学海导航高三数学人教B版理科第一轮总复习课件9.48空间中的垂直关系

则称a与b互相垂直，记作：a b.
(2)数量积及坐标运算
(2)已知向量a，b，则⑲a__b__c_o_s_〈_a_，_ b〉 叫做a，b的数量积，记作a×b.
(3)空间向量数量积的运算律
结合律：__(__a_)__b____(_a__b_)___a__ _(__b_) ；
交换律： ___a___b____b___a___________;
A．平行四边形 B．梯形
C．长方形
D．空间四边形
【解析】 由已知B→A·B→C<0，C→B·C→D<0，D→C·D→A<0，A→D·A→B<0， 所以∠ABC、∠BCD、∠ADC、∠BAD 均为钝角，故选 D.
5.若向量 a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且向量 a 与 b 夹角的余弦值为98，则 λ＝ －2 或525 .
【解析】由已知 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3·6－5＋λ λ2＝89， 解得 λ＝－2 或525.
一 空间向量的线性运算
【例 1】如图所示，已知空间四边形 OABC，其对角线 为 OB、AC，M、N 分 别为 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且M→G＝2G→N， 若O→G＝xO→A＋yO→B＋ zO→C，则 x，y，z 的值分别为____________．
【解析】①正确，②中若 a，b 共线，p 与 a 不共线， 则 p＝xa＋yb 不成立；③正确，④中若 M、A、B 共线， 点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不正确，故选 B.
4.已知四边形 ABCD 满足A→B·B→C>0，B→C·C→D>0，C→D·D→A>0，
D→A·A→B>0，则该四边形为( )
a b= ___x_1_x_2___y_1_y_2___z_1_z_2______；

第46讲 空间点、线、面的位置关系1.(2013·山东省青岛市上期期末检测)已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；②若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ；③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.若直线l 与平面α不平行，则下列结论正确的是( )A ．α内的所有直线都与直线l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内的直线与l 都相交D ．直线l 与平面α有公共点3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直4.四棱锥P -ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( ) A.55 B.255C.45D.355.(2013·浙江瑞安期末质检)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AA 1、C 1D 1、CC 1的中点，给出以下四个结论：①AC 1⊥MN ；②AC 1∥平面MNPQ ；③AC 1与PM 相交；④NC 1与PM 异面．其中正确结论的序号是__________．6.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，其中AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为__________．7.四棱锥P -ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰直角三角形，则在四棱锥P -ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有 对．8.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AD 、AB 的中点．求证：直线D 1M 、A 1A 、B 1N 三线共点．9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，BB1，CC1的中点．(1)求异面直线D1P与AM所成的角；(2)求异面直线CN与AM所成角的余弦值．第46讲 空间点、线、面的位置关系1．B ①b ，c 可能异面，也可能垂直；②b ，c 可能异面，也可能平行，故选B.2．D A 中过公共点的直线与直线l 相交，不异面，A 错误；B 、C 中l 在α内时，α内有无数多条直线与l 平行，B 、C 错误；直线l 与平面α不平行，则直线l 与α相交或在平面α内，即l 与α有一个或无穷多个公共点，D 正确，故选D.3．A 因为A 1B ∥D 1C ，D 1C ∩EF ＝E ，又EF ∥D 1B ，所以E ，F ，A 1，B 四点共面，所以EF 与A 1B 相交，选A.4．A 因为CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角就是∠P AB ，由余弦定理得cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝5＋4－52×5×2＝55. 5．①③④ 由图形可以观察出AC 1与平面MNPQ 相交于正方体中心，易知①③④正确．6．30° 45° 因为AB ∥A 1B 1，所以∠B 1A 1C 1是AB 与A 1C 1所成的角，所以AB 与A 1C 1所成的角为30°.因为AA 1∥BB 1，所以∠BB 1C 是AA 1与B 1C 所成的角．由已知条件可以得出BB 1＝a ，AB 1＝A 1C 1＝2a ，AB ＝3a ，所以B 1C 1＝a ，所以四边形BB 1C 1C 是正方形，所以∠BB 1C ＝45°.7．6 因为四棱锥P -ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰直角三角形，所以P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，共6对．8．证明：连接MN 、B 1D 1、BD .因为M 、N 分别是AD 、AB 的中点， 所以MN 綊12BD . 又B 1D 1綊BD ，所以MN 綊12D 1B 1. 所以四边形MNB 1D 1为梯形．延长D 1M 、B 1N 相交于P 点．因为点P 在直线D 1M 上，所以点P 在平面A 1ADD 1内．同样，点P 在平面A 1ABB 1内．所以点P 在平面A 1ADD 1和平面A 1ABB 1的交线A 1A 上，故D 1M 、A 1A 、B 1N 三线共点．9．解析：(1)连接A 1N 、NP .由NP 綊A 1D 1，知四边形A 1NPD 1为平行四边形，所以A 1N ∥D 1P ，所以AM 与A 1N 相交所成锐角(或直角)即为异面直线D 1P 与AM 所成之角．在正方形A 1ABB 1中M 为A 1B 1中点，N 为B 1B 中点，由平面几何知识知AM ⊥A 1N . 所以异面直线D 1P 与AM 所成之角为90°.(2)在平面ABB 1A 1内作NQ ∥AM 交AB 于Q ，则∠QNC (或补角)为异面直线AM 与CN 所成之角．连接CQ ，因为AB ＝1，则BQ ＝14，QC ＝174，NC ＝52，QN ＝12AM ＝54， cos ∠QNC ＝NQ 2＋NC 2－QC 22·NQ ·NC ＝516＋54－17162×54×52＝25.。

