高中数学谈如何求二项展开式的系数最大项 专题辅导

二项式定理中系数最大项的理论
二项式定理是一个非常重要而又常见的数学定理，它经常用来计算排列和组合。

它可以用来求出一个多项式a(x+b)n的某项系数来。

二项式定理告诉我们，当一个多项式中出现n个相同项时，它的系数最大值是n！（阶乘）。

另外，它还告诉我们，当n是偶数时，系数最大值为n!/2。

因此，当系数最大时，多项式的变量coefficient 值会有以下形式：
n!/(b*x^n+a*b^n)
这就是当系数最大时，多项式a(x+b)n的系数取值。

简单来说，当多项式中包含n个相同项时，它的系数最大值是n！。

二项式定理的运用非常广泛，它常用于计算对数函数求值，概率论等领域。

它还可以用于解决组合问题，帮助我们快速计算多项式中某项系数。

总之，二项式定理是一个非常重要而又常见的定理，它通过提供一个快速计算多项式中某项系数的方法，在许多领域都有着广泛的应用。

【热点聚焦】二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用．【重点知识回眸】1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，其中的系数rn C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r rn C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r rr n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，nn C . 3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n n C C -=，，m n m n n C C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数rn C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的． 当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值． 当n 是奇数时，中间两项12n nC+ 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012r nn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，（4）常用结论①0n C ＝1；②1nn C =；③m n m n n C C -=；④11m m m n n n C C C -+=+.4.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①()11nx nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++；（5）证明不等式.【典型考题解析】热点一 二项式展开式的通项公式的应用【典例1】（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【典例2】（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【典例3】（2022·山西·高三阶段练习）二项式()4x ay +的展开式中含22x y 项的系数为24，则=a ______．【典例4】（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）． 【总结提升】1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a ＋b )n 的展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r (r ＝0,1,2，…，n )求通项． ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．3.求解形如()()nma b c d ＋＋的展开式问题的思路 (1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222()()()(2)m m a b c d a ab b c d ＋＋＝＋＋＋，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如5752252()()[()()11]()11111()()x x x x x x x ＋－＝＋－－＝－－；(3)分别得到(),()nma b c d ＋＋的通项公式，综合考虑．4.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 热点二 形如()na b c ＋＋的展开式问题【典例5】（2021·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（ ） A ．1-B ．180C ．11520-D ．11520【典例6】（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（ ） A ．120B ．-120C ．60D ．30【典例7（2022·山东济南·模拟预测）()3221x x -+的展开式中，含3x 项的系数为______（用数字作答）. 【规律方法】求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 热点三 二项式系数的和与各项的系数和问题【典例8】（2022·全国·高三专题练习）已知012233C 2C 2C 2C 2C 243n nn n n n n +++++=，则123C C C C nn n n n ++++=（ ）A ．31B ．32C ．15D ．16【典例9】（2023·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（ ） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-【典例10】（2022·北京四中高三开学考试）设多项式51010910910(1)(1)x x a x a x a x a ++-=++++，则9a =___________，0246810a a a a a a +++++=___________. 【规律方法】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． ①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝.②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝.热点四 二项式系数的性质【典例11】（2023·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【典例12】（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（ ）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1 B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240xC ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32【典例13】（2022·浙江·三模）在二项式4(2)+x 的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________． 【规律方法】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．2．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式(1)(1)2f f +-(1)(1)2f f --组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 热点五 二项式定理应用【典例14】（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A ．222234510C C C C 165++++=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【典例15】（2023·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．【典例16】（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.【规律方法】1.二项式定理应用的常见题型及求解策略（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项. 2.特别提醒: （1）分清是第项，而不是第项.（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转rn rr n C ab -1r +r 1r n r r r n T C a b -+=1r T +rn C a b n r a b n r n r化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定； ②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置； ④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ） A ．160 B ．120 C ．90D ．602．（2022·全国·高三专题练习）()()52x y x y +-的展开式中的33x y 项系数为（ ） A ．30B ．10C ．-30D ．-103．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（ ）A ．454B ．458-C ．358D ．74．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（ ） A ．0B ．120-C ．120D ．160-5．（2022·全国·高三专题练习）设()011nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，若1263n a a a ++⋅⋅⋅+=，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．315xB ．320xC ．321xD ．335x6．（2023·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ）n r r n n r 1r n r r r n T C a b -+=rn C a b 1r T +n r 1r T +1r +r a b n a b ()na b -A ．5B ．-5C ．15D ．-15二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）62⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A ．展开式共6项 B ．常数项为160C ．所有项的系数之和为729D ．所有项的二项式系数之和为648．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（ ）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++9．（2022·河北张家口·三模）已知52(1)(0)b ax x b x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数为30，1x 项的系数为M ，则下列结论正确的是（ ） A ．0a > B ．323ab b -=C ．M 有最大值10D ．M 有最小值10-三、填空题10．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．11．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）在3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 ____．12．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()31nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则n =__________.（2）1921C C n nn n --+=__________.13．（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.14．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）二项式3nx x ⎫⎝的展开式中共有11项，则n =___________，常数项的值为___________.15．（2022·全国·高三专题练习）在()413x +的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答） 四、解答题16．（2019·江苏·高考真题）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(13)3n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.。

