(完整版)三角函数化简求值专题复习

三角函数的化简求值一、单选题(共10道，每道10分)1.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简2.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简3.下列选项中，不是化简的结果的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简4.化简的结果的是( )A.，其中B.，其中C.，其中D.，其中答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简5.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简6.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简7.已知函数，若为偶函数，则的一个值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简8.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简9.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简10.函数（）的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。

第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。

练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。

2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。

练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。

这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。

“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。

这往往用到倍、半角公式。

高中数学三角函数专题：三角函数化简第一部分：三角函数化简基本原理知识点一：三角函数两角和差公式。

余弦的两角和差公式。

关系式一：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+。

关系式二：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。

正弦的两角和差公式。

关系式一：αββαβαcos sin cos sin )sin(+=+。

关系式二：αββαβαcos sin cos sin )sin(-=-。

正切的两角和差公式。

关系式一关系式二知识点二：三角函数二倍角公式。

正弦二倍角公式。

关系式：αααcos sin 22sin =。

余弦二倍角公式。

关系式：ααα22sin cos 2cos -=；1cos 22cos 2-=αα；αα2sin 212cos -=。

正切二倍角公式。

关系式知识点三：三角函数半角公式。

知识点四：三角函数同角之间的基本关系。

1cos sin 22=+αα。

第二部分：三角函数化简题型题型一：正余弦变正切。

模型一：化简xd x c xb x a cos sin cos sin ++（结果中只包含x tan ）。

解法设计：dx c b x a xx d x x c x xb x x a x x d xc x x b x a xd x c x b x a ++=++=++=++tan tan cos cos cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin 。

例题：计算下列题目。

（Ⅰ）已知：1tan =x 。

计算：xx xx sin 2cos 3cos sin 2+-的值。

（Ⅱ）已知：2cos sin sin 2cos =+-xx xx 。

计算：x tan 的值。

本题解析：（Ⅰ）51123112tan 231tan 2cos sin 2cos cos 3cos cos cos sin 2cos sin 2cos 3cos cos sin 2sin 2cos 3cos sin 2=⨯+-⨯=+-=+-=+-=+-x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x 。

三角函数的化简与求值二、三角函数在各象限的符号. 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 三、诱导公式 诱导公式一：sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z ； 诱导公式二： sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________； 诱导公式三：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________； 诱导公式四： sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，诱导公式五：sin ＝________，cos ＝________；诱导公式七：sin ＝__________； cos ＝________. 以上公式可概括为十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”． 四、.同角三角函数的基本关系式1．平方关系：_______________________.2．商数关系：________________________.五、 两角和与差的正弦、余弦和正________切公式 sin(α±β)＝________________________ cos(α±β)＝________________________ tan(α±β)＝________________________ 六、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin 2α＝________________cos 2α＝________________＝________________＝________________ tan 2α＝________________七、二倍角余弦公式的变式八、辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝ sin(其中 角所在的象限由a, b 的符号确定， 角的值由tan ＝ 确定)．1． sin 330°等于( )2．求值sin 210°＝( )3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 4．使得函数y ＝lg(tan θcos θ)有意义的角在( ) A ．第一，四象限 B ．第一，三象限 C ．第一、二象限 D ．第二、四象限5．若 － <α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．若z ＝sin θ－ ＋i 是纯虚数，则tan θ的值为( )7.sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° 等于( )8.下列各式中，值为 的是( )A ．2sin 15°cos 15°B ．︒︒-15sin 15cos 22 C ．115sin 22-︒D ．︒︒+15cos 15sin 229.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )π21．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. a 2＋b 2 ()x ＋φ b a35 ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45 A.34 B.43 C ．－34 D ．－43A.1－k 2k B ．－1－k 2kC.k 1－k 2 D ．－k 1－k2 A ．－32 B ．－12 C.12 D.32A.32 B ．－32 C.12 D ．－12A ．0 B.12C.32D ．1 3210．已知：tan(π＋α)＝－ ，则sin(α－7π)cos(α＋5π)的值是________． 11, =13.已知α为第二象限的角，sin α＝ ，则tan 2α＝ ______________.14.cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________．15.已知 则f 的值为_____17.化简：(4) sin x ＋cos x; (5) x 2sin 21-＋2sin x cos x (6)x2sin＋2sin x cos x ＋3x 2cos ; (7)16．化简： (1)－sin (180°＋α)＋sin (－α)－tan (360°＋α)tan (α＋180°)＋cos (－α)＋cos (180°－α)；⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 12计算：sin π4cos π3sin π2－cos πcos 3π2＋tan 2π6.cos π6tan π4sin 23π2－tan πcos 0＝________.f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)(2)1－2sin 40°cos 40°.sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x (1)1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8； (2)2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ；(3)cos 4x －4cos 2x ＋3.35()︒-440sin 13218.已知tan α＝2，求下列各式的值：20.已知sin α＝ ，α∈ ，tan β＝ . (1)求tan α的值； (2)求tan(α＋2β)的值．21.已知函数f (x )＝cos2x ＋sin x cos x (x ∈R )．(1)求f 的值；(2)求f (x )的单调递增区间．(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (3)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.tan θ＝2，求(1)cos θ＋sin θcos θ－sin θ；(2)1－sin θcos θ＋cos 2θ的值．55 ⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 13⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

综合复习专题十一三角函数式的化简与求值知识网络一、高考考点1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。

2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。

3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。

二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系：.②商数关系：.③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角①k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。

