关于二项展开式系数最大项的探究

二项式定理中系数最大项的理论
二项式定理是一个非常重要而又常见的数学定理，它经常用来计算排列和组合。

它可以用来求出一个多项式a(x+b)n的某项系数来。

二项式定理告诉我们，当一个多项式中出现n个相同项时，它的系数最大值是n！（阶乘）。

另外，它还告诉我们，当n是偶数时，系数最大值为n!/2。

因此，当系数最大时，多项式的变量coefficient 值会有以下形式：
n!/(b*x^n+a*b^n)
这就是当系数最大时，多项式a(x+b)n的系数取值。

简单来说，当多项式中包含n个相同项时，它的系数最大值是n！。

二项式定理的运用非常广泛，它常用于计算对数函数求值，概率论等领域。

它还可以用于解决组合问题，帮助我们快速计算多项式中某项系数。

总之，二项式定理是一个非常重要而又常见的定理，它通过提供一个快速计算多项式中某项系数的方法，在许多领域都有着广泛的应用。

关于二项式展开式系数最大值的讨论作者：张宾来源：《科教导刊》2011年第09期摘要本文主要讨论如何求得二项式展开式中哪项的系数最大，从而找到一个便捷的方法或公式。

关键词二项式系数最大值中图分类号：O151 文献标识码：ADiscussion of the Maximum Expansions in the Binomial CoefficientZHANG Bin(Preparatory College of Education College, Hubei Institute For Nationalities, Enshi, Hubei 445000)AbstractThis article mainly discuss how to seek which item is the maximum expansions in the binomial coefficient, so as to find a convenient method or formula.Key wordsbinomial; coefficient; maximum二项式(ax + by)n (n∈N+)的展开式有n+1项，相应的有n+1个系数。

下面分两种情况来讨论这n+1个系数的最大值。

1 第一种情形：a＞0且b＞0系数的最大值可能出现在首项，末项，或是中间的某一项。

此时将首项系数，末项系数以及所有中间项系数的最大值逐个进行比较，就可以找出系数的最大值。

①首项T1的系数为an；②末项Tn+1的系数为bn；③找出n-1个中间项T2，T3，……Tn系数的最大值：设第r + 1项的系数最大(r = 1,2,……,n)，则下面的不等式组成立解得：≤r≤而 -= 1，故不等式组的解是一个自然数或者是两个相邻的自然数。

下面接着讨论解的情况：若不是整数，则也不是整数，此时不等式组的解只有一个，记为r0 =[ ]，其中[]表示取整。

浅谈二项展开式中的系数最大项作者：史保军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第04期一、问题的起源二项展开式中系数最大项肯定是存在的.求其系数最大项的问题，在现行的高中数学教材中没有涉及.但是在高中数学辅导书中类似的题目经常出现，每一本参考书给出的解法都是相同的.例求(3x+2x)10展开式中系数最大项.解：设系数最大项为T r+1=C r10(3x)10-r(2x)r=2rC r10x20-5r6.则22C r10≥2r-1C r-1102rC r10≥2r+1C r-110解得193≤r≤223.又r∈N*,∴r=7∴展开式中系数最大项是第8项.T8=27C710x-52.我一直用以上的方法讲述类似的问题，谁也没有提出任何疑问.今年我教的这个班级学生基础较好.在讲类似的题目时，我就让同学们体会一下这个方法.一会儿，同学们就向我发问：1.这个方法一定能求出系数的最大项吗？因为二项展开式中，系数最大项肯定存在.如果系数最大项是第一项或最后一项时，这个方法是不是就失效了呢？2.系数最大项会是第一或最后一项吗？3.这个解法会不会求出不相邻的多个r呢？带着这些问题，我进行了深入的思考.二、思考过程1.从求解方法入手.把求二项展开式系数最大项的方法叫“夹逼法”.这个方法如果正确的话，展开式的系数应该具有单调性，即(ax+by)n(a>0,b>0,a≠b,n∈N+)的展开式系数应该具有单调性.2．类比联想.二项展开式中，二项式系数具有单调性，那么系数具有单调性吗？三、探究过程在(ax+by)n(a>0,b>0,n∈N*,n≥2)的展开式中，各项系数f(r)=C rna n-r b r，r∈{0,1,2…n}．∵f(r)=C rna n-r b r,∴f(r+1)=C r+1na n-r-1b r+1,r∈{0,1,2…n-1}．∴f(r+1)f(r)=C r+1na n-r-1b r+1C rna n-r b r=(n-r)b(r+1)a.令f(r+1)f(r)≥1,即(n-r)b(r+1)a≥1．得r≤nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．同理令f(r+1)f(r)≤1,即(n-r)b(r+1)a≤1．得r≥nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．当nb-aa+b∈Z时，有nb-aa+b∈N.f(r)=C rna n-r b r．在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b,nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有两项的系数最大，即f(r),f(r+1)最大，若r=0,即ab=n时，第一、第二项系数最大，若r=n-1，即ba=n时，最后两项的系数最大.当nb-aa+b∈Z时，nb-aa+b+1∈{0,1,2，…，n-1}.f(r)=C rna n-r b r在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有一项的系数最大，即f(r).若r=0,即n若r=n，即n四、反思1.回答了同学们的提问.因为(ax+by)n(a>0,b>0,a≠,n∈N*,n≥2)展开式中，系数具有单调性，所以“夹逼法”一定能准确地求出系数的最大项.展开式中系数的最大项完全有可能是第一或最后一项.并且最大项要么是相邻的两项，要么是一项.2.通过思考，我有信心上好这节课.更重要的是我充分理解了“夹逼法”求展开式系数最大项的本质.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

