河北省张家口市宣化第一中学2021届高三下学期阶段模拟(三)数学试题含答案

保密★启用前2021届河北省张家口市三模考试数学试题 2021年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学2021.5注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，写出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,M N 均为R 的子集，若()RN M N ⋃=，则（ ）A.M N ⊆B.N M ⊆C.RM N ⊆D.R N M ⊆2.若复数z 满足325i iz -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某中学春季运动会上，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前6位进入决赛，如果小明知道了自己的成绩后，则他可根据其他11位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（ ） A.中位数 B.平均数 C.极差 D.方差4.“0a >”是“点()0,1在圆222210x y ax y a +--++=外”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.为了得到函数()11sincos 33f x x x =+的图象，可以将函数()13g x x =的图象（ ） A.向右平移示个单位长度 B.向右平移4π个单位长度C.向左平移34π个单位长度 D.向左平移4π个单位长度 6.我国东汉末数学家赵爽在《周牌算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若E 为AF 的中点，EG AB AD λμ=+，则λμ+=（ ）A.12 B.35 C.23 D.457.5(23)x y z +-的展开式中所有不含y 的项的系数之和为（ ） A.32- B.16- C.10 D.648.已知(),0,3a b ∈，且0.34ln ln4,4ln ln2,log 0.06a a b b c ===，则（ ） A.c b a << B.a c b << C.b a c << D.b c a <<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知方程2222122x y m m +=-+表示的曲线是双曲线，其离心率为e ，则（ ）A.m <<B.点()2,0是该双曲线的一个焦点C.12e<D.该双曲线的渐近线方程可能为20x y ±=10.已知一个圆柱的上､下底面圆周均在球O 的表面上，若圆柱的体积为4π，则球O 的表面积不可能为（ ） A.6π B.8π C.12π D.16π 11.已知正数,a b 满足()11a b -=，则（ ）A.3a b +B.22124a b ->C.222log log 2a b +D.222a b a +> 12.已知函数()()sinsin122f x x x ππ=+-，则下列结论正确的是（ ）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期为2C.函数()f x 在区间()1,2存在最小值D.方程()1f x =在区间()2,6-内所有根的和为10三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列{}n a 中，11826a a =+，则267a a a ++=__________.14.2021年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二1班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，同学们非常激动，爱国情感油然而生，为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生(分别记为甲､乙､丙)和4名男生(分别记为A ，B ，C ，D )组成的学习小组中选出4名进行观后体会交流，则男生A 和女生甲没有被同时选中的概率为__________.15.若对任意的非零实数a ，均有直线:l y ax b =+与曲线y =l 必过定点__________.16.已知)F为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P为AB 的中点，O 为坐标原点.若OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且OFP 外接圆的面积为23π，则椭圆C 的长轴长为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，且12 2.n n n A B +-=-（1）求{}n n a b -的通项公式；（2）若n n a b +={}n n a b ⋅的前n 项和.n T 18.(12分)在四边形ABCD 中，//,1,2AB CD AB AC BD ===，且sin sin DBC DCB ∠∠=.（1）求AD 的长； （2）求ABC 的面积. 19.(12分)某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展､百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，启动建设了一所高标准､现代化､智能化的新校，并由县政府公开招聘事业编制教师，招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，面试时应聘者需要回答三道题，第一题考查教育心理学知识，答对得10分，答错得0分；第二题考查学科专业知识，答对得10分，答错得0分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分，非优秀者得5分.（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布()265,15N ，80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数(结果四舍五人保留整数)； （2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为23，第三题被评为优秀的概率为12，每道题正确与否､优秀与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y 的分布列及其数学期望. 附：若随机变量()2,X N μσ~，则()0.6827,(2P XP X μσμσμσμ-<+≈-<+2)0.9545,(33)0.9973P X σμσμσ≈-<+≈.20.(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，,//PA PB AB AD BC ==，且290PBC PAD ∠∠==.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值. 21.(12分)已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，且点()1,2M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p .（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线():250l x m y -+-=与抛物线C 交于,A B 两点，问是否存在实数m 使MA MB ⋅=若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 22.(12分)已知函数()()3ln .f x x x a x a =--∈R（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当3a 时，求证：对任意的[)12,1,x x ∞∈+，且12x x >，有()()2122f x f x -+()()()12120x x f x f x ''⎡⎤-+>⎣⎦恒成立.2021年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学试题参考答案及评分标准2021.5一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.【答案】D 【解析】由题意得，RM N ⊆，其韦恩图如图所示，所以只有RN M ⊆正确.故选D.2.【答案】D 【解析】由已知得()()()352512222i i iz i i i i -===+-+-，所以12z i =-，所以在复平面内z 对应的点位 第四象限.故选D. 3.【答案】A【解析】12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛，正好一半，因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛.故选A. 4.【答案】B【解析】将222210x y ax y a +--++=化为标准方程，得222()(1).x a y a a -+-=-当点()0,1在圆222210x y ax y a +--++=外时，有200,a a a ⎧->⎨>⎩解得 1.a >所以“0a >”是“点()0,1”在圆222210x y ax y a +--++=外”的必要不充分条件.故选B.5.【答案】A 【解析】()11113sin cos 333434f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 6.【答案】D【解析】以E 为坐标原点，EF 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴，建立如图直角坐标系. 设1EF =.由E 为AF 的中点，可得()()()()()0,0,1,1,1,0,1,1,0,2E G A B D --， 所以()()()1,1,2,1,1,2EG AB AD ==-=因为EG AB AD λμ=+，所以()()()1,12,11,2λμ=-+，即21,21,λμλμ+=⎧⎨-+=⎩解得1,53,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则4.5λμ+=故选D.7.【答案】A【解析】在5(23)x y z +-的展开式中，通项公式为515C (3)(2).r r r r T x z y -+=-若展开式中的项不含y ，则0r =，此时符合条件的项为5(3)x z -展开式中的所有项.令1x z ==，得这些项的系数之和为5(2)32.-=-故选A. 8.【答案】C【解析】由4ln ln42ln2a a a ==，得ln ln4ln ln2ln162,,4416a b a a b ====. 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当()0,e x ∈时()(),0,f x f x >'单调递增；当()e,x ∞∈+时()(),0,f x f x <'单调递减. 又()()()()4,16f a f f b f ==，所以 2.b a <=又()0.30.30.30.3log 0.06log 0.20.3log 0.21log 0.312c ==⨯=+>+=，所以.b a c <<故选C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.【答案】AC【解析】因为方程2222122x y m m +=-+表示的曲线是双曲线，所以()()22220m m -+<，解得m <A 正确；将2222122x y m m +=-+化为2222122y x m m-=+-，得焦点在y 轴上，故选项B 错误； 因为2224m +<，所以(]2241,22e m =∈+，故选项C 正确；因为双曲线的渐近线斜率的平方222212m k m +=-，所以选项D 错误.故选AC.10.【答案】AB【解析】设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，球O 的半径为R ，则22224,,4r h h r R ππ⎧=⎪⎨+=⎪⎩所以2244h R h =+，所以()3'2224822h h R h h -=-+=， 所以当()0,2h ∈时，()'20R <；当()2,2h R ∈时，()'20R >，所以当2h =时，2R 有最小值.此时球O 的表面积有最小值，且最小值为4441224O S ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭球， 即球O 的表面积12.O S π球故选AB . 11.【答案】ACD【解析】由()11a b -=，得11a b =+，又0b >，所以113a b b b+=++，故A 正确；因为22111121a a a a b b b b b ⎛⎫⎛⎫-=-+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2b =时，2212a b -=，此时22124a b -=，故B 错误；2211124a b b b b b ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，所以222log log 2a b +，故C 正确；又()22(1)212a ba b -+-=，所以22122a b a a ++>，故D 正确.所以选ACD. 12.【答案】AD【解析】因为()()sinsin1sincos2222f x x x x x ππππ=+-=-，所以()f x 是偶函数，选项A 正确；因为()()()()01,21,02f f f f =-=≠，所以2不是()f x 的最小正周期，选项B 错误； 当()1,2x ∈时，,22x πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()sin cos 2sin 2224f x x x x ππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为3,2444x ππππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间()1,2存在最大值，不存在最小值，选项C 错误；因为()()4f x f x =+，所以()f x 的最小正周期为4， 当()2,0x ∈-时，(),02x ππ∈-，所以()sincos2sin 2224f x x x x ππππ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭. 因为3,2444x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在()2,0-内先增后减. 同理，可得()f x 在()0,2内也是先增后减.因为()()()01,221f f f =--==，所以()1f x =在()2,6-内有5个根. 又()()()()4sin4cos 4sincos2222f x x x x x f x ππππ-=---=-=所以()f x 的图象关于直线2x =对称，所以方程()1f x =在区间()2,6-内所有根的和为10. 故选AD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分决20分.13.【答案】18-【解析】因为等差数列{}n a 中，811526a a a -==-，所以2675318.a a a a ++==- 14.【答案】57【解析】从3名女生和4名男生组成的学习小组中选4名共有47C 35=(种)选法；男生A 和女生 甲被同时选中有25C 10(=种)选法，故所求概率1051357P =-=. 15.【答案】1,04⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】设切点横坐标为m .因为y '=.a = 又0a ≠，所以14m =，所以切点为1,42a ⎛⎫⎪⎝⎭. 由切点在切线上得4a b =，所以1:44a l y ax a x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以直线l 必过定点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.16.【答案】【解析】因为OFP 外接圆的面积为23π. 又OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，设OFP ∠α=，则2OPF ∠πα=-，所以sin sin23OPF ∠α==，所以sin22α=，所以6πα=或3πα=.不妨设点P 在x 轴下方，所以3PF OP k k =-=又根据点差法可得22PF OPb k k a ⋅=-，所以2213b a =，或223(b a=此时焦点在y 轴上，舍去).因为)F为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，所以a =C 的长轴长为四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(10分)解：（1）记数列{}n n a b -的前n 项和为n S ，所以122n n S +=-， 所以当2n 时，12 2.nn S -=- 两式作差，得当2n 时，2.nn n a b -=因为当1n =时，1112S a b =-=，也符合上式，所以{}n n a b -的通项公式为2.nn n a b -= （2）由（1）知2nn n a b -=.