 是正方形,∴
, ∵BE=AB=2,∴
AF ,
故答案为AF ; (2)无变化;
如图2,在Rt △ABC 中,AB=AC=2,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∴sin ∠ABC=2
CA CB =
, 在正方形CDEF 中,∠FEC=1
2
∠FED=45°,
在Rt △CEF 中,sin ∠FEC=2
CF CE =
, ∴
CF CA
CE CB
=, ∵∠FCE=∠ACB=45°,∴∠FCE ﹣∠ACE=∠ACB ﹣∠ACE ,∴∠FCA=∠ECB ,
∴△ACF ∽△BCE ,∴
BE CB
AF CA
=∴AF , ∴线段BE 与AF 的数量关系无变化; (3)当点E 在线段AF 上时,如图2,
由(1)知,,
在Rt △BCF 中,,,
根据勾股定理得,,∴BE=BF ﹣,
由(2)知,,∴﹣1, 当点E 在线段BF 的延长线上时,如图3,
在Rt △ABC 中,AB=AC=2,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴sin ∠ABC=2
CA CB =
, 在正方形CDEF 中,∠FEC=1
2
∠FED=45°,
在Rt △CEF 中,sin ∠FEC=
2
CF CE =
,∴CF CA CE CB = , ∵∠FCE=∠ACB=45°,∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE ,∴∠FCA=∠ECB , ∴△ACF ∽△BCE ,∴
BE CB
AF CA
=∴AF ,
由(1)知,,
在Rt △BCF 中,,,
根据勾股定理得,,∴
由(2)知,BE=2AF,∴AF=3+1.
即:当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候,线段AF的长为3﹣1或3+1.
5.正方形ABCD,点E在边BC上,点F在对角线AC上,连AE.
(1)如图1,连EF,若EF⊥AC,4AF=3AC,AB=4,求△AEF的周长;
(2)如图2,若AF=AB,过点F作FG⊥AC交CD于G,点H在线段FG上(不与端点重合),连AH.若∠EAH=45°,
求证:EC=HG+2FC.
【答案】(1)25422)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)由正方形性质得出AB=BC=CD=AD=4,∠B=∠D=90°,∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠ACD=45°,得出AC2AB=2,求出AF=2,CF=AC﹣AF2,求出△CEF 是等腰直角三角形,得出EF=CF2,CE2CF=2,在Rt△AEF中,由勾股定理求出AE,即可得出△AEF的周长;
(2)延长GF交BC于M,连接AG,则△CGM和△CFG是等腰直角三角形,得出CM=CG,CG2CF,证出BM=DG,证明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG=DG,BM=FG,再证明△ABE≌△AFH,得出BE=FH,即可得出结论.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=4,∠B=∠D=90°,∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠ACD=45°,
∴AC2AB=2,
∵4AF=3AC=2,
∴AF =32, ∴CF =AC ﹣AF
=2, ∵EF ⊥AC ,
∴△CEF 是等腰直角三角形, ∴EF =CF =2,CE =2CF =2, 在Rt △AEF 中,由勾股定理得:AE =
2225AF EF +=,
∴△AEF 的周长=AE +EF +AF =252322542++=+; (2)证明:延长GF 交BC 于M ,连接AG ,如图2所示:
则△CGM 和△CFG 是等腰直角三角形, ∴CM =CG ,CG 2, ∴BM =DG , ∵AF =AB , ∴AF =AD ,
在Rt △AFG 和Rt △ADG 中,
AG AG
AF AD =??
=?
, ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG (HL ), ∴FG =DG ,∴BM =FG , ∵∠BAC =∠EAH =45°, ∴∠BAE =∠FAH , ∵FG ⊥AC , ∴∠AFH =90°, 在△ABE 和△AFH 中,
90B AFH AB AF
BAE FAH ??∠=∠=?
=??∠=∠?
, ∴△ABE ≌△AFH (ASA ), ∴BE =FH ,
∵BM =BE +EM ,FG =FH +HG , ∴EM =HG ,
∵EC =EM +CM ,CM =CG 2CF ,
∴EC=HG+2FC.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.
