高中数学方法解之反证法

反证法——要点解密反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。

一般用于直接证明条件较少，关系不明确，问题形式较抽象，而其反面较具体、较容易发现入手点等，正所谓“正难则反”，这也是转化思想的体现。

1．反证法证题的基本步骤（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。

注：这里所说的矛盾常常有以下四种情形：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与已知的定义、定理、公理矛盾；自相矛盾。

2．反证法解决的常见题型：（1）否定性问题：（2）存在性问题；（3）唯一性问题：（4）分类性问题。

例1 若,x y∈{正整数}，且2x y+>。

求证：12xy+<或12yx+<中至少有一个成立。

分析：注意到“至少”字样，可考虑用反证法证明。

证明：假设12xy+≥与12yx+≥同时成立，又0,0x y>>，∴12, 12.x yy x +≥⎧⎨+≥⎩将以上两式相加得2x y+≤，这与已知条件2x y+>矛盾，因此假设不成立。

故12x y +<或12y x+<中至少有一个成立。

导评：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若p 则q 为真”，该证“若p 则q ⌝为假”，因此，反证法的核心是从q ⌝出发导出矛盾。

例2 设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠中的a 、b 、c 均为整数，且()0f 、()1f 均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根。

分析：若直接证明否定性命题比较困难，故运用反证法处理。

证明：假设方程()0f x =有一个整数根k ，则20ak bk c ++=。

①∵()0f c =，()1f a b c =++均为奇数，∴a b +必为偶数，当k 为偶数时，令()2k n n Z =∈，则()224222ak bk n a nb n na b +=+=+必为偶数，与①式矛盾；当k 为奇数时，令()21k n n Z =+∈，则()()2212ak bk n na a b +=+++为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与①式矛盾。

反证法
1．反证法
【知识点的认识】
反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法．
【解题思路点拨】
用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论
2．反证法的一般步骤：
（1）分清命题的条件和结论；
（2）作出与命题结论相矛盾的假设；
（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
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浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。

这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。

反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。

这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。

根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。

下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。

证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。

根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。

但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。

因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。

通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。

虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。

一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。

如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。

反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。

通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。

使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。

因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。

在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。

这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。

反证法与数学归纳法是高中数学中两种重要的数学方法，它们在证明数学命题或结论时有着重要的作用。

反证法是一种间接证法，它是从否定结论出发，通过一系列的推理，最终得出矛盾，从而否定原结论。

在高中数学中，反证法常常用于证明一些否定结论的命题，例如：在等差数列中，是否存在正项数列，其中所有项的和为零。

首先，我们假设这个命题不成立，即不存在正项数列，其中所有项的和为零。

然后，通过一些推理，我们发现这与原命题的假设相矛盾，因此原命题成立。

数学归纳法是一种用于证明数学命题或结论的递归方法。

它分为两个步骤：第一步是证明当n=1时，命题成立；第二步是假设当n=k时，命题成立，然后证明当n=k+1时，命题也成立。

这两个步骤合起来，我们就可以得出原命题成立。

这两种方法在高中数学中都有广泛的应用。

反证法可以用于证明一些看似不可能成立的结论，例如：在三角形中，是否存在三条高交于一点。

数学归纳法可以用于证明一些复杂的数学问题，例如：在数列中，是否存在无穷多个项的公差为零。

总的来说，反证法和数学归纳法是高中数学中两种重要的数学方法，它们可以帮助我们证明一些复杂的数学问题。

高中数学反证法解题技巧高中数学中，反证法是一种重要的解题方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

