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浅谈数学教学中的反证法摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所帮助。
关键词：反证法，思维流程，教学实践一、反证法是一种重要的数学证明方法所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定要证命题的真实性1。
因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。
二、反证法在数学中的应用（一）反证法的特点及应用反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。
我们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。
反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。
种类：我们使用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。
模式：设定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。
反设：首先设定与求证结果相悖的内容。
反设—假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。
归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键环节。
结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。
（二）反证法在中学数学中的应用领域反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。
反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。
反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。
浅谈反证法在中学数学中的应用摘要：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。
关键词：反证法证明矛盾1. 引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。
数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。
2. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
不仿设原命题为qp→，s是推出的结论，s一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：()qpssqp→⇔Λ→→，即()qpssqp→⇔Λ→Λ。
逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。
根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
3. 反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。
那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。
浅谈中学数学中的反证法摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。
反证法亦称“逆证”。
其不仅是一种论证方法，对提升学生创新性思维能力与概念思维能力具有积极作用，从某种角度可以说，反证法还是一种思维方式，其还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。
反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。
所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍逆证在中学数学中的实际运用并论述了逆证应用的具体需要注意的一些问题。
关键词：反证法；中学数学；应用；On the Proof by Contradiction in Middle SchoolMathematicsAbstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;目录目录浅谈中学数学中的反证法 (1)1 引言 (1)2 反证法的产生 (1)2.1古希腊的反证法 (1)2.2 中国古代数学中的反证法 (2)3 反证法的定义与步骤 (2)3.1 反证法的定义 (2)3.2反证法的解题步骤 (2)4 反证法的分类与科学性 (4)4.1反证法的分类 (4)4.1.1归谬法例题 (4)4.1.2穷举法例题 (4)4.2反证法的科学性 (5)4.2.1反证法的理论依据 (5)4.2.2反证法的可信性 (5)4.3为什么要使用反证法 (6)5 反证法在中学数学中的应用 (6)5.1基本命题，即学科中的起始性命题 (6)5.2命题采取否定形式 (7)5.3有关个数的命题 (9)5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题 (10)5.5不等式类型 (11)5.6几何类型题 (12)6 使用反证法解题过程中要注意的问题 (13)6.1反设要正确 (13)6.2 要明确推理特点 (13)6.3能灵活运用 (13)6.4 反证法与举反例不等同 (14)6.5熟悉矛盾的种类 (14)7 总结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)浅谈中学数学中的反证法1 引言反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”、矛盾证法;。