6.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF 与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面
积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)12;探究:2或2.
【解析】
试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;
(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、
△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.
探究:画出符合条件的两种情况:①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∵AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴OE=OB,
∴△AOE和△AOB是友好三角形.
(2)∵△AOE和△DOE是友好三角形,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
∵△AOB与△AOE是友好三角形,
∴S△AOB=S△AOE,
∵△AOE≌△FOB,
∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.
探究:
解:分为两种情况:①如图1,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OB,A′O=CO,
∴四边形A′DCB是平行四边形,
∴BC=A′D=2,
过B作BM⊥AC于M,
∵AB=4,∠BAC=30°,
∴BM=AB=2=BC,
即C和M重合,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得:AC=,
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2;
②如图2,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OA′,BO=CO,
∴四边形A′BDC是平行四边形,
∴A′C=BD=2,
过C作CQ⊥A′D于Q,
∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,
∴CQ=A′C=1,
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;
即△ABC的面积是2或2.
考点:四边形综合题.
7.如图1,在长方形纸片ABCD中,AB=mAD,其中m?1,将它沿EF折叠(点E. F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD相交于点P,连
接EP .设
AM
n AD
=,其中0 (1)如图2,当n=1(即M 点与D 点重合),求证:四边形BEDF 为菱形; (2)如图3,当1 2 n = (M 为AD 的中点),m 的值发生变化时,求证:EP=AE+DP ; (3)如图1,当m=2(即AB=2AD),n 的值发生变化时,BE CF AM -的值是否发生变化?说明理 由. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)值不变,理由见解析. 【解析】 试题分析:(1)由条件可知,当n=1(即M 点与D 点重合),m=2时,AB=2AD ,设AD=a ,则AB=2a ,由矩形的性质可以得出△ADE ≌△NDF ,就可以得出AE=NF ,DE=DF ,在Rt △AED 中,由勾股定理就可以表示出AE 的值,再求出BE 的值就可以得出结论. (2)延长PM 交EA 延长线于G ,由条件可以得出△PDM ≌△GAM ,△EMP ≌△EMG 由全等三角形的性质就可以得出结论. (3)如图1,连接BM 交EF 于点Q ,过点F 作FK ⊥AB 于点K ,交BM 于点O ,通过证明△ABM ∽△KFE ,就可以得出EK KF AM AB =,即BE BK BC AM AB -=,由AB=2AD=2BC ,BK=CF 就可以得出 BE CF AM -的值是12 为定值. (1)∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD ,AD=BC ,∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AB=mAD ,且n=2,∴AB=2AD . ∵∠ADE+∠EDF=90°,∠EDF+∠NDF=90°,∴∠ADE=∠NDF . 在△ADE 和△NDF 中,∠A =∠N ,AD =ND ,∠ADE =∠NDF , ∴△ADE ≌△NDF (ASA ).∴AE=NF ,DE=DF . ∵FN=FC ,∴AE=FC . ∵AB=CD ,∴AB-AE="CD-CF." ∴BE="DF." ∴BE=DE . Rt △AED 中,由勾股定理,得222AE DE AD =-,即22 22AE AD AE AD ()=--, ∴AE= 3 4 AD. ∴BE=2AD-34 AD=5 4. ∴ 5 5 433 4 AD BE AE AD ==. (2)如图3,延长PM 交EA 延长线于G ,∴∠GAM=90°. ∵M 为AD 的中点,∴AM=DM . ∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD ,AD=BC ,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB ∥CD. ∴∠GAM=∠PDM . 在△GAM 和△PDM 中,∠GAM =∠PDM ,AM =DM ,∠AMG =∠DMP , ∴△GAM ≌△PDM (ASA ).∴MG=MP . 在△EMP 和△EMG 中,PM =GM ,∠PME =∠GME ,ME =ME , ∴△EMP ≌△EMG (SAS ).∴EG=EP . ∴AG+AE=EP .