直线与平面所成的角教案

第九章 立体几何

28 9.3.2 直线与平面所成的角

【教学目标】

1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．

2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．

【教学重点】

直线与平面所成的角．

【教学难点】

斜线与平面所成的角．

【教学方法】

本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．

【教学过程】

环节 教学内容 师生互动 设计意图

导

入 1．直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理．

2．直线与平面的位置关系．

直线与平面的位置关系利用表格进行提问（见课件）．

师：空间直线与平面垂直属于哪一种情况？

生：一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直

师：一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？ 本节内容是建立在线面垂直的基础之上的，所以学生必须对线面垂直的定义、判定定理和性质定理非常熟练．课前复习，为新课的学习扫清障碍．

新

课

1．平面的斜线

如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段．

如图，AB是平面的斜线，B是斜足，AB是斜线段．

2．直线与平面所成的角

从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示．

如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)；

教师给出定义．

学生理解并记忆定义．

重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线．

教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其

引导学生在理解的基础上记忆．

此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础．

B A

 数学基础模块 下册

29

新

直线与平面所成角（第一课时）

教材：人教版必修二（A） 授课教师： 周国灿

教学目标：（1）知识目标：①学生理解掌握直线和平面所成的角定义及定义的合理性.

②学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤.

（2）能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力.

（3）思想目标：学生进一步内化化归的数学思想方法.

教学重点：（1）直线和平面所成的角的定义的生成.

（2）求直线和平面所成的角的方法步骤.

教学难点：求直线和平面所成的角的方法步骤

教学方法：问题探索法及启发式讲授法

教 具：多媒体及传统教具

教学过程：

一、复习提问

一\直线和平面的位置关系有哪几种？

（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交 二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：

二、问题引入：

如图，怎样刻画不同斜线1l与2l相对同一

平面的位置呢？

三、直线和平面所成的角

一）斜线和平面所成的角的概念

一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角

二）规定：

（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角.

（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是0的角.

强调： （1）直线和平面所成的角的范围是：0,90 .

（2）定义 直线和平面所成角的可行性及合理性.

P

O A 

 2l

1l 四、立体精讲

例1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）A1C1与面ABCD所成的角

（2） A1C1与面BB1D1D所成的角

（3） A1C1与面BB1C1C所成的角

（4）A1C1与面ABC1D1所成的角

(例题说明：由简到难，由直观到作图逐步加深)

直线与平面所成的角的定义：

①直线和平面所成的角有三种：

a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。

c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00.

②取值范围：00≤θ≤900．

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”

最小角定理：

斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。

求直线与平面所成的角的方法: (1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在三角形中求角的大小．

(2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则

湘教版七年级下册

相交直线所形成的角

沿河六中：田川

【教学目标】：

知识与技能

1、理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念．

2、结合图形识别同位角、内错角、同旁内角．

过程与方法

经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力。

情感态度与价值观

培养学生的空间想象能力和数学思维能力。

【教学重难点】

重点：同位角、内错角、同旁内角的识别。

难点：分析图形

【教学过程】

一、情景导入

在同一平面内的两条直线有几种位置关系？

二、探究新知

邻补角、对顶角 1、观察思考：要求学生回忆用剪刀剪开纸张的过程，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角度也相应 。我们把剪刀的构成抽象为两条直线，就是我们要研究的两条相交直线所成的角的问题。

2、探索活动：

①任意画两条相交直线，在形成的四个角（∠1，∠2，∠3，∠4）中，两两相配共能组成 对角。分别是 。

3、对顶角的性质：完成推理过程

如图，∵∠1+∠2 = ，∠2+∠3 = 。（邻补角定义）

∴∠1=180°－ ，∠3 =180°－ （等式性质）

∴∠1=∠3 (等量代换)

或者∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），

∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．

由上面推理可知，对顶角的性质：对顶角 。 4.应用

例: 如图，已知直线a、b相交。∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数

解：∠3＝∠1＝40°（ ）。

∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°（ ）。

∠4＝∠2＝140°（ ）。

“三线八角”

利用PPT演示，如图，直线AB、CD与EF相交（或两条直线AB、CD被第三条直线EF所截）构成 个角。现在，我们来研究其中没有公共顶点．．．．．．的两个角的关系。