本科生毕业论文浅谈中学数学中的反证法院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学班级: 2008级数学与应用数学(2)班学号： 200807110211 姓名：黎康乐指导教师：陈志恩完成时间: 2012年5月26日浅谈中学数学中的反证法摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中,最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．并总结出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果.关键词:反证法假设矛盾结论Abstract：The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two。
In indirect proof，the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge，but is scattered，of the concept, application procedures，the scope of use of not understanding of the system，and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects，through all the questions put to the above system induce，this will help the students to learn the required system，improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect。
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
毕业论文学生姓名XXX 学号1610010XXX 学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈中学数学中的反证法XXX 副教授/博士指导教师2014 年 5 月摘要：反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用。
关键词：反证法,适用范围，假设Abstract：Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view。
In this article，we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it。
Furthermore，we applied it in Mathematics in middle school.Key word: Proof by contradiction，scope of application ，hypothesis目录1引言 (4)2反证法的概述 (4)3 反证法的适用范围 (5)4运用反证法应该注意的问题 (10)总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)1 引言1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证:假设假设亚里士多德的断言是正确的。
设物体a 比物体b 的重量重很多，则a 应比b 先落地。
现在把物体a 和b 绑在一起成为物体c ，则c =a +b 。
一方面，由于c 比a 要重,它应该比a 先落地.另一方面，由于a 比b 落得快,a 、b 一起的时候，b 应该是“拉了a 的后腿”迫使a 的下落速度减慢，所以,物体c 应该比a 后落地.这样一来，c 应比a 先落地又应比a 后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的。
目录一反证法的概念二反证法的逻辑依据、种类及步骤（1）反证法逻辑依据（2）反证法种类（3）反证法步骤三中学数学中宜用反证法的适用范围（1）否定性命题（2）限定式命题（3）无穷性命题（4）逆命题（5）某些存在性命题（6）全称肯定性命题（7）一些不等量命题的证明（8）基本命题四运用反证法应该注意的问题（1）必须正确否定结论（2）必须明确推理特点（3）了解矛盾种类浅谈反证法在中学数学中的应用论文摘要本文重点阐明反证法的概念，逻辑依据“矛盾律”和“排中律”，反证法的种类包括归谬法简单归谬法和穷举归谬法，反证法证明的一般步骤（反设、归谬、结论），证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便，否定性命题、限定式命题、无穷性命题、逆命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等量命题的证明、基本命题。
运用反证法应该注意的问题，必须正确否定结论、必须明确推理特点、了解矛盾种类。
关键词:反证法证明假设矛盾结论有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
一 反证法的概念反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
反证法是数学中常用的间接证明方法之一。
反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律。
通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真。
中学代数中,一些起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法来证明可收到较好的效果。
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是数学证明中常用的一种方法，通过假设命题的否定，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