∴PD+AE=EP ,即EP=AE+DP . (3) 1 2 BE CF AM -=,值不变,理由如下: 如图1,连接BM 交EF 于点Q ,过点F 作FK ⊥AB 于点K ,交BM 于点O , ∵EM=EB ,∠MEF=∠BEF ,∴EF ⊥MB ,即∠FQO=90°. ∵四边形FKBC 是矩形,∴KF=BC ,FC=KB. ∵∠FKB=90°,∴∠KBO+∠KOB=90°. ∵∠QOF+∠QFO=90°,∠QOF=∠KOB ,∴∠KBO=∠OFQ. ∵∠A=∠EKF=90°,∴△ABM ∽△KFE. ∴ EK KF AM AB =即BE BK BC AM AB -=. ∵AB=2AD=2BC ,BK=CF ,∴1 2 BE CF AM -=. ∴ BE CF AM -的值不变. 考点:1.折叠问题;2.矩形的性质;3.全等三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.相似三角形的判定和性质. 8.如图,点E是正方形ABCD的边A B上一点,连结CE,过顶点C作CF⊥CE,交AD延长线于F.求证:BE=DF. 【答案】证明见解析. 【解析】 分析:根据正方形的性质,证出BC=CD,∠B=∠CDF,∠BCD=90°,再由垂直的性质得到∠BCE=∠DCF,然后根据“ASA”证明△BCE≌△BCE即可得到BE=DF 详解:证明:∵CF⊥CE, ∴∠ECF=90°, 又∵∠BCG=90°, ∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD ∴∠BCE=∠DCF, 在△BCE与△DCF中, ∵∠BCE=∠DCF,BC=CD,∠CDF=∠EBC, ∴△BCE≌△BCE(ASA), ∴BE=DF. 点睛:本题考查的是正方形的性质,熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键. 9.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点(P与B、D不重合), ∠APE=90°,且点E在BC边上,AE交BD于点F. (1)求证:①△PAB≌△PCB;②PE=PC; (2)在点P的运动过程中,的值是否改变?若不变,求出它的值;若改变,请说明理 由; (3)设DP=x,当x为何值时,AE∥PC,并判断此时四边形PAFC的形状. 【答案】(1)见解析; (2); (3)x=﹣1;四边形PAFC是菱形. 【解析】 试题分析:(1)根据四边形ABCD是正方形,得出AB=BC,∠ABP=∠CBP°,再根据 PB=PB,即可证出△PAB≌△PCB, ②根据∠PAB+∠PEB=180°,∠PEC+∠PEB=180°,得出∠PEC=∠PCB,从而证出PE=PC;(2)根据PA=PC,PE=PC,得出PA=PE,再根据∠APE=90°,得出∠PAE=∠PEA=45°,即可求 出; (3)先求出∠CPE=∠PEA=45°,从而得出∠PCE,再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE,从而证出BP=BC=1,x=﹣1,再根据AE∥PC,得出∠AFP=∠BPC=67.5°,由△PAB≌△PCB 得出∠BPA=∠BPC=67.5°,PA=PC,从而证出AF=AP=PC,得出答案. 试题解析:(1)①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=∠ABC=45°. ∵PB=PB,∴△PAB≌△PCB (SAS). ②由△PAB≌△PCB可知,∠PAB=∠PCB.∵∠ABE=∠APE=90°,∴∠PAB+∠PEB=180°, 又∵∠PEC+∠PEB=180°,∴∠PEC=∠PAB=∠PCB,∴PE=PC. (2)在点P的运动过程中,的值不改变. 由△PAB≌△PCB可知,PA=PC. ∵PE=PC, ∴PA=PE, 又∵∠APE=90°, ∴△PAE是等腰直角三角形,∠PAE=∠PEA=45°,∴=. (3)∵AE∥PC,∴∠CPE=∠PEA=45°,∴在△PEC中,∠PCE=∠PEC=(180°﹣45°) =67.5°. 在△PBC中,∠BPC=(180°﹣∠CBP﹣∠PCE)=(180°﹣45°﹣67.5°)=67.5°. ∴∠BPC=∠PCE=67.5°,∴BP=BC=1,∴x=BD﹣BP=﹣1.∵AE∥PC, ∴∠AFP=∠BPC=67.5°,由△PAB≌△PCB可知,∠BPA=∠BPC=67.5°,PA=PC, ∴∠AFP=∠BPA,∴AF=AP=PC,∴四边形PAFC是菱形. 考点:四边形综合题. 10.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H.动点E从点B出发,沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动.过点E作EF⊥AB,垂足为点F.点E出发后,以EF为边向上作等边三角形EFG,设点E的运动时间为t秒,△EFG和△AHC的重合部分面积为S. (1)CE= (含t的代数式表示). (2)求点G落在线段AC上时t的值. (3)当S>0时,求S与t之间的函数关系式. (4)点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2个单位长度的速度作往复运动,当点E停止运动时,点P随之停止运动,直接写出点P在△EFG内部时t的取值范围. 【答案】(1)6-2t;(2)t=2;(3)当<t≤2时,S=t2+t-3;当2<t≤3时,S=- t2+t-;(4)<t<. 【解析】 试题分析:(1)由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可; (2)由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形,得出∠ACB=60°,由等边三角形的性质和三角函数得出∠GEF=60°,GE=EF=BE?sin60°=t,证出∠GEC=90°,由三角函数求 出CE==t,由BE+CE=BC得出方程,解方程即可; (3)分两种情况:①当<t≤2时,S=△EFG的面积-△NFN的面积,即可得出结果; ②当2<t≤3时,由①的结果容易得出结论; (4)由题意得出t=时,点P与H重合,E与H重合,得出点P在△EFG内部时,t的不等式,解不等式即可. 