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反证法几何练习题初二反证法是一种重要的数学证明方法，在几何学中也有广泛应用。
初二学生在学习几何知识的过程中，掌握和运用反证法可以帮助他们更好地理解几何概念和定理。
本文将介绍一些适合初二学生的反证法几何练习题，并解答它们。
1. 问题：证明如果一个三角形的三个内角之和不是180度，那么这个三角形一定不是一个普通的三角形。
解答：假设存在一个三角形ABC，其三个内角之和不是180度。
我们要证明这个三角形不是一个普通的三角形。
首先，假设这个三角形是普通的三角形。
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和必定是180度。
而现在我们的假设是三角形ABC的三个内角之和不是180度，所以我们的假设与事实相矛盾。
因此，我们可以得出结论：如果一个三角形的三个内角之和不是180度，则这个三角形不是个普通的三角形。
2. 问题：证明在任何直角三角形中，斜边的长度一定大于任意一条直角边的长度。
解答：假设存在一个直角三角形ABC，其斜边的长度不大于任意一条直角边的长度。
我们要证明这个假设是错误的。
首先，假设斜边AC的长度不大于直角边AB的长度。
根据勾股定理，斜边AC的长度的平方等于直角边AB的长度的平方加上直角边BC的长度的平方，即AC² = AB² + BC²。
由于斜边AC的长度不大于直角边AB的长度，所以AC²不大于AB²。
另一方面，根据直角边BC的长度不为0，我们可以得知BC²大于0。
因此，根据AC² = AB² + BC²，我们可以得出结论AC²小于AB²，这与我们的假设相矛盾。
因此，我们可以得出结论：在任何直角三角形中，斜边的长度一定大于任意一条直角边的长度。
通过以上两个例子，我们可以看到反证法在几何证明中的重要性和应用。
初二学生可以通过解决这些反证法几何练习题，提高他们的逻辑思维和数学证明能力。
希望本文可以对初二学生在几何学习中应用反证法有所帮助。
第六章 反证法在立体几何中的应用在立体几何中哪些命题适合应用反证法，我们进行了一些归纳，下面以实例来说明。
一、证明诸直线共面例题：求证：过一点和一条直线垂直的所有直线都在同一平面内。
已知：一点P 与一条直线l ，且a 、b 、c.......n 都垂直于l.求证：a 、b 、c.......n 在同一平面内。
证明：⎩⎨⎧⊥⊥=⋂bl a l P b a , α确定的平面b a l ,⊥⇒； 假设、确定的平面又面ααn a l n l a ,l ,pn ⊥⇒⎩⎨⎧⊥⊥⊄； 这样过一点有两个平面与直线l 垂直，与有且只有一个矛盾，那么α⊂pn ，故命题得证。
二、证明诸点共面例题：已知空间四点A 、B 、C 、D 满足2π=∠=∠=∠=∠DAB CDA BCD ABC ,求证：A 、B 、C 、D 共面。
证明：抓住四个角都是直角这一特征，容易联想到勾股定理进行比较，从二推出矛盾。
假设A 、B 、D α∈， C α∉，/C 是C 在α内的射影，连/C D,D C CD AD D C C C ADCD /// ⇒⊥⇒⊥⊥α ⑴同理B C CB / ⇒ ⑵D ABC D C B A ADAB AB B C AD D C ////,,,,,⇒∈⊥⊥⊥α且是矩形， 所以22/2//2BD D C BC D BC =+⇒=∠π⑶已知2222BD CD BC BCD =+⇒=∠π⑷ 由⑴⑵有 2/2/22B C D C CB CD ++由⑶⑷有 2/2/22B C D C CB CD +=+ ⇒矛盾，则C 一定在α内，即A 、B 、C 、D 共面。
三、证明两条直线异面例题1：已知两个不同平面βα、相交于直线l ，经过直线l 上两点A 和B 分别在α内直线 作AC ，β内作直线BD;求证：AC 、BD 是异面直线。
证明：假设 AC 、BD 共面，则 AC 、BD 所在平面βα点，即和过点，即和过A BC B AC 那么，βα、重合与已知矛盾；所以 AC 、BD 是异面直线。
1.下列哪个命题适合用反证法证明？A.两直线平行，同位角相等。
B.若a=b，则a2=b2。
C.三角形中至少有一个角不大于60°。
（答案）D.全等三角形的对应边相等。
2.使用反证法证明“√2是无理数”时，应先假设什么？A.√2是有理数。
（答案）B.√2是无理数。
C.√2是整数。
D.√2不是整数。
3.下列哪个步骤不是反证法的一般步骤？A.假设命题的结论不成立。
B.从假设出发，经过推理得出矛盾。
C.肯定假设正确，从而肯定原命题成立。
（答案）D.得出原命题成立的结论。
4.用反证法证明“三角形的内角和为180°”时，应假设什么？A.三角形的内角和不为180°。
（答案）B.三角形的内角和为180°。
C.三角形的外角和为360°。
D.三角形的内角和大于180°。
5.下列哪个命题不能用反证法证明？A.相邻的两个角不互补。
B.至少有一个角大于或等于60°的三角形存在。
（答案）C.两个连续整数的乘积不是完全平方数。
D.在三角形中，至少有一个角不大于60°。
6.使用反证法证明命题时，如果推出了与哪个条件矛盾，则说明假设错误？A.已知条件B.命题的结论C.已知条件、定义、定理或公理等（答案）D.假设的条件7.下列哪个选项不是反证法中的“归谬”步骤？A.导出与假设相矛盾的结论。
B.导出与已知条件相矛盾的结论。
（答案）C.导出与定义、定理或公理等相矛盾的结论。
D.导出与临时假设相矛盾的结论。
8.用反证法证明“正方形的对角线不相等”是错误的命题时，应先假设什么？A.正方形的对角线相等。
（答案）B.正方形的对角线不相等。
C.正方形的四条边相等。
D.正方形的对角线互相垂直。
9.下列哪个命题适合用反证法证明其不存在性？A.存在一个三角形，其内角和为181°。
（答案）B.所有三角形的内角和都为180°。
C.三角形的外角和为360°。
几何证明中的反证法与归纳法在几何学中，证明是一种基本的思维方式。
为了证明一个几何问题的正确性，数学家们使用了许多不同的方法。
其中，反证法和归纳法是两种常见的证明方法，它们在几何证明中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍几何证明中的反证法和归纳法，并探讨它们在解决几何问题中的应用。
一、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设问题的对立面，推导出矛盾的结论，以此证明原命题的正确性。
在几何证明中，反证法可以用来证明很多命题，特别是与平行线和垂直线相关的命题。
例如，我们要证明两条平行线之间的夹角等于180度。
首先，我们假设这两条线之间的夹角小于180度。
然后，通过推理和几何定理，我们可以得出两条平行线之间的夹角等于180度的矛盾结论。
因此，我们可以得出结论，两条平行线之间的夹角等于180度。
通过反证法可以简洁地证明一个命题的正确性，因为它只需假设一个假设，并通过推理得出矛盾的结论。
然而，反证法并不适用于所有的几何问题，有时候需要更加直接的证明方法，比如归纳法。
二、归纳法归纳法是一种证明数学命题的常用方法，它通过从特殊情况出发，逐步推广至一般情况，以此证明一个命题的正确性。
