直线与平面所成的角教学设计

1 直线与平面垂直

一、教学目标

1. 知识与技能目标：掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义以及直线与平面垂直的判定定理。

2. 过程与方法目标：在教学过程中体现的主要数学能力及数学思想方法。

（1） 空间想象能力：认识空间图形的位置关系，遵循从较简单的位置关系认识较复杂的位置关系的原则，从空间的线线垂直过渡到线面垂直，逐步培养和发展学生的几何直观和空间想象能力。

（2） 转化的思想方法：在三维与二维空间的转化以及线面关系与线线的转化过程中，体现出转化的思想方法。

（3） 逻辑思维能力：通过对判定定理和其推论的证明以及应用，加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养。

3. 情感、态度与价值观目标：体验线面垂直的判定定理的发现过程和线面垂直的概念在实际问题中的应用，培养创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣。并注意在小组合作学习中培养学生的协作精神。

二、教学重点与难点

教学重点：直线与平面垂直的概念，直线平面垂直的判定定理及应用。

教学难点：直线平面垂直的判定定理证明思路的理解。

直线与直线垂直的证明思路的理解。

三、教学方法

“问题探究式”教学法，通过学生发现问题、分析问题和解决问题的过程，让学生主动参与到教学和学习活动中来，并且始终处于积极地动手操作、问题探究和辨析思考的学习气氛之中，形成以学生为中心的探究性学习活动。

四、教学过程

复习回顾：

新课认知：

1.直线与直线垂直

思考：

（1）正方体1111DCBAABCD中棱AB与BC是什么关系？棱AB与1AA呢？

（2）正方体1111DCBAABCD中与棱1BB垂直的棱有哪些？

直线与直线垂直的定义：

2 2.直线与平面垂直的定义

（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、电视塔与地面的位置有什么关系？

（2）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？

定义：

图示：

用符号语言表示为：

《二面角》教学设计

第二课时

1、进一步理解线面角的定义.提升学生的数学抽象素养.

2、掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法，提升学生的数学运算

素养

教学重点：掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法.

教学难点：灵活运用两种基本方法求线面角.

PPT课件．

一、整体概览

问题1：阅读课本第50-52页，回答下列问题：

（1）本节将要研究哪类问题？

（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？

师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.

预设的答案：（1）本节主要学习二面角第二课时用空间向量求二面角的大小．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．

◆教学目标

◆教学重难点

◆

◆课前准备

◆教学过程 设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架

二、探索新知

问题2：如果21nn，分别是平面21，的一个法向量,设21，所成角的大小为，通过作图讨论与21nn，的关系.

师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.

预设的答案：由图（1）（2）易知，21,nn或21,nn

特别的，21,sinsinnn

追问：根据上述解答过程,请同学们探究二面角为锐角和钝角时的余弦值情况.

师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.

预设的答案：已知为锐角,当21nn，为锐角时,=21nn，,21,coscosnn,当21nn，为钝角时,21,nn,21,coscosnn,所以恒有|,cos|cos21nn.

直线与平面垂直的判定

●三维目标

1．知识与技能

(1)经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义．(2)通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．

(3)理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题．

2．过程与方法

(1)通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．

(2)在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．

(3)尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．

3．情感、态度与价值观

经历线面垂直的定义和定理的探索过程，培养严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．

●重点难点

重点：直线与平面垂直的定义和判定定理．

难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．

重难点突破：以日常生活中见到的线面垂直的实例为切入点，通过“展示物体的支架图片直观感知”和“折纸的操作探究”两条途径让学生经历由特殊到一般，由具体到抽象，让学生增加线面垂直的感性认识的同时突出重点、突破难点．

(教师用书独具)

●教学建议

直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展．也是连接线线垂直和面面垂直的纽带，在教材中起到了承上启下的作用．鉴于本节知识的特点，建议采用“启发—探究”的教学方法，先利用投影仪展示多幅图片，使学生直观

感知线面垂直的定义；紧接着让学生动手参与折纸试验，并对试验现象进行观察分析和归纳概括；通过一系列的双边活动，帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过渡，从而完成定义的建构和定理的发现．最后通过典例及变式训练突出线面垂直判定定理的应用．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：如何定义直线与平面垂直？⇒引导学生通过观察图片及身边的事物，直观感知线面垂直并归纳出线面垂直定义.⇒通过引导学生动手实验理解线面垂直的判定定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握线面垂直的判定定理.

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（2）

一、内容和内容解析

1.内容

运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题等.

2.内容解析

选择性必修第一册中关于空间向量安排了四节内容，是必修第二册中平面向量内容的延续和拓展，空间向量基本定理的内容可以由平面向量的知识类比得到.空间向量的四节知识彼此渗透，彼此衔接，共同完成了空间向量的知识体系.本节重点是空间向量基本定理在解决立体几何问题中线与线、线与面和面与面夹角的问题.

在必修立体几何内容中，证明异面直线垂直、两直线平行以及异面直线成角的求法，已经有相应的定理、定义作为保证.空间向量基本定理中蕴含的基底法是解决向量问题的基本方法之一，空间向量应用在立体几何中，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难.利用空间向量基底法解立体几何问题，可以把抽象的立体几何问题平面化，转化为代数计算问题，并具有很强的规律性和可操作性.对于培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养有着重要意义.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角.

（2）理解直线与平面所成角与直线的方向向量和平面的法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角. （3）理解二面角大小与两个平面法向量夹角之间关系，会用向量方法求二面角的大小.

（4）让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用.

（5）通过本节学习，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．

2.目标解析

“空间向量的应用”主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点．为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”．同时，教科书还注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法．