因为n n a b + 所以()()()2211444n n n n n n n a b a b a b n ⎡⎤⋅=+--=-⎣⎦， 所以数列{}n n a b ⋅的前n 项和()()()121111124444484nn n n T n +=+++-+++=-. ()()4141411483n nn n -+-=-- 所以数列{}n n a b ⋅的前n 项和()14183n n n n T +-=-. 18.(12分)解：（1）因为在四边形ABCD 中，//AB CD ，所以cos cos .CDA DAB ∠∠=- 在DBC 中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD == 设.AD x =在ABD 和ACD 中，由1,AB AC ==22144724x x x x+-+-=-， 所以()()2221447.x x +-=-+- 解得x =AD =（2）在ACD中，2AD AC CD ===，得222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥， 所以12ABCSAB AD =⋅=.所以ABC 19.(12分)解()1因为X 服从正态分布()265,15N ，所以()()10.68278065150.15865.2P X P X -=+≈= 因为20000.15865317⨯≈，所以进入面试环节的人数约为317人.（2）记该应聘者第()1,2i i =题答对为事件i A ，第3题优秀为事件.BY 的可能取值为5,15,25,35.则()()()21212211(5)()113218P Y P A A B P A P A P B ⎛⎫⎛⎫====-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()121212(15)P Y P A A B P A A B P A A B ==++222121211133232⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭518= ()()()121212(25)P Y P A A B P A A B P A A B ==++22122112132332⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭49= ()212212(35)329P Y P A A B ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭所以Y 的分布列为所以Y 的数学期望为()15427051525351818993E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.20.(12分)（1）证明：如图，在平面PAD 内，过点P 作PH AD ⊥，垂足为H ，连接.BH 因为90PBC ∠=，所以.PB BC ⊥ 因为//AD BC ，所以.PB AD ⊥因为PB PH P ⋂=，所以AD 平面PHB ，所以AD HB ⊥ 因为PA PB AB ==，所以.PH BH ===又45PAD ∠=，所以PH BH AH PB ===，得222PB PH BH =+，即.PH BH ⊥ 因为AD BH H ⋂=，所以PH ⊥平面.ABCD 因为PH ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）知PH ⊥平面,ABCD BH AD ⊥，所以以H 为原点，以HA 所在直线为x 轴，HB 所在直线为y 轴，HP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设PA =1PH AH BH ===，所以()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1H A B P ， 所以()()()1,0,1,0,1,1,1,0,0.AP PB AH =-=-=-设平面PAB 的一个法向量为()111,,n x y z =，则00n AP n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11110x z y z -+=⎧⎨-=⎩ 令11x =，则111y z ==，所以()1,1,1n =.设平面PBC 的一个法向量为()222,,m x y z =，则0,0,m AH m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2220,0.x y z -=⎧⎨-=⎩ 令21y =，则221,0z x ==，所以()0,1,1m =.所以cos ,||||2m n m n m n ⋅〈〉===⨯故平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为3.21.(12分)解：（1）由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ，得点M 到点F 的距离与到直线x p =-的距离相等. 由抛物线的定义，可知点M 在抛物线C 上，所以44,1p p ==， 所以抛物线C 的方程为24.y x = （2）存在.由()24,250,y x x m y ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩得248200y my m ---=. 因为()2Δ1648200m m =++>恒成立，所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设()()1122,,,A x y B x y ，则()12124,425y y m y y m +==-+.因为()()()()12121122MA MB x x y y ⋅=--+--()()221212112244y y y y ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2221212121212225164y y y y y y y y y y +-=-+-++ ()()22(4)82516(25)42585164m m m m m +++=--+-+0=所以MA MB⊥，即MAB为直角三角形. 设d为点M到直线l的距离，所以MA MB⋅AB d=⋅=41=+161=+=所以42(1)4(1)320m m+++-=，解得2(1)4m+=或2(1)8(m+=-舍).所以1m=或 3.m=-所以当实数1m=或3m=-时，MA MB⋅=22.(12分)解：（1）函数()f x的定义域为()0,∞+，()231af x xx'=--.若函数()f x 在其定义域上为增函数，则()0f x'在()0,∞+上恒成立，即2310axx--，得33.x x a-设()33g x x x=-，则()291g x x='-.当10,3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'<，当1,3x∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0g x'>，所以当10,3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()g x单调递减，当1,3x∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，函数()g x单调递增，故()1239g x g⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以29a-.（2）由（1）得()231a f x x x'=--. 对任意的[)12,1,x x ∞∈+，且12x x >，令12(1)x t t x =>， 则()()()()()21121222f x f x x x f x f x ⎡⎤-+'-'+⎣⎦()()3322121121************ln332x x x x x a x x x x a x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-++-+-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x a a x x x ⎛⎫=--+--+ ⎪⎝⎭()332213312ln .x t t t a t t t ⎛⎫=-+---- ⎪⎝⎭令()()12ln ,1,h t t t t t∞=--∈+，当1t >时，()22121110h t t t t ⎛⎫=+-=-> ⎪⎭'⎝，由此可得()h t 在()1,∞+上单调递增，所以当1t >时，()()1h t h >，即12ln 0.t t t-->因为32321,331(1)0,3x t t t t a -+-=->--，所以()33232113312ln (1)32ln .x t t t a t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()31(1)32ln ,1p t t t t t t ⎛⎫=----> ⎪⎝⎭，则()222221213(1)313(1)0t p t t t t t t ⎛⎫-⎛⎫=--+-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，所以函数()p t 在()1,∞+上单调递增，故()()10.p t p >=综上，当3a 时，对任意的[)12,1,x x ∞∈+，且12x x >，有()()2122f x f x -+()()()12120x x f x f x ''⎡⎤-+>⎣⎦恒成立.。

2023年河北省张家口市宣化一中高考数学三模试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合S ＝{s |s ＝2n +1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n +1，n ∈Z }，则S ∩T ＝（ ） A ．∅B ．SC ．TD ．Z2．已知复数z 满足|z ﹣5|＝|z ﹣1|＝|z +i |，则|z |＝（ ） A ．√10B ．√13C ．3√2D ．53．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所构成的．已知圆台的上、下底面直径分别为2cm 和4cm ，且圆台的母线与底面所成的角为π4，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ）A ．2πB ．6πC ．3√2πD ．9√2π4．如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x 轴，左边第一根弦在y 轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线（又称为雁柱曲线）方程为y ＝1.1x ，第n （n ∈N ，第0根弦表示与y 轴重合的弦）根弦分别与雁柱曲线和直线l ：y ＝x +1交于点A n （x n ，y n ）和B n （x 'n ，y 'n ），则∑y n y n ′20n=0=（ ） 参考数据：1.122＝8.14．A ．814B ．900C ．914D ．10005．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（ ）A ．1023B ．1223C ．2969D ．50696．已知α，β均为锐角，且cos(α+β)=sinαsinβ，则tan α的最大值是（ ） A ．4B ．2C ．√24D ．√257．已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →⋅PN →的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0]B ．[0，√2]C ．[1，2]D ．[﹣1，1]8．已知x 1是函数f （x ）＝x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）＝x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．2﹣2√2D ．1﹣2√2二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.【题文】1.已知集合,若，则（）A．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={3，log2a}，N={a，b}，M∩N={0}，∴log2a=0，解得a=1，∴b=0，∴M∪N={0，1，2}．故选：B．【思路点拨】由已知得log2a=0，解得a=1，从而b=0，由此能求出M∪N．【题文】2.等差数列的前 n项和为，若,则( )A. -2B.0C.2D.4【知识点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前n项和为{Sn}，S8﹣S4=36，a6=2a4，∴，解得a1=﹣2，d=2．故选：A．【思路点拨】等差数列{an}的前n项和为{Sn}，由已知得，由此能求出结果．【题文】3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P(ξ＞c)=, 则P(ξ＞4-c)等于A. B.2 C. 1- D. 1-2【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3【答案解析】B 解析：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），对称轴是：μ=2，又4﹣c与c关于μ=2对称，由正态曲线的对称性得：∴p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c）=1﹣a．故选B．【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c），得到结果．【题文】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥．【题文】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（）等腰三角形 (B)等腰梯形（C)五边形 (D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】D 解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D．【思路点拨】由题意作出简图分析．【题文】6．函数在区间的最大值为（）(A)1 (B) (C) (D)2【知识点】复合三角函数的单调性． C3 B3【答案解析】C 解析：f（x）=cos2x+sinxcosx==．∵x∈[，]，∴2x+∈．∴．∴函数f（x）=cos2x+sinxcosx在区间[，]的最大值为．故选：C．【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x的范围求得原函数值域，则答案可求．【题文】7．设f(x)是定义在R上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间单调递减，则（）(A) f(x)在区间单调递增 (B) f(x)在区间单调递增(C) f(x)在区间单调递减 (D) f(x)在区间单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合．B4 B3【答案解析】D 解析：由f（x）=f（x﹣2），则函数的周期是2，若f（x）在区间[2，3]单调递减，则f（x）在区间[0，1]上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f（x）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【题文】8.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】B 解析：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．【思路点拨】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．【题文】9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【思路点拨】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【题文】10.已知数列满足，，则A. 143B. 156C. 168D. 195【知识点】数列递推式． D1【答案解析】C 解析：由an+1=an+2+1，得，∴，又a1=0，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，∴．则a13=169﹣1=168．故选：C．【思路点拨】把已知的数列递推式变形，得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到an，则a13可求．【题文】11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1 J2【答案解析】B解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×××=72种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6××=144种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B．【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求．【题文】12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B. C． D．【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．B3 B6【答案解析】C 解析：当a＞0时，y=在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，且y=＞0恒成立若函数在区间[0，1]上单调递增，则y=在[0，1]上单调递增则≤0解得a∈（0，1]当a=0时，在区间[0，1]上单调递增，满足条件当a＜0时，在R单调递增，令=0，则x=ln则在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]，故选C【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a＞0，a=0，a＜0时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案．【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去。