试题解析:(1)根据题意得:BE=2t, ∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=AB=6, ∴CE=BC-BE=6-2t; (2)点G落在线段AC上时,如图1所示: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC, ∵∠ABC=60°, ∴△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∵△EFG是等边三角形, ∴∠GEF=60°,GE=EF=BE?sin60°=t, ∵EF⊥AB, ∴∠BEF=90°-60°=30°, ∴∠GEB=90°, ∴∠GEC=90°, ∴CE==t, ∵BE+CE=BC, ∴2t+t=6, 解得:t=2; (3)分两种情况:①当<t≤2时,如图2所示: S=△EFG的面积-△NFN的面积=××(t)2-××(-+2)2=t2+t-3, 即S=t2+t-3; 当2<t≤3时,如图3所示: S=t2+t-3-(3t-6)2, 即S=-t2+t-; (4)∵AH=AB?sin60°=6×=3,3÷2=,3÷2=, ∴t=时,点P与H重合,E与H重合, ∴点P在△EFG内部时,-<(t-)×2<t-(2t-3)+(2t-3),解得:<t<; 即点P在△EFG内部时t的取值范围为:<t<. 考点:四边形综合题. 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3). (1)当点N落在边BC上时,求t的值. (2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值. (3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式. (4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值. 【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4) t=1或 【解析】 试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ; (3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN. (4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值. 试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形, ∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合. ∴DQ=3 ∴2t=3. ∴t=; (2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上, 六安数学三角形填空选择易错题(Word 版 含答案) 一、八年级数学三角形填空题(难) 1.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,动点P 从A 点出发,先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动,然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动.若设点P 运动的时间是t 秒,那么当t =___________________,△APE 的面积等于6. 【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】 分为两种情况讨论:当点P 在AC 上时:当点P 在BC 上时,根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可. 【详解】 如图1,当点P 在AC 上.∵△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,∴CE =4,AP =2t . ∵△APE 的面积等于6,∴S △APE = 12AP ?CE =12 AP ×4=6.∵AP =3,∴t =1.5. 如图2,当点P 在BC 上.则t >3∵E 是DC 的中点,∴BE =CE =4. ∵PE ()43=7-PE t t =-- ,∴S =12EP ?AC =12 ?EP ×6=6,∴EP =2,∴t =5或t =9. 总上所述,当t =1.5或5或9时,△APE 的面积会等于6.故答案为1.5或5或9. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键. 2.如图,平面内有五个点,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画_____个三角形. 【答案】10 【解析】 【分析】 以平面内的五个点为顶点画三角形,根据三角形的定义,我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答. 【详解】 解:如图所示,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画10个三角形, 故答案为:10. 【点睛】 本题考查的是几何图形的个数,我们根据三角形的定义,在画图的时候要注意按照一定的顺序,保证不重复不遗漏. 3.如图,已知:四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠ACB=74°,∠ABC=46°,且∠BAD+∠CAD=180°,那么∠BDC的度数为_____. 【答案】30° 【解析】 【分析】 延长BA和BC,过D点作DE⊥BA于E点,过D点作DF⊥BC于F点,根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF,故DE=DF,过D点作DG⊥AC于G点,可得出 △ADE≌△ADG,△CDG≌△CDF,进而得出CD为∠ACF的平分线,得出∠DCA=53°,再根据三角形内角和定理即可得出结论. 