2020届广东省湛江市高三二模数学(文)试题(wd无答案)

2020年广东省湛江市官渡中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 三棱锥D-ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若，则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（）A． B． C. D．参考答案：B设，则三棱锥与三棱锥的公共部分为三棱锥,设三棱锥外接球的半径为R，则 , 体积为，选B.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.2. 已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,若直线OM的斜率为,则( )A．1 B． C. D．参考答案：B本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设,M,则，两式作差得.因为,所以.即.由,解得,即.3. P为椭圆+=1（a＞b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值﹣，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则（）A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值B．直线PA1与PA2的斜率之积为定值C．直线PA1与PA2的斜率之和为定值D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程；推理和证明．【分析】由已知椭圆的性质类比可得直线PA1与PA2的斜率之积为定值．然后加以证明即可．【解答】解：设P（x0，y0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则A1（﹣a，0），A2（a，0），∴=，又P（x0，y0）在双曲线﹣=1上，∴，∴=，∴直线PA1与PA2的斜率之积为定值．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题．4. 已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx﹣1与该抛物线交于第一象限内的零点A，B，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，利用抛物线的定义表示出|AF|与|FB|，再利用直线与抛物线方程组成方程组，结合根与系数的关系，求出k的值即可．解答：解：∵抛物线方程为x2=4y，∴p=2，准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）；设点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=y1+=y1+1，|FB|=y2+=y2+1；∵|AF|=3|FB|，∴y1+1=3（y2+1），即y1=3y2+2；联立方程组，消去x，得y2+（2﹣4k2）y+1=0，由根与系数的关系得，y1+y2=4k2﹣2，即（3y2+2）+y2=4k2﹣2，解得y2=k2﹣1；代入直线方程y=kx﹣1中，得x2=k，再把x2、y2代入抛物线方程x2=4y中，得k2=4k2﹣4，解得k=，或k=﹣（不符合题意，应舍去），∴k=．故选：D．点评：本题考查了抛物线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．5. 已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C略6. 某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】此人从小区A前往H的所有最短路径共3条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共2个．由此能求出经过市中心的概率．【详解】此人从小区A前往H的所有最短路径为：A→G→O→H，A→E→O→H，A→E→D→H，共3条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→G→O→H，A→E→O→H,共2条．∴，即他经过市中心的概率为，故选：B．【点睛】本题考查古典概型的概率，注意列举法的灵活运用，属于基础题．7. 直线的倾斜角为（）A． B． C． D．参考答案：D8. 已知f′（x）是函数的f（x）=sinx的导数，要得到y=f'（2x+）的图象，只需将y=f（2x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出函数的导函数，推出的表达式，写出y=f（2x）的表达式，即可推出选项．【解答】解：函数f（x）=sinx的导函数为：f′（x）=cosx，所以=cos，y=f（2x）=sin2x=cos（2x+），因为y=cos（2x++）=cos，要得到的图象，只需把y=f（2x）的图象向左平移个单位，即可．故选D．【点评】本题是中档题，考查三角函数的图象的平移，导数的求法，注意平移的方向，x的系数，考查计算能力．9. 已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为A．B．C．D．参考答案：A略10. 设数列的前项和为，若，则（）A．B． C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平行四边形ABCD中，，则．参考答案：－7在平行四边形ABCD中，，，则.12. 已知圆的方程为x 2 + y2 + ax + 2y + a 2 = 0 ，一定点为A （1，2），要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围为________参考答案：13. (07年全国卷Ⅱ文)的展开式中常数项为．（用数字作答）参考答案：答案：57解析：的展开式中常数项为．14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA=acosC，则cosA= 。

