角函数化简技巧

三角函数的化简教学方法总结三角函数在高中数学中是一个重要的概念，它们在数理化以及工程学等领域有着广泛的应用。

化简三角函数是解决三角方程、三角恒等式和证明等问题的基础技巧。

本文将总结几种常见的三角函数化简教学方法，帮助学生更好地理解和运用三角函数。

一、借助特殊角的性质1. 利用正弦和余弦的周期性质：正弦函数和余弦函数的周期都是2π。

当我们需要化简一个三角函数时，可以将大角度化为小角度来简化计算。

2. 利用正弦和余弦的对称性质：正弦函数和余弦函数都具有关于y轴对称和关于原点对称的特点。

在化简时，可以利用这些性质来得到简化后的表达式。

3. 利用正弦和余弦的同一性质：正弦函数和余弦函数具有正负号的变化规律。

通过改变角度的正负号，可以得到等价的三角函数表达式。

二、利用三角函数的基本关系1. 正弦函数与余弦函数的关系：利用三角函数的基本定义，我们可以得到sin^2θ + cos^2θ = 1的恒等式。

在化简三角函数表达式时，可以利用这个关系来消去一个三角函数，从而简化计算。

2. 正切函数与余切函数的关系：通过定义和基本关系，可以得到tanθ = sinθ / cosθ和cotθ = cosθ / sinθ的恒等式。

在化简时，我们可以将正切和余切转化为正弦和余弦的形式。

三、使用三角函数的和差化积公式1. 正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB。

当需要化简含有正弦函数的表达式时，可以利用这个公式将和差形式转化为积的形式。

2. 余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB。

同样地，当需要简化一个含有余弦函数的表达式时，可以利用这个公式将和差形式转化为积的形式。

四、将三角函数化简为指数函数1. 欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx。

利用欧拉公式，可以将三角函数表示为指数函数，从而简化计算。

第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。

练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。

2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。

练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。

这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。

“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。

这往往用到倍、半角公式。

数学部分•知识结构与拓展高一使用2021年6月解：原式=化简三甬函懿述的\f3sin12°—3cos12°2sin12°cos12°(2cos212°—1)2^3sin(12°—60°)4V3o當用冇法■廖庆伟三角函数式的化简的常用方法有：直用公式，变用公式，化切为弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次等。

下面举例分析，供大家学习与参考。

一、直用公式例1设函数/(rc)=sin 兀7C—sin48°评注：先化切为弦，再利用倍角公式进行转化，最后逆用两角差的正弦公式即可求值。

四、异名化同名例4已知tan0=2,则sin20+sin Ceos0—2cos2^._h亠sin20+sin^cos0一2cos'。

解：原式sin2+cos2tan20+tan Q—2_4+2—2_4tar?e十1=4+1=T°评注：先把分母用sir?。

+cos2。

代换，再把分子、分母同除以cos20即得结果。

五、异角化同角例5函数(乞)=cos(2z+詈)+sin2gTT2cos2—+1,则/X h)的最小正周期为的最大值为解：因为函数/(rc)=sin于工一解：因为jf(；r)=cos2^ccos——sin2h•-|-cos晋:r=sin7T7T，故函数/(工)sin令+—c；s2j*_欝鈕，所以函数的最小正周期为丁=弐=8。

T评注：直接利用差角公式、二倍角的余弦公式即可得到结果。

二、变用公式例2当函数夕=sin工—</3"cos h(0W 鼻V2tc)取得最大值时,jc____o解：由》=sin jc一43cos h2(cos守sin工一sin专cos町—2sin h—訂，可知当'7Tsin=1时，此函数取得最大值。

又0W h V2jt,所以rr=警o评注：三角函数公式既可正用，也可变用，变用公式是三角恒等变换的难点。

浅谈三角函数式化简的一般方法长期以来，三角函数式化简一直是学习数学的重要内容之一。

为了理解三角函数的一些基本原理，人们需要学习如何化简三角函数表达式。

此外，在解决数学问题时，准确、快速地运用式化简技术也是有效提高解题效率的重要因素。

一、三角函数式化简的基本原理1.轭因子原理：共轭因子是一种常用的化简三角函数表达式的技巧，它可以将复杂的表达式分解成多个简单的表达式，便于求解。

例如：sin3x+cos3x=2sin2xcosx由共轭因子原理可分解为：sin3x=2sin2xcosx-cos3x2.数求幂原理：指数求幂原理是利用指数将一个函数幂式化简成数乘积的基本原理。

