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人脑神经网络中神经元间连接的统计分析神经元是神经网络的重要组成部分。
在人脑神经网络中，大量神经元之间存在着复杂的联系和连接。
这些联系和连接决定了神经网络的行为和功能。
因此，研究神经元间连接模式对于理解人脑神经网络如何工作具有至关重要的意义。
本文将从连接概率分布、连接长度分布和初级神经元间连接模式三个方面，对人脑神经网络中神经元间连接的统计分析进行深入探讨。
一、连接概率分布神经元之间的连接概率是指在神经元总数固定的情况下，两个神经元之间建立连接的概率。
通过对人脑神经网络中神经元之间的连接概率分布进行统计分析，可以揭示神经元间连接的统计规律和特征。
研究发现，人脑神经网络中连接的概率分布呈现出类似于幂律分布的形态。
这种分布形态表明，人脑神经网络中存在着一些高度连接的神经元，这些神经元可能起到了关键的作用。
同时，这种分布形态也表明，人脑神经网络中的连接是非随机的，存在一定的规律性。
二、连接长度分布神经元之间的连接长度是指两个神经元之间的距离。
通过对人脑神经网络中神经元之间连接长度的统计分析，可以揭示神经元间连接的空间特征。
研究表明，人脑神经网络中的连接长度分布呈现出指数分布的形态。
这种形态表明，神经元之间的连接呈现出短程连接和长程连接两种特征。
短程连接主要存在于同一区域的神经元之间，而长程连接则跨越不同的区域。
这种连接分布模式正好符合了人脑神经网络中信息传输的需求，即在同一区域内实现信息传递，同时也需要跨越不同区域进行信息的整合。
三、初级神经元间连接模式初级神经元是指在神经网络中处于相对低层次的神经元，它们主要负责接受感觉输入和对感觉输入进行初步分析。
对初级神经元间的连接模式进行统计分析，可以揭示人脑神经网络在处理感觉输入时的计算规律和机制。
研究发现，初级神经元之间的连接主要存在于同一侧半球，而跨越半球的连接很少出现。
这种连接模式表明，初级神经元在处理感觉输入时主要进行局部计算，而不是全局计算。
同时，初级神经元的连接模式也证明了感觉输入主要经过脑的同侧半球进行处理，这也是人脑神经网络的一个重要功能。
概率神经网络的分类预测——基于PNN的变压器故障诊断摘要：电力变压器故障诊断对变压器、电力系统的安全运行有着十分重要的意义，本文介绍了基于概率故障神经网络（PNN）在变压器故障诊断中的应用。
针对概率神经网络（PNN）模型强大的非线性分类能力，PNN能够很好地对变压器故障进行分类；文章通过对PNN神经网络的结构和原理的分析，应用PNN概率神经网络方法对变压器故障进行诊断。
关键词：变压器；概率神经网络；故障诊断0 引言变压器是电力系统中的一个重要设备，由于它对电能的经济传输、灵活分配和安全使用具有重要意义，因而它的维护检修就显得极为重要，特别是通过对其进行故障诊断为其正常运行提供可靠的依据。
故障诊断技术是借助于现代测试、监控和计算机分析等手段，研究设备在运行中或相对静止条件下的状态信息，分析设备的技术状态，诊断其故障的性质和起因，并预测故障趋势，进而确定必要对策的一种方法。
从本质上讲，故障诊断就是模式识别问题。
神经网络的出现，为故障诊断问题提供了一种新的解决途径，特别是对于实际中难以解决的数学模型的复杂系统，神经网络更显示出其独特的作用。
目前，在故障诊断方面虽然BP网络应用得最为广泛，但其网络层数及每层神经元的个数不易确定，而且在训练过程中网络容易陷入局部最小点。
本文引入一种新的人工神经网络模型——概率神经网络，使用该网络进行变压器的故障诊断，可以获得令人满意的故障诊断率，并能有效地克服BP神经网络的缺点。
本文采用概率神经网络(probabilistic neural networks)对变压器故障进行诊断。
概率神经网络结构简单、训练简洁，利用概率神经网络模型的强大的非线性分类能力，将故障样本空间映射到故障模式空间中，可形成一个具有较强容错能力和结构自适应能力的诊断网络系统，从而提高故障诊断的准确率。
在实际应用中，尤其是在解决分类问题的应用中，它的优势在于用线性学习算法来完成非线性学习算法所做的工作，同时保持非线性算法的高精度等特性。
径向基概率神经网络的实例（实现预测分类）径向基概率神经网络（Radial Basis Probabilistic Neural Network）是一种基于径向基函数的概率神经网络模型，可以用于预测和分类任务。
它在概率神经网络的基础上引入了径向基函数的概念，并对输出层进行了改进，使得网络具备了更好的非线性表达能力和泛化性能。
下面，我将以一个实例来介绍径向基概率神经网络的应用，包括实现预测和分类任务。
首先，假设我们有一个数据集，包含了一些人的身高和体重信息，以及他们的性别（男或女）。