在解题过程中，灵活运用反证法可以帮助我们更好地理解和解决问题。

本文将从几个具体的题目入手，介绍高中数学中常见的反证法解题技巧，并给出详细的解题思路和步骤。

一、证明两直线平行的反证法题目：已知直线l1和直线l2，证明若l1与l2的斜率相等，则l1与l2平行。

解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。

假设l1与l2不平行，即l1与l2有交点A。

由于l1与l2的斜率相等，所以l1与l2的斜率分别为k。

设直线l1的方程为y = kx + b1，直线l2的方程为y = kx + b2。

由于直线l1与l2有交点A，所以A点的坐标(x0, y0)同时满足l1和l2的方程。

代入l1的方程可得y0 = kx0 + b1，代入l2的方程可得y0 = kx0 + b2。

由此可得b1= b2，即l1与l2的截距相等。

然而，根据直线的性质，不平行的两条直线的截距必不相等。

因此，假设不成立，即l1与l2平行。

二、证明存在无理数题目：证明存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。

解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。

假设所有平方根都是有理数，即对于任意实数x，若x的平方是有理数，则x是有理数。

设x是一个无理数，即x不是有理数。

根据假设，x的平方是有理数。

那么根据平方根的性质，x的平方根也应该是有理数。

然而，这与x是无理数的前提相矛盾。

因此，假设不成立，存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。

三、证明存在无穷多个素数题目：证明存在无穷多个素数。

解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。

假设存在有限个素数p1,p2, ..., pn，它们是所有素数的完全列表。

考虑数M = p1 * p2 * ... * pn + 1，显然M大于p1, p2, ..., pn。

根据素数的定义，M要么是素数，要么可以分解为素数的乘积。

4.3.3反证法1．反证法的含义反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题2.反证法的严密性数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证法．有些命题不易用直接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真，这种证法叫做间接证法．数学中常用的间接证法有反证法．既然反证法是间接证法，那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的．3．反证法证题的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1、假设命题的结论不成立；2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．4．反证法的分类反证法中有归谬法和穷举法两种．原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法．5．反证法中常见的矛盾形式（1）与已知条件即题设矛盾；（2）与假设即反设矛盾；（3）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题；`（4）自相矛盾．6．反证法的适用范围（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；（2）命题的结论以否定形式出现时；（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；（6）关于存在性命题；（7）某些定理的逆定理．总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．反证法有进也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．1．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|< , |f(2)|< , |f(3)|< ,不可能同时成立【证明】假设|1+a+b|< , |4+2a+b|< , 及|9+3a+b|< 同时成立。

反证法一、填空题1. 用反证法证明命题"三角形的内角中至少有一个钝角"时反设是．2. 用反证法证明“如果，那么”，假设的内容是．3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于”时，与命题结论相矛盾的假设为．4. 用反证法证明命题“如果，，那么”，证明的第一个步骤是．5. 用反证法证明命题时，其结论为“直线在平面内”，那么假设的内容是．6. 用反证法证明命题“若正整数，，满足，则，，中至少有一个是偶数”时，反设应为．7. 用反证法证明命题："若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数"时，第一步应假设．8. 用反证法证明"一个三角形至少有两个锐角"，则反设是．9. 否定＂自然数，，中恰有一个偶数＂时，正确的反设是．10. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，则不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设，，中的两个角是直角，不妨设．正确顺序的序号排列为．11. 用反证法证明"若，则 "时，第一步反设应为．12. 命题“关于的方程的解是唯一的”的结论的否定是．13. 用反证法证明命题：“如果，，可被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，假设的内容应为．14. 用反证法证明命题"若实数满足，则中至少有一个是非负数"时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是．15. 用反证法证明“若，则或”时’应假设．16. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是．17. 用反证法证明命题："如果，是奇数，那么方程没有整数根"时，应该提出的假设是．18. 用反证法证明命题“若，是实数，且，则”时，应作的假设是．19. 和两条异面直线，都相交的两条直线，的位置关系是．20. 已知函数，，．对任意都有，且是增函数，则．二、解答题21. 已知，，．求证：，中至少有一个不小于．22. 设函数中，均为整数，且均为奇数．求证：无整数根．23. 设平面四边形的内角分别为，，，．求证：，，，中至少有一个角大于等于．24. 用反证法证明：如果一个三角形的两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等．25. 若，求证：，，不可能都是奇数．26. 已知，，，证明：，，都大于零．27. 已知直线与直线和分别交于，且，求证：过，，有且只有一个平面．28. 若，且，求证：与中，至少有一个成立．29. 用反证法证明："在同圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．"30. 已知数列和是公比不相等的两个等比数列，．求证：数列不是等比数列．31. 实数，，，满足，．求证：，，，中至少有一个是负数．32. 求证：当关于的方程有两个不相等的非零实数根时，．33. 已知，且，．求证：，，，中至少有一个是负数．34. 已知，为夹在两个平行平面，间的线段，，分别为线段，中点，求证：平面．35. 已知的三边长，，的倒数成等差数列，求证：．36. 在中，，，的对边分别为，，，若，，三边的倒数成等差数列，求证：．37. 证明：，，不可能是同一等差数列中的三项．38. 已知函数，证明方程没有负数根．39. 求证：一元二次方程（）至多有两个不相等的实数根．40. 证明：对于直线，不存在这样的实数，使得直线与双曲线的交点，关于直线（为常数）对称．答案第一部分1 假设三角形的内角中没有钝角2 如果，那么3 假设三角形的三个内角都不大于4 假设与不平行5 假设直线平面6 假设，，都是奇数7 ，，都不是偶数8 一个三角形至多有一个锐角9 自然数，，都是奇数，或至少有两个偶数10 ③①②11 假设成立12 关于的方程无解或至少两解13 ，都不能被整除14 全是负数15 且16 存在一个三角形，其外角至多有一个钝角17 假设方程有整数根18 或19 异面20第二部分21 假设，都小于，即，，则有．而．这与假设得出的结论相矛盾，故假设不成立．所以原结论成立．22 假设有整数根，则．而，均为奇数，即为奇数，为偶数．则同时为奇数或同时为偶数，为奇数．当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数．即为奇数，与矛盾．所以无整数根．23 假设，，，四个角均小于．则．这与四边形内角和等于矛盾．所以，，，中至少有一个角大于等于．24 假设这两边所对的角相等，那么这两条边就相等．这与已知矛盾．故原命题成立；25 假设，，都是奇数，则，，都是奇数，因此为偶数，而为奇数．即，与矛盾，所以假设不成立．原命题成立．26 假设，，不都大于，不妨设，因为，所以，由，得，所以，与已知矛盾．又若，则与矛盾，所以必有．同理可证，．所以，，都大于零．27 因为，所以过，有一个平面．又，，所以，，所以，，又，，所以．所以过，，有一个平面．假设过，，还有一个异于平面的平面，则，，，这与，过，有且只有一个平面相矛盾．因此，过，，有且只有一个平面．28 证明：假设都不成立，即，成立．因为，所以，，所以所以，与已知矛盾，所以假设不成立，所以原结论成立．29 证明：假设在同圆中，两条弦不等而它们的弦心距相等，即，则、中，即与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立．30 假设是等比数列，则，，成等比数列．设，的公比分别为和，且，则，，，．因为，，成等比数列，所以，即．所以．所以．所以．所以．所以，与已知矛盾．所以不是等比数列．31 假设，，，都是非负数．则，即．这与已知矛盾，所以假设不成立．故，，，中至少有一个是负数．32 假设．（i）若，，方程变为；则是方程的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．（ii）若，，方程变为；但，此时方程无解，与有两个不相等的非零实数根矛盾．（iii）若，，方程变为，方程的根为，，这与方程有两个非零实根矛盾．综上所述，可知．33 假设，，，都是非负数，，．．这与＞矛盾．所以假设不成立，即，，，中至少有一个负数．34 （）若，在同一平面内，则平面与平面，的交线为，．因为，所以，又，为，的中点，所以．又在平面内，不在平面内，所以．（）若，不共面，如图所示，过作交于，取中点，连接，，．由，可知，确定平面．平面与平面，的交线分别为，，因为，所以．又，为，的中点，所以，．在中，，是，的中点，从而，，所以平面，又在平面内，所以．35 解法1：由已知，，成等差数列，所以，假设不成立，则，即是最大的内角，所以，，从而，，所以，这与矛盾．所以假设不成立，因此．解法2：由已知，，成等差数列，所以，，根据余弦定理，所以．36 假设不成立，即，从而是的最大角，是的最大边，即，．，，相加得，这与矛盾．故不成立．．37 假设，，是同一等差数列中的三项，不妨设此等差数列的公差为，则存在自然数，，使得，，从而，于是有，为无理数，这与为有理数相矛盾，所以假设不成立．故，不可能是同一等差数列中的三项．38 假设是方程的负数根，则，且．因为，所以，即，解得，这与矛盾，所以假设不成立，故方程没有负数根．39 假设方程（）至少有三个不相等的实数根，，，则得因为，所以同理化简得得因为，所以，这与相矛盾．所以一元二次方程（）至多有两个不相等的实数根．40 假设存在实数，使得，关于直线对称，设，，则有直线与直线垂直；点在直线上；线段的中点在直线上，所以由得由得由知，代入并整理得，这与矛盾．所以假设不成立，故不存在实数，使得，关于直线对称．。

