当前位置：文档之家 › Newton 法解非线性方程组

Newton 法解非线性方程组

  • 格式：docx
  • 大小：21.85 KB
  • 文档页数：2

Newton法解非线性方程组
一．题目重述：编程实现非线性方程组的牛顿解法，并求解如下方程组。

3x1−cos x2x3−0.5=0
x12−81x2+0.12+sin x3+1.06=0
e−x1x2+20x3+10π−3
3
=0
二．算法：
非线性方程组的牛顿法为：给定初始解向量x(0),对于k≥1生成
x(k)=x(k−1)−J x k−1−1F(x(k−1)).
三．编程实现：
这里用MATLAB程序实现，建立三个文件如下：
1.函数F(X)文件
function F =F( X)
F(1,1)=3*X(1)-cos(X(2)*X(3))-0.5;
F(2,1)=X(1)^2-81*(X(2)+0.1)^2+sin(X(3))+1.06;
F(3,1)=exp(-X(1)*X(2))+20*X(3)+(10*pi-3)/3;
end
2.J(X) 函数（即Jacobian矩阵）文件
function F1= F1(X )
F1(1,:)=[3,sin(X(1)*X(2))*X(3),sin(X(1)*X(2))*X(2)];
F1(2,:)=[2*X(1),-162*(X(2)+0.1),cos(X(3))];
F1(3,:)=[exp(-X(1)*X(2))*(-X(2)),exp(-X(1)*X(2))*(-X(1)),20];
end
3.解题脚本文件
文件名zu
%% 牛顿法解非线性方程组
clear;
X0=[0.1;0.1;-0.1];
for i=1:200
X=X0-F1(X0)\F(X0); %这里采用MATLAB的左除方法，避免算逆矩阵X0=X;
end
X
abs(0-F(X)) % 计算误差
四．编程实现结果：
在MATLAB中调用上述解题脚本文件（迭代200次），下图中的zu即为上述解题脚本文件名，而format long 是将MATLAB的显示结果调整为15位数字的形式，结果为
即解为：x1=0.5,x2=0,x3=−0.5236.(上面出现-0.00000000…的原因是由于MATLAB太过于精确，求得x2是一个绝对值非常小的负数，这里可取x2=0).
且误差为：10^-14*(0，0.0222，0.1776)，即已达到了10^-14的精度。

合集下载

解非线性方程组的牛顿迭代法

解非线性方程组的牛顿迭代法


为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
（1） 简化牛顿法，也称平行弦法.
xk 1 xk Cf ( xk )
其迭代公式为 （4.7）
C 0,1 ,.
迭代函数 ( x) x Cf ( x).
若在根 x * 附近成立 ( x) 1 Cf ( x) 1 ，即取 0 Cf ( x) 2，则迭代法（4.7）局部收敛.
8
xk
C 2 C
q2
k
1 q
2k
.
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛. 例8 解 求 115 .
表7 6 计算结果 k 0 1 2 3 4 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
f ( x) , f ( x)
由于
( x)
f ( x) f ( x) . 2 [ f ( x)]
假定 x *是 f ( x) 的一个单根，即 f ( x*) 0, f ( x*) 0 ， 则由上式知 ( x*) 0 ，于是依据定理4可以断定，牛顿法 在根 x *的邻近是平方收敛的.
准备 迭代
x0 ，计算 f 0 f ( x0 ), 选定初始近似值
步骤2
按公式
x1 x0 f 0 / f 0
迭代一次，得新的近似值 x1，计算 f1 f ( x1 ), f1 f ( x1 ). 步骤3 控制
x1 满足 1 如果
f1 2 ，则终 或
5
止迭代，以 x1作为所求的根；否则转步骤4. 允许误差，而
3
又因
( x*)
f ( x*) , f ( x*)
牛顿法解非线性方程组

牛顿法解非线性方程组

一、求根方法原理把非线性函数f(x)=0在x0处展开成泰勒级数取其线性部分，作为非线性方程的近似方程，则有 , 设，则其解为,再把f(x)在x1处展开为泰勒级数，取其线性部分为的近似方程，若，则得，如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：，通过迭代，这个式子必然在的时候收敛。

整个过程如下图：牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。

二、求解步骤1. 选取一个接近函数零点的自变量 x 值作为起始点。

2. 使用如下的迭代公式更新近似解。

3. 如果得出的解满足误差要求，终止迭代，所得的值即视为方根根的近似解。

三、自定的非线性方程使用牛顿迭代法近似求解如下方程在[-1, 1]之间的根：四、源程序代码clear, close allclcf = @(x) cos(x) -x.^3;f_prime = @(x) -sin(x) -3*x.^2;error = 1; %初始化误差变量iter = 0; %初始化迭代次数变量max_iter = 5000; %定义最大允许迭代次数tol = 1e-8; %定义循环终止误差x0 = 0.5; %初始值while error > tol && iter <= max_iterx = x0 - f(x0)/f_prime(x0); %更新x的值error = abs((x-x0)/x0); %计算相对误差iter = iter +1; %更新迭代次数x0 = x; %计算出的x赋值给x0，继续迭代，直到达到误差条件。

end五、上机运行结果截图六、结论1.迭代法是求解非线性方程组的一种很好的方法，它可以反复校验根的近似值，直到得出符合精度的解。

从几何角度上来解释可以解释为两个函数的无限逼近2.我们为了加快迭代的速度，引入了牛顿法，牛顿法的收敛速度很快，但是其收敛性取决于牛顿法的取值。

3.。

数值分析 数值分析 Newton迭代法求解非线性方程实验

数值分析 数值分析 Newton迭代法求解非线性方程实验

intf("%Lf\n",u[k][j]);
}//计算出u[i][j]并输出.
第二部分 for(i=k+1;i<n;i++)
{s=0.0;
for(r=0;r<k-1;r++)
{s=s+l[k][r]*u[r][k];}
l[i][k]=(a[i][k]-s)/u[k][k];
printf("%Lf\n",l[i][k]);
{s=0.0;
for(r=0;r<k-1;r++)
{s=s+l[k][r]*u[r][k];}
l[i][k]=(a[i][k]-s)/u[k][k];
printf("l[%d][%d]%Lf\n",i,k,l[i][k]);}
}
}
六、实验结果
七、上机实验体会
在这个试验中同样叶出现了很多问题，对L，U的求解输出中，输出的位置的不同，结果也就会出差错.经过多次调整，结果总算输出了.
通过此次试验，我理解了多重循环的运用，并了解了古人的聪明智慧，]讲将复杂问题简单化，现在的大学生们，应该学习他们的创新及钻研精神。
for(k=0;k<n;k++)
{for(j=k;j<n;j++)
{s=0.0;
for (r=0;r<k-1;r++)
{s=s+l[k][r]*u[r][j];}
u[k][j]=a[k][j]-s;
printf("u[%d][%d]=%Lf\n",k,j,u[k][j]); }
for(i=k+1;i<n;i++)
Newton迭代法求解非线性方程

Newton迭代法求解非线性方程

Newton迭代法求解非线性方程Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ?=x k +f (x k )f (x k )?(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。