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现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=错误!未找到引用源。
，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点错误!未找到引用源。
系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态错误!未找到引用源。
状态空间表达式名词解释
状态空间表达式是一种描述系统动态行为的数学模型，通常是用微分方程的形式表达出来。
状态空间模型包括了系统的全部动态信息，即它描述了系统的所有状态如何随时间变化。
状态空间模型是现代控制理论的基础，也是许多先进控制策略设计的重要工具。
状态空间表达式的构成主要包括状态变量、控制输入变量与输出变量。
状态变量是描述系统状态的最少数量的变量，决定了系统的运动状态，反映了系统过去
发展到现在的历史，在任何给定时刻，状态变量集合的值可以确定系统的全部行为。
控制输入变量是由外部控制系统的量，它影响系统的状态变量的变化。
输出变量是系统对外输出的量，它受系统的状态变量和控制输入变量的共同影响。
一般来说，状态空间模型的建立需要通过确定状态变量、控制输入变量和输出变量，然后根据它们之间的功能关系，以微分方程的形式给出状态空间表达式。
这种模型描述了系统内部的动态行为，不仅能够反映系统在任何状态下的动态响应，还可以预测系统未来的运动状态。
总体上，状态空间表达式主要用于系统分析和设计，包括稳定性分析、可控性和可观测性分析以及控制器设计等。
在实际工程中，状态空间表达式也被广泛应用于各类系统的建模和仿真，例如机械系统、电子系统、环境系统和经济系统等。
通过状态空间建模，工程师能全面了解系统的特性和行为，从而实现有效的系统分析和设计。
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态和输入u作用下的状态运动x（t）分解为由初始状态和输入u分别单独作用所产生的运动和的叠加。
第一章：状态空间表达式状态变量、状态矢量、状态空间、状态方程、输出方程、状态空间表达式。
系统矩阵A、控制矩阵b、输出矩阵C、直接传递矩阵d。
状态空间表达式的模拟结构图：绘法积分器=状态变量数，将积分器放到适当的位置。
每个积分器的输出表示相应的状态变量，然后根据状态方程和输出方程画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
状态空间表达式的建立：从系统框图出发，将系统框图变模拟结构图：将系统分解成多个一阶环节，再将一阶环节S前的系数化1，则提出了相应的增益系数和反馈系数。
实现问题：将微分方程和传递函数转化成状态空间表达式。
并非所有的微分方程和传递函数都能实现，实现的条件是m<=n。
当m=n时，d阵不为零。
实现是非唯一的，同一实现的特征根是相同的。
没有零极点相销的传递函数的实现称为最小实现。
传递函数中没有零点的实现（微分方程等号右端无输入函数的导数项）。
A为友阵，b的最后一行=1，c的第一列为b0，其他位置元素=0。
其中1和b0的位置可换。
它们对应着两种不同的系统框图。
前者是把b0放在y之前，后者是把b0放到u之后。
后者的状态变量是前者的b0倍。
传递函数中有零点的实现（微分方程等号右端有输入函数的导数项）。
实现步骤：化为真有理分式，选取中间变量Y1（s）=分母分之U（s），带入原传递函数，写出微分方程，画出模拟结构图，建立空间表达式。
A为友阵，b的最后一行=1其他位置元素=0，c是真有理分子系数由低次到高次排列成行，d=bn。
另一种化法：A为友阵，c的第一列=1其他位置元素=0，b 阵是β（n-1）到β0排成列。
d=bn=βn。
（记忆βi的求法），状态矢量的线性变换找任意非奇异变换阵T对原状态矢量X做线性变换，得到另一状态矢量Z。
同一系统经不同非奇异变换后，系统特征值不变。
特征矢量pi组成的T阵可以使系统标准化。
行阶梯型的化法：将A阵中第一行中a11化成1，以下的每一行减去第一行称相应的倍数，使第一列其他元素全为零；再将第二行的a22化成1…….行最简型的化法：（如何使aii不变，而aii上方的元素全为零）。