可以利用指数求幂将某些正弦函数和余弦函数表达式进行化简。

例如：sin5x=sinx(sin2x+2cos2x)由指数求幂原理可求出：sin5x=sinx(sin2x+2cos2x)=sin(x)(sin2x+2×2^2cos2x)=sin(x)(sin2x+4cos2x)3. 二次定理：二次定理是一种将三角函数表达式式化简的方法，它可以将某些正弦函数和余弦函数式子进行化简。

例如：sin3x=sin2xcosx+cos2xsinx由二次定理可求出：sin3x=sin2xcosx+cos2xsinx=sin(2x+x)cosx+cos(2x+x)sinx=2sinxcos^2x-2cosxsin^2x二、三角函数式化简的应用三角函数式化简所掌握的各种技术可以应用于数学问题的解决中，其中包括：1.三角形：可以利用三角函数式化简技术求解出三角形的角度、边长等量。

2.椭圆方程：可以利用三角函数式化简技术计算出椭圆方程的解析解。

3.函数图形：利用三角函数式化简技术可以绘制出函数的图形，从而深入了解函数的特性。

4.微积分：可以利用三角函数式化简技术计算出导数和积分等。

三、总结从上文可以看出，三角函数式化简技术是数学学习中不可缺少的重要内容，有助于提高解决数学问题的正确性和效率。

三角函数化简技巧将一个三角函数式化简，最终结果一般都是出现两种形式：1、一元一次（即类似B x A y ++=)sin(ϕω）的标准形式；2、一元二次（即类似y=A(cosx+B)2+C ）的标准形式。

二、三角化简的通性通法：1、切割化弦；2、降幂公式；3、用三角公式转化出现特殊角；4、 异角化同角；5、异名化同名；6、高次化低次；7、辅助角公式；8、分解因式。

三、例题讲解： （例1）f(x)=2cosxsin(x+3π)－3sin 2x+sinxcosx 解：f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x −−−−−→用三角公式展开2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x −−−−→降幂公式sin2x +3cos2x −−−−→辅助角公式2sin(2x +3π).（例2）y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1) 解：y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1) −−−→配方2(cos x －2a )2－2242+-a a . （例3）若tan x =2，则xx x x cos sin 1sin 2cos 22+--=_______.（例4）sin 4α+cos 4α=_______.解：sin 4α+cos 4α−−→（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α−−→1－21sin 22α−−→1－11-cos222α⋅ =13cos 244α+. （例5）函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______.（例6）函数y =sin （3π－2x ）+sin2x 的最小正周期是（例7）f （x ）=2cos 2x +3sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，2π］上的最小值为－4，那么a 的值等于 A.4 B.－6 C.－4D.－3（例8）求函数f （x ）=xx x x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期、最大值和最小值.（例9）f （x ）=－sin 2x +sin x +a（例10）函数y =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为( ) A.4π B.2π C.π D.2π y =sin 4x +cos 2x −−−−−−−−−−→异角化同角+高次化低次+异角化同角（22cos 1x -）2+22cos 1x +−−→432cos 2+x −−−−→高次化低次424cos 1x++43=81cos4x +87（例11）2、函数22y sin x x =-的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π（例12）化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+（例13）设3177cos(),45124x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。

三角函数的化简1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

一、化简 【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。

【例2】（三兄弟）已知23523sin cos παπαα<<=-，且，求αααtan 1sin 22sin 2-+的值【变式】（05天津）已知727sin(),cos 241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。