河北省张家口市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±【答案】C 【解析】 【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案. 【详解】因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-. 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.2．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】B 【解析】 【分析】判断直线0bx ay c ++=与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【详解】由0a b c ++=，a b c >>，所以可得0,0a c ><.1112,22222c c c ca b a a c b c a c c a a a a>⇒>--⇒>->⇒-->⇒<-∴-<<-⇒<-<， 所以由0b cbx ay c y x a a++=⇒=--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.3．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲线的标准方程可能为（ ）A ．2212x y -=B ．2213x y -=C ．2214x y -=D ．22132x y -=【答案】A 【解析】 【分析】直线l 的方程为)3y x c =+，令0x =，得3y =，得到a,b 的关系，结合选项求解即可 【详解】直线l 的方程为)3y x c =+，令0x =，得33y =.因为33b =，所以22222232ac b b b b =-=-=，只有选项A 满足条件.故选：A 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力. 4．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B间的距离为3ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053π C ．12π D ．20π【答案】D 【解析】 【分析】如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【详解】ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===翻折后23AB =,()22222231cos 2222ADB +-∴∠==-⨯⨯ ，120ADB ∴∠=，设ADB ∆外接圆的半径为r ，2324sin120r ∴== ，2r ∴= ，如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，222221215R r =+=+= ，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.5．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件【答案】B 【解析】 【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】由|1|2x -<，得13x，又由2x x <，得01x <<，因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<， 所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法. 6．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.7．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误； 对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确；对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误；综上可知，正确的为C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题. 8．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,2,3,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】 解：{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则(){1,3}{2,3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ⋂⋃=⋃= 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．9．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β； ④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错 ②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α， 因为m α⊄，所以//m α，故②对 ③：//n β或n β⊂，故③错 ④：如图因为αβ⊥，l αβ=，在内α过点E 作直线l 的垂线a ，则直线a β⊥，a l ⊥又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b 又m l ⊥，所以b l ⊥因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂ 所以////b a m ，所以m β⊥，故④对. 故选：C 【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.10．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ） A ．()4,6 B ．()4,6-- C ．213313⎝⎭ D ．213313⎛ ⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】设(),a x y =，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a 的坐标. 【详解】设(),a x y =，且()4,6m =，()5,1b =-，由//a m 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--.故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.11．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ） A ．8 B ．4C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义得62pAF =+，即可解得结果. 【详解】因为262pAF p ==+，所以4p =. 故选B 【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.12．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年下学期宣化一中高三数学阶段模拟试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，若，则实数a的取值范围为A. B.C. D.2.i是虚数单位，在复平面内复数对应的点的坐标为A. B. C. D.3.已知a，b，c是实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则函数的增区间为A. B. C. D.5.用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为A.B.C.D.6.如果在一次实验中，测得的四组数值分别是，，，，则y对x的线性回归方程是A. B.C. D.7.令，则A. B. C. D.8.函数，，，k，，则函数在区间上的零点最多有A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有A. B.C. D. ，的夹角是钝角10.已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有附：随机变量服从正态分布，则A. 该校学生成绩的期望为110B. 该校学生成绩的标准差为9C. 该校学生成绩的标准差为81D. 该校学生成绩及格率超过11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论中正确的有A. B.C. D.12.设函数的定义域为D，若存在常数a满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数，则下列结论中正确的有A. 函数是函数B. 函数是函数C. 若函数是函数，则D. 若函数是函数，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为______ ．14.函数的最小正周期为______ ．15.已知椭圆：的右焦点F也是抛物线：的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为，则实数______ ，椭圆的离心率______ ．16.已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等比数列的公比为，前n项和为．若，，求的值；若，，且，，求m的值．18.已知中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求sin A的值；若，求tan C的值．19.已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次．求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；求该射手的总得分X的分布列和数学期望．20.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是矩形，，平面平面ABCD，二面角的大小为．求证：平面ABCD；求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．21.已知函数，a，．若，，且1是函数的极值点，求的最小值；若，且存在，使成立，求实数a的取值范围．22.已知等轴双曲线C：经过点求双曲线C的标准方程；已知点．过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求最小时k的值；点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值．2020-2021学年下学期宣化一中高三数学阶段模拟试卷（二）答案和解析1.【答案】D【解析】解；已知集合，或，若，则B集合包含A集合的所有元素，若时，，不符合题意舍去，当时，，则时，因为，则；时，，因为，则；即，故实数a的取值范围为．故选：D．解出A集合，分类讨论a的范围，结合，可得实数a的取值范围．本题的考点是集合的包含关系，考查两个集合的子集关系和分类讨论，解题的关键是正确判断集合的含义．2.【答案】A【解析】解：，在复平面内复数对应的点的坐标为故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由“”“”，反之不成立，例如时．“”是“”的充分不必要条件．故选：A．由“”“”，反之不成立，例如时即可判断出结论．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由，得，又函数的图象在点处的切线方程为，，则，．，由，得，又，，即函数的增区间为．故选：C．求出原函数的导函数，再由已知列关于a，b的方程组，求得a与b的值，代入导函数解析式，由导函数大于0可得函数的增区间．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】A【解析】解：用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，基本事件总数，其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数：，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为．故选：A．先求出基本事件总数，再求出其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数，由此能求出“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数学应用能力等核心意识，是基础题．6.【答案】D【解析】解：，，，，线性回归方程为．故选：D．先计算和，再根据和的计算公式进行运算，即可得解．本题考查线性回归方程的求法，熟记和的计算公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由于，则，，，，，，，，，令，可得．故选：C．先求导，再代值计算即可求出．本题考查了二项式定理和导数的运算，考查了运算求解能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，函数在区间上的零点，就是函数和函数在区间的交点，对于，其周期，区间包含2个周期，如图：两个函数在两个周期中最多有5个交点，即函数在区间上的零点最多有5个，故选：B．根据题意，由函数的零点与方程的关系，可得函数在区间上的零点就是函数和函数在区间的交点，分析的周期，结合正弦函数的图像分析可得答案．本题考查函数的零点与方程的关系，涉及正弦函数的周期性，属于基础题．9.【答案】BC【解析】解：，是平面上夹角为的两个单位向量，如图：，，距离坐标系如图，，，，，可得，所以的中为P在以BC为直径的圆上，所以所以A不正确；，所以B正确；的最大值为：，所以C正确；，的夹角是锐角，所以D不正确．故选：BC．画出图形，建立坐标系，说明在该平面上的轨迹，结合选项判断正误即可．本题考查向量的综合应用，轨迹方程的求解，命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是难题．10.【答案】ABD【解析】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为，．该市学生数学成绩的期望为110，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为9，故B正确，C错误；，则，，故D正确．故选：ABD．由已知可得A正确，B正确，C错误；求出学生数学成绩的及格率判断D．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：由题设知：数列的前8项为：1，1，2，3，5，8，13，21，，，故选项A正确，选项B错误；又，，，，，将以上式子相加可得：，故C选项正确；斐波那契数列总有，，，，，，，，，将以上式子相加可得：，故选项D正确，故选：ACD．由题意可得数列满足递推关系，，，对照四个选项可得正确选项．本题主要考查数列的递推关系式在数列的项与和中的应用，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：对于A，对任意的，要使，即，只要即可，所以是函数，所以A对；对于B，当时，，此方程无解，所以B错；对于C，假设C对，则对任意的，总存在，使得，即，，，所以，，于是，于是矛盾，所以C错；对于D，因为是函数，所以对任意的，总存在，使得，即，，所以，且，解得，所以D对．故选：AD．