我们的目标是根据人的身高和体重预测他们的性别，同时进行性别分类。
1.数据集准备：我们需要将数据集分为训练集和测试集。
假设我们有1000个样本，我们可以将800个样本作为训练集，剩下的200个样本作为测试集。
每个样本包含两个输入特征（身高和体重）和一个输出类别（性别）。
2.网络结构搭建：输入层：包含两个神经元，对应身高和体重这两个特征。
隐藏层：包含若干个径向基函数神经元，用于提取特征。
输出层：包含两个神经元，对应男性和女性两个类别。
3.网络训练：首先，我们需要对输入特征进行归一化处理，以提高模型训练的收敛速度和准确性。
然后，使用训练集对网络进行训练。
训练的过程包括以下几个步骤：-使用径向基函数对隐藏层进行初始化，初始化方法可以选用均匀分布或高斯分布。
-使用前向传播计算每个神经元的输出值。
-使用最小化损失函数的方法（如交叉熵损失函数）进行反向传播，更新网络参数。
-重复以上步骤直至达到预定的停止条件（如达到最大迭代次数或误差小于一些阈值）。
4.预测和分类：训练完成后，我们可以使用测试集对网络进行预测和分类。
对于预测任务，给定一个人的身高和体重，我们可以输入这些特征到网络中，通过前向传播计算得到网络的输出，即性别的概率。
我们可以根据输出概率选择概率值较大的性别作为预测结果。
对于分类任务，给定一个人的身高和体重，我们可以输入这些特征到网络中，通过前向传播计算得到网络的输出向量。
概率神经网络（PNN）一、引言概率神经网络它主要用于模式分类，是径向基网络的一个分支，是基于贝叶斯策略前馈神经网络。
它具有如下优点：学习过程简单、训练速度快；分类更准确，容错性好等。
从本质上说，它属于一种有监督的网络分类器，基于贝叶斯最小风险准则。
二、PNN结构该神经网络与GRNN类似由输入层、隐含层和输出层组成。
输入层将变量传递给隐含层，但不进行计算，因此该层只起传输数据的作用。
隐含层中的神经元个数等于训练集样本个数，该层的权值函数为欧式距离函数，用||dist||表示，其作用是计算出网络输入与输入层权重IW1,1之间的距离及阈值，阈值用b1表示。
隐含层传递函数为径向基函数，采用高斯函数作为网络的传递函数。
输出层为竞争输出，各神经元依据Parzen方法来球和估计各类的概率，从而竞争输入模式的响应机会，最后仅有一个神经元竞争获胜，这样获胜的神经元即表示对输入变量的分类。
在数学上，PNN结构的特性，可在高维数据空间中解决在低维空间不易解决的问题。
也因此其隐含神经元较多，但隐含层空间的维数和网络性能有着直接的关系，维数越高，网络的逼近精度越高，但带来的负面后果是网络复杂度也随之提高。
三、算法步骤（1）确定隐含层神经元径向基函数中心设训练集样本输入矩阵P和输出矩阵T111211112121222212221212P=,T=m m m m n n nm k k km p p p t t t p p p t t t p p p t t t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 其中，ij p 表示第j 个训练样本的第i 个输入变量；ij t 表示第j 个训练样本的第i个输出变量；n 为输入变量的维度；k 为输出变量的维度；m 为训练集样本数。
隐含层的每个神经元对应一个训练样本，即m 个隐含神经元对应的径向基函数中心C P '=（2）确定隐含层神经元阈值m 个隐含神经元对应的阈值为：111121[,,,]m b b b b =111210.8326m b b b spread==== spread 为径向基函数的扩展速度。
概率神经网络讲解Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】DonaldProbabilistic Neural NetworksNeural Networks,,,1990概率神经网络摘要：以指数函数替代神经网络中常用的S形激活函数，进而构造出能够计算非线性判别边界的概率神经网络（PNN），该判定边界接近于贝叶斯最佳判定面。
还讨论了拥有类似性质的其他激活函数。
所提出的这种4层神经网络能够把任何输入模式映射到多个类别。
如果能取得新数据的话，可以使用新数据实时地修改判定边界，并可以使用完全并行运行的人工“神经元”付诸实现。
还为估计类别的出现概率和可靠性，以及做判别作好准备。
对于反向传播增加的适应时间占总计算时间的重大部分的问题，这种方法显示出非常快速的优点。
PNN范式比反向传播快200，000倍。
关键词：神经网格，概率密度函数，并行处理机，“神经元”，模式识别，Parzen窗口，贝叶斯策略，相联存储器1. 动机神经网络常用来依据向实例学习进行模式分类。
不同的神经网格范式（paradigm）使用不同的学习规则，但都以某种方式，根据一组训练样本确定模式的统计量，然后根据这些统计量进行新模式分类。