二项展开式中系数最大项的问题例5 已知(x ＋12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列． ①求n 的值；②求展开式中系数最大的项．[解析] ①由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)．②设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18.即⎩⎪⎨⎪⎧ 18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r .解得r ＝2或r ＝3.所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 72 .名师点拨 ☞求展开式中系数最大的项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． 〔变式训练4〕已知(x 23 ＋3x 2)n 的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25(x 23 )3·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2·(3x 2)3＝270x 223 .(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．T r ＋1＝C r 5(x 23 )5－r ·(3x 2)r ＝C r 5·3r ·x 10+4r 3 ， 故有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r .15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ， 所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23 ·(3x 2)4＝405x 263 .。

关于二项展开式系数最大项的探究目录摘要 (15)ABSTRACT (16)引言 (17)第一章特殊二项式和两个特殊的方程 (18)1.1二项式简介 (18)1.2求解二项展开式中系数最大项 (18)1.3两个特殊的方程 (21)第二章一般二项式和两个特殊的方程 (22)2.1求解一般二项展开式中系数最大的项 (22)2.2与两个特殊方程对应的二项式命题 (24)第三章规范二项式与标准二项式 (25)3.1求与两个特殊方程对应的二项式命题 (25)3.2和两个特殊方程对应的二项式 (26)3.3规范二项式与标准二项式的区别与联系 (27)结束语 (28)致谢 (29)参考文献 (30)引言二项式知识点本身较为简单，但在数列、排列、组合的研究中有重要作用。

特别是二项式定理，更是二项式的精华，更巧合的是二项展开式的二项式系数竟然与杨辉三角如出一辙，英国科学家牛顿，德国数学家高斯对二项式体系的形成具有重要贡献。

二项式定理的应用较为广泛，求二项展开式中系数最大的项就是其中之一。

本文所研究的内容也源于对二项式的研究，主要研究二项展开式与方程之间的联系。

到目前为止，对二项式的研究已经形成了一个理论体系，特别是在数列，排列组合，分布的研究方面，二项式起到了重要的作用。

而本文的发现（方程的标准二项式，规范二项式）则使得二项式的理论体系更加的完备。

本论文主要采用猜想和理论论证的方法对问题进行研究，预期成果是希望发现的理论为公众所认可，甚至写入教科书。

国内外对二项式的研究主要集中在理论方面的研究，早在13世纪阿拉伯人已经知道两项和的N次方的展开结果，1713年,B ERNOULLI证明了二项式定理,1665年牛顿大胆的猜想：二项式定理对于任意有理指数都是正确的。

但是牛顿未能给出证明。

直到1811年，高斯对此进行了严格的证明。

至此，二项式理论体系已近于完备，后来的理论研究大多都围绕二项式定理，二项分布而展开。

在实际应用方面，有关二项式应用的研究则相对较少，其中二项式期权定价模型就是二项式最重要的应用之一，随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋于正态分布，其优点是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已经成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。

二项式系数最大值二项式系数最大值是组合数学中一个重要的概念，通常用来计算组合的数量。

二项式系数被定义为从n个元素中取出k个元素的不同组合的数量，表示为C(n,k)。

在计算中，很多时候需要寻找二项式系数的最大值，以确定问题的瓶颈。

在寻找二项式系数最大值时，首先需要考虑的是二项式系数的定义。

当k=n/2时，二项式系数C(n,k)取得最大值，这是因为从n个元素中取出n/2个元素与从n个元素中取出n/2+1个元素所组成的组合数量相等，因此它们的和是最大的。

这一结论被称为二项式系数的中心对称性，是寻找二项式系数最大值的基本思路。

接下来考虑一些具体的应用例子。

比如，在计算二项式分布的期望时，需要利用二项式系数。

二项式分布是一个离散的概率分布，表示在n次独立重复试验中，成功的次数恰好为k的概率。

假设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则n次试验中成功次数为k的概率可以表示为C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)。

因此，计算二项式分布的期望时，需要寻找二项式系数的最大值，以确定瓶颈。

除此之外，二项式系数还可以用来计算多项式系数和牛顿级数中的二次项系数。

多项式系数是一个常见的数学概念，表示展开一个多项式后各项的系数。

牛顿级数则是拓展幂级数的一种形式，用于计算一些复杂的函数。

这些应用场景都需要寻找二项式系数的最大值，以确定计算的瓶颈。

在寻找二项式系数最大值时，除了考虑中心对称性外，还可以利用二项式系数的递推式来优化计算过程。

二项式系数的递推式为C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)，即选中k个元素的组合数量等于在n-1个元素中选中k-1个元素的组合数量加上在n-1个元素中选中k个元素的组合数量。

这一递推式可以用来减少计算量，从而提高计算效率。

除此之外，在寻找二项式系数最大值时，还可以考虑在进行计算前将二项式系数进行预处理，用空间换时间的方式来提高计算效率。

比如，在计算C(n,k)时，可以先预处理所有的C(i,j)(0<=i<=n,0<=j<=n)，以便之后直接查表获得递推结果。