求展开式中系数最大的项的巧妙推论
展开式中系数最大的项通常是最前面的项或者最末尾的项，可以根据具体的表达式来判断。

下面介绍一个巧妙的方法来判断展开式中系数最大的项：
假设一个多项式P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n ，其中an ≠ 0，n > 0。

将P(x) 按照x 的降幂或者升幂排列，得到：
P(x) = anx^n + a(n-1)x^(n-1) + ... + a2x^2 + a1x + a0
显然，系数最大的项是第一项anx^n 或者最后一项a0。

但是，我们注意到，如果多项式P(x) 的次数n 是奇数，则系数最大的项只可能是第一项anx^n 或者倒数第二项a(n-1)x^(n-1) ；如果多项式P(x) 的次数n 是偶数，则系数最大的项只可能是第一项anx^n 或者最后一项a0。

因此，我们只需要判断多项式P(x) 的次数n 是奇数还是偶数，就可以确定系数最大的项是第一项还是最后一项。

这个方法比较简单，不需要计算每一项的系数，只需要注意多项式次数的奇偶性即可。

二项展开式系数最大（小）项的求法
余传洲
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2002(000)006
【摘要】一、(x+y)n型展开式中系数最大项的求法在(x+n)n的展开式中，二项式系数就是项的系数，展开式的中间项就是系数最大项．当n为偶数时，中间项是第(n/2+1)项；当n为奇数时，中间两项是第(n+1/2)项和第((n+1/2)+1)项(注意：此两项虽然系数相同，但字母的次数并不相同)．
【总页数】1页(P19)
【作者】余传洲
【作者单位】广西浦北县教研室，535300
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.例谈二项展开式指定项系数的求法 [J], 杜国龙;刘修龙
2.二项展开式中指定项系数求法“全扫描” [J], 蒋敏;
3.浅谈二项展开式系数的求法 [J], 邵志强
4.二项展开式系数最大项的求法 [J], 薛党鹏
5.二项展开式中绝对值最大项的公式求法 [J], 马吉超
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浅谈二项展开式中的系数最大项作者：史保军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第04期一、问题的起源二项展开式中系数最大项肯定是存在的.求其系数最大项的问题，在现行的高中数学教材中没有涉及.但是在高中数学辅导书中类似的题目经常出现，每一本参考书给出的解法都是相同的.例求(3x+2x)10展开式中系数最大项.解：设系数最大项为T r+1=C r10(3x)10-r(2x)r=2rC r10x20-5r6.则22C r10≥2r-1C r-1102rC r10≥2r+1C r-110解得193≤r≤223.又r∈N*,∴r=7∴展开式中系数最大项是第8项.T8=27C710x-52.我一直用以上的方法讲述类似的问题，谁也没有提出任何疑问.今年我教的这个班级学生基础较好.在讲类似的题目时，我就让同学们体会一下这个方法.一会儿，同学们就向我发问：1.这个方法一定能求出系数的最大项吗？因为二项展开式中，系数最大项肯定存在.如果系数最大项是第一项或最后一项时，这个方法是不是就失效了呢？2.系数最大项会是第一或最后一项吗？3.这个解法会不会求出不相邻的多个r呢？带着这些问题，我进行了深入的思考.二、思考过程1.从求解方法入手.把求二项展开式系数最大项的方法叫“夹逼法”.这个方法如果正确的话，展开式的系数应该具有单调性，即(ax+by)n(a>0,b>0,a≠b,n∈N+)的展开式系数应该具有单调性.2．类比联想.二项展开式中，二项式系数具有单调性，那么系数具有单调性吗？三、探究过程在(ax+by)n(a>0,b>0,n∈N*,n≥2)的展开式中，各项系数f(r)=C rna n-r b r，r∈{0,1,2…n}．∵f(r)=C rna n-r b r,∴f(r+1)=C r+1na n-r-1b r+1,r∈{0,1,2…n-1}．∴f(r+1)f(r)=C r+1na n-r-1b r+1C rna n-r b r=(n-r)b(r+1)a.令f(r+1)f(r)≥1,即(n-r)b(r+1)a≥1．得r≤nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．同理令f(r+1)f(r)≤1,即(n-r)b(r+1)a≤1．得r≥nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．当nb-aa+b∈Z时，有nb-aa+b∈N.f(r)=C rna n-r b r．在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b,nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有两项的系数最大，即f(r),f(r+1)最大，若r=0,即ab=n时，第一、第二项系数最大，若r=n-1，即ba=n时，最后两项的系数最大.当nb-aa+b∈Z时，nb-aa+b+1∈{0,1,2，…，n-1}.f(r)=C rna n-r b r在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在nb-aa+b+1,…,n上递减.此时有一项的系数最大，即f(r).若r=0,即n若r=n，即n四、反思1.回答了同学们的提问.因为(ax+by)n(a>0,b>0,a≠,n∈N*,n≥2)展开式中，系数具有单调性，所以“夹逼法”一定能准确地求出系数的最大项.展开式中系数的最大项完全有可能是第一或最后一项.并且最大项要么是相邻的两项，要么是一项.2.通过思考，我有信心上好这节课.更重要的是我充分理解了“夹逼法”求展开式系数最大项的本质.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