A用新定义证明；B举反例即可；C用反证法否定结论；D用新定义建立不等式组，解不等式组判断即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数与方程的基本应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意球的体积为：，所以球的半径为R，，解得，所以圆柱底面直径为8，圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，所以圆柱的高为：．可得圆柱的表面积：．故答案为：．利用球的体积求解球的半径，然后求解圆柱的高，即可求解圆柱的表面积．本题求解球的体积，求解球的半径，球的内接体的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：由三角函数公式化简可得：，可知函数和的周期均为，已知函数的周期为，故答案为：．由三角函数公式化简可得，由三角函数的周期公式和绝对值对周期的影响可得．本题考查三角函数的周期性和周期的求法，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题．15.【答案】4【解析】解：椭圆：的右焦点，所以抛物线：的焦点，所以；椭圆与抛物线的交点到F的距离为，不妨设在第一象限的交点为A，则，由椭圆定义，可得，所以椭圆的离心率为．故答案为：4；．求出椭圆的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，即可求解n；求出交点坐标，利用椭圆的定义求解2a，然后求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，所以函数的图像关于对称，当时，单调递减，根据函数的对称性知，在时单调递增，因为，所以，即，所以，解得，．故答案为：由已知可判断函数的图像关系对称，然后检验函数的单调性，结合对称性及单调性即可求解．本题主要考查不等式的解法，利用函数的对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．17.【答案】解：等比数列的公比为，前n项和为．，，，解得，．，，且，，，，由，解得，，，，，解得．【解析】利用等比数列通项公式求出，由此能求出．由，得由，解得，再由，利用等比数列前n项和公式列方程，能求出m的值．本题考查等比数列的运算，涉及到等比数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．18.【答案】解：中，，所以，利用余弦定理知，，因为，所以；中，，所以，即，所以，解得，又，所以．【解析】中根据题意利用余弦定理求出cos A，再计算sin A的值；利用三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得tan C的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．19.【答案】解：记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，射中固定靶为事件A，射中移动靶分别为事件B，C，则，其中互斥，A，B，C，，相互独立，，，．即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为．的可能取值为0，1，2，3，4，5．，，，，，，该射手的总得分X的分布列为：X 0 1 2 345P．【解析】由题意可设该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次为事件D，射中固定靶为事件A，射中移动靶分别为事件B，C，由互斥事件即可解决；由题意X的取值分别为0，1，2，3，4，5，分别计算出对应的概率，即可求解．本题考查了统计与概率，数学期望，互斥事件的概率，分布列，属于中档题．20.【答案】证明：底面四边形ABCD是矩形，，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面PAB，平面PAB，平面PAB，平面PAB，，，为二面角的平面角，又二面角的大小为，，在中，，，即，又，，平面ABCD；解：如右图所示，在底面ABCD内，过点B作，垂足为H，连接PH，由知平面ABCD，平面ABCD，，又，平面PAC，为直线PB与平面PAC所成的角，其中，，直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为．21.【答案】解：，因为1是函数的极值点，所以，即，此时，当时，，当时，，所以函数在处取极小值，所以，因为，，所以当且仅当，时等号成立，所以，所以的最小值为．当时，，在，使成立，即函数在上的最小值小于0，，当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为，所以，不符，舍去；当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为，所以，又，所以；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最小值为，因为，所以，所以，所以，所以，不符，舍去，综上可得，a的取值范围是22.【答案】解：由题意，且，解得，所以双曲线C的方程为．由对称性可设，，则，因为E点在双曲线C上，所以，所以，所以，当时，，为直角，当时，，为钝角，所以最小时，，．设，过点B的动直线为，设，，联立得，所以，由，且，解得且，，即，即，化简得，，化简得，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以，将代入得，从而，如果时，那么，此时不在双曲线C上，舍去，因此，从而，代入，解得，，此时在双曲线上，综上，，或者，．。

河北省张家口市宣化县第一中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{a n}中，a4=4，则等于（）A．4 B．8 C．16 D．32参考答案：答案：C2. 在中，“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：3. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥其中正确的两个命题是（）A.①②B.③④C.②④D.①③参考答案：D4. 在中，，M为AC中点，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2参考答案：A5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为（A）（B）（C）（D）参考答案：B6. 如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则（）A、 B、 C、D、参考答案：B7. 设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=（A）{2}（B）{1，2，4}（C）{1，2，4，6}（D）{x∈R|－1≤x≤5}参考答案：B,选B.8. 在下面的程序框图中，输出的数（）（A）25 （B）30 （C）55 （D）91参考答案：C9. 已知一几何体三视图如右，则其体积为（）A．B．C．1 D．2参考答案：A由三视图可知该几何体如图其中ABCD为边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，且ED=2，故体积，选A.10. 已知，为虚数单位,若,则实数（）A． B． C．D．参考答案：B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为__________．参考答案：∵，∴，故切线的斜率为，可得切线方程为，即，令，得，令，可得，∴切线与坐标轴围成的三角形面积，故答案为.点睛：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题；欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决.12. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是.参考答案：5设，，则，又为等差数列，所以，整理得，代入整理得，，解得，所以双曲线的离心率为。

宣化区宣化第一中学2021-2021学年高三数学下学期仿真试题制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.设集合，，那么A. B. C. D.2.，其中x，y是实数，i是虚数单位，那么的一共轭复数为A. B. C. D.3.点M在角q终边关于对称的曲线上，且，那么M的坐标为A. B. C. D.4.在如下图的程序框图中，假设，，，那么输出的x等于A. B. C. 1 D. 25.某上午安排上四节课，每节课时间是为40分钟，第一节课上课时间是为，课间休息10分钟．某学生因故迟到，假设他在之间到达教室，那么他听第二节课的时间是不少于10分钟的概率为A. B. C. D.6.设，，，，假设p：，，，成等比数列；q：，那么A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示校情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公一共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人〞，根据连续7天的新增病例数计算，以下各项选项里面，一定符合上述指标的是平均数；HY差；平均数；且HY差；平均数；且极差小于或者等于2；众数等于1且极差小于或者等于4．A. B. C. D.8.如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面PAB，C为PA中点，，，那么从点C经圆锥侧面到点B的最短间隔为A. B. C. 6 D.9.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，一共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间是为，他与教练间的间隔为，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，那么这个固定位置可能是图1中的A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q10.抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的间隔为d，点O关于准线1的对称点为点B，BP交y轴于点M，假设，那么实数a的值是A. B. 2 C. D.11.如下图是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如下图，假如凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，那么切面的面积为A. B. C. D.12.设函数，假设曲线上存在点使得成立，那么实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕13.在平面直角坐标系中，假设x，y满足约束条件，那么的最大值为______．14.某食品的保鲜时间是单位：小时与储藏温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，k、b为常数假设该食品在的保鲜时间是是192小时，在的保鲜时间是是48小时，那么该食品在的保鲜时间是是______小时．15.在平面直角坐标系xOy中，以为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，假设MN与圆C相切，那么的最小值为______．16.O为的外心，且，，那么______．三、解答题〔本大题一一共7小题，一共分〕17.数列的前n项和为，且．假设数列是等比数列，求t的取值；求数列的通项公式；记，求数列的前n项和．18.如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．求证：平面PAD．在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点一共面？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．19.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，积极推进“一户一表〞工程．非一户一表用户电费采用“合表电价〞收费HY：元度．“一户一表〞用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季HY如下：第一档第二档第三档每户每月用电量单位：度电价单位：元度例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费HY，应交电费元，假设采用阶梯电价收费HY，应交电费元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担〞的效果，随机调查了该100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量单位：度为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．组别月用电量频数统计频数频率合计在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；根据已有信息，试估计全住户11月的平均用电量同一组数据用该区间的中点值作代表；设某用户11月用电量为x度，按照合表电价收费HY应交元，按照阶梯电价收费HY 应交元，请用x表示和，并求当时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价〞能否给不低于的用户带来实惠？20.椭圆E：的一个焦点为，而且过点求椭圆E的方程；设椭圆E的上下顶点分别为，，P是椭圆上异于，的任一点，直线，分别交x轴于点N，M，假设直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．21.函数，．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ设曲线与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的实数x，都有；Ⅲ假设方程为实数有两个实数根，，且，求证：．22.在平面直角坐标系xoy中，曲线：为参数，在以平面直角坐标系的原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy取一样单位长度的极坐标系中，曲线：．求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；假设曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的间隔相等，求这三个点的极坐标．23.假设，，且．求的最小值；是否存在a，b，使得的值是？并说明理由．数学仿真试卷答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题考察了并集及其运算，考察了对数不等式的解法，是根底题．求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由，，得，，．应选A．2.【答案】D【解析】解：由，，计算根据复数相等的概念，解得，，其一共轭复数为．应选D．由得出，由复数相等的概念求出x，y确定出，再得出一共轭复数此题考察复数的根本运算，复数相等、一共轭复数的概念．属于根底题．3.【答案】C【解析】解：由题意可得点M的横坐标为sin q，纵坐标为cos q，应选：C．由题意利用任意角的三角函数的定义，两点关于直线对称的特点，得出结论．此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点关于直线对称的特点，属于根底题．4.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，由于：；；，可得：，那么输出x的值是1．应选：C．由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，根据对数函数的性质比拟出a、b、c的大小关系即可．此题考察了选择构造的程序框图，以及对数函数的性质的应用，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】此题主要考察几何概型中的长度类型，解决的关键是找到问题的分界点，分清是长度，面积，还是体积类型，再应用概率公式求解．由题意，此学生在9：：00之间随机到达教室，区间长度为50，他听第二节课的时间是不少于10分钟，那么他在9：：20之间随机到达教室，区间长度为10，即可求出概率．【解答】解：他在9：：00之间随机到达教室，区间长度为50，他听第二节课的时间是不少于10分钟，那么他在9：：20之间随机到达教室，区间长度为10，他在9：：00之间随机到达教室，那么他听第二节课的时间是不少于10分钟的概率是，应选A．6.【答案】A【解析】解：由，，，，．运用柯西不等式，可得：，假设，，，成等比数列，即有，那么，即由p推得q，但由q推不到p，比方，那么，，，不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．应选：A．运用柯西不等式，可得：，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．此题考察充分必要条件的判断，同时考察等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．