在几何证明中，归纳法常常用于证明关于面积、周长和角度的命题。
例如，我们要证明一个三角形的内角和等于180度。
首先，我们证明一个等边三角形的内角和等于180度。
然后，我们假设一个等腰三角形的内角和等于180度。
最后，我们通过推理可以得出结论，在一个任意的三角形中，内角和也等于180度。
通过归纳法可以一步步地推导出结论，从特殊到一般，使证明过程更加具体有效。
然而，归纳法的使用有时需要构造特定的几何图形，并且证明过程可能相对复杂。
在一些情况下，我们需要结合其他证明方法，如反证法，以获得更好的证明效果。
总结：在几何证明中，反证法和归纳法是两种常见的证明方法。
反证法通过假设问题的对立面，推导出矛盾的结论，以此证明命题的正确性。
归纳法则通过从特殊到一般的推广方式，证明命题在所有情况下的正确性。
初中几何反证法专题学习要求停了解反证法的意义，懂得什么是反证法。
® 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。
知识讲解证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推岀命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提升推理论证的水平、探索新知识的水平都是非常必要的。
下而我们对反证法作一个简单介绍。
1.反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2.反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假左条件下实行一系列的准确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否左原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。
这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知立理、公理和定义相矛盾，还能够是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还能够是从两个不同角度实行推理所得岀的结论之间相互矛盾(即自相矛盾)。
3.反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立：(2)从这个假设岀发，经过推理论证得出矛盾：(3)由矛盾判定假设不准确，从而肯左命题的结论准确。
简来说之就是“反设-归谬一结论"三步曲。
相平分。
证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB. CD均非OO直径, 可判泄M不是圆心0,连结OA、OB. 0NLVOA=OB, M 是AB 中点.・.OM丄AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边)同理可得：OM丄CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的泄理相矛盾。
故AB与CD不能互相平分。
例2.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，丄且MN= 2 (AD+BC)o求证：AD〃BC(2)证明：假设AD*BC,连结ABD,并设P是BD的中点，再连结NIP、PN。
在AABD中VBM=MA, BP=PD丄1_AMP= 2 AD,同理可证PN^ 2BC1_从而MP+PN= 2 (AD+BC)①这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MN〃AD, MN〃BC,得AD〃BC与假设AD*BC矛盾, 于是M、P、N 三点不共线。
初中几何反证法专题
学习要求
了解反证法的意义，懂得什么是反证法。
理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。
知识讲解
证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提升推理论证的水平、探索新知识的水平都是非常必要的。
下面我们对反证法作一个简单介绍。
1．反证法的概念：
不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而
证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2．反证法的基本思路：
首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下实行一系列
的准确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。
这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还能够是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还能够是从两个不同角度实行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。
3．反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不准确，从而肯定命题的结论准确。
简来说之就是“反设－归谬－结论”三步曲。
相平分。
（1）
证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。
∵OA＝OB，M是AB中点
∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边）
同理可得：
OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM
这与已知的定理相矛盾。
故AB与CD不能互相平分。
例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，
且MN＝（AD＋BC）。
求证：AD∥BC
（2）
证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。
在△ABD中
∵BM＝MA，BP＝PD
∴MP AD，同理可证PN BC
从而MP＋PN＝（AD＋BC）①
这时，BD的中点不在MN上
若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾，于是M、P、N三点不共线。
从而MP＋PN＞MN ②
由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）
相矛盾，
故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。
课堂练习