二项展开式中系数最大项的问题例5 已知(x ＋12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列． ①求n 的值；②求展开式中系数最大的项．[解析] ①由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)．②设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18.即⎩⎪⎨⎪⎧ 18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r .解得r ＝2或r ＝3.所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 72 .名师点拨 ☞求展开式中系数最大的项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． 〔变式训练4〕已知(x 23 ＋3x 2)n 的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25(x 23 )3·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2·(3x 2)3＝270x 223 .(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．T r ＋1＝C r 5(x 23 )5－r ·(3x 2)r ＝C r 5·3r ·x 10+4r 3 ， 故有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r .15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ， 所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23 ·(3x 2)4＝405x 263 .。

关于二项展开式系数最大项的探究目录摘要 (15)ABSTRACT (16)引言 (17)第一章特殊二项式和两个特殊的方程 (18)1.1二项式简介 (18)1.2求解二项展开式中系数最大项 (18)1.3两个特殊的方程 (21)第二章一般二项式和两个特殊的方程 (22)2.1求解一般二项展开式中系数最大的项 (22)2.2与两个特殊方程对应的二项式命题 (24)第三章规范二项式与标准二项式 (25)3.1求与两个特殊方程对应的二项式命题 (25)3.2和两个特殊方程对应的二项式 (26)3.3规范二项式与标准二项式的区别与联系 (27)结束语 (28)致谢 (29)参考文献 (30)引言二项式知识点本身较为简单，但在数列、排列、组合的研究中有重要作用。

特别是二项式定理，更是二项式的精华，更巧合的是二项展开式的二项式系数竟然与杨辉三角如出一辙，英国科学家牛顿，德国数学家高斯对二项式体系的形成具有重要贡献。

二项式定理的应用较为广泛，求二项展开式中系数最大的项就是其中之一。

本文所研究的内容也源于对二项式的研究，主要研究二项展开式与方程之间的联系。

到目前为止，对二项式的研究已经形成了一个理论体系，特别是在数列，排列组合，分布的研究方面，二项式起到了重要的作用。

而本文的发现（方程的标准二项式，规范二项式）则使得二项式的理论体系更加的完备。

本论文主要采用猜想和理论论证的方法对问题进行研究，预期成果是希望发现的理论为公众所认可，甚至写入教科书。

国内外对二项式的研究主要集中在理论方面的研究，早在13世纪阿拉伯人已经知道两项和的N次方的展开结果，1713年,B ERNOULLI证明了二项式定理,1665年牛顿大胆的猜想：二项式定理对于任意有理指数都是正确的。

但是牛顿未能给出证明。

直到1811年，高斯对此进行了严格的证明。

至此，二项式理论体系已近于完备，后来的理论研究大多都围绕二项式定理，二项分布而展开。

在实际应用方面，有关二项式应用的研究则相对较少，其中二项式期权定价模型就是二项式最重要的应用之一，随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋于正态分布，其优点是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已经成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。