2020年广东省湛江市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x>3}，则A∩B=()A. (0,1)B. (0,2)∪(3,+∞)C. ⌀D. (0,+∞)2.1+2i−2+i=()A. −1+45i B. −45+i C. −i D. i3.已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是x=2y−1，则f(2)+f′(2)的值是()A. 2B. 1C. 1.5D. 34.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是()A. 10B. 11C. 12D. 165.设a=log2e，b=ln2，c=log1213，则()A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<b<a6.函数y=sin3x1+cosx，x∈(−π,π)图象大致为()A. B.C. D.7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该圆锥的体积是A. 8√33π B. 4√2π C. 4√3π D. 4√23π8. 在如图所示的程序框图中，若函数f(x)={log 12(−x )(x <0),2x (x ≥0),则输出的结果是( )A. 16B. 8C. 216D. 289. 若双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√3310. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若csinC−bsinB2a+b=sinA 2，则cosC =( )A. −14B. 14C. −12D. 1211. 将函数f(x)=2sin (ωx +π4)(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若y =g(x)在[−π6,π3]上为增函数，则ω的最大值为( )．A. 54B. 32C. 2D. 312. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为6，O 1为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则四棱锥O 1−ABCD 的外接球的表面积为( )A. 9πB. 324πC. 81πD.2432π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,−3)，b ⃗ =(m,2)，若a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则m =______．14. 已知函数f(x)=log 2(√x 2+a −x)是奇函数，g(x)={f(x),x ≤02x −1,x >0，则g(g(−1))=_________．15. 若α∈(0,π2)，且cos2α=2√55sin(α+π4)，则tanα=______．16.已知抛物线y2=4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=−n2+26n．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求a2+a5+a8+⋯+a3n−1的值．18.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=6，AB=10，BC=8，AA1=8，点D是AB的中点．(Ⅰ)求证：AC1//平面CDB1；(Ⅱ)求三棱锥B−CDB1的体积．19.袋中装着分别有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球，从袋中有放回的一次取出2个小球．记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y(1)列举出所有基本事件；(2)求x+y是3的倍数的概率．20.已知函数f(x)=ln(ax+1)+1−x1+x，其中a>0．(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F(√3,0)，且点A(2,0)在椭圆上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求▵OMN的面积．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosαy=1+2sinα(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3上，且点P到极点O的距离为4．(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R.(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x>3}；∴A∩B=(0,1)．故选：A．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．1+2i −2+i =(1+2i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−5i5=−i，故选C．3.答案：A解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确运用切线的方程是解题的关键，属于基础题．由已知切线的方程，结合导数的几何意义，可得f(2)，f′(2)，即可得到所求和．解：函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是x−2y+1=0，即y=x+12，可得f(2)=2+12=32，f′(2)=12，即有f(2)+f′(2)=32+12=2，故选：A．4.答案：D解析：本题主要考查系统抽样的定义和方法，注意样本的编号成等差数列．根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，由条件可得此等差数列的公差为13，从而求得另一个同学的编号．解：根据系统抽样的方法和特点，样本的编号成等差数列，一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，故此等差数列的公差为13，故还有一个同学的学号是16.故选D．5.答案：B解析：【试题解析】解：∵c=log23>log2e=a>1>ln2=b．∴b<a<c．故选：B．利用指数对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：函数y=sin3x1+cosx 满足f(−x)=−sin3x1+cosx=−f(x)，函数为奇函数，排除A，由于f(π2)=sin3π21+cosπ2=−1，f(π3)=sinπ1+cosπ3=0，f(2π3)=sin2π1+cos2π3=0故排除B，C故选：D．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．7.答案：A解析：本题考查了圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为4π，底面半径为2，圆锥的高为2√3；圆锥的体积为：13×π×22×2√3=8√33，故选A.8.答案：A解析：本题考查了程序框图，考查了循环结构中的直到型循环，直到型循环是先执行后判断，此题是基础题．框图在输入a=−4后，对循环变量a与b的大小进行判断，直至满足条件b<0算法结束．解：模拟执行程序框图，可得a=−16≤0，b=log1216=−4<0，a=log124=−2，不满足条件a>4，继续循环，b=log122=−1，a=log121=0，不满足条件a>4，b=20=1，a=21=2，不满足条件a>4，b=22=4，a=24=16，满足a>4，退出循环，输出a=16，故选A．9.答案：A解析：本题考查了双曲线的性质及几何意义和圆锥曲线中的综合问题．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆(x−2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径为：2，因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为：√22−12=√3=√a2+b2，解得：4c2−4a2c2=3，可得e2=4，即e=2．