《现代控制理论》MOOC课程第一章控制系统的状态空间表达式第一章控制系统的状态空间表达式状态空间变量及状态空间表达式状态空间表达式的建立状态向量的线性变换从状态空间表达式求传递函数组合系统的状态空间表达式离散系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式经典控制理论：数学模型：传递函数)()()(s U s Y s G =uy∑G(s)传递函数的定义线性定常系统的传递函数是指在初始状态为零的条件下，系统输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比。
G(s)=Y(s)U(s)经典控制理论：数学模型：传递函数)()()(s U s Y s G =uy∑G(s)现代控制理论：Xuy∑数学模型：状态空间表达式《现代控制理论》MOOC课程1.1 状态空间变量及状态空间表达式一. 状态变量足以完全表征系统运动状态的最少个数的一组变量，称为状态变量。
完全表征) (t u1R1L2R2LC)(1ti)(2ti-)(tu c+)(),(),(210ctutiti)(tu已知：确定系统在任何t≥t0时间的动态行为。
只要给定状态变量的初值x(t0)以及t≥t0时刻的输入u(t)，就能够完全一. 状态变量最小性而增加变量的个数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
) (t u1R1L2R2LC)(1ti)(2ti-)(tu c+)(c tidttduti c)(C)(c=体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态行为，)(),(),(21tutiti c关于状态变量的几点说明状态变量是相互独立的。
对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统中独立储能元件的个数。
不能多，也不能少。
对同一个动态系统，状态变量的选取不是唯一的，但状态变量的个数是唯一确定的，) (t u1R1L2R2LC)(1ti)(2ti-)(tu c+)(),(),(21tutiti c状态变量1：)(),(),(21tititi c状态变量2：二. 状态向量由系统状态变量构成的向量，称为系统的状态向量。
20XX级自动化、建智《现代控制理论》知识点
一、状态空间表达式
1、知识点
①状态空间表达式（动态方程）的概念与意义；
②状态变量图（模拟结构图）；
③状态空间表达式的确定（给出原理图、微分方程或传递函数、动态结构图的三种情况）；
④由状态空间表达式计算传递函数(阵)；
⑤状态空间表达式的线性变换及其意义。
2、举例
例（见第1次作业）
二、状态空间表达式的求解
1、知识点
①状态转移矩阵及其与系统矩阵的相互转换；
②线性定常系统状态空间表达式的求解；
③状态空间表达式的近似离散化。
2、举例
例（见第2次作业）
三状态的能控性与能观性
1、知识点
①能控性（可控性）、能观性（可观测性）的概念、意义；
②线性定常系统的能控性、能观性的判别；
③状态空间表达式的标准型；
④状态空间表达式的结构分解。
2、举例
例（见第3次作业）
四、状态的稳定性
1、知识点
①状态稳定性的概念与意义；
②平衡状态的概念、意义与求取；
③用李雅普诺夫稳定判据判定系统状态的稳定性。
2、举例
例（见第4次作业）
五、系统综合
1、知识点
①状态反馈、输出反馈、状态观测器的概念及其意义；
②系统极点配置和全维状态观测器的设计。
2、举例
例（见第5次作业）。
《现代控制理论》MOOC课程
第一章控制系统的状态空间表达式
第一章控制系统的状态空间表达式状态空间变量及状态空间表达式
状态空间表达式的建立
状态向量的线性变换
从状态空间表达式求传递函数
组合系统的状态空间表达式
离散系统、时变系统和非线性系统
的状态空间表达式
经典控制理论：
数学模型：传递函数
)
()
()(s U s Y s G =
u
y
∑G(s)
传递函数的定义
线性定常系统的传递函数是指在初始状态为零的条件下，系统输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比。
G(s)=
Y(s)
U(s)
经典控制理论：
数学模型：传递函数
)
()
()(s U s Y s G =
u
y
∑G(s)
现代控制理论：
X
u
y
∑数学模型：状态空间表达式
《现代控制理论》MOOC课程
1.1 状态空间变量及状态空间表达式
