重复博弈的详细介绍分解

重复博弈
主要内容：
一、有限次重复博弈 二、无限次重复博弈与无名氏定理 三、重复博弈的社会学，老兵按住他： 别乱开枪！新兵问：为什么？老兵对其 解释：曾有一段时间，双方打得不可开 交，结果大家都躲着，屎尿都撒在猫耳 洞里，由于猫耳洞很潮湿，人呆在里面 很难受，导致有人耳朵都发了霉，最后 是谁也打不着谁，自己却活受罪。此后， 便慢慢达成默契：我出来你不开枪，你 出来我也不开枪。
一、有限次重复博弈
• 动态博弈中涉及的一个重要问题是，博弈 过程中威胁和承诺如何影响博弈的进程。 • 重复博弈所关心的议题也与之相似： （1）将来可信的威胁或承诺如何影响到 当前的行动？ （2）在一次博弈中无法实现的均衡，在 重复博弈中能否实现？
考察下列博弈
1
L
2
R
U
D
1,1 0,5
5,0 4,4
• 该博弈存在唯一的Nash均衡，即（U，L）。 • 同时注意到，该博弈还存在一个高效均衡（D， R），高效均衡对应着一种合作行为。 • 为什么高效的均衡不是纳什均衡？如何保证 这一高效均衡能够实现？
两次重复博弈的博弈树

假设将上述博弈重复两次，那么第二次博弈开始 时，第一次博弈的结果可视为已知。
• S2：第一阶段选择M2；如果第一阶段 结果为(M1，M2) ，则下一阶段选R2； 否则选择L2。
根据上述战略，博弈可表示为：
L2
2
M2
R2
L1 1+1,1+1 5+1,0+1 0+1,0+1 1 M 1 0+1,5+1 4+3,4+3 0+1,0+1 R1 0+1,0+1 0+1,0+1 3+1,3+1
连锁店悖论
• 假定在位者在不同的市场上有20家连锁店， 进入者试图进入这些市场。如果进入者进 入了每一个市场，此时博弈就变成了20次 重复博弈。当进入者进入第1个市场时， 在位者应该如何反应呢？ • 猜想：杀鸡儆猴的效应
单阶段博弈矩阵
支付
在位者
默许
3，3 1，10
斗争
-1，0 1，10
进入者
进入 不进入

纳什均衡为：在位者在每一个市场选择默许，进入者在 每一个市场选择进入。
单阶段扩展式博弈
k I A F
-1,0

O C
3,3 1,10
阶段博弈的子博弈精炼纳什均衡为：在位者在每一个市 场选择默许，进入者在每一个市场选择进入。 重复博弈的子博弈精炼纳什均衡：在位者在每一个市场 选择默许，进入者在每一个市场选择进入。
• 同样可证明：在n阶段重复博弈(即博弈重 复n次且每次博弈开始时，前面博弈的结 果都已知)中，高效的均衡同样无法实现。
有限重复博弈定义
• 定义： 对于给定的阶段博弈G，令G(T) 表示G重复进行T次的有限重复博弈， 并且在下一次博弈开始前，所有之 前博弈的进程均可被观测到。
有限重复博弈的战略、子博弈与支付
• 例子2
一个男孩被视为傻瓜，因为每当别 人拿一枚1块硬币和5分硬币让他选的时 候，他总是选5分的，有一个人觉得奇怪， 就问他：“为什么你不拿1块钱的？”， 男孩小声回答：“假若我拿了1块钱的硬 币，下次他们就不会再拿钱让我选了。”
• 威胁和承诺的重要性：以上两个例子带 给我们什么启发？
• 问题1
• 战略：重复博弈环境下，参与人的 战略非常复杂。一般地，我们定义 参与人的一个战略是在博弈的每个 阶段针对之前的博弈历史而制定的 行动计划； • 子博弈：子博弈要么仍然是重复博 弈，要么是原博弈；
有限重复博弈的战略、子博弈与支付 • 参与人的支付：是所有阶段博弈支付 的贴现值之和，或者加权平均值。 • 注意：在重复博弈中，阶段博弈可能 是静态博弈，也可能是动态博弈，因 此，重复博弈可能是完美信息重复博 弈和不完美信息重复博弈。此处我们 仅讨论完美信息重复博弈。
在相互联系紧密的人际关系中，人 们普遍比较注意礼节、道德，因为合作 和协调对大家都有好处；但是，我们又 常常见到这样的消息：在公共汽车上， 两个陌生人会为一个座位争吵，为什么 会发生这种事情？原因何在？
• 问题2
在“囚徒困境”这一例子中，博弈的 参与人为了追求自身利益的最大化，而陷 入了个人理性与集体理性的冲突中，导致 最优的结果未能出现，即合作没有产生。 如果我们假定博弈可以多次重复进行，结 果是否会发生变化？是否会出现合作的局 面？
冷酷战略（grim strategies）
• 也称触发战略； • 以囚徒困境为例：开始选择抵赖，而且一 直选择抵赖直到有一方选择了坦白，然后 永远选择坦白； • 这意味着：一旦哪个参与人选择了坦白， 就触发了惩罚的扳机。
根据上述原则，可构造如下战略：
• S1：第一阶段选择M1；如果第一阶段 结果为(M1，M2)，则下一阶段选R1； 否则选择L1。

定理：
如果阶段博弈G有唯一的Nash均衡， 则对任意有限的T，重复博弈G(T)有唯 一的子博弈精炼解，即G的Nash均衡结 果在每一个阶段重复进行。

问题：囚徒困境中的囚徒有可能实现高效 的均衡吗？
存在多重纳什均衡的情形
考察下列博弈
L2 L1
1 M1
M2 5,0 4,4 0,0
2
R1
1,1 0,5 0,0
1 2 1
第二阶段 2 L R
1 U D
第一阶段
2 L 1 U D R
1,1 0,5
5,0 4,4
1,1 0,5
5,0 4,4
2
第一阶段
L 1
R
U 1+1,1+1 5+1,0+1 D 0+1,5+1 4+1,4+1
• 运用逆推归纳法，可以发现上述重复博弈 的子博弈精炼Nash均衡为：在每次博弈中， 参与人1都选择U，参与人2都选择L。 • 这说明：在两次重复博弈中，高效的均衡 仍无法实现。
R2 0,0 0,0 3,3
• 单阶段Nash均衡： (L1 , L2)和(R1, R2)； • 合作均衡：（M1，M2）； • 问题：合作均衡能否出现？
L2 L1
1 M1
M2 5,0 4,4 0,0
2
R1
1,1 0,5 0,0
R2 0,0 0,0 3,3
• 现在假设博弈重复两次，可以根据以下原则构造均 衡：由第一阶段的结果，预测第二阶段的均衡。 • 例如：若第一阶段出现(M1,M2)(即出现合作)，则第 二阶段为(R1,R2)(即“好的纳什均衡”)；若第一阶 段没有出现(M1, M2), 则第二阶段为(L1,L2)(即“差 的纳什均衡”)。