故选A．10.答案：A解析：本题目考查正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解题的关键．利用正弦定理对csinC−bsinB2a+b =sinA2进行整理可得−12ab=a2+b2−c2，然后再利用余弦定理进行计算即可得．解：在△ABC中，由csinC−bsinB2a+b =sinA2，及正弦定理可得c2−b22a+b=a2，整理可的−12ab=a2+b2−c2，所以由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =−14，故选A．11.答案：B解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，主要考查函数的图像变换和函数的单调性，根据题意列出式子即可求出结果．解：将f(x)的图象向右平移π4ω得g(x)=2sin[ω(x−π4ω)+π4]，即g(x)=2sinωx的图象．所以当y=g(x)满足ωx∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)，即x∈[−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω](k∈Z)时，y=g(x)单调递增．因为y=g(x)在[−π6,π3]上为增函数，所以{−π2ω≤−π6π2ω≥π3即ω≤32，故选B．12.答案：C解析：设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=(3√2)2+(3−R)2，可得R，即可求出四棱锥O1−ABCD的外接球的表面积．本题考查四棱锥O1−ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．解：设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=(3√2)2+(3−R)2，∴R=92，∴四棱锥O1−ABCD的外接球的表面积为4πR2=81π，故选：C．13.答案：−4解析：解：a⃗+b⃗ =(m+1,−1)；∵a⃗⊥(a⃗+b⃗ )；∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=m+1+3=0；∴m=−4．故答案为：−4．可求出a⃗+b⃗ =(m+1,−1)，根据a⃗⊥(a⃗+b⃗ )即可得出a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算．14.答案：√2解析：本题主要考查了函数的奇偶性，函数的定义域与值域，分段函数，掌握函数的奇偶性是解题的关键，属于基础题．解：因为函数f(x)=log2(√x2+a−x)是奇函数，所以，解得a=1，所以，所以．故答案为√2．15.答案：13解析：根据三角函数的恒等变换，利用同角的三角函数关系，即可得出tanα的值．本题考查了三角函数的恒等变换以及同角的三角函数关系，是中档题．解：α∈(0,π2)，且cos2α=2√55sin(α+π4)，∴cos2α−sin2α=2√55sin(α+π4)，∴(cosα+cosα)(cosα−sinα)=2√55⋅√22(sinα+cosα)，∴cosα−sinα=√105，两边平方，得sin2α−2sinαcosα+cos2α=25，∴sinαcosα=310，∴sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=310，整理得3tan2α−10tanα+3=0，解得tanα=13或tanα=3，即cosα>sinα，得tanα<1，∴tanα=13．故答案为：13．16.答案：32解析：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，注意联立方程运用韦达定理，属于中档题．解：由题意，设直线方程为x=my+4，与抛物线方程联立消去x得，y2−4my−16=0，∴y1+y2=4m，y1y2=−16，则y12+y22=(y1+y2)2−2y1y2=16m2+32≥32，当m=0时取等号，则y12+y22的最小值为32.故答案为32.17.答案：解：(Ⅰ)依题意，S n=−n2+26n，S n−1=−(n−1)2+26(n−1)(n≥2)，两式相减得：a n=−2n+27(n≥2)，又∵a1=−1+26=25满足上式，∴a n=−2n+27；(Ⅱ)由(I)可知{a3n−1}是首项为23、公差为−6的等差数列，∴a2+a5+a8+⋯+a3n−1=23n+n(n−1)2⋅(−6)=−3n2+26n．解析：(Ⅰ)通过S n=−n2+26n与S n−1=−(n−1)2+26(n−1)(n≥2)作差、整理可知a n=−2n+ 27，进而计算可得结论；(Ⅱ)通过(I)可知{a3n−1}是首项为23、公差为−6的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18.答案：证明：(Ⅰ)∵点O为矩形CBB1C1的对角线交点，∴点O为BC1的中点．又点D是AB的中点，∴AC1//OD，又AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1．∴AC1//平面CDB1．(Ⅱ)∵AC=6，BC=8，AB=10，则AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又点D是AB的中点．∴S△CDB=12×12×AC×BC=12．故三棱锥B−CDB1的体积V B−CDB1=V B1−CDB=13×S△CDB×B1B=13×12×8=32．解析：本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)推导出AC1//OD，由此能证明AC1//平面CDB1．(Ⅱ)求出S△CDB=12×12×AC×BC=12，根据V B−CDB1=V B1−CDB即可求出三棱锥B−CDB1的体积．19.答案：解：(1)袋中装着分别有数字1，2，3，4，5的5个形状相同的小球，从袋中有放回的一次取出2个小球，记第一次取出的小球所标数字为x，第二次为y，则Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共有25个基本事件．(2)x+y是3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(4,5)，(5,4)，共9个，∴x+y是3的倍数的概率p=925．解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． (1)由已知条件利用列举法能写出所有基本事件．(2)利用列举法求出x +y 是3的倍数的基本事件个数，由此能求出x +y 是3的倍数的概率． 20.答案：解：(1)f(x)=ln (ax +1)+1−x1+x =ln(ax +1)+21+x −1，求导函数可得f′(x)=aax+1−2(1+x)2， ∵f(x)在x =1处取得极值， ∴f′(1)=0，∴aa+1−24=0， ∴a =1；(2)设f′(x)=aax+1−2(1+x)2>0，有ax 2>2−a ，若a ≥2，则f′(x)>0恒成立，f(x)在[0,+∞)上递增，∴f(x)的最小值为f(0)=1； 若0<a <2，则x >√2−a a，f′(x)>0恒成立，f(x)在(√2−a a,+∞)上递增，在(−∞,√2−a a)上递减，∴f(x)在x =√2−a a处取得最小值，f(√2−a a)<f(0)=1．