在初中阶段的数学学习中，反证法的应用也是很常见的，特别是在解决一些复杂问题或者概念性问题时，反证法可以起到很好的作用。
本文将探讨反证法在初中数学解题中的应用，旨在帮助学生更好地理解和运用这一证明方法。
我们来看一下反证法的基本原理和步骤。
反证法的基本思想是：假设要证明的命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
具体的步骤可以总结为以下几点：1. 假设命题的否定：首先假设要证明的命题不成立，即假设所要证明的结论为假。
2. 推导出矛盾：在假设命题的否定的前提下，推导出一个矛盾来证明原命题的成立。
3. 得出结论：根据推导出的矛盾，得出结论，证明原命题成立。
在日常的数学解题中，我们经常会遇到一些问题需要利用反证法来解决。
比如在代数学中，对于一些不等式问题，常常需要利用反证法来证明。
下面我们通过几个具体的例子来探讨反证法在初中数学解题中的应用。
例一：证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即可以写成一个不可约分数p/q的形式，其中p和q是互质的整数。
即根号2=p/q，其中p和q互质。
然后我们将等式两边平方，得到2=p^2/q^2。
进一步推导得到p^2=2*q^2。
根据整数的性质，我们知道p^2必为偶数。
而假设p是偶数，那么p^2也必为偶数。
那么根据等式p^2=2*q^2，我们可以得出q^2也为偶数。
p^2和q^2都是偶数，那么我们可以将p和q都表示为2的倍数，即p=2m，q=2n。
代入到原等式中，得到(2m)^2=2*(2n)^2，化简得到2m^2=2*(2n)^2，进一步化简得到m^2=2*n^2。
这说明，m^2也为偶数。
这与我们最初假设的p和q互质矛盾。
因此我们得出结论，根号2是无理数。
通过这个例子，我们可以看到反证法在证明根号2是无理数的过程中是如何发挥作用的。
通过假设根号2是有理数，然后推导出矛盾，从而证明了根号2是无理数。
浅谈反证法第一篇：浅谈反证法浅谈反证法摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。
它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。
本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。
反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。
关键词：反证法数学学习正文：一：反证法的概念一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二：反证法的证明过程① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾;③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确三：反证法的适用范围(1)直接证明困难的(2)否定性命题(3)唯一性问题(4)至多、至少型命题四：理论依据从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。
像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。
五：常用词语原词语等于大于（>）小于（<）是都是否定词语不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能第二篇：反证法第1课时反证法一、学前准备1、复习回顾两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。
2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。
浅谈中学数学中的反证法数学作为高考的重要学科，一直以来备受学生和老师的关注。
因此寻求数学中解题方法，提高数学解题能力和数学成绩，成为探讨的对象。
在解题过程中如果能够找到适当的解题方法，就可以使问题简单化，更容易获取答案，而反证法正是数学解题方法的一种，它在数学领域中起着重要的作用。
下面从反证法的来源，反证法的定义，解题思路，适用范围和注意事项做一些简单的论述。
一、反证法的来源对反证法的认知，我们可以先由一个小故事引出：在古希腊时期，有三个哲学家，他们经常在一起争论一些事情。
有一天他们又聚在一起，并且进行了激烈的争论，加上天气的炎热，感到非常疲劳，于是在花园里的一棵大树下躺下休息，过了一会这三个哲学家就睡着了。
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都在取笑其他两个人，而没想到自己脸上也被抹黑。
隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。
那他到底是怎样觉察到的呢？实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非从正面直接看到，而是据他观察另外两人的表情之后，并进行分析、思考，从反面得出自己脸也被涂黑了。
小故事虽然简单，但却是数学上的重大发现，即反证的方法。
当从正面不容易解决问题时，就可以考虑运用反证法。
二、反证法的定义及理解一般的，由证明pq转向证明-qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定-q为假，推出q为真的方法，叫做反证法。
也即是说反证法是一种从反面思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性。
三、反证法的解题思路及步骤设要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般分下面三个步骤：1.反设：作出与要证结论相反的假设；2.归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理，导出矛盾；3.结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