①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。

（2）诱导公式的引申；；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数两角差的三角函数令＝2、倍角公式；＝＝；3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）：；；.推论2（万能公式）：；.推论3（半角公式）：；；.其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题例1、填空：（1）已知的取值范围为（2）已知的取值范围为分析：（1）从已知条件分析与转化入手①又②∴由①、②得（2）首先致力于左右两边的靠拢：左边＝①右边＝②∴由左边＝右边得，点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：（1）（2）分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。

专 题 训 练三角函数的化简与求值知能目标1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.综合脉络三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下:1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下:)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地,α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos si n 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的 方法. 常用降幂公式有: 1cossi n,22cos 1cos,22cos 1si n2222=α+αα+=αα-=α 等,三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )t a n t a n 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等.(一) 典型例题讲解: 例1. (1)当2x 0π<<时，函数x2sin xsin8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( )A. 2B. 32C. 4D. 34(2) 已知=α=αcos ,32tan 则 .例2. 已知22tan=α, 求: (1) )4tan(π+α的值; (2)α-αα+αcos 2sin 3cos sin 6的值.例3. 已知A 、B 、C 的坐标分别为A )0,3( , B )3,0( , C )sin ,(cos αα , )23,2(ππ∈α.(1) 若|AC ||BC | =, 求角α的值; (2) 若1C B AC -=⋅, 求α+α+αtan 12sin sin22的值.例4. 已知,0x 2<<π-51x cos x sin =+. (1) 求x cos x sin -的值;(2) 求xcot x tan 2x cos2xcos2xsin22x sin322++-的值.(二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. =-15cot 15tan ( ) A. 2 B. 32+C. 4D. 32-2. 若,x 2sin )x (tan f = 则)1(f -的值为 ( ) A. 2sin - B. 1- C. 21 D. 13. 已知=π-β=π+α=β+α)4tan(,223)4tan(,52)tan(那么 ( ) A.51 B.1813 C. 41 D.22134. 若βα，均是锐角，且)cos(sin 2β-α=α, α与β的关系是 ( ) A. β>α B. β<α C. β=α D. 2π>β+α5. 化简:= .A. 0B. 1-C. 1±D. 16. 已知,1027)4sin(=π-α且432π<α<π, 求)42tan(π+α的值．A.3217 B.1731 C. 1731- D. 3117-二. 填空题 7. 若,31)6sin(=α-π 则=α+π)232cos(.8. 设α为第四象限的角, 若513sin 3sin =αα, 则=α2tan ___________.9. 已知α、β均为锐角, 且),sin()cos(β-α=β+α 则=αtan .10. 若71cos =α, )2,0(π∈α, 则=π+α)3cos(________ __.三. 解答题11. 已知α为第二象限的角, 53sin =α, β为第一象限的角, 135cos =β, 求)2tan(β-α的值.12. 化简:.)4(si n )4t a n (21co s 222α+π⋅α-π-α .13. 已知向量)sin ,(cos θθ= m , 和),2,(),cos ,sin 2(ππ∈θθθ-= n且.528||=+ n m 求)82cos(π+θ的值.三角函数的化简与求值解答(一) 典型例题例1. 解：1. (1) D ; (2) －54.例2. 解：(1) ∵22tan=α, ∴ 3441222tan12tan2tan 2-=-⨯=α-α=α;所以71341134tan 11tan 2tantan 14tan tan )4tan(=++-=α-+α=πα-π+α=π+α.(2) 由(1)34tan -=α, 所以672)34(31)34(62tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=--+-=-α+α=α-αα+α例3. 解：(1)∵|AC ||BC | =, ∴点C 在x y =上, 则α=αcos sin .),23,2(ππ∈α .45π=α∴ (2) ),sin ,3(cos AC α-α=),3sin ,(cos B C -αα=,1)3(sin sin )3(cos cos -=-αα+-αα∴ 则32cos sin =α+α原式＝.95cos sin 2-=αα例4. 解：(1) 25241251x cos x sin 251x cos x sin -=-=⇒=+，254925241)x cos x (sin 2=+=- ，又0x cos x sin 0x 2<-⇒<<π-，57x cos x sin -=-∴．(2) 原式125108)2512(59x cos x sin )]x sin x (cos 2[xcos x sin 1x sin 12x sin22-=-⨯=+-=-+=．(二) 专题测试与练习 一.二. 填空题 7. 97-; 8. 43-; 9. 1 ; 10. 1411-.三. 解答题11. 解：α是第二象限角，7242tan 43tan 54cos 53sin -=α⇒-=α⇒-=α⇒=α，β是第一象限角，253204)2tan(512tan 135cos =β-α⇒=β⇒=β12. 解：原式＝12cos 2cos )4cos()4sin(22cos )]4(2[sin )4tan(22cos 2=αα=α-πα-πα=α-π-πα-πα13. 解法一:)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+ n m22)sin (cos )2sin (cos θ+θ++θ-θ=+ n m )sin (cos 224θ-θ+=)4cos(44π+θ+=)4cos(12π+θ+=由已知528||=+ n m ，得257)4cos(=π+θ又1)82(cos 2)4cos(2-π+θ=π+θ所以2516)82(cos 2=π+θ0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π 54)82c o s (-=π+θ∴解法二:n mnm nn m m n m n m ⋅++=+⋅+=+=+22)(22222]cos sin )sin 2([cos 2)cos )sin2(()sincos (2222222θθ+θ-θ+θ+θ-+θ+θ=)82(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π+θ=π+θ+=θ-θ+=由已知528||=+ n m ，得54|)82cos(|=π+θ0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π54)82cos(-=π+θ∴。