1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。
2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。
已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B 求证：m和n必相交。
3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H互相平分。
4．求证：直线与圆最多只有两个交点。
5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠B、∠C必为锐角。
1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°
则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°
这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。
故三角形中至少有一个角不大于60°。
2．证明：假设m和n不相交则
m∥n
∵m⊥l ∴n⊥l
这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。
故m和n必相交。
3．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。
∴AE∥BD，即AC∥BC
这与AC、BC相交于C点矛盾，
故假设AD、BE被交点H平分不能成立。
所以AD与BE不能被点H互相平分。
4．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，
M、N分别是弦AB、BC的中点。
∵OA＝OB＝OC
∴在等腰△OAB和△OBC中
OM⊥AB，ON⊥BC
从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。
所以直线与圆最多只有两个交点。
5．证明：假设∠B、∠C不是锐角，
则可能有两种情况：
(1)∠B＝∠C＝90°
(2)∠B＝∠C＞90°
若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理矛盾。
若∠B＝∠C＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理矛盾。
所以假设不能成立。
故∠B、∠C必为锐角。
本讲小结
对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则
可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并
使用好这种方法，对思维水平的提升大有裨益。
所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反面入手，实行准确的逻辑推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得
出结论的反面不成立，于是原结论成立。
反证法证题的一般步骤是：
(1)反设：将结论的反面作为假设；
(2)归谬：由“反设”出发，利用已学过的公理、定理，推出与已知
矛盾的结果；
(3)结论：由推出的矛盾判断“反设”错误，从而肯定命题的结论正
确。
使用“反证法”的关键：
反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果，所以，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。
“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”
命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的
命题都可考虑用反证法。
课后作业
1．求证：在平面上，不存有这样的凸四边形ABCD，使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。
2．在△ABC中，AB＝AC，P是内部一点且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。
3．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。
4．求证：在△ABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E，连结AD、BE，则AD和BE必定不能互相平分。
5．已知△ABC为不等边三角形，AD⊥BC于D点，求证：D点到AB、AC边的距离必不相等。
参考答案：
1．证明：假设存有凸四边形ABCD，
使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。
则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＜360°。
这与四边形ABCD中
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°矛盾。
故假设不能成立，所以原命题成立。
2．证明：假设PB PC，即PB＞PC或PB＝PC
(1)当PB＞PC时（如图）
在△PBC中，可得＜PCB＞∠PBC
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB，从而∠ABP＞∠ACP①
在△BAP与△CAP中
∵AB＝AC，AP＝AP，PB＞PC
∴∠BAP＞∠CAP②
由①②和三角形内角和定理，可得∠APB＜∠A PC，
这与已知∠APB＞∠APC相矛盾。
(2)当PB＝PC时，在△APB与△APC中
∵AP＝AP，BP＝CP，AB＝AC
∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC
这与已知∠APB＞∠APC相矛盾，
由(1)(2)可知假设PB PC不成立。
故PB＞PC。
3．证明：不妨设三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C
假设∠A、∠B、∠C中设有一个大于或等于60°，
则它们都小于60°。
即∠A＜60°、∠B＜60°、∠C＜60°
∴∠A＋∠B＋∠C＜180°这与三角形内角和定理矛盾，
这说明假设不成立。
故∠A、∠B、∠C中至少有一个大于或等于60°。
4．证明：假设AD和BE互相平分于P点，则ABDE应是一个平行四边形。
所以AE∥EB，即AC∥BC
这与AC与BC相交于C点矛盾，
故假设AD与BE互相平分不能成立。
所以AD和BE必定不能互相平分。
5．证明：作BE⊥AB于E，DF⊥AC于F
假设DE＝DF，则∠1＝∠2
∵AD⊥BC
∴∠B＝90°－∠1
∠C＝90°－∠2
∴∠B＝∠C
∴ AB＝AC这与△ABC为不等边三角形矛盾。
故假设不能成立，即D点到AB、AC边的距离必不相等。