毕业论文学生姓名XXX学号1610010XXX 学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈中学数学中的反证法XXX 副教授/博士指导教师2014年5月摘要: 反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法.在此文章中主要阐明了反证法的概念、证明的一般步骤、反证法的种类及其在中学数学中的应用.关键词：反证法，适用范围，假设Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis目录1引言 (4)2反证法的概述 (4)3 反证法的适用范围 (5)4运用反证法应该注意的问题 (10)总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)1 引言1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证：假设假设亚里士多德的断言是正确的.设物体比物体的重量重很多，则应比先a b a b落地.现在把物体和绑在一起成为物体，则=+.一方面，由于比要重，它应该a b c c a b c aa ab a b b a比先落地.另一方面，由于比落得快，、一起的时候，应该是“拉了的后腿”a c a c a a 迫使的下落速度减慢，所以，物体应该比后落地.这样一来，应比先落地又应比后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的.因此亚里士多德的断言是错误的.伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段.本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题.2 反证法的概述2.1 反证法的概念反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立.”这种证明方法叫做反证法.还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若则”,当为真，则（其中A B A B⌝⇒⌝⇒B A⌝B A B表示命题的否定）为真，当为假，则为假.B⌝⇒⌝⇒B A2.2 运用反证法的步骤运用反证法证题一般分为三个步骤：1）假设原命题不成立；2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾；3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论.2.3 反证法的种类应用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法.按照反设所涉及到的情况多少，反证法可以分为归谬反证法和穷举反证法两种.1）若结论的反面只有一种情况，那么，反设单一只须驳倒这种情况便可以达到反设的目的，这叫归谬反证法.2）若结论的反面不止一种情况，那么，要将各个反面情形都一一驳倒，最终才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法.3 反证法的适用范围我们知道，若一个数学命题形如“若A 则B ”式，一般都能够用反证法来证明.证题的实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效.3.1 否定性命题否定性命题即结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题.这样的命题在用直接证法时一般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，有望成功.例1 设、是公比不相等的两个等比数列.，证明数列不是等比数}{n a }{n b n n n c a b =+}{n c 列.证明 假设是等比数列.则 ,即}{n c 221n n n c c c ++=,()()()22211n n n n n n a b a b a b ++++++=+整理得到 . 22222211112n n n n n n n n n n n n a a a b b a b b a a b b ++++++++++++=++()*因为 ，是等比数列，所以 , .由式可得}{n a }{n b 221n n n a a a ++=221n n n b b b ++=()*.22112n n n n n n a b b a a b +++++=设 , ，则11n n a a q +=12n n b b q +=.2221122n n n n n n a b q b a q a q b q +=因为 ，所以 .即 ，所以 与已知条件两个等n n a b 0≠2221122q q q q +=()2120q q -=12q q =比数列公比不相等矛盾.所以不是等比数列.}{n c 分析 在这题中要求证明不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有}{n c 条件可寻，因此，在此时使用反证法，假设是等比数列，一个数列是等比数列是有条}{nc 件的，这使得证明变得有迹可循.3.2 限定性命题限定性命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.这类命题在证明时巧妙运用反证法会给证明带来意想不到的简便效果.例2 把44位同学分成若干小组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则证明至多分成8组.证明 假设44位同学分成组，且 .因为任意两组人数不相等，所以 n ()n N *∈9n ≥n 个小组的同学总共至少有人数为.()+1123++=2n n n ++ 因为，所以总共人数人，超过了已知的44人，与已知矛盾.所以 9n ≥()+12n n ≥910452⨯=至多分成8组.例3 设,则，，至少有一个不大于.