三角函数式的化简三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将 较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：（1）能求出 数值的要求出数值；（2）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；（3）分式中的分母尽量 不含根式等.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成 同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降 低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中 的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.(一) 知识点 1、辅助角公式tzsin a+bcos a =yja + /72sin(«+cp),"cos (p= _______________ ,其中v si“0= ------------------------ ，btan 一， V Y a2、降幕公式：・2sins= _________________, cos a= _________________ （二）例题讲解⑴求./（X ）的最小正周期；（2）当«e[0,兀]时，若./（«） = 1,求a 的值.审题视角（1）在/（X ）的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、 降幕等转化方法.（2）当/（x ）=dsinx+方cosx 的形式时，可考虑辅助角公式.=-\/3cos 2r+sin xcos x —萌 siiFx+sin xcos 兀所以最小正周期T=n.(2)由 /((X )— 1,得 2sin (2a+守=1,厂 *7又 aW[0,兀],所以 2c (+je 专，-y 所以2a+|=y 或2°+申=晋,角卩称为辅助角.sin a cos a - ___________xcos x.[2分][6分][8分]例1、（12分）已知函数y （x ）=2cosin 2x+sin ⑴因为X%)=2cossin 2x+sin xcosx1 • (2010-福建)计算 sin 43°cos 13°B 誓—cos 43°sin 13。

三角函数的化简与展开公式的推导三角函数是高中数学中的重要内容之一，它们在各个数学分支中都有广泛应用。

而化简与展开公式的推导对于解题和简化计算过程有着重要的作用。

本文将介绍三角函数的化简与展开公式的推导，并讨论其应用。

一、正弦函数的化简与展开公式推导1. 两倍角公式：正弦函数的化简与展开公式之一是两倍角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，sin2θ = sin(θ+θ) = sinθcosθ + cosθsinθ化简得到：sin2θ = 2sinθcosθ2. 半角公式：正弦函数的化简与展开公式之二是半角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，sin^2(θ/2) + cos^2(θ/2) = 1利用三角函数的化简公式sin2θ = 2sinθcosθ，有：sin^2(θ/2) = (1 - cosθ)/2cos^2(θ/2) = (1 + cosθ)/23. 和差化积公式：正弦函数的化简与展开公式之三是和差化积公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ化简得到：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ二、余弦函数的化简与展开公式推导1. 两倍角公式：余弦函数的化简与展开公式之一是两倍角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，cos2θ = cos^2θ - sin^2θ化简得到：cos2θ = 1 - 2sin^2θ2. 半角公式：余弦函数的化简与展开公式之二是半角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，sin^2(θ/2) + cos^2(θ/2) = 1利用三角函数的化简公式cos2θ = 1 - 2sin^2θ，有：cos^2(θ/2) = (1 + cosθ)/2sin^2(θ/2) = (1 - cosθ)/23. 和差化积公式：余弦函数的化简与展开公式之三是和差化积公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，cos(α±β) = cosαcosβ - sinαsinβ化简得到：cos(α±β) = cosαcosβ - sinαsinβ三、正切函数的化简与展开公式推导1. 两倍角公式：正切函数的化简与展开公式之一是两倍角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)化简得到：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)2. 半角公式：正切函数的化简与展开公式之二是半角公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/(1 + cosθ))利用三角函数的化简公式sin^2(θ/2) = (1 - cosθ)/2和cos^2(θ/2) = (1 + cosθ)/2，有：tan(θ/2) = sin(θ/2)/cos(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/(1 + cosθ))3. 和差化积公式：正切函数的化简与展开公式之三是和差化积公式，其推导如下：根据三角函数的定义可知，tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)化简得到：tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)通过以上推导和化简公式，我们可以在解题和计算过程中更加方便地使用三角函数。

A B C B【例4] 在中，若sin2_2 +sin2y +sin2y =cos2_2 ,tan—• tan —=-.2 2 3B 满足关系式：V3 (tan a • t^n B +a) +tan a =0,则tan B 二c- f(1+a)D- T(1~a) A. V3 (1+a) B. V3 (1 —爲)三角函数的化简1、三角函数式的化简：(1)常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。

(2)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如& =(© + "丿—0,2Q =(Q +"丿+ (©-0丿等，把所求角用含己知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察, 发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

一、化简［例求值.2sin2(P + cosl0o + tan20。

sin 10°esc 40° + cot 80°2 cos 40° + cosl 0°(1 + tan60°tanl 0°) Jl + cosl0°【例2】（三兄弟）已知s 阮普，"罟,求畔翥卫的值【变式】（05天津）已知sin （&） =晋,COS 2*£,【例3］（最值辅助角）已知函数A^）=2asin 2T —273 asinxcosA+a+b —1,（弘b 为常数，a<0）,它的定 义域为［0,兰］,值域为［ — 3,1］,试求禺b 的值。