综上知，若f(x)最小值为1，则a 的取值范围是[2,+∞)．解析：(1)求导函数，根据f(x)在x =1处取得极值，可得f′(1)=0，即可求得a 的值；(2)设f′(x)=aax+1−2(1+x)2>0，有ax 2>2−a ，分类讨论：a ≥2，则f′(x)>0恒成立，f(x)在[0,+∞)上递增，f(x)的最小值为f(0)=1；0<a <2，可得f(x)在x =√2−a a处取得最小值，f(√2−a a)<f(0)=1，由此可得a 的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，正确求导是关键．21.答案：解：(1)由题意，椭圆焦点F(√3,0)且过点A(2,0)，得a =2，c =√3，又b 2=a 2−c 2=4−3=1， 所以椭圆方程为x 24+y 2=1．(2)由题意得，直线MN 的方程为y =x −√3， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立直线与椭圆方程{y =x −√3x 24+y 2=1, 得5x 2−8√3x +8=0，得则y 1−y 2=x 1−√3−(x 2−√3)=x 1−x 2， |MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2√(x 1−x 2)2， 又(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =(8√35)2−4×85=3225，所以|MN|=√2×√3225=85，设原点O 到直线MN 的距离为d ， d =√3|√12+12=√62． 所以△OMN 的面积S =12|MN|⋅d =25√6．解析：本题考查椭圆的方程和性质，直线和椭圆的位置关系，也考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法，属于中档题．(1)由题意可得a ，c 的值，由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；(2)过点F 且斜率为1的直线方程设为y =x −√3，联立椭圆方程，求得|MN|，再由点到直线的距离公式可得O 到MN 的距离d ，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．22.答案：解：(1)曲线C 的普通方程为(x −√3)2+(y −1)2=4，点P 的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)． (2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC 的方程为：y =√33x ⇒x −√3y =0，点P 到直线OC 的距离d =|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以 S △OCP =12|OC|⋅d =2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP =π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S △OCP =12|OC|⋅|OP|sin∠COP =12⋅2⋅4⋅sin π6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果． 23.答案：解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|={2x −5,x >43,1≤x ≤4−2x +5,x <1．∵f(x)≤5，∴{2x −5≤5x >4或1≤x ≤4或{−2x +5≤5x <1，∴4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，∴0≤x ≤5， ∴不等式的解集为{x|0≤x ≤5}．(2)由(1)知，f(x)min =M =3，∴a 2+b 2=M =3，∴1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16=(2+b 2+1a 2+2+a 2+2b 2+1)×16≥(2+2√b 2+1a 2+2⋅a 2+2b 2+1)×16=23，当且仅当a 2=1，b 2=2时等号成立， ∴1a 2+2+1b 2+1≥23．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤5，分别解不等式即可；(2)由(1)可得f(x)min =M =3，从而得到a 2+b 2=3，再由1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16利用基本不等式求出1a 2+2+1b 2+1的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

故选 ．
12. B 解析:
若 若 ∴
，则 ，则
， ．
，
，由
得
，
，与函数 有唯一零点矛盾；
，
，当且仅当
时，两式同时取等，
，当且仅当
时取等，
10
∴函数 有唯一零点；
若
，则
，令
，
，
①当
时，
，∴ 在 上单调递增，
即
在 上单调递增，又
，
∴
时，
， 单调递减；
时，
， 单调递增，
又
，∴函数 有唯一零点；
②当
，则
存在解，设其在
图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有 的把握认为“产品质量高与新设备有关”．
非优质品
优质品
合计
新设备产品
旧设备产品
合计
附：
，其中
．
（ 3 ） 已知每件产品的纯利润 （单位：元）与产品质量指标值 的关系式为
，若
每台新设备每天可以生产 收回设备成本．
件产品，买一台新设备需要 万元，请估计至少需要生产多少天方可以
∴ 在 上单调递增．
又∵
，
∴
．
22.（ 1 ）
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）由
，
得
，
∴
，
∵
，
．
∴直线 的直角坐标方程为
，
即
．
（ 2 ）依题意可知曲线 的参数方程为：
设
，
则点 到直线 的距离为：
，
（ 为参数），
17
，
∵
，
∴当
时，
，
依题意得