7.【答案】D【解析】解：错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数，但不符合题意，错，举反例：6，6，6，6，6，6，6，其HY差，但不符合题意，错，举反例：0，0，0，0，0，1，6，平均数，且HY差；但不符合题意，对，假设极差小于2，显然符合条件，假设极差小于等于2，有可能，1，2；，2，3；，3，4；，4，5；，5，6．在平均数的条件下，只有成立，符合条件．对，在众数等于1且极差小于等于4时，最大数不超过5，符合条件．应选：D．对举反例判断，对于分情况讨论，对于结合题意判断即可．此题考察了平均数，极差，方差等根本知识，考察分类讨论思想，是一道常规题．8.【答案】A【解析】【分析】此题考察旋转体外表上的最短间隔问题，考察弧长公式的应用，是根底题．由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解．【解答】解：如图，沿圆锥母线PA剪开再展开，，，，那么圆锥底面周长为，展开后所得扇形为半圆，B到处，那么从点C经圆锥侧面到点B的最短间隔为．应选：A．9.【答案】D【解析】【分析】分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进展判断．利用排除法即可得出答案．此题考察了动点问题的函数图象，解答此题要注意依次判断各点位置的可能性，点P的位置不好排除，同学们要注意仔细观察．【解答】解：A、假设这个位置在点M，那么从A至B这段时间是，y不随时间是的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，那么从A至C这段时间是，A点与C点对应y的大小应该一样，与函数图象不符，故本选项错误；C、假设这个位置在点P，那么由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的间隔等于经过30秒时教练到小明的间隔，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；应选：D10.【答案】D【解析】解：由抛物线的性质得，因为，，因为B，O关于准线对称，设准线与x轴的交点为A，所以，所以，而所以，即，所以，应选：D．由抛物线的性质可得，再由题意可得，进而可得a的值．此题考察抛物线的性质，及对应边成比例的性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：如图1，由正、侧视图得：当凳脚所在直线为PC时，过P作底面ABCD，四边形ABCD为正方形，设边长为a，那么，设，那么为PC与底面所成角，，，，，如图2，凳脚的切面为菱形PMEN，，，由题意知，，切面的面积为应选：A．由正、侧视图得当凳脚所在直线为PC时，过P作底面ABCD，四边形ABCD为正方形，设边长为a，那么，设，那么为PC与底面所成角，推导出，凳脚的切面为菱形PMEN，，由此能求出切面的面积．此题考察切面面积的求法，考察棱柱的三视图等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．12.【答案】C【解析】解：，当时，获得最大值，当时，获得最小值，即函数的取值范围为，假设上存在点使得成立，那么且．假设下面证明．假设，那么，不满足．同理假设，那么不满足．综上可得：．函数，的定义域为，等价为，在上有解即平方得，那么，设，那么，由得，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即当时，函数获得极小值，即，当时，，那么．那么．应选：C．利用函数的单调性可以证明令函数，化为令，利用导数研究其单调性即可得出．此题考察了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考察了推理才能与计算才能，属于难题．13.【答案】8【解析】解：作出x，y满足约束条件对于的平面区域如图：由，那么平移直线，由图象可知当直线，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得，此时，故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，进展求最值即可．此题主要考察线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决此题的关键．14.【答案】24【解析】【分析】此题考察函数的解析式的求法和运用，考察运算才能，属于中档题．由题意可得，时，；时，代入函数，解方程，可得，，再由，代入即可得到结论．【解答】解：由题意可得，时，；时，．代入函数，可得，，即有，，那么当时，．故答案为：24．15.【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，以为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，MN与圆C相切，根据圆的对称性，当时，取最小值，如图，，，的最小值为．故答案为：．由题意，根据圆的对称性，可得当时，取最小值．此题考察线段长的最小值的求法，考察直线、圆等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．16.【答案】【解析】解：等式两边同时乘得：又由正弦定理得：又故应填先将等式左右两边同时乘以，得：，再利用由正弦定理得：然后利用两角的和差公式求解此题考察了向量的数量积，正弦定理及两角的和差公式，属难度较大的题17.【答案】解：由，得，当时，，即，所以，，依题意，，解得．有知，所以，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．由知，那么．【解析】直接利用数列的等比中项求出t的值．利用等比数列的定义求出数列的通项公式．利用裂项相消法求出数列的和．此题考察的知识要点：数列的通项公式的应用及数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用．18.【答案】解：证明：如图，取PA的中点M，连接MD，MF，，M分别为PB，PA的中点，，，又四边形ABCD是平行四边形，，，为CD的中点，，．，，那么四边形DEFM为平行四边形，．平面PAD，平面PAD，平面PAD；存在点Q符合题目条件，且此时PQ：：1．取AB的中点H，连接PH交AF于G，在PC上取点Q，使PQ：：1，连接GQ，HC，那么A，E，Q，F四点一共面．证明如下：在平行四边形ABCD中，，H分别为CD，AB的中点，，又F是PB的中点，是的重心，且PG：：1．又PQ：：1，，，，与AE确定一个平面，而直线AG，，那么A，E，Q，F四点一共面．故在线段PC上存在一点Q，使得A，E，Q，F四点一共面．【解析】取PA的中点M，连接MD，MF，证明四边形DEFM为平行四边形，可得，由直线与平面平行的断定可得平面PAD；取AB的中点H，连接PH交AF于G，在PC上取点Q，使PQ：：1，连接GQ，HC，那么A，E，Q，F四点一共面，然后证明即可．此题考察直线与平面平行的断定，平面的根本性质，考察空间想象才能与思维才能，是中档题．19.【答案】解：频率分布表如下：组别月用电量频数频率4122430264合计100 1频率分布直方图如下：该100户用户11月的平均用电量：度所以估计全住户11月的平均用电量为324度．，，由，得或者或者，解得，，的最大值为423．根据频率分布直方图，时的频率为：，故估计“阶梯电价〞能给不低于的用户带来实惠．【解析】完成频率分布表，作出频率分布直方图．由频率分布直方图能求出该100户用户11月的平均用电量，由此能估计全住户11月的平均用电量．求出，，由，解得，从而x的最大值为根据频率分布直方图，能估计“阶梯电价〞能给不低于的用户带来实惠．此题考察频率分布表、频率分布直方图的应用，考察平均数、概率的求法，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题．20.【答案】Ⅰ解法一：由题意，椭圆E：的一个交点为，，椭圆过点．，解得，，所以椭圆E的方程为分解法二：椭圆的两个焦点分别为，由椭圆的定义可得，所以，，所以椭圆E的方程为分Ⅱ解法一：由Ⅰ可知，，设，直线：，令，得；直线：，令，得；设圆G的圆心为，那么，而，所以，所以，所以，即线段OT的长度为定值分解法二：由Ⅰ可知，，设，直线：，令，得；直线：，令，得；那么，而，所以，所以，由切割线定理得所以，即线段OT的长度为定值分【解析】Ⅰ解法一：根据椭圆E：的一个交点为，过点，可得，，联立即可求得椭圆E的方程；解法二：椭圆的两个焦点分别为，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；Ⅱ解法一：由Ⅰ可知，，设，求出，同设圆G的圆心为，利用，即可得到线段OT的长度；解法二：由Ⅰ可知，，设，求出，，可得，由切割线定理可得线段OT的长度．此题考察椭圆的HY方程，考察圆与椭圆为综合，考察线段长的求解，认真审题，挖掘隐含是关键．21.【答案】Ⅰ解：由，可得．当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．的单调递增区间为，单调递减区间为．Ⅱ证明：设点p的坐标为，那么，，曲线在点P处的切线方程为，即，令函数，即，那么，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，对于任意实数x，，即对任意实数x，都有；Ⅲ证明：由Ⅱ知，，设方程的根为，可得．在上单调递减，又由Ⅱ知，因此类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，对于任意的，有，即．设方程的根为，可得，在上单调递增，且，因此，由此可得．【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；Ⅱ设出点p的坐标，利用导数求出切线方程，构造辅助函数，利用导数得到对于任意实数x，有，即对任意实数x，都有；Ⅲ由Ⅱ知，，求出方程的根，由在上单调递减，得到同理得到，那么可证得．本小题主要考察导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等根底知识．考察函数思想、化归思想，考察综合分析问题和解决问题的才能，是压轴题．22.【答案】解：由消去参数得，即曲线的普通方程为，又由得，即为，即曲线的平面直角坐标方程为．圆心O到曲线：的间隔，如下图，直线与圆的切点A以及直线与圆的两个交点B，C即为所求．，那么，直线的倾斜角为，即A点的极角为，点的极角为，C点的极角为，三个点的极坐标为，，．【解析】直接利用和转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进展转换．利用点到直线的间隔公式的应用和特殊的点的位置的应用求出结果．此题考察的知识要点：直角坐标和极坐标之间的转换，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的间隔公式的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于根底题型．23.【答案】解：，，，，，当且仅当时取等号，，．，，当且仅当时取等号．的最小值为．，，，，不存在a，b，使得的值是．【解析】此题主要考察根本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于根底题．由条件利用根本不等式求得，再利用根本不等式求得的最小值．根据及根本不等式求得，从而可得不存在a，b，使得的值是．制卷人：打自企；成别使；而都那。

2021年高三第三次模拟考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，集合，集合，则图中阴影部（A）（B）（C）（D）2．已知i为虚数单位，则（A）（B）（C）（D）3．已知是第四象限角，且，则（A）（B）（C）（D）4．已知实数满足，则目标函数的最大值为（A ）-4 （B ）1 （C ）2 （D ）35. 已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.023，则P (－1≤ξ≤3)等于 （A ）0.977（B ）0.954（C ）0.628（D ）0.4776．等于 （A ）（B ）（C ）（D ）7．现有三个函数：①，②，③的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 （A ）①②③（B ）③①②（C ）②①③（D ）③②①8．已知执行如下左图所示的程序框图，输出的，则判断框内的条件可以是 （A ）（B ） （C ） （D ）OyxOyxOyx开始k=1 S =1S = 3S +2k = k +1 否输出S 结束是（第9题图）（第8题图）9．一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（A）20 （B）18 （C）（D）10．边长为4的正方形ABCD的中心为O，以O为圆心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，点N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则的取值范围是（A）（B）（C）（D）11．已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（A）（B）（C）（D）12．若存在直线l与曲线和曲线都相切，则称曲线和曲线为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”；②曲线和曲线是“相关曲线”；③当时，曲线和曲线一定不是“相关曲线”；④必存在正数使得曲线和曲线为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

河北省张家口市2021届高三三模数学试题参考答案1．D 【思路点拨】由题设并集的结果可得RM N ⊆，结合韦恩图即可判断正确选项.【解析】由题意知，RM N ⊆，其韦恩图如图所示，∴只有RN M ⊆正确.故选：D .2．D 【思路点拨】先求出,z z ，再判断z 对应的点的位置.【解析】由已知得()()()352512222i i i z i i i i -===+-+-，所以12z i =-，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限. 故选：D.【名师指导】复数的计算常见题型： (1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则； (2) 求共轭复数是实部不变，虚部相反.3．A 【思路点拨】根据中位数、平均数、极差以及方差的计算即可得出结果. 【解析】12位同学参赛，按成绩从高到低取前6位进入决赛， 正好一半，因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛. 故选：A.4．B 【思路点拨】根据点在圆外得200a a a >>-⎧⎨⎩求解集，应用等价法，由集合的包含关系即可判断条件间的充分、必要关系.【解析】将222210x y ax y a +--++=化为标准方程，得222()(1).x a y a a -+-=-当点0,1在圆222210x y ax y a +--++=外时，有200a a a >>-⎧⎨⎩，解得 1.a >∴“0a >”是“点0,1”在圆222210x y ax y a +--++=外”的必要不充分条件. 故选：B.5．A 【思路点拨】通过辅助角公式化简，利用三角函数平移判断即可． 【解析】()11113sin cos 2cos2cos 333434f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A.6．D 【思路点拨】构建以E 为坐标原点，EF 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴，建立如图直角坐标系，设1EF =，标注相关点的坐标，进而可得,,EG AB AD 坐标，结合EG AB AD λμ=+，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出,λμ，即可求λμ+.【解析】以E 为坐标原点，EF 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴，建立如图直角坐标系，设1EF =，由E 为AF 的中点，∴()()()()()0,0,1,1,1,0,1,1,0,2E G A B D --，则()()()1,1,2,1,1,2EG AB AD ==-=， 由EG AB AD λμ=+，得：()()()1,12,11,2λμ=-+，∴2121λμλμ+=⎧⎨-+=⎩，解得1535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则4.5λμ+=故选：D.【名师指导】关键点点睛：构建平面直角坐标并标出点坐标，应用向量线性关系的坐标表示列方程求参数，进而求目标式的值.7．A 【思路点拨】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可. 【解析】在5(23)x y z +-的展开式中，通项公式为515C (3)(2).rrr r T x z y -+=-若展开式中的项不含y ，则0r =，此时符合条件的项为5(3)x z -展开式中的所有项. 令1x z ==，得这些项的系数之和为5(2)32.-=- 故选：A.8．C 【思路点拨】构造函数()ln xf x x=，求导得其单调性，即可得到b a <，通过化简，可得2>c ，即可判断大小．【解析】由4ln ln42ln2a a a ==，得ln ln4ln ln2ln162,,4416a b a a b ====. 