【详解】 解: 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 平行四边形二次达标题 1、等腰三角形中有一条边长为6,其三条中位线长度总和为10,则底边长为 ______ 2.如图,平行四边形ABCD的周长是30cm,△ABC的周长是22cm, 则AC的长为_________ 3.如图,在平行四边形ABCD中,EF过两条对角线的交点O,若AB=4,BC=7,OE=3, 则四边形EFCD的周长是__________ 4.能判定四边形是平行四边形的条件序号是__________ ①一组对边平行,另一组对边相等②一组对边相等,一组邻角相等 ③一组对边平行,一组邻角相等④一组对边平行,一组对角相等 5.平行四边形的两对角线的长度分别为8和6,则其边长a范围为____________ 6、如图,在?ABCD中,AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后, 7、在A B C中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D、E、F分别是 AB、BC、AC的中点,则D E F的面积为__________ 8、如图,在平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径画弧, 交AD于F,再分别以B、F为圆心,大于BF的长为半径画弧, 两弧相交于点G,若BF=12,AB=10,则AE的长为_______ 9、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,点 P、Q分别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由 点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.则 _______秒后四边形ABQP是平行四边形。 10、如图,△ABC的周长为28,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE, 垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10, 则PQ的长为___________ (易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案 一、选择题 1.如图,在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ,再分别以M 、N 为圆心,大于12 MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法中正确的个数是( ) ①AD 是BAC ∠的平分线;②ADC 60∠=o ;③点D 在AB 的垂直平分线上;④:1:3DAC ABC S S ??= A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干作图方式,可判断AD 是∠CAB 的角平分线,再结合∠B=30°,可推导得到△ABD 是等腰三角形,根据这2个判定可推导题干中的结论. 【详解】 题干中作图方法是构造角平分线,①正确; ∵∠B=30°,∠C=90°,AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30° ∴∠ADC=60°,②正确 ∵∠DAB=∠B=30° ∴△ADB 是等腰三角形 ∴点D 在AB 的垂直平分线上,③正确 在Rt △CDA 中,设CD=a ,则AD=2a 在△ADB 中,DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?,13(CD+DB)22 BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=,④正确 故选:D 【点睛】 本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练角平分线的绘制方法. 2.AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F .S △ABC =7,DE=2,AB=4,则AC 长是( ) A .4 B .3 C .6 D .2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果. 【详解】 解:AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线, ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F , ∴DF=DE , 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,DE=2,AB=4, 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为:B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3.△ABC 中,∠A :∠B :∠C =1:2:3,最小边BC =4cm ,则最长边AB 的长为( )cm A .6 B .8 C 5 D .5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数,然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A =x , 则∠B =2x ,∠C =3x , 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C =x+2x+3x =180°, 解得x =30°,中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
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