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−5<2x +1<7}，B ={x|−2<x <4}，则A ∩B =( )A. {x|−3<x <4}B. {x|−2<x <4}C. {x|−3<x <3}D. {x|−2<x <3}2. 已知复数z =i(a −i)(i 为虚数单位，a ∈R)，若|z|=√5，则a =( )A. 4B. 2C. ±2D. −23. 小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A. 13B. 23C. 16D. 124. 若x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0x −y −3≤0x +1≥0，则z =y −2x 的最大值是( )A. 9B. 7C. 3D. 65. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( )A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺6. 一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为( )A. 2√3πB. 2√33πC. 8√33πD. 4√33π7. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x −1)>0的解集为( )A. (−3,3)B. (−2,4)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−4,2)8. 已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B.若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则该双曲线的离心率为( )A. √5B. 2C. √3D. √29. 已知数列{a n }满足a n+1=an1+a n (n ∈N ∗)，且a 1=1，设b n =a n a n+1，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 2019=( )A. 20182019B. 20192020C. 2019D. 1201910. 把函数f(x)=2sinx 的图象向右平移π3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，关于g(t)的说法有：①函数g(x)的图象关于点(π3,0)对称；②函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12；③函数g(x)在[π3,π2]上的最上的最小值为√3；④函数g(x)∈[0,π]上单调递增，则以上说法正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11. 已知椭圆C 的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为√22，且PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的面积为√22，则椭圆C 的方程为( )A. x 22+y 2=1B. x 23+y 22=1 C. x 24+y 22=1 D. x 24+y 2=112. 已知函数f(x)=12ax 2+cosx −1(a ∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0)B. (−∞,0)∪[1，+∞)C. (−∞,0]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=14，S 3=78，则公比q =______． 14. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，|b ⃗ |=1，且向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则|a ⃗ −2b ⃗ |=______．15. 对于任意实数a ，b ，定义min{a,b}={a,a ≤b b,a >b，函数f(x)=−ex +2e ，g(x)=e x ，ℎ(x)=min{f(x),g(x)}，若函数Q(x)=ℎ(x)−k 有两个零点，则k 的取值范围为______． 16. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB =2AD =2a ，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，连接A 1C .若当三棱锥A 1−CDE 的体积取得最大值时，三棱锥A 1−CDE 外接球的体积为8√23π，则a =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a(2√2cos 2A2−√2)=b ⋅cosC +c ⋅cosB ．(1)求角A 的大小；(2)若c =6√2，且AB 边上的高等于13AB ，求sin C 的值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA=PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且BE=1，设AC∩BD=O．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若∠BAD=60°，PA⊥PE，求三棱锥P−AOE的体积．19.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．(1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．(2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表(单位：件)，并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．(3)已知每件产品的纯利润y(单位：元)与产品质量指标值的关系式为y ={2,30<t ≤451,15<t ≤30，若每台新设备每天可以生产100件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本．20.已知曲线C上每一点到直线l：y=−2的距离比它到点F(0,1)的距离大1．(1)求曲线C的方程；(2)曲线C任意一点处的切线m(不含x轴)与直线y=2相交于点M，与直线l相交于点N，证明：|FM|2−|FN|2为定值，并求此定值．21.已知函数f(x)=ae x−ex−a(a<e)，其中e为自然对数的底数．(1)若a=2，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的极小值为−1，求a的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x212+y24=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=a(a>0)．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线l1交直线于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，若|PA|的最大值为6，求a的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1)解不等式：f(x)≤6；(2)若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min，证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥493．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|−5<2x +1<7}={x|−3<x <3}， B ={x|−2<x <4}， ∴A ∩B ={x|−2<x <3}． 