(),,,0a b c ∈-∞1a b +1b c+1c a +2-证明 假设，，都大于.即1a b +1b c +1c a+2- , , .12a b +>-12b c +>-12c a+>-将三个式子相加，得++. （1）1a b +1b c +16c a +>-又因为 , ,.将三个式子相加，得12a a +≤-12b b +≤-12c c +≤-++. （2）1a b +1b c +1c a+6≤-结合（1）（2）两式，发现相互矛盾,则假设是错误的.所以，，至少有一个1a b +1b c +1c a +不大于.2-3.3 无穷性命题无穷性命题即涉及到各种“无限”结论的命题.证明无穷性命题时，直接证明故然能够得到结论，但运用反证法来证明可以简易很多.例4证明 质数的个数是无穷的.证明 假设质数的个数是有限的.不妨设有个质数，则可以将全体质数列举如下k .1,2,3,......k p p p p 令，123........+1k q p p p p =其中，是自然数.且不能被中任何一数整除，所以是质数.这与假设只有q q 1,2,3,......k p p p p q 个质数矛盾，因此质数的个数是无穷的.k 1,2,3,......k p p p p 3.4 唯一性命题唯一性命题即结论有“有且仅有”，“只有一个”等词语的论题.由做题的实践经验告诉我们，在证明唯一性命题时，使用反证法最为直接有效.例5 证明 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.已知点，直线.求证过点和直线平行的直线有且只有一条.p l p l a 证明 假设过点还有一条直线与直线平行. 因为 点在直线外,所以 点和直p b l p l p 线确定一个平面.在平面内过点能作出一条直线与直线平行.（由平面几何知识得）l ααp l 所以直线存在.因为直线// //,所以直线//.这与直线，共过点矛盾，故假设a l a l b a b a b p 不成立,所以直线是唯一的.故，过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.a 3.5 整除性命题整除性命题即结论有“能够整除”或者“能够被整除”等相近词语的论题.例6 设，都是整数，能被整除，证明 和都能被整除.a b 22a b +3a b 3证明 分三种情况：，都不能被整除.()1a b 3因为不能被整除，故不能被整除.同理 不能被整除.所以 不能被a 32a 32b 322a b +3整除，与已知相矛盾.能被整除，不能被整除.()2a 3b 3由此可知，能被整除，不能被整除,所以不能被整除，与已知相矛盾.2a 32b 322a b +3 不能被整除，能被整除,()3a 3b 3与同理，不能被整除，与已知相矛盾.()222a b +3由、、与已知矛盾可知，假设不成立.所以原命题成立.()1()2()33.6 某些存在性命题某些存在性命题即某些结论有“存在……使……、“存在满足条件的……”等词语的论题.这些命题在证明时需要更加灵活的运用反证法.例7设，求证：对于，存在有满足条件的，使得(),0,1m n ∈,A R B R ∈∈,m n 13mn Am Bn --≥成立.证明 假设对于一切的，使恒成立.[],0,1m n ∈13mn Am Bn --<令 ，则 .0,1m n ==13B <令 ，则 .1,0m n ==13A <令 ,得 .1m n ==113A B --<而 , 则产生矛盾.所以假设不成立，原命题成立.111111333A B A B --≥-->--=3.7 不等性命题不等性命题即如不等式等形式的论题. 在使用反证法时要注意结论的反面情况，若结论的反面情况有无穷多种，那么就不能够使用反证法.例8 当，证明 .330,0,2p q p q >>+=2p q +≤证明 假设则，即2p q +>()38p q +>,333()8p q pq p q +++>因为，故.于是332p q +=()2pq p q +>.()()3322()2pq p q p q p q p pq q +>=+=+-+又因为，即,所以，即, 此式不成立.所以假0,0p q >>0p q +>22pq p pq q >-+()20p q -<设不成立，当时.330,0,2p q p q >>+=2p q +≤例9 已知，且，证明.,,,a b c d R ∈1ad bc -=22221a b c d ab cd +++++≠证明 假设.22221a b c d ab cd +++++=把代入前式可得1ad bc -=,22220a b c d ab bc ad cd +++++-+=即.()()()()22220a b b c c d a d ++++++-=因为，所以.因为，则,,,a b c d R ∈0a b b c c d a d +=+=+=-=a b c d ===0ad bc -=与矛盾.所以假设不成立，原命题成立.1ad bc -=3.8 起始性命题学科中的起始性命题即是基本的定理、公理.此类命题因为已知条件和能应用的定理、公式、法则较少，或能推论出的结论很少，故用直接证明法较难，应用反证法来证明.例10 证明 两条相交直线有且只有一个交点.已知直线，相交于点，证明 ，只有一个交点.x y P x y P 证明 假设直线，相交不止一个交点.则至少有两个交点，.则直线是由，x y P Q x P 两点确定的直线，直线是由，两点确定的直线.即由，两点确定了两条直线，Q y P Q P Q ，.与已知公理“两点只确定一条直线”矛盾.所以 假设不成立，则两条相交直线有且x y 只有一个交点.例11 证明在一个三角形中，不能有两个钝角.已知是的三个内角，求证 中不能有两个钝角.,,A B C ∠∠∠ABC ∆,,A B C ∠∠∠证明 假设中有两个钝角.不妨设.则,,A B C ∠∠∠90,90B C ∠>︒∠>︒,.180A B C A ∠+∠+∠>∠+︒0A ∠>︒则.180A B C ∠+∠+∠>︒与已知公理“三角形的内角和为”矛盾.故假设不成立，即在一个三角形中，不能有两180︒个钝角.例12直线与平面相交于，过点在平面内引直线、、、PO αO O αOA OB OC ，证明 .POA POB POC ∠=∠=∠PO ⊥α （图1）证明 假设不垂直于平面.