反证法高效教学案例分享：如何让学生轻松掌握反证法？反证法是一种十分重要的数学证明方法，也是高中数学必修内容。

但是，很多学生在学习反证法时，都会感到困难重重。

如何教授反证法，让学生轻松掌握呢？下面，我将分享一些反证法的高效教学案例。

1.引入反证法的概念在教学反证法的时候，我们首先要引入反证法的概念。

我们可以通过举例子来讲解反证法的基本思想。

比如，一个简单的例子是：如果说A = B，而A中的某个元素在B中不存在，那么我们可以通过反证法来证明A=B不成立。

我们可以让学生尝试用正面的方法证明一下这个命题的正确性，再通过反证法来证明它的错误性。

这样做有助于让学生更加深入地理解反证法的思想。

2.给出练习题在教学反证法的时候，我们不仅要让学生理解反证法的基本思想，还要让学生掌握通过反证法解决问题的方法。

因此，我们可以给学生一些练习题，让他们自己尝试使用反证法来解决问题。

这些练习题可以从简单到难，让学生逐步掌握反证法的方法。

此外，在布置练习题的时候，我们要给学生足够的时间来思考和解决问题，让他们能够充分消化所学内容。

3.利用生活实例来教授反证法除了举例子来讲课和给出练习题外，我们还可以利用生活实例来教授反证法。

比如，我们可以让学生想象一下：假如教室里有100个人，而我们要推定一部分人是否戴帽子，该怎么做呢？这时，我们可以引导学生使用反证法来解决问题。

我们可以让学生想象一下：如果所有人都没有戴帽子，那么他们中间一定有相邻的两个人没有戴帽子；如果有人戴帽子，那么他们中间一定有相邻的两个人戴帽子。

这样，我们就可以通过反证法排除一些情况，进而得到正确答案。

4.引导学生独立思考我们在教学反证法的时候，也要给学生足够的自主学习空间。

我们可以将学生分成小组，让他们自己探讨和解决反证法的问题。

通过独立思考，学生不仅可以得到更深入的理解，还能够培养他们独立思考和问题解决能力。

在教学反证法的时候，我们需要重视学生的实际情况，引入生活实例，注重练习等方面的教学方法和手段，让学生轻松掌握反证法的方法和思想。