故选：D ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为复数z =i(a −i)=1+ai ，所以|z|=√1+a 2=√5，即1+a 2=5，所以a =±2． 故选：C ．根据复数的基本运算法则进行化简，再由模长公式列方程求解即可． 本题主要考查复数的乘法法则和模的计算，比较基础．3.【答案】A【解析】解：小青和她的父母到照相馆排成一排拍照， 基本事件总数n =A 33=6，小青不站在两边包含的基本事件个数m =A 22=2， ∴小青不站在两边的概率为P =m n=26=13．故选：A ．基本事件总数n =A 33=6，小青不站在两边包含的基本事件个数m =A 22=2，由此能求出小青不站在两边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0x −y −3≤0x +1≥0，作出可行域如图，联立{x +y −3=0x +1=0，解得A(−1,4)，化目标函数z=y−2x为直线方程的斜截式：y=2x+Z．由图可知，当直线y=2x+Z过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为4−2×(−1)=6；故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】D【解析】解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，9a1+36d=49.5，a1+a3+a5=10.5，即3a1+6d=10.5．解得d=1，a1=1.5．∴立秋的晷长=a4=1.5+3=4.5．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，可得：9a1+36d=49.5，a1+a3+a5=10.5，即3a1+6d=10.5.解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：设内接圆柱的高为h，则圆锥的高d=2ℎ，∵一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，其内接圆柱的体积为√3π，∴π×12×ℎ=√3π，解得ℎ=√3，∴圆锥的高d=2ℎ=2√3，∴该圆锥的体积为：V=13×π×22×2√3=8√33π．故选：C．设内接圆柱的高为h，则圆锥的高d=2ℎ，由内接圆柱的体积为√3π，求出ℎ=√3，从而圆锥的高d=2ℎ= 2√3，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥、圆柱的体积公式、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减， 又由f(−3)=0，则f(x −1)>0⇒f(x −1)>f(−3)⇒f(|x −1|)>f(3)⇒|x −1|<3， 解可得：−2<x <4，即不等式的解集为(−2,4)； 故选：B ．根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及f(−3)=0分析可得：f(x −1)>0等价于|x −1|<3，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：如图，由FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得∠AOB =90°，即∠AOF =45°，∴ba =tan45°=1，即a =b ． 则e =ca=√1+(b a )2=√2． 故选：D ．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到ba =1，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．9.【答案】B【解析】解：数列{a n }满足a n+1=an1+a n (n ∈N ∗)，整理得：a n+1+a n a n+1=a n ，所以：a n −a n+1=a n a n+1，故1an+1−1a n=1(常数)，由于且a 1=1，所以数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．故：1a n=1+(n −1)=n ，所以a n =1n ．设b n =a n a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，所以S n =1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1． 所以S 2019=20192019+1=20192020． 故选：B ．首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：把函数f(x)=2sinx 的图象向右平移π3个单位长度，得y =2sin(x −π3)， 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象， 则g(x)=2sin(2x −π3).①∵g(π3)=2sin(2π3−π3)=√3≠0，∴函数g(x)的图象不关于点(π3,0)对称，故①错误； ②∵g(−π12)=2sin(−π6−π3)=−2，∴函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12，故②正确； ③当x ∈[π3,π2]时，2x −π3∈[π3,2π3]，则2sin(2x −π3)∈[√3,2]， 即函数g(x)在[π3,π2]上的最上的最小值为√3，故③正确； ④当x ∈[0,π]时，2x −π3∈[−π3,5π3]，可知函数g(x)在[0,π]上不单调，故④错误．∴正确命题的个数为2． 故选：C ．通过平移变换与伸缩变换求得函数g(x)的解析式．由g(π3)≠0判断①错误；由g(−π12)=−2求得最小值判断②正确；由x 的范围求得函数值域判断③正确；由x 的范围可知函数g(x)在[0,π]上不单调判断④错误． 本题考查命题的真假判断与应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，是中档题．11.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a、b；即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，基础题．【解答】解：椭圆C的焦点为F1(−c,0)，F2(c,0)，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为√22，且PF1⊥F1F2，△PF1F2的面积为√22，可得：{ca =√221 2×2c×b2a=√22a2=b2+c2，解得a=√2，b=1，所以：椭圆方程为：x22+y2=1．故选：A．12.【答案】B【解析】解：当a=0时，f(x)=cosx−1，显然此时函数f(x)的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程cosx=−12ax2+1有唯一解，即函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象有唯一交点，当a<0时，如图，函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项D；当a>0时，如图，由二次函数的性质可知，函数ℎ(x)的开口向下，且a越大，函数ℎ(x)=−12ax2+1的开口越小，由图可知，此时函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项A；故选：B．