如图1所示，作并与平面相交于点，此时PO αPH ⊥ααH 、不重合，连接.由作于，于，根据三垂线定理知：H O OH P PE ⊥OA E PF ⊥OB F HE ,.⊥OA HF ⊥OB 因为, 是公共边，所以 .因此=.又=POA POB ∠=∠PO Rt POE Rt POF ∆≅∆OE OF OH ，所以 .所以 .因此，是的平分线.同理，OH Rt OFH Rt OEH ∆≅∆FOH EOH ∠=∠OH AOC ∠是的平分线.而和是两条不重合的直线，不可能同时作为和OH AOC ∠OB OC OH AOB ∠的平分线.产生矛盾.所以假设不正确.所以原命题成立，.AOC ∠PO ⊥α分析 在证明此类基本命题时，使用反证法证明比起直接证明有的好处是不必要再结合另外太多的定理，给论题的证明缩小了范围，同时也带来了方便和新的开拓思路.4运用反证法应该注意的问题4.1 必须正确否定结论运用反证法证明命题的第一步就是：假设命题的结论不成立.即假设结论的反面成立.在这一步骤中，须注意反设的正确，如果错误的“否定结论”，即使推理再好也会前功尽弃.要做出正确的反设，必须注意以下几点：1）分清命题的条件与结论、结论与反设间的逻辑关系.2）结论的反面常常不止一种，则需要反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏.3）一些常用词的否定形式列表词语词语的否定词语词语的否定是不是必有1个1个也没有n至多个一定是一定不是至少有个1n-都是不都是至多有1个至少有2个n至少有个大于小于或等于至多有个n+1xx存在一个不成立小于大于或等于所有都成立x 且或所有不成立x存在一个成立4.2必须明确推理特点否定结论从而导出矛盾是反证法的任务.但何时出现矛盾，出现什么矛盾是不可预测的，也没有一个机械标准.但一般总是在相关领域里考虑（相关的公理、定义、定理等），这是反证法的推理特点.因此，在推理前不必要先规定好要得出什么矛盾，只要正确的否定结论，严格遵循推理规则进行每一步有理有据的推理，总会出现矛盾.而矛盾一经出现，证明即告结束.4.3 了解矛盾种类反证法推理过程中，出现的矛盾是多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，也可能与已知的定义或公理，定理或性质相矛盾，可能与临时假设矛盾，也可能是推出一对相互矛盾的结果.总结反证法在中学数学中占有重要的地位，是一种重要的证明方法.反证法在数学命题的证明中有着直接证明所起不到的作用，若恰当的使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.反证法在数学学习的很多方面有着特殊的、不可替代的作用.它用其独特的思维方式和证明方法对培养学生的逻辑性思维能力和创造性思维能力有着重要意义.数学的证明时千变万化的，然而不变的是证明的步骤和证明的方法，反证法这种证明方法不仅可以在证明论题时单独使用，也可以结合其他的证明方法一起使用，在证明论题时灵活多变.而在证明较为复杂的论题时，反证法可以多次使用，只要我们熟练的掌握了反证法，在证明时能够正确又灵活的运用反证法，就能够做到精巧、有力、方便直接、论证严谨、有理有据、巧解难题，提高我们解数学题的能力.然而，反证法却是数学学习中比较难教和难学的内容.如何有效的提高和改良反证法的教学，是摆在中学数学教师面前的一个重要课题.我们要进行有效的数学教学，让学生真正的理解它、掌握它，从而能够熟练而灵活的运用它.参考文献[1] 蓝涧，南秀全，初中数学奥林匹克竞赛全真试题[M]，武汉：湖北教育出版社，2012.[2] 曲一线. 五年高考三年模拟高考理数[M]，北京：首都师范大学出版社，2013.[3] 高珑珑. 反证法例说[J]，中学数学月刊，1997,4:19-21.[4] 龙朝阳. 反证法的理论基础与适用范围[J]. 安顺师专学报，1999,2:3-4.[5] 程里春，张庆毓. 反证法[M].广州：广东人民出版社，2001.[6] 赵刊. 常见反证法解题的几种类型[J]. 中学数学教与学，2002,12:16-19.[7] 曹金敏. 浅谈数学证明中的反证法[J].现代交际，2010，12:40-43.致谢在论文即将完成之际，我的心情十分激动，从论文的选题、资料的收集、内容的排版到格式的规范，我得到了来自身边的老师、朋友、同学以及前辈们的热情帮助.首先，我要感谢我的论文指导老师，张新建老师，她是我见过最耐心最温柔最令人折服的老师，一开始我对于论文很是不知所措，选题还是收集资料都很迷茫，是张老师给我指点迷津，帮助我选出适合我的论文题，又为我开拓研究思路，在初期填写论文任务书时，我的填写格式总是不符合要求，已经晚上十一点了，是张老师守在电脑那头悉心帮我指出问题，并为我改正，也因此加长了张老师的工作时间，也影响了她的休息，可是张老师并没有任何怨言，她的耐心和对工作的一丝不苟给了我很大的启发和感动.在修改论文的过程中，张老师精心点拨、热忱鼓励我，就算是再细小的问题，她也及时指出并告诉我怎样改正，张老师用她严谨求实的态度和踏踏实实的精神再一次教给了我什么是老师，什么才叫为人师表，我要向张老师学习，虽然只有短短的几个月，可张老师教会我的远远不止写论文那么简单，她给了我终生受益之道，对张老师的感激之情是我无法用任何语言来表达的.其次，我要感谢我的朋友们，是他们在我遇到难题和写作瓶颈的时候给我帮助和鼓励.我想我不会忘记我们一起写论文，一起讨论问题，一起相互监督、相互加油打气的日子，在我写作论文的日子里，感谢有你们的陪伴和帮助.在此，我还要感谢已经毕业的学长学姐们，虽然我并不认识他们，也和他们不是同校毕业的，但是他们还是通过互联网给了我许多建议和意见，告诉我写论文常出现的问题，同时也帮助我规范了论文的格式.最后，我还要感谢我的母校，淮阴师范学院，在这四年里，我离开了家，离开了父母亲，来到了淮师，母校就是我这四年里的母亲，它养育了我，教育了我，相处四年，母校的教室、母校的操场、母校的一草一木我都会记在心间，在母校里是我一生中最美的时光，别了，淮师.由于我的学术水平有限，此篇论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友们批评指正.。