通用方法如反向传播，使用探试法获得基础的类别统计量。
探试法通常包含对系统参数的许多小的改进，逐渐提高系统的性能。
除了训练需要长的计算时间外，还表明，反向传播增加的适应近似法对错误的最小值很敏感。
为了改进这种方法，找到了基于己确立的统计原理的分类方法。
可以表明，尽管最终得到的网络在结构上类似于反向传播,且其主要区别在于以统计方法推导的激活函数替代S形激活函数，但这个网络具有的特点是：在某些易满足的条件下，以PNN实现的判别边界渐进地逼近贝叶斯最佳判定面。
为了了解PNN范式的基础，通常从贝叶斯判定策略以及概率密度函数的非参数估计的讨论开始。
之后可以表明，这种统计方法如何映射到前馈神经网络结构，网络结构是以许多简单处理器（神经元）代表的，所有处理器都是并行运行。
2. 模式分类的贝叶斯判定策略用于模式分类的判定规则或策略的公认标准是：在某种意义上，使“预期风险”最小。
这样的策略称之“贝叶斯策略”，并适用于包含许多类别的问题。
现在考察两类的情况，其中，已知类别状态θ为A θ或B θ。
如果想要根据p 维向量X T=[X 1…X i …X p ]描述的一组测量结果，判定θ=A θ或θ=B θ，贝叶斯判定规则变成：()A d X θ= 如果()()A A A B B B h l f X h l f X >()B d X θ= 如果()()A A A B B B h l f X h l f X <（1）式中，()A f X 和()B f X 分别为类别A 和B 的概率密度函数；A l 为θ=A θ时判定()B d X θ=的损失函数；B l 为θ=B θ时判定()A d X θ=的损失函数（取正确判定的损失等于0）；A h 为模式来自类别A 出现的先验概率；和B h =1－A h 为θ=B θ的先验概率。
于是，贝叶斯判定规则()A d X θ=的区域与贝叶斯判定规则()B d X θ=的区域间的界限可用下式求得()()A B f X Kf X = （2） 式中/B B A A K h l h l = （3）一般地，由式（2）确定的两类判定面可以是任意复杂的, 因为对密度没有约束，只是所有概率密度函数（PDF ）都必须满足的那些条件，即它们处处为非负，是可积的，在全空间的积分等于1。
同样的判定规则可适用于多类问题。
使用式（2）的关键是根据训练模式估计PDF 的能力。
通常，先验概率为己知，或者可以准确地加以估计，损失函数需要主观估计。
然而，如果将要划分类别的模式的概率密度未知，并且给出的是一组训练模式（训练样本），那么，提供未知的基础概率密度的唯一线索是这些样本。
在Parzen （1962）的经典论文中，他指出，只要基础的母体密度是连续的，类别的PDF 估计器可以渐进地逼近基础的母体密度。
3. 密度估计的一致性判别边界的准确度决定于所估计基础PDF 的准确度。
Parzen （1962）论述如何构造()f X 的一族估值，()11n Ain i X X f X n ϖλλ=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ （4）其在连续PDF 的所有点X 上都是一致的。
令X A1，…X Ai ，…X An 为恒等分布的独立随机变量，因为随机变量X 的分布函数()f X =P [x ≤X ] 是绝对连续的。
关于权重函数()y ϖ的Parzen 条件是()sup ||y y ϖ-∞<<+∞<∞ （5）其中，sup 为上确界，()||y dy ϖ+∞-∞<∞⎰ （6）()lim ||0y y y ϖ→∞=（7）和 ()1y dy ϖ+∞-∞=⎰ （8）式（4）中，选择()n λλ=作为n 的函数，且()lim 0n n λ→∞=（9）和 ()lim n n n λ→∞=∞（10）Parzen 证明，在()()2||0n E f X f X -→ 随n →∞ （11）意义上，()f X 估值的均方值一致。
一致性的这一定义，一般认为，当根据较大数据集估计时，预计误差变小，这是特别重要的，因为这意味着，真实分布可以按平滑方式近似。
Murthy （1965,1966）放宽了分布()f X 绝对连续的假定，并指明，类别估计器仍然一致地估计连续分布F （X ）所有点的密度，这里密度()f X 也是连续的。
Cacoullos （1966）还扩展了Parzen 的结果，适用于多变量情况。
Cacoullos （1966）中定理指明如何扩展Parzen 的结果，以在这种特殊情况下估计出多变量核为单变量核之积。