当a=0，由余弦函数的周期性可知，此时函数f(x)的零点不唯一，当a≠0时，问题等价于函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象有唯一交点，分a>0及a<0三种情况讨论，结合图象即可得出结论．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.【答案】12或2【解析】解：由a2=14，S3=78，∴14q+14+14q=78，化为：2q2−5q+2=0．解得q=12或2．故答案为：12或2．由a2=14，S3=78，可得：14q+14+14q=78，化简解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=1,<a ⃗ ,b ⃗ >=π3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =1，∴(a ⃗ −2b ⃗ )2=a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=4−4+4=4，∴|a ⃗ −2b ⃗ |=2． 故答案为：2．根据向量a ⃗ 的坐标即可求出|a ⃗ |=2，进而求出a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，进而得出(a ⃗ −2b ⃗ )2的值，从而得出|a ⃗ −2b ⃗ |． 本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】(0,e)【解析】解：因为f(x)=−ex +2e 单调递减，g(x)=e x 单调递增， 且f(1)=e =g(1)， 故ℎ(x)=min{f(x),g(x)}={e x ,x ≤1−ex +2e,x >1，作出函数ℎ(x)的图象如下：函数Q(x)=ℎ(x)−k 有两个零点等价于函数ℎ(x)与直线y =k 图象有2个交点， 由图可知，k ∈(0,e)； 故答案为：(0,e)．根据题意得到ℎ(x)解析式为ℎ(x)={e x ,x ≤1−ex +2e,x >1，作出其图象，数形结合即可本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16.【答案】√2【解析】解：在矩形ABCD 中，已知AB =2AD =2a ，E 是AB 的中点，所以：△A 1DE 为等腰直角三角形；斜边DE 上的高为：A′K =12DE =12√a 2+a 2=√22a ；要想三棱锥A 1−CDE 的体积最大；需高最大，则当△A 1DE ⊥面BCDE 时体积最大，此时三棱锥A 1−CDE 的高等于：12DE =12√a 2+a 2=√22a ；取DC 的中点H ，过H 作下底面的垂线； 此时三棱锥A 1−CDE 的外接球球心在OH 上； ∵三棱锥A 1−CDE 外接球的体积为8√23π；所以球半径R =√2； 如图：OH 2=OC 2−CH 2；① A′O 2=A′G 2+GO 2；② 即：R 2−a 2=OH 2；③ R 2=(√22a −OH)2+(√22a)2；④ 联立③④可得a =√2； 故答案为：√2．要想体积最大，需高最大，当△A 1DE ⊥面BCDE 时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论． 本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．17.【答案】解：(1)∵a(2√2cos 2A2−√2)=b ⋅cosC +c ⋅cosB ，∴√2acosA =bcosC +ccosB ，由正弦定理可得√2sinAcosA =sinBcosC +sinCcosB ， ∴√2sinAcosA =sin(B +C)=sinA ， ∵A ∈(0,π)，sinA ≠0， ∴解得cosA =√22，A =π4．(2)设AB 边上的高为CD ，在Rt △CDA 中，可得AD =CD =13×6√2=2√2=2√2， 可得BD =4√2，在Rt △CDB 中，根据勾股定理，可得BC =√CD 2+BD 2=2√10，在△ABC中，根据正弦定理ABsinC =BCsinA，可得sinC=AB⋅sinABC=6√2×√222√10=3√1010．【解析】(1)利用二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得√2sinAcosA=sinA，结合A∈(0,π)，sinA≠0，可得cos A，进而可求A的值．(2)设AB边上的高为CD，在Rt△CDA中，可得AD=CD=2√2，可得BD=4√2，在Rt△CDB中，根据勾股定理可得BC，在△ABC中，根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化以及勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．(2)解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD=AB=4，∵O是BD的中点，∴BO=2，在Rt△ABO中，AO=√AB2−BO2=2√3，在Rt△PAO中，PA2=AO2+PO2=12+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2=OE2+PO2=3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcos120°=21，∵PA⊥PE，∴PA2+PE2=AE2，∴12+PO2+3+PO2=21，∴PO=√3，∵S△AOE=S△ABC−S△ABE−S△COE=12×4×4×sin120°−12×4×1×sin120°−12×3×√3=3√32，∴三棱锥P−AOE的体积V P−AOE=13S△AOE⋅PO=13×3√32×√3=32．【解析】(1)推导出BD⊥AC，BD⊥PA，从而BD⊥平面PAC，BD⊥PO，推导出PO⊥AC，由此能证明PO⊥平面ABCD．(2)取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，由余弦定理得PO=√3，S△AOE=S△ABC−S△ABE−S△COE，三棱锥P−AOE的体积V P−AOE=13S△AOE⋅PO，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．=0.7=70%，19.【答案】解：(1)估计新设备所生产的产品的优质品率为：30+25+15100估计旧设备所生产的产品的优质品率为：5×(0.06+0.03+0.02)=0.55=55%；(2)根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：=4.8>3.841，由列联表可知：K2=200×(30×55−45×70)275×125×100×100∴有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”；(3)∵新设备所生产的产品的优质品率为0.7，∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有1000×0.7=700件优质品，有1000−700=300件合格品，∴估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为700×2+300×1=1700(元)，∵800000÷1700≈471(天)，∴估计至少需要生产471天方可以收回设备成本．