高等数学II(电子)12-2 常数项级数的审敛法

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常数项级数审敛法

n 1 n 1
绝对收敛与收敛有以下重要关系 :
n1

定理7 若级数 un 绝对收敛 , 则级数 un 必定收敛.
n 1
证
( 即绝对收敛的级数必定收敛 )
1 vn ( un un ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 v n 0 , 且 v n un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
n 1 n 1 n 1 n 1
(1) 若 vn 收敛, 则 un 收敛. (2) 若 un 发散, 则 vn 发散.

证
(1)
设 v n , 因为 un v n
n 1

且 sn u1 u2 un v1 v2 vn
n
则级数收敛, 且和 s u1 ,其余项rn的绝对值 | rn | un1 . 莱布尼茨 (Leibniz) (德) 1646–1716
注

用莱布尼茨定理判别交错级数
n 1 ( 1 ) un( un 0) 是否收敛时, 要考察un与un+1大小, n 1
比较un与un+1大小的方法有三种:
v
n 1 n 1
n
收敛

u
n 1
n
收敛

(3) 当时，
v
n
发散
u
n 1
n
发散
1 例3. 判别级数 sin 的收敛性 . （P258,例3） n n 1
解:
1 sin n lim
n

1 n
1 比较审敛法的极限形式,
级数发散.
π 判定级数 1 cos 的敛散性 . n n 1 π 1 cos x0 n 2 解 lim 1 x n π 2 1 cos x～ n 2 2 p 2的p 级数 2 1 π 1 2 1 而级数 π 2 收敛 2 n 1 n 2 n 1 n

常数项级数的审敛法112

1
p1

1 4p

( p 0) 的收敛性
]

1 np
而调和级数 n11n 发散
1 xp

dx
其部分和
3
1
p1
]
p11[

(n
[
n
n1

1 1)
1
p1
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高数课件-常数项级数的审敛法

證明 S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存在，记为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。

高数第十二章(2)常数项级数的审敛法

因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
机动目录上页下页返回结束
例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
上页
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
上页下页返回结束
定理2 (比较审敛法) 设
且存在对一切有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
机动
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下页
返回
结束
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
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常数项级数的审敛法 ppt课件

(2) 当l = 0时, 利 u n ( l用 ) v n ( n N ) 由定,理2 知
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn
由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
un,vn
是两个正项级数,
lim
n
un vn
l,
(1) 当0l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un也发散 .
特别取 vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
p1, 0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n
1
un
un
u n 1 ()u n ()2un1
( )nNuN 1
()k收敛 , 由比较审敛法可知 un收敛 .
(2) 当1或时 ,必N 存 Z ,u 在 N 0 ,当nN
时 u n 1 1, 从而
un
un1unun1 uN
因此 n l i m unuN0,所以级数发散.

高数同济12.2常数项级数的审敛法

当p 1时, 收敛 P 级数当p 1时, 发散
例3 判别如下级数的敛散性 : (1)

1 n1
1
n 1
; (2)

1 n ( n 2 1)
,
n 1
(1)
n1
n1

n 2

1 n
P—级数
p 1 2
1,发散
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
n 1
1 1 ; (4) 2 ln n n n1 n 1 (ln n )
n 1
n 1
收敛发散
(3)u n

1 1 1 n 2 , 2 2 n( n 1) ( n 1) n n1
1 1 收敛. 收敛, 2 2 n1 n 2 ( n 1) n 1 n
n 1 n 1 n 1 n 1

例 2 证明级数

n 1

1 是发散的. n( n 1)
证明

1 而级数发散, n 1 n 1 1 发散. 级数 n( n 1) n 1
1 , n( n 1) n1

1
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
一、正项级数及其审敛法比较判别法的极限形式:
un 设 u n 与 v n 都是正项级数 , 如果 lim l, n v n n 1 n1
则 (1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性 (2) 当 l 0 时，若 (3) 当 l 时 ,

n
lim
1 1
1 n 3

12(2)常数数级数的审敛法

又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
u1 数列 s2n是有界的.

lim
n
s2n

s

u1
30
证 lim n
s2n1

s
s2n1 s2n u2n1
(2)
lim
n
un

0
由条件(2):
lim
n
u2n1

10n n!

n1 10
(n )
故级数
n1
n! 10n
发散.
22

(2)
1
n1 (2n 1) 2n
lim un l ,当0 l 时, v n
n
两级数有相同的敛散性
解 lim un1 lim (2n 1) 2n 1
n un n (2n 1) (2n 2)
如

级数
1 发散
级数
n1 n 1
收敛
lim un1 n un

1
n1 n2
4. 比值判别法的优点：不用找参考级数。
21
例判定下列级数的敛散性
n!
(1) n1 10n

(2)
1
n1 (2n 1) 2n
解
(1) un1 un

(
n 1)! 10n1
n1

(2)
若{sn }有上界,
lim
n
sn

s
un必收敛.
n1
2
定理1(基本定理)
正项级数收敛部分和所成的数列 sn有界.