在Gaussian 核的特殊情况下，多变量估计可表达为()()()()/22111exp 22T mAi Ai A p p i X X X X f X m σπσ=⎡⎤--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （12）式中， i = 模式号， m = 训练模式总数，X Ai = 类别A θ的第i 训练模式， σ = “平滑参数”， P = 度量空间的维数。
请注意，()A f X 简单地为中心位于每个训练样本的小的多变量Gaussian 分布之和。
然而， 这个和不限于Gaussian 分布。
实际上，可以近似任意平滑密度函数。
图1表示出独立变量X 为二维情况下，不同的平滑参数σ值对()A f X 的影响。
三种不同的σ值，各种情况使用相同的训练样本，据式（12）绘制出密度。
较小的σ值使得估计的母体密度函数对应于训练样本的位置具有不同的模式。
较大的σ值，如图1（b）所示，在各点间产生较大等级的内插。
这里，靠近训练样本的X值，估计具有大约与给定样本相同的出现概率。
更大的σ值，如图1（c）所示，产生更大等级的内插。
很大的σ值使得估计的密度为Gaussian分布，而与真实基础分布无关。
在“随着σ→0和随着σ→∞极限条件”一节，讨论适当平滑值的选择。
式（12）可以直接与式（1）表述的判定规则一起使用。
为使用这些方程式执行模式识别任务，已编写了计算机程序，并就实际问题取得了良好结果。
然而，为使用式（12）存在2个固有的局限性：（a）检验过程中必须存储和使用整个训练集，和（b）为划分未知点的类别所必需的计算量与训练集的大小成正比。
在这种方法最先提出并应用于模式识别时（Meisel,1972,;Specht,1967a,1967b），这两条因素严重地限制了式（12）直接用于实时的或专门应用。
必须使用近似方法替代之。
后来，计算机存储器变成致密和足够便宜，从而使存储训练集不再成为阻碍，但是，串联计算机的计算时间仍然点是一个制约。
由于具有强大并行计算能力的大型神经网络的出现，限制式（12）直接使用的第二个阻碍即将解除。
4.概率神经网络采用PDF非参数估计进行模式分类的并行模拟网络与用于其他训练算法的前馈神经网络，它们之间有惊人的相似性（Specht,1988）。
图2表示出输入模式X划分成2类的神经网络结构。
图1 不同 值对根据样本估计的PDF的平滑影响图2 模式分类的结构图3 模式单元在图2中，输入单元只是分配单元，把同样的输入值提供给所有模式单元。
每个模式单元（图3作更详细表示）生成输入模式向量X 与权向量W i 的标量积Z i = X ·W i ，然后，在把其激活水平输出到求和单元之前，对Z i 进行非线性运算。
代替反向传播所通用的S 型激活函数，这里采用的非线性运算是()2exp 1/i Z σ⎡⎤-⎣⎦。
假定X 和W 均标准化成单位长度，这相当于使用()()2exp 2T i i W X W X σ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦其形式同于式（12）。
这样，标量积是在相互连接中自然完成的，后面是神经元激活函数（指数）。
求和单元简单地把来自模式单元的输入相累加，该模式单元己对应于所选定训练模式的类别。
输出或判定单元为2个输入神经元，如图4所示。
这两个单产生二进制输出。
它们有单一的变量权值k C ， k k kk k kB B A k A A B h l nC h l n =-⋅（13）式中，kA n = 来自A k 类的训练模式数，k B n = 来自B k 类的训练模式数。
图4 输出单元请注意，k C 为先验概率比除以样本比并乘以损失比。
任何问题，其均可与它的先验概率成比例地从类别A 和B 获得训练样本的数量，其变量权值/kkk B A C l l =-。
不能根据训练样本的统计量、而只能根据判定的显着性来估计最终的比值。
如果没有偏重判定的特殊理由，可简化为－1（变换器）。
训练网络的方法是：指定模式单元之一的权向量i W ，等于训练集内每个X 模式，然后，模式单元的输出连接到适当的求和单元。
每个训练模式需要一个单独的神经元（模式单元）。
正如图2所示，相同的模式单元按不同求和单元聚集，以在输出向量中提供附加的类别对和附加的二进码信息。
5.另外的激活函数尽管至此所有实验工作都使用式（12），但它不是可以应用的准一一致的估计器。
表1列出了Cacoullos （1966）和Parzen （1962）提出的其他估计器，那里()()11nA p pi f X K y n ωλ==∑ （14）y =（15）和p K 为常数，以使()1pK y dy ω=⎰（16）i i Z X W =⋅ 如前。
当X 和i W 都标准化成单位长度时，i Z 范围变化在－1至＋1之间，且激活函数为表1所示形式之一。
请注意，这里，所有估计器都表达成标量积，输入到激活函数，因为都包含 1/y =-非标量积形式。