第49讲
空间中的垂直关系
1．设 l，m，n 均为直线，其中 m，n 在平面 α 内，则“l ⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( A ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知平面α，β和直线m，给出条件： ①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β. 当满足条件 时，m⊥β.(填符合条件的序号)
4． 如图所示， 在四棱锥 PABCD 中， PA⊥底面 ABCD， 且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满 足 时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认
为是正确的条件即可)
解析：连接 AC，则 AC⊥BD. 又 PA⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥PC. 所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时， 即有 PC⊥平面 MBD， 而 PC⊂平面 PCD，所以平面 MBD⊥平面 PCD.
【拓展演练 2】 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝AD＝1， AA1＝2， M 是棱 CC1 的中点． 证明： 平面 ABM⊥平面 A1B1M.
证明：因为 A1B1⊥平面 B1C1CB，BM⊂平面 B1C1CB，所 以 A1B1⊥BM， 由已知易得 B1M＝ 2， 又 BM＝ BC2＋CM2＝ 2，B1B＝2， 所以 B1M2＋BM2＝B1B2，所以 B1M⊥BM. 又因为 A1B1∩B1M＝B1，所以 BM⊥平面 A1B1M. 而 BM⊂平面 ABM，所以平面 ABM⊥平面 A1B1M.
(3)证明：取 PA 的中点 G， 连接 GD、GE.因为 E 是 PB 的中点， 1 所以 GE＝ AB 且 GE∥AB. 2 而 F 是 DC 上的点 1 且 DF＝ AB，DF∥AB， 2 所以 GE＝DF 且 GE∥DF. 所以四边形 GDFE 是平行四边形， 所以 EF∥GD.

解析：取 DG 的中点为 M，连接 AM、FM，则 由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形， 所以 DE 綊 FM，
因为平面 ABC∥平面 DEFG，平面 ABC∩平面 ADEB＝ AB，平面 DEFG∩平面 ADEB＝DE， 所以 AB∥DE，所以 AB∥FM， 又 AB＝DE，所以 AB＝FM， 所以四边形 ABFM 是平行四边形，即 BF∥AM， 又 BF⊄平面 ACGD，AM⊂平面 ACGD， 故 BF∥平面 ACGD，故选 A.
三
平行问题探究
【例 3】如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1A⊥平面
ABC，若 D 是棱 CC1 的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE∥平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请 说明理由．
解析：存在点 E，且 E 为 AB 的中点．
下面给出证明： 如图，取 BB1 的中点 F，连接 DF，则 DF∥B1C1， 又因为 DF⊄平面 AB1C1，B1C1⊂平面 AB1C1，所以 DF∥平 面 AB1C1.
2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则 BD1与平面ACE的位置关系为 .
解析：如图．连接 AC，BD 交于 O 点，连接 OE，因为 OE∥BD1，而 OE⊂平面 ACE，BD1⊄平面 ACE，所以 BD1∥平 面 ACE.
3．如图，在几何体ABCDEFG中，平面ABC∥平面 DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( A ) A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABED C．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF
解析：若两条直线和同一平面所成的角相等，这两条直 线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以 A 错； 显然，当三点共线时，两平面可以相交，故 B 错；若两个平 面垂直于同一个平面，两平面可以平行，也可能垂直，故 D 错．故选 C.