12-2常数项级数的审敛法

1收敛,
m1

uNm uu收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un

0.
发散
返回
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
n1
1 n2
收敛,
故级数

n1
2n

(
1 2n

1)
收敛.
返回
6.根值审敛法 (柯西判别法)：

设
un
是正项级数,如果lim n
n
un

n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.

例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
u1
数列
s2
是有界的
n
,
lim n
s2n

s

u1 .
lim n
u2n1

0,
lim n
s2n1

lim(
n
s2n

u2n1 )

s,
返回
lim n
s2n1

lim(
n
s2n

u2n1 )

s,
级数收敛于和 s, 且s u1. 余项 rn (un1 un2 ),
则P 级数发散.
y
设
p

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(1)
1
nn
n 1
(2) 3 (1)n
n1
2
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛
交错级数
设 un 0 , n 1, 2,, 则各项符号正负相间的级数称为交错级数 .
(2) 当 1或时, 级数发散 .
注
若 lim un1 1 级数可能收敛也可能发散. n un
例5 讨论下列级数的敛散性:
(1)
n!
n1 10n
(2)
1
n1 n!
(3)
1
n1 (2n 1)2n
(4) nxn1 ( x 0)
n 1
(5) xn
n1 n p
(x 0, p 0)
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件（二）比较判别法（三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
若 un 0, 则称 un为正项级数 . n1
定理1
正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件（二）比较判别法（三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
一、正项级数及其审敛法
n
n 10n
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛
定理
对任意项级数
若
定义
对任意项级数
收敛 , 则
若
收敛 , 则称
绝对收敛;
收敛.
若
发散 , 而
收敛则称
条件收敛.
第二讲常数项级数的审敛法
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件（二）比较判别法（三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
注
若
发散 ,
不一定发散.
但若用达朗贝尔判别法或柯西判别法判定
则因 un 0,
必发散.
发散 ,
例7 讨论下列级数的敛散性:
sin n
(1)
n1
n4
(2)
(1)n
n1
n2 en
(3)
n1
(1)n
1 2n
1
1 n
n2
绝对收敛级数的性质
(1) 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛,
且与原级数有相同的和(即绝对收敛级数具有可交换性)
(1)
n2
1 n
1
(2)
1 n(n 1)
比较判别法的极限形式
设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 若 0 < l <∞ , 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 若 l = 0 ，则 vn 收敛 n1
(3) 若 l =∞，则 vn 发散 n 1
收敛发散
例3 讨论下列级数的敛散性:
(1)
n2
1 n
1
(2) 1 n(n 1)
p-判别法
设正项级数 (1) 若 0 < l <∞
满足
lim
n
n pun
l,
则
p>1
收敛
0<p<1
发散
(2) 若 l = 0 p>1
收敛
(3) 若 l =∞ 0<p<1
发散
例4 讨论下列级数的敛散性:
(1)
sin
n1
1 n
(2)
ln1
n1
1 n2
(3) n 1(1 cos )(1) un un1 ( n 1, 2, );
(2)
lim
n
un
0,
那么级数收敛,且其和 s u1 ,其余项 rn的绝对值 rn un1.
例7 讨论下列交错级数的敛散性:
(1) (1)n 1 (2)
n 1
n
(1)n 1
n1
n!
(3)
n1
(1)
（一）收敛的充要条件（二）比较判别法（三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
比较判别法设
是两个正项级数,
且存在则有
(1) 若
对一切
有
收敛 , 则收敛 ;
( k > 0 ),
(2) 若
发散 , 则发散 .
例1 讨论
p
级数 1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
例2讨论下列级数的敛散性:
(2) 设级数
与都绝对收敛, 其和分别为 s 和 ,
则它们的柯西乘积
u1v1 (u1v2 u2v1 ) (u1vn u2vn1 unv1 )
也是绝对收敛的,且其和为s .
柯西(Cauchy)判别法(根植审敛法)
设
为正项级数,
且 lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1时, 级数发散 .
注
若
lim n
n
un
1
级数可能收敛也可能发散.
柯西判别法比达朗贝尔判别法更有效.
达朗贝尔判别法比柯西判别法更实用.
例6 讨论下列级数的敛散性:
n1
n
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件（二）比较判别法（三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件（二）比较判别法（三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
达朗贝尔(d’Alembert)判别法(比值审敛法)
设
为正项级数,
且
lim
n
un1 un
,
则
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;