令()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=，所以当()0,e x ∈时()(),0,x x f f '>单调递增； 当()e,x ∈+∞时()(),0,x x f f '<单调递减. 又()()()()416f a f f b f =<=， 又因为(),0,3a b ∈，所以 2.b a <=又()0.30.30.30.3log 0.06log 0.20.3log 0.21log 0.312c ==⨯=+>+=， 所以.b a c << 故选：C ．【名师指导】本题关键之处在于如何通过化简找到相似结构，从而构造函数，求导即可．9．AC 【思路点拨】对于A ，若方程是双曲线，则()()22220m m-+<；对于B ，化简可知焦点在y 轴上；对于C ，2224m +<，即可得到(]2241,22e m =∈+；对于D ，双曲线的渐近线斜率的平方21k ≥，即可得到渐近线方程．【解析】对于A ，因为方程2222122x y m m +=-+表示的曲线是双曲线，所以()()22220mm -+<，解得<m <A 正确；对于B ，将2222122x y m m +=-+化为2222122y x m m-=+-，得焦点在y 轴上，故选项B 错误；对于C ，因为2224m +<，所以(]2241,22e m =∈+，故选项C 正确；对于D ，因为双曲线的渐近线斜率的平方222212m k m+=-，所以选项D 错误. 故选：AC.【名师指导】本题关键之处在于对双曲线方程的辨析，如何通过双曲线方程求焦点、离心率、渐近线方程等．10．AB 【思路点拨】由圆柱的体积和半径关系求解球半径表达式，通过求导分析单调性求得球表面积最小值为12π，即可判断结果．【解析】设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，球O 的半径为R ，则22224,,4r h h r R ππ⎧=⎪⎨+=⎪⎩所以2244h R h =+，所以()32224822-'=-+=h h R h h ， 所以当()0,2h ∈时，()20'<R ；当()2,2h R ∈时，()20'>R ，所以当2h =时，2R 有最小值此时球O 的表面积有最小值，且最小值为4441224ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭O S ， 即球O 的表面积12.πO S 故选：AB【名师指导】关键点点睛：本题关键在于求出球半径表达式并通过求导来判断最值． 11．ACD 【思路点拨】A ：由条件等式得11a b=+，结合基本不等式即可判断正误；B ：由题设及A 得22121a b b-=+，令2b =有22124a b -=即可判断正误；C ：结合A ，易得212a b b b=++，由基本不等式即可判断正误；D ：通过基本不等式证()22(1)21a b a b ≥-+-，进而可判断D 的正误.【解析】A ：由()11a b -=，又0b >，得11a b =+，所以113a b b b+=++≥，正确；B ：由22111121a a a a b b b b b ⎛⎫⎛⎫-=-+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2b =时有2212a b -=，此时22124a b -=，错误；C ：由2211124a b b b b b ⎛⎫=+=++≥ ⎪⎝⎭，所以222log log 2a b +≥，正确；D ：由()2222(1)2=2112a a b a b a b -+--≥+=+，所以22122a b a a ++>≥，正确.故选：ACD.【名师指导】关键点点睛：由条件等式或将目标式中的代数式作代数式的恒等变形，再结合基本不等式、指对数的运算性质及特殊值判断各项正误. 12．AD 【思路点拨】对于A ：利用偶函数的定义证明； 对于B ：取特殊值()()02f f 、进行否定；对于C ：利用单调性，直接判断出()f x 在区间()1,2存在最大值，不存在最小值，即可判断；对于D ：先判断出()f x 的最小正周期为4及单调性，得到()1f x =在()2,6-内有5个根即各个根的对称特征，从而求出所有根的和为10. 【解析】因为()()sinsin1sincos2222f x x x x x ππππ=+-=-，而()()()()sin cos=sincos=2222f x x x x x f x ππππ-=----，所以()f x 是偶函数，选项A 正确；因为()()()()01,21,02f f f f =-=≠，所以2不是()f x 的最小正周期，选项B 错误；当()1,2x ∈时，,22x πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()sin cos 2224f x x x x ππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为3,2444x ππππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在区间3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，所以()f x 在区间()1,2存在最大值，不存在最小值，选项C 错误；因为()()4f x f x =+，所以()f x 的最小正周期为4，当()2,0x ∈-时，(),02x ππ∈-，所以()sincos2224f x x x x ππππ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭. 因为3,2444x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在()2,0-内先增后减. 同理，可得()f x 在()0,2内也是先增后减.因为()()()01,221f f f =--==，所以()1f x =在()2,6-内有5个根. 又()()()()4sin4cos 4sincos2222f x x x x x f x ππππ-=---=-=所以()f x 的图象关于直线2x =对称，所以方程()1f x =在区间()2,6-内所有根的和为10.故选：AD.【名师指导】三角函数问题通常需要先求出系数A 、ω、φ或把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.13．18-【思路点拨】利用等差数列中，项数相同情况下，若下标和相等，则它们的和也相等，即可求267a a a ++.【解析】等差数列{}n a 中81152a a a =+，结合已知可得：811526a a a -==-， ∴2675318.a a a a ++==- 14．57【思路点拨】先计算从3名女生和4名男生组成的学习小组中选4名的选法，再求符合条件的选法即可．【解析】从3名女生和4名男生组成的学习小组中选4名共有47C 35=（种）选法． 男生A 和女生甲被同时选中有25C 10=（种）选法， 故男生A 和女生甲没有被同时选中的概率1051357P =-=. 15．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭【思路点拨】设切点横坐标为m ，由导数的几何意义及已知条件，a =求参数m ，进而确定切点并写出直线方程，即可确定定点的坐标.【解析】设切点横坐标为m，又y'=，a=，又0a≠，∴14m=，即切点为1,42a⎛⎫⎪⎝⎭，由切点在切线上得4ab=，∴1:44al y ax a x⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，即直线l必过定点1,04⎛⎫-⎪⎝⎭.16．由外接圆面积求半径，应用正弦定理求△OFP中的OFP∠，结合已知有PF OPk k=-，根据中点弦，应用点差法有22PF OPbk ka⋅=-即可求椭圆C的长轴长.【解析】由△OFP外接圆的面积为23π∵△OFP是以OF为底边的等腰三角形，设OFP∠α=，则2OPF∠πα=-，∴sin sin23OPF∠α==，得sin22α=，∴6πα=或3πα=.不妨设点P在x轴下方，由△OFP是以OF为底边的等腰三角形，知：3PF OPk k=-=或又根据点差法可得22PF OPbk ka⋅=-，有2213ba=，而223(ba=此时焦点在y轴上，舍去).∵)F为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点，∴a=C的长轴长为故答案为：【名师指导】关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数a.17．【思路点拨】（1）根据和与通项关系用作差法求得数列通项即可；（2）由于2nn n a b -=和n n a b +=n n a b ⋅，再根据通项结构选用分组求和法求解．【解析】（1）记数列{}n n a b -的前n 项和为n S ，所以122n n S +=-，所以当2n 时，12 2.nn S -=- 两式作差，得当2n 时，2.nn n a b -=因为当1n =时，1112S a b =-=，也符合上式， 所以{}n n a b -的通项公式为2.nn n a b -=（2）由（1）知2nn n a b -=.因为n n a b + 所以()()()2211444n n n n n n n a b a b a b n ⎡⎤⋅=+--=-⎣⎦， 所以数列{}n n a b ⋅的前n 项和()()()121111124444484n n n n T n +=+++-+++=-()()4141411483n nn n -+-=-- 所以数列{}n n a b ⋅的前n 项和()14183n n n n T +-=-. 【名师指导】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18．【思路点拨】（1）在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得2.BD CD ==设.AD x =在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理，列方程22144724x x x x+-+-=-，解得AD ； （2）在ACD △中，由222AD CD AC +=，得到AD CD ⊥，直接利用面积公式求出ABC的面积.【解析】（1）因为在四边形ABCD 中，AB CD ，所以cos cos .CDA DAB ∠∠=- 在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD == 设.AD x =在ABD △和ACD △中，由1,AB AC =22144724x x x x+-+-=-， 所以()()2221447.x x +-=-+-解得x =AD =.（2）在ACD △中，2AD AC CD ==， 得222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，所以12ABCSAB AD =⋅=.所以ABC 【名师指导】（1）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择． （2）平面四边形问题通常转化为解三角形来处理.19．【思路点拨】（1）根据正态分布概率公式求出80分及以上的概率，结合总人数即可求解结果；（2）列出Y 的可能取值，根据独立事件的概率乘法公式求出各情况的概率，然后写出分布列求解数学期望．【解析】（1）因为X 服从正态分布()265,15N ，所以()()10.68278065150.15865.2P X P X -=+≈= 因为20000.15865317⨯≈，所以进入面试环节的人数约为317人；（2）记该应聘者第()1,2i i =题答对为事件i A ，第3题优秀为事件.BY 的可能取值为5,15,25,35.则()()()21212211(5)()113218P Y P A A B P A P A P B ⎛⎫⎛⎫====-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()121212(15)P Y P A A B P A A B P A A B ==++222121211133232⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭518= ()()()121212(25)P Y P A A B P A A B P A A B ==++22122112132332⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭49= ()212212(35)329P Y P A A B ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭所以Y 的分布列为所以Y 的数学期望为()15427051525351818993E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【名师指导】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）20．【思路点拨】（1）在平面PAD 内，过点P 作PH AD ⊥，垂足为H ，连接.BH 由勾股定理可证明.PH BH ⊥结合条件可证明.（2）由（1）知PH ⊥平面,ABCD BH AD ⊥，所以以H 为原点，以HA 所在直线为x 轴，HB 所在直线为y 轴，HP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系,利用向量方法求解二面角. 【解析】（1）证明：如图，在平面PAD 内，过点P 作PH AD ⊥，垂足为H ，连接.BH 因为90PBC ∠=，所以.PB BC ⊥ 因为//AD BC ，所以.PB AD ⊥因为PB PH P ⋂=，所以AD 平面PHB ，所以AD HB ⊥ 因为PA PB AB ==，所以2222.PH PA AH AB AH BH =-=-=又45PAD ∠=，所以22PH BH AH PB ===，得222PB PH BH =+，即.PH BH ⊥ 因为AD BH H ⋂=，所以PH ⊥平面.ABCD 因为PH ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）知PH ⊥平面,ABCD BH AD ⊥，所以以H 为原点，以HA 所在直线为x 轴，HB 所在直线为y 轴，HP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设2PA =1PH AH BH ===，所以()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1H A B P ， 所以()()()1,0,1,0,1,1,1,0,0.AP PB AH =-=-=-设平面PAB 的一个法向量为()111,,n x y z =，则00n AP n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得111100x z y z -+=⎧⎨-=⎩ 令11x =，则111y z ==，所以()1,1,1n =.设平面PBC 的一个法向量为()222,,m x y z =，则0,0,m AH m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得2220,0.x y z -=⎧⎨-=⎩ 令21y =，则221,0z x ==，所以()0,1,1m =.所以6cos ,3||||23m n m n m n ⋅〈〉===⨯. 故平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为6.【名师指导】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案. 21．【思路点拨】（1）利用抛物线的定义即可求解. （2）将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可得()()()()121211220MA MB x x y y ⋅=--+--=，从而可得MAB △为直角三角，设d 为点M 到直线l 的距离，再由MA MB ⋅AB d =⋅642=m 的值即可. 【解析】（1）由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ， 得点M 到点F 的距离与到直线x p =-的距离相等.由抛物线的定义，可知点M 在抛物线C 上，所以44p =，解得1p = 所以抛物线C 的方程为24.y x = （2）存在.由()24,250,y x x m y ⎧=⎪⎨-+-=⎪⎩得248200y my m ---=.因为()2Δ1648200m m =++>恒成立，所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设()()1122,,,A x y B x y ，则()12124,425y y m y y m +==-+.因为()()()()12121122MA MB x x y y ⋅=--+--()()221212112244y y y y ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2221212121212225164y y y y y y y y y y +-=-+-++ ()()22(4)82516(25)42585164m m m m m +++=--+-+0=所以M A M B ⊥，即MAB △为直角三角形. 设d 为点M 到直线l 的距离， 所以MA MB ⋅AB d =⋅41=+161=+=所以42(1)4(1)320m m +++-=， 解得2(1)4m +=或2(1)8(m +=-舍). 