【解析】(1)根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；(3)根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.【答案】解：(1)由题意可知，曲线C上每一点到直线y=−1的距离等于该点到点F(0,1)的距离，由抛物线的定义可知，曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，F(0,1)为焦点的抛物线，∴曲线C的方程为：x2=4y；(2)依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得：x2−4ax−4b=0，由△=0得(4a)2+16b =0，整理得：b =−a 2， 故切线m 的方程可写为y =ax −a 2，分别令y =2，y =−2得点M ，N 的坐标为M(2a +a,2)，N(−2a +a,−2)，∴FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a+a,1)，FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2a+a,−3)， ∴|FM|2−|FN|2=(2a +a)2+1−(−2a +a)2−9=0， 即|FM|2−|FN|2为定值0．【解析】(1)利用抛物线的定义可得曲线C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，F(0,1)为焦点的抛物线，从而求出曲线C 的方程；(2)依题意，切线m 的斜率存在且不等于0，设切线m 的方程为：y =ax +b(a ≠0)，与抛物线方程联立，利用△=0得到b =−a 2，故切线m 的方程可写为y =ax −a 2，进而求出点M ，N 的坐标，用坐标表达出FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可证得|FM|2−|FN|2为定值． 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.【答案】解：(1)∵a =2，∴f(x)=2e x −ex −2，则f′(x)=2e x −e ， ∴f′(1)=e ，又f(1)=2e −e −2=e −2，∴所求切线方程为y −(e −2)=e(x −1)，即y =ex −2； (2)函数f(x)的定义域为R ，f′(x)=ae x −e ， ①当a ≤0时，f′(x)<0对任意x ∈R 都成立， ∴f(x)在R 上递减，此时无极值；②当0<a <e 时，令f′(x)>0，解得x >ln ea ，∴当x ∈(ln e a ,+∞)时，f′(x)>0，当x ∈(−∞,ln ea )时，f′(x)<0， ∴f(x)在(−∞,ln e a )递减，在(ln ea ,+∞)递增， ∴当x =ln ea 时，f(x)取得极小值−1，∴f(ln ea )=ae ln ea −eln ea −a =−1，即elna −a +1=0， 令m(x)=elnx −x +1(0<x <e)，则m′(x)=ex −1=e−x x，∵0<x <e ，∴m′(x)>0，∴m(x)在(0,e)上递增，又m(1)=0，∴a=1．【解析】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于较难题．(1)将a=2代入，求导，进而求得切线斜率，再求出切点坐标，利用点斜式方程即得解；(2)分a≤0及0<a<e两种情形讨论，当a≤0时显然不合题意，当0<a<e时，利用导数可求得当x=ln ea 时，f(x)取得极小值−1，进而得解．22.【答案】解：(1)由√2ρcos(θ−π4)=a，得√2ρ(cosθcosπ4+sinθsinπ4)=a，即ρcosθ+ρsinθ=a．∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴直线l的直角坐标方程为x+y=a，即x+y−a=0；(2)依题意可知曲线C的参数方程为{x=2√3cosαy=2sinα(α为参数)．设P(2√3cosα,2sinα)，则点P到直线l的距离为：d=|2√3cosα+2sinα−a|√2=|4(√32cosα+12sinα)−a|√2=|4sin(α+π3)−a|2．∵a>0，∴当sin(α+π3)=−1时，d max=√2．又过点P作直线l1交直线于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，∴d|PA|=cos45°，即|PA|=√2d．∴|PA|的最大值为√2d max=6，即√2√2=6．∵a>2，∴解得a=2．【解析】(1)把√2ρcos(θ−π4)=a展开两角差的余弦，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直线l的直角坐标方程；(2)依题意可知曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =2sinα(α为参数).设P(2√3cosα,2sinα)，写出点P 到直线l 的距离，利用三角函数求其最大值，可得|PA|的最大值，结合已知列式求解a ．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题． 23.【答案】解：(1)函数f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2(x <−3)4(−3≤x ≤1)2x +2(x >1)． 当x <−3时，−2x −2≤6，解得x ≥−4，故−4≤x <−3． 当−3≤x ≤1时，4≤6，恒成立．当x >1时，2x +2≤6，解得x ≤2，故1<x ≤2， 所以不等式的解集为{x|−4≤x ≤2}．证明：(2)由(1)知：f(x)min =4，所以：a +b +c =4， 所以(a +1)+(b +1)+(c +1)=7， 所以[(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，所以(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+2(b +1)(c +1)=49≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2].当且仅当a =b =c =43时，等号成立． 故：(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493．【解析】(1)直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果． (2)直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。