一. 状态变量
足以完全表征系统运动状态的最少个数的一组变量，称为状态变量。
完全
表征
) (t u
1
R1L
2
R
2
L
C
)
(1t
i)
(2t
i
-
)
(t
u c
+)
(
),
(
),
(2
10
c
t
u
t
i
t
i
)
(t
u
已知：
确定系统在任何t≥t0时间的动态行为。
只要给定状态变量的初值x(t0)以及t≥t0时刻的输入u(t)，就能够完全
一. 状态变量
最小性
而增加变量的个数则是完全表征系统动态行为所不需要的。
) (t u
1
R1L
2
R
2
L
C
)
(1t
i)
(2t
i
-
)
(t
u c
+
)
(c t
i
dt
t
du
t
i c
)
(
C
)
(c=
体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态行为，
)(
),
(
),
(2
1
t
u
t
i
t
i c
关于状态变量的几点说明
状态变量是相互独立的。
对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统中独立储能元件的个数。
不能多，也不能少。
对同一个动态系统，状态变量的选取不是唯一的，但状态变量的个数是唯一确定的，
) (t u
1
R1
L
2
R
2
L
C
)
(1t
i)
(
2
t
i
-
)
(t
u c
+
)(
),
(
),
(2
1
t
u
t
i
t
i c
状态变量1：
)(
),
(
),
(2
1
t
i
t
i
t
i c
状态变量2：
二. 状态向量
由系统状态变量构成的向量，称为系统的状态向量。
的向量就称为系统的状态向量。
x=x1t
x2t
⋮
x n t
x=x1t x2t⋯x n t 或
若一个系统有n个状态变量x1t,x2t,⋯,x n t，把这n个状态变量作为分量所构成
三. 状态空间
1
x 2
x 3
x x (t)
系统任一时刻的状态均可表示为状态空间中的一个点。
系统状态随时间变化的过程，在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
以状态向量的每一个分量x 1t ,x 2t ,⋯,x n t 为坐标轴所构成的空间,称为状态空间。
四.状态方程
由系统状态变量构成的描述系统动态过程的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。
状态方程用于描述系统输入引起系统状态变化的动态过程。
u y
x
状态方程的一般形式为：x=A x+Bu
五.输出方程
式，称为系统的输出方程。
在指定系统输出y 的情况下，输出y 向量与状态向量x 及系统输入u 向量的函数关系 系统的状态和输入决定了系统输出的变化。
系统输出方程的一般形式为: y =Cx +Du
u y
x
六. 状态空间表达式
状态方程和输出方程总和起来，构成对一个系统的完整动态描述，称为系统的状态空间表达式。
对于n 个状态变量、r 个输入、m 个输出的动态系统，状态空间表达式的一般形式为：
x =A x +Bu
y =Cx +Du
,表征了输出与输入的关系，称为直接传输矩阵;
D ∈R m×r ,表征了系统内部状态的联系，称为系统矩阵;
A ∈R n×n ,表征了输入对状态的作用，称为控制矩阵；
B ∈R n×r ,表征了输出与状态变量的关系，称为输出矩阵;
C ∈R m×n
y
关于状态空间表达式的几点说明
状态空间表达式可以用系统方框图描述；
x =A x +Bu
y =Cx +Du x A
C ++
B u x න++D 输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化；
状态空间表达式的方框图，只含有比例、积分、加法三类基本环节；
在输出方程中，若无特殊声明，均不考虑输入向量的直接传输，即令D ＝0；
小结
状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态空间表达式的定义；
状态变量是相互独立的，从数学上来看是线性无关的。
对同一个动态系统，状态变量的个数是唯一确定的，但是状态向量的选取可以有无穷多种；
对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统中独立储能元件的个数。
状态空间表达式的方框图，只含有比例、积分、加法三类基本环节；。