所以1m =或 3.m =-所以当实数1m =或3m =-时，MA MB ⋅=【名师指导】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系以及定值问题，解题的关键是MAB △为直角三角形，得出MA MB ⋅AB d =⋅，考查了数学运算能力. 22．【思路点拨】（1）由题设知，0fx 在0,上恒成立，可转化为33x x a -≥在0,上恒成立，设()33g x x x =-，利用导数研究单调性并求出最小值，即可求a 的取值范围； （2）由题设，令12(1)x t t x =>，则左侧不等式可化为()332213312ln x t t t a t t t ⎛⎫-+---- ⎪⎝⎭，令()12ln h t t t t=--应用导数研究单调性可得()0h t >，进而有()33232113312ln (1)32ln x t t t a t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+----≥---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造()31(1)32ln p t t t t t ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭利用导数求证()0p t >恒成立即可.【解析】（1）函数()f x 的定义域为0,，且()231a f x x x'=--. 若函数()f x 在其定义域上为增函数，则0f x 在0,上恒成立，∴2310ax x--≥，得33x x a -≥在0,上恒成立.设()33g x x x =-，则()291g x x ='-. 当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递减；当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递增；故()1239g x g ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭，即有92a ≤-. （2）由（1）得：()231af x x x'=--. 对任意的[)12,1,x x ∈+∞且12x x >， 则()()()()()21121222f x f x x x f x f x ⎡⎤-+'-'+⎣⎦()()3322121121************ln332x x x x x a x x x x a x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-++-+-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦3322121121212212332ln x x x x x x x x x a a x x x ⎛⎫=--+--+ ⎪⎝⎭,令12(1)x t t x =>，上式可化为：()332213312ln .x t t t a t t t ⎛⎫-+---- ⎪⎝⎭令()()12ln ,1,h t t t t t∞=--∈+，则()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，即()h t 在1,上单调递增，∴()()10h t h >=，即12ln 0.t t t-->∵332321,331(1)0,3x t t t t a ≥-+-=->-≥-，∴()33232113312ln (1)32ln .x t t t a t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+----≥---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()31(1)32ln ,1p t t t t t t⎛⎫=----> ⎪⎝⎭，则()222221213(1)313(1)0t p t t t t t t ⎛⎫-⎛⎫=--+-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即()p t 在1,上单调递增，∴()()10.p t p >=综上，当3a ≤时，对任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()2122f x f x -+()()()12120x x f x f x ''⎡⎤-+>⎣⎦恒成立，得证.【名师指导】关键点点睛：（1）根据函数的单调性确定其导数的符号，进而求参数范围.（2）由不等式恒成立，通过等价变形及换元，并构造中间函数，将问题转化为函数在定义域上是否恒正，应用导数研究其单调性，进而得到最值.。

2021届河北省张家口市高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分） 1.定义全集U 的子集P 的特征函数f p (x)={1, x ∈P0, x ∈∁U P ，这里∁U P 表示集合P 在全集U 的补集．已知P ⊆U ，Q ⊆U ，给出下列命题：其中正确的是( ) ①若P ⊆Q ，则对于任意x ∈U ，都有f P (x)≤f Q (x)； ②对于任意x ∈U ，都有fC U p(x)=1−f p (x)； ③对于任意x ∈U ，都有f P∩Q (x)=f p (x)⋅f Q (x)； ④对于任意x ∈U ，都有f P∪Q (x)=f p (x)+f Q (x)．A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④2.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,−1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在复平面上所对应的复数是( )A. 5−iB. 3+2iC. 2−3iD. −2+3i3.甲、乙两名同学都参加了7场篮球比赛，他们的各场比赛得分的情况用如图茎叶图表示，则( )A. 甲得分的均值高于乙得分的均值B. 甲得分的均值低于乙得分的均值C. 甲得分的方差高于乙得分的方差D. 甲得分的方差低于乙得分的方差4.“a >b >0”是“1a <1b ”的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件5.下列函数中，最小正周期为π的是( )A. y =2sinxB. y =cos2xC. y =sin 12xD. y =2cos(x +π2)6.若向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(2,−3)，c⃗ =(4,−5)，则c ⃗ =( ) A. 2a ⃗ −3b ⃗B. 2a ⃗ +3b ⃗C. a ⃗ −2b ⃗D. a ⃗ −3b ⃗7.已知f(x)=|x +2|+|x −4|的最小值是n ，则二项式(x −1x )n 展开式中x 4项的系数为( )A. 15B. −15C. 6D. −68.已知函数且a ≠1)在上单调递减，则a 的取值范围是( )A. [34,1)B. (0,34]C. [13,34]D. (0,13]二、多选题（本大题共4小题，共12.0分） 9.关于双曲线C ：x 24−y 25=1，下列说法正确的是( )A. 该双曲线与双曲线y 25−x 24=1有相同的渐近线B. 过点F(3,0)作直线l 与双曲线C 交于A 、B ，若|AB|=5，则满足条件的直线只有一条C. 若直线l 与双曲线C 的两支各有一个交点，则直线l 的斜率k ∈(−√52,√52)D. 过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C 仅有一个交点10. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A −BD −C ，点P 为线段AD 上的一动点，下列结论正确的是( )A. 异面直线AC 与BD 所成的角为60°B. △ACD 是等边三角形C. △BCP 面积的最小值为2√63D. 四面体ABCD 的外接球的表面积为8π11. 下列说法正确的是( )A. 若x >0，y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1B. 若x <12，则函数y =2x +12x−1的最大值为−1C. 若a ，b ，c 均为正数且a(a +b +c)+bc =4−2√3，则2a +b +c 的最小值为2√3−2D. 不等式e x x 3−alnx ≥x +1对任意x ∈(1,+∞)恒成立，a 的最大值为−312. 下列命题中是真命题的有( )A. ∀x ∈R ，2x−1>0B. ∀x ∈N ∗，(x −1)2>0C. 已知a =414，b =313，c =ln 52，则b >a >cD. 命题p 的否定是“对所有正数x ，√x >x +1”，则命题p 可写为∃x 0∈(0,+∞)，√x 0≤x 0+1三、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.观察下列各式：a1+b1=1，a2+b2=3，a3+b3=5，a4+b4=7，…，则a11+b11=______ ．14.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是______．+x−1上移动，设在点x=1处的切线的倾斜角为α，则α=______ ．15.点P在曲线y=2x16.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意n∈N∗，都有S n+a n=1．(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)记数列{na n}的前n项和T n，证明：T n<2．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．19. 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用ξ表示分数，求ξ的概率分布．20. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1．(1)棱BC上是否存在点P，使A1P⊥PD？说明理由．(2)若棱BC上有且仅有一点P，使A1P⊥PD，试求此时的二面角P−A1D−A的平面角的余弦值．21. 直线l与抛物线y=4x2交于A、B两点，m为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为−1，以线段AB的中点为圆心，√2为半径的圆与直线l交于P、Q两点．(1)求证：直线l过定点；(2)求AB中点的轨迹方程；(3)设M(6,0)，求|MP|2+|MQ|2的最小值．22. 已知函数f(x)=3e x+x2，g(x)=9x−1．(1)比较f(x)与g(x)的大小，并加以证明；(2)当0<x≤a时，xe x+4x+5−f(x)>a，且(m−3)e m−m2+3m+5=0(0<m<2)，证明：0<a<m．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由函数f p (x)={1, x ∈P0, x ∈∁U P ，可知①∵P ⊆Q ，∴若x ∈P ，则x ∈Q ， ∵f Q (x)={1,x ∈Q0,x ∈C U Q ，∴f P (x)≤f Q (x)；∴①正确．②fC U p(x)={1,x ∈C U P0, x ∈P=1−f p (x)，∴②正确．③f P∩Q (x)={1,x ∈P ∩Q 0,x ∈C U (P ∩Q)={1,x ∈P ∩Q 0,x ∈(C U P)∪(C U Q)={1,x ∈P 0,x ∈C U P ⋅{1,x ∈Q0.x ∈C U Q =f p (x)⋅f Q (x)，∴③正确．④f P∪Q (x)={0,x ∈P ∪Q1,x ∈C U (P ∪Q)≠f p (x)+f Q (x)，∴④错误．故正确的是①②③． 故选：A ．根据特征函数的定义分别进行判断即可．本题主要考查与集合运算有关的新定义问题，正确理解题意是解决本题的关键，难度较大，综合性较强．2.答案：D解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,−1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3) 根据向量与复数的对应关系，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在复平面上所对应的复数是−2+3i 故选：D ．要求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数，先利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量与复数的对应关系得结果． 本题考查复数与向量的对应关系，考查向量的坐标运算，是一个基础题．3.答案：C解析：解：(1)甲得分的平均数是x 甲−=17(9+17+23+24+26+30+32)=23， x 乙−=17(18+19+21+25+25+26+27)=23，∴x 甲−=x 乙−甲的方差为：s 甲2=17[(23−9)2+(23−17)2+(23−23)2+(23−24)2+(23−26)2+(23−30)2+(23−32)2]=3727，乙的方差为：s 乙2=17[(23−18)2+(23−19)2+(23−21)2+(23−25)2+(23−25)2+(23−26)2+(23−27)2]=787，s 甲2>s 乙2．故选：C ．利用公式分别求出甲乙两名同学的均值及方差即可得解． 考查茎叶图的应用，考查均值和方差的计算，属于基础题．4.答案：A解析：解：条件：1a <1b ，即为1a −1b <0⇔b−a ab<0若条件：a >b >0成立则条件1a <1b 一定成立； 反之，当条件1a <1b 成立不一定有条件：a >b >0成立 所以a >b >0是1a <1b 成立的充分非必要条件． 故选A ．先通过转化分式不等式1a <1b 化简条件1a <1b ，再判断a >b >0成立是否推出1a <1b 成立；条件1a <1b 成立是否推出a >b >0成立，利用充要条件的定义判断出a >b >0是1a <1b 成立的什么条件． 判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．5.答案：B解析：解：y =2sinx 的最小正周期为2π，不满足题意； y =cos2x 的最小正周期是π，满足题意； y =sin 12x 的最小正周期是2π12=4π，不满足题意；y =2cos(x +π2)的最小正周期是2π不满足题意； 故选：B ．直接求出各个函数的周期，判断满足题意选项即可．本题是基础题，考查三角函数的最小正周期的求法，常考题型．解析：解：设c ⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ ， 得{4=−x +2y −5=2x −3y ， 解得{x =2y =3，∴c ⃗ =2a ⃗ +3b ⃗ ． 故选：B ．首先设未知数列方程，把向量问题转化为解普通方程问题，容易得解． 此题考查了向量之间的关系，属容易题．7.答案：D解析：解：f(x)=|x +2|+|x −4|的最小值是n ，f(x)=|x +2|+|x −4|≥|(x +2)−(x −4)|=6， ∴n =6，二项式(x −1x )n =(x −1x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅x 6−2r ，令6−2r =4，求得r =1，可得二项式(x −1x )n 展开式中x 4项的系数为−6， 故选：D ．由条件利用绝对值三角不等式求得n =6，在二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于4，求得r 的值，即可求得展开式中的x 4项的系数．本题主要考查绝对值三角不等式，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查了分段函数的单调性的运用求解参数问题，属于中档题． 根据分段函数是在上单调递减，可得0<a <1，故而二次函数在(−∞,−4a−32)单调递减，可得−4a−32≥0，且3a ≥1即可得a 的取值范围．解：由题意，分段函数是在上单调递减，可得对数的底数需满足0<a <1，根据二次函数开口向上，在(−∞,−4a−32)单调递减，可得−4a−32≥0，解得：a ≤34．且3a ≥1，解得：a ≥13． ∴a 的取值范围是[13,34]， 故选：C ．解析：解：选项A，双曲线C：x24−y25=1与双曲线y25−x24=1的渐近线均为y=±√52x，即选项A正确；选项B，当直线l与双曲线的右支交于A，B时，通径最短，为2b2a =2×52=5；当直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B时，|AB|的最小值为2a=4，所以若|AB|=5，则满足条件的直线有3条，即选项B错误；选项C，双曲线C的渐近线为y=±√52x，若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈(−√52,√52)，即选项C正确；选项D，过点P(1,2)可作两条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线只有1个交点，故满足条件的直线有4条，即选项D正确．故选：ACD．选项A，两个双曲线的渐近线均为y=±√52x；选项B，分两类讨论：直线l与双曲线的右支交于A，B，求通径长；直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B，有|AB|≥2a，再判断满足条件的直线条数；选项C，结合双曲线C的渐近线进行分析即可；选项D，考虑过点P(1,2)作与渐近线平行的直线和双曲线的切线的条数．本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的交点个数问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.答案：BCD解析：解：对于A，因为BD⊥OA，BD⊥OC，OA∩OC=O，所以BD⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC，异面直线AC与BD所成的角为90°，不是60°，所以A错；对于B，因为OA=OC=12AC=√2，所以AC=√(√2)2+(√2)2=2，同理DC=2，所的△ACD是等边三角形，所以B对；对于C，因为BC=2，所以要求△BCP面积的最小值，只须求BC边上高的最小值，此最小值恰为异面直线AD与BC的距离，设为h，因为AD//BC′，BC′⊂平面BC′C，AD⊄平面BC′C，所以AD//平面BC′C，又因为BC⊂平面BC′C，所以直线AD到平面BC′C距离即为h，即点D到平面BC′C距离为h，因为V D−BCC′=V C−BC′D，所以13⋅12⋅22⋅ sin60°⋅ℎ=13⋅12⋅22⋅√2，解得ℎ=2√63，所以△BCP面积的最小值12⋅ BC⋅ℎ=12⋅2⋅2√63=2√63，所以C对；对于D，四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为R=√2，所以表面积为4πR2=8π，所以D对．故选：BCD．A证明两直线垂直判断；B证明△ACD是等边三角形判断；C求出△BCP面积的最小值判断；D求出外接球的表面积判断．本题以命题真假判断为载体，考查了异面直线间的成角与距离问题，考查了球的表面积计算问题，属于中档题．11.答案：BCD解析：解：对于A：由于x>0，y>0，x+y+xy=3，所以3−xy≥2√xy，令√xy=t，则t2+2t−3≤0，整理得0<t≤1，故xy有最大值为1，当且仅当x=y时，等号成立，故A错误；对于B：若x<12，所以2x−1<0，则函数y=2x+12x−1=−(1−2x+11−2x)+1≤−2+1=−1，故函数的最大值为−1，(当且即当x=14时，等号成立)故B正确；对于C：正数a，b，c满足a(a+b+c)+bc=4−2√3，整理得a(a+b)+ac+bc=(a+c)(a+b)=4−2√3，所以2a+c+b=(a+b)+(a+c)≥2√(a+b)(a+c)=2√4−2√3=2√(√3−1)2=2√3−2，故C正确；对于D：等式e xx3−alnx≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立，只需满足a≤x−3⋅e x−x−1lnx对任意的x∈(1,+∞)上恒成立，设f(x)=x−3⋅e x−x−1lnx，x∈(1,+∞)，则x−3⋅e x−x−1≥x−3lnx+1−x−1=−3lnx，所以f(x)=x−3⋅e x−x−1lnx ≥−3lnxlnx=−3，当且仅当x−3lnx=0时，等号成立，由于x−3lnx=0在(1,+∞)内有解，所以f(x)的最小值为−3．即a的取值范围为(−∞,−3]，故D正确；故选：BCD．对于A：直接利用基本不等式，关系式的恒等变换判断结果；对于B：利用基本不等式，判断B的结论；对于C：利用关系式的变换和基本不等式，判断C的结论；对于D：根据条件可得a≤x−3⋅e x−x−1lnx对任意的x∈(1,+∞)上恒成立，求出a的范围，再判断D的结论．本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的恒等变换，恒成立问题，考查运算能力，属于中档题．12.答案：ACD解析：解：对于A，指数函数y=2t的值域为(0,+∞)，故∀x∈R，2x−1>0为真命题，故选项A正确；对于B，当x=1时，(x−1)2=0，故选项B错误；对于C，由指数函数的性质，可得a>1，b>1，且a12=(414)12=64，b12=(313)12=81，所以b>a>1，又由对数函数的性质可得，c=ln52<lne=1，所以b>a>c，故选项C正确；对于D，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p是“∃x0∈(0,+∞)，√x0≤x0+1”，故选项D正确．故选：ACD．利用指数函数的值域判断选项A，利用特殊值x=1可判断选项B，利用指数函数与对数函数的性质判断选项C，利用全称命题与存在性命题的关系判断选项D．本题考查了命题真假的判断，考查了指数函数与对数函数的性质、全称命题与存在性命题的关系，属于基础题．13.答案：21解析：解：a1+b1=1，a2+b2=3，a3+b3=5，a4+b4=7，…，可知数列是等差数列，首项是1，公差为2，可得a n+b n=(a1+b1)+(n−1)×2=2n−1．a11+b11=21．故答案为：21．判断数列是等差数列，推出通项公式，然后求解即可．本题考查等差数列的性质，通项公式的求法，考查计算能力．14.答案：910解析：用组合的方法求出摸出两个球的基本事件和两球至少有1只黑球的基本事件，由古典概型的概率公式求出概率．本题考查古典概型和组合与组合数公式的应用，属于基础题.求一个事件的概率时，应该先判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．解：从形状大小都相同的5只小球中一次随机摸出2只球，共C52=10种，从形状大小都相同的5只小球中一次随机摸出2只球，则至少有1只黑球共有C31⋅C21+C32=9种，故至少有1只黑球的概率为910．故答案为：910．15.答案：3π4解析：解：由y=2x +x−1，得y′=−2x2+1，∴y′|x=1=−1，则tanα=−1，∵α∈[0,π)，∴α=3π4．故答案为：3π4．求出原函数的导函数，得到x=1的导数值，由倾斜角的正切值等于斜率得答案．本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是中低档题．16.答案：12解析：解：依题意可知b=√3c∴a=√b2+c2=2c∴e =c a =12故答案为：12根据正三角形的性质可知b =√3c ，进而根据a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的关系，则椭圆的离心率可得．本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生对椭圆基础知识的把握和理解．17.答案：解：(I)当n =1时，由条件得S 1+a 1=1，则a 1=12，当n ≥2时，由S n +a n =1得S n−1+a n−1=1，作差可得：a n +a n −a n−1=0，即a n =12a n−1(n ≥2)， 所以{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，可得a n =(12)n ； (II)证明：na n =n ⋅(12)n ，可得T n =1×(12)+2×(12)2+3×(12)3+⋯+n ⋅(12)n ，① 则12T n =1×(12)2+2×(12)3+3×(12)4+⋯+n ⋅(12)n+1.② ①−②得：12T n =12+[(12)2+(12)3+⋯+(12)n ]−n(12)n+1 =1−12n −n 2n+1．所以T n =2−12n−1−n2n ． 因为n ∈N ∗，所以T n <2．解析：(I)运用数列的递推式：当n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；(Ⅱ)求得na n =n ⋅(12)n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得前n 项和T n ，再由不等式的性质即可得证．本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：方法一：(Ⅰ)∵2ccosA +a =2b ，∴2sinCcosA +sinA =2sinB ， ∵A +B +C =π，∴2sinCcosA +sinA =2sin(A +C)，即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=12，又∵C是三角形的内角，∴C=π3.(Ⅱ)由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab，∵a+b=4，故c2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=16−3ab，∴c2=16−3ab≥16−3(a+b2)2=4(当且仅当a=b=2时等号成立)，∴c的最小值为2，故S△ABC=12absinC=√3．方法二：(Ⅰ)∵2ccosA+a=2b，∴2c⋅b2+c2−a22bc+a=2b，∴b2+c2−a2+ab=2b2，即c2=a2+b2−ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =12，又∵C是三角形的内角，∴c=π3.(Ⅱ)由已知，a+b=4，即b=4−a，由余弦定理得，c2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，∴c2=16−3a(4−a)=3(a−2)2+4，∴当a=2时，c的最小值为2，故S△ABC=12absinC=√3.解析：方法一：(Ⅰ)利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；(Ⅱ)利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：(Ⅰ)利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cos C的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；(Ⅱ)利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．19.答案：解：由题意知ξ=0，1，2，3，4，P(ξ=0)=C 42C 92=636=16，P(ξ=1)=C 41C 31C 92=1236=13， P(ξ=2)=C 41C 21+C 32C 92=1136，P(ξ=3)=C 31C 21C 92=636=16， P(ξ=4)=C 22C 92=136，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P1613113616136解析：由题意知ξ=0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．20.答案：解：(1)以D 为原点，DC 、DA 和DD 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CP =x ，则P(1,x ，0)，D(0,0，0)，A 1(0,a ，1)， ∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,x −a,−1)，DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,x ，0)， 若A 1P ⊥PD ，则A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,x −a,−1)⋅(1,x ，0)=1+x(x −a)=0，即x 2−ax +1=0， ∴判别式△=a 2−4≥0，故当a ≥2时，棱BC 上存在一点或两点P ，使得A 1P ⊥PD ； 当0<a <2时，棱BC 上不存在点P ，使得A 1P ⊥PD ．(2)由(1)知，当a =2时，棱BC 上有且仅有一点P ，使A 1P ⊥PD ，此时x =1，则点P(1,1，0)，A 1(0,2，1)，由正方体的性质可知，CD ⊥平面AA 1D ， ∴平面AA 1D 的一个法向量为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)． 设平面A 1PD 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =0−x +y +z =0，令x =1，则y =−1，z =2，∴n⃗ =(1,−1,2)． ∴cos <DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1×√6=√66． 由图可知，二面角P −A 1D −A 的平面角为锐角， 故二面角P −A 1D −A 的平面角的余弦值为√66．解析：(1)以D 为原点，DC 、DA 和DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设CP =x ，写出P 、D 、A 1的坐标，若A 1P ⊥PD ，则A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，再根据该方程根的个数来讨论点P 的存在性即可； (2)由(1)知，a =2，且DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AA 1D 的一个法向量，再根据法向量的性质求出平面A 1PD 的法向量n ⃗ ，由cos <DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |即可得解． 本题考查利用空间向量判断点的存在性与求二面角，熟练掌握空间向量的坐标运算以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)设直线AB 的方程为x =my +t ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y 2=4xx =my +t 得y 2−4my −4t =0， 所以△=(4m)2−4(−4t)=16(t +m 2)>0， 所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4t ，所以x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2t =4m 2+2t,x 1⋅x 2=y 12y 2216=t 2，因为直线OA 、OB 的斜率之积为−1，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以x 1x 2+y 1y 2=t 2−4t =0，所以t =4， 所以直线AB 的方程为x =my +4，过定点(4,0)；(2)x 1+x 2=4m 2+8，直线l 中点为圆心O′(2m 2+4,2m)，设直线l 中点(x,y)， 可得{x =2m 2+4y =2m ，其轨迹方程为x =12y 2+4；(3)由平行四边形的四边平方和等于对角线平方和(用向量法易证)， 得2(|MP|2+|MQ|2)=4|MO′|2+|PQ|2=4|MO′|2+(2√2)2=4[4(m2−1)2+4m2]+8=16(m4−m2+1)+8=16(m2−1)2+20，2)2+10，所以|MP|2+|MQ|2=8(m2−12所以当m=±√2时，|MP|2+|MQ|2的最小值为10．2解析：(1)设直线AB的方程为x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与抛物线方程，利用判别式以及韦达定理，结合向量的数量积求出直线系方程即可得到结果．(2)利用(1)韦达定理，转化求解轨迹方程即可．(3)由平行四边形的四边平方和等于对角线平方和，然后求解|MP|2+|MQ|2的最小值．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查分析问题、解决问题的能力，是难题．22.答案：(1)解：f(x)>g(x)．证明如下：设ℎ(x)=f(x)−g(x)=3e x+x2−9x+1，∵ℎ′(x)=3e x+2x−9为增函数，∴可设ℎ′(x0)=0,ℎ′(0)=−6<0,ℎ′(1)=3e−7>0,x0∈(0,1)．当x>x时，ℎ′(x)>0；当x<x时，ℎ′(x)<0．∴ℎ(x)min=ℎ(x0)=3e x0+x02−9x0+1，又3e x0+2x0−9=0，∴ℎ(x)min=−2x0+9+x02−9x0+1=(x0−1)(x0−10)．∵x0∈(0,1)，∴ℎ(x)min>0，即f(x)>g(x)..(2)证明：设φ(x)=xe x+4x+5−f(x)=(x−3)e x−x2+4x+5,(x>0)，令φ′(x)=(x−2)(e x−2)=0，得x1=ln2,x2=2，，则φ(x)在(0,ln2)上单调递增，在(ln2,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．φ(2)=9−e2<0，∵(m−3)e m−m2+3m+5=0(0<m<2)，∴(m−3)e m−m2+4m+5=m(0<m<2)，即φ(m)=m．当0<a<t时，φ(x)>φ(0)=2>a，则xe x+4x+5−f(x)>a．当t≤a<m时，φ(x)min=φ(a)，∵xe x+4x+5−f(x)>a，∴φ(a)>a，∴t≤a<m．当m<a<2或a≥2时，不合题意．从而0<a<m．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值问题，(1)设ℎ(x)=f(x)−g(x)=3e x+x2−9x+1，求出ℎ′(x)，可求得ℎ(x)min>0，从而得f(x)>g(x)．(2)设φ(x)=xe x+4x+5−f(x)=(x−3)e x−x2+4x+5,(x>0)可求得φ(x)min，从而可证明结论成立．。