直线与平面所成角教案

【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

【教学目标】

知识目标：

（1）了解两条异面直线所成的角的概念；

（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．

能力目标：

培养学生的空间想象能力和数学思维能力．

【教学重点】

异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．

【教学难点】

两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．

【教学设计】

两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．

例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．

斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．

两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．

二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】 2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学

过 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时间

*揭示课题

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

*创设情境 兴趣导入

在图9−30所示的长方体中，直线1BC和直线AD是异面直线，度量1CBC和1DAD，发现它们是相等的．

直线与平面所成角（第一课时）

教材：人教版必修二（A） 授课教师： 周国灿

教学目标：（1）知识目标：①学生理解掌握直线和平面所成的角定义及定义的合理性.

②学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤.

（2）能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力.

（3）思想目标：学生进一步内化化归的数学思想方法.

教学重点：（1）直线和平面所成的角的定义的生成.

（2）求直线和平面所成的角的方法步骤.

教学难点：求直线和平面所成的角的方法步骤

教学方法：问题探索法及启发式讲授法

教 具：多媒体及传统教具

教学过程：

一、复习提问

一\直线和平面的位置关系有哪几种？

（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交 二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：

二、问题引入：

如图，怎样刻画不同斜线1l与2l相对同一

平面的位置呢？

三、直线和平面所成的角

一）斜线和平面所成的角的概念

一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角

二）规定：

（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角.

（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是0的角.

强调： （1）直线和平面所成的角的范围是：0,90 .

（2）定义 直线和平面所成角的可行性及合理性.

P

O A 

 2l

1l 四、立体精讲

例1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）A1C1与面ABCD所成的角

（2） A1C1与面BB1D1D所成的角

（3） A1C1与面BB1C1C所成的角

（4）A1C1与面ABC1D1所成的角

(例题说明：由简到难，由直观到作图逐步加深)

案例剖析ANLI POUXI“向量法解决直线与平面所成角问题#，/学与思考◎李琳（广州市第七十五中学，广东广州510000）立体几何模块是高中阶段学习的重点,学生在《数学必 修2》的学习 上，结合空间向量又在选修2-1中补充学习，这不是简单的重复学习，而是 的视角对 的位置关系与度量问题进行学习，而且为解决立体几何中某 些用综合法解题时技巧性较大、随机性较强的问题提供了 一些 ，从而进一步提升学生的空间想象能力和几观能力•教师在教学过程中如何做到既注重基础知识的教 学，又能拓展学生的思维进 培养学生能力的目的？笔者以“向量法解决直线与平面所成角问题”的教学为 例展开论述.一、教学设计（一）课前导入有的放矢由于本节课不是概念课，也不是新授课,师生已经对教 材（人教A版选修2-1）《立体几何中的向量方法》进行了 学习，对空间向量这个工具的使用有了 一定的 认识，所以笔者设计了以下三道小题给学生课前完成：1•已知空间向量 a = （1，1，0 ），b = （ #，- 1，1），若 〈a，"〉=■"，贝》# =（ ）.A.0 或 4 B.0 C.4 D. 12.已知2（3，-1，4）,3（2，1，3），若子=# 壶，则 0 点的 坐标是（ ）•A. （3 - #，2# -1，4-入） B.（入，#-1，2入）C.（入,2#,2 -A） D. （3#,2 -#,#,）3•如图1所示，在棱长为4的正方体中，点0在 上，且C+ =宁C++,则直线02与平面A3CD所成角的余弦 值为_______•图1习题1的设计是检测学生向量夹角公式的掌握情况， 结果绝大部分学生错选成了 A,究其原因是学生忽视了向 量 的范围， 在计 程中对方程 平方会扩大变量的范围•如果学生在求解过程中列岀了式子:*?，注意到向量夹角为锐角时其数量积为正数，就 /2 /# +2可得岀#〉1，可以选岀正确答案C ；习题2的设计是为后面 例题1的变式做铺垫的,检测的知识点是向量共线的应用， 答题效果比较好.习题3的设计是借助一个正方体求直线 与平面所 的余弦值，这 有两个设计 ：其一是 用向量法和综合法都很容易入手，学生可以自由选择方法, 其二是题目求的是 与平面所成角的余弦值，若学生用量法解题的话这里是个 点，不少学生对向量法求岀的值到底是正弦值还是余弦值还有些混淆•因此，本节课的 课前导入就是通过习题帮助学生查缺补漏，并围绕本节课 的教学重点进行归纳小结,让学生 知识点、 考点，学习 程中做 中有数.（二）课中题型精选典型数学教学离不开解题教学，解题教学的首要工作就是 精选 •高中 的数学学习更多的是 培养学生的思维品质,达到提升学生学习能力的目的，因此，教师选取 的例题需有基础性、典型性和示范性的特征•笔者选取了如 作为课堂例题：例1 如图2所示，在三棱锥0-M3C中，0A丄平面 ABC,AC丄3C,D 为 0C 的中点,0A =AC=4,3C=2. N 为 AD 的中点，求0N与平面AD3所成角的正弦值•

一、定义法

例1 （ 如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为

AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。

（2）SC与平面ABC所成的角。

BMHSCA图1

2、在三棱锥ABCP中，6,30,120ABACBPCPBPA，则PB与平面ABC所成角的余弦值。

3、（2016年浙江高考）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（I）求证：BF⊥平面ACFD；

（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

4、（2016年天津高考）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，∠BAD=60o，G为BC的中点.

(Ⅰ)求证：FG||平面BED；

(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；

(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

5、在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=，AC=1，=，求与平面所成角的正弦值。（定义法、等体积法、向量法）

二、等体积法

1.如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AD//CD， 60DAB，FC 平面ABCD，

AE BD，CB =CD=-CF．(Ⅰ)求证：平面ABCD 平面AED；(Ⅱ)直线AF与面BDF所成角的余弦值

2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，ABE为等腰直角三角形，90BAE，且ADAE．（Ⅰ）证明：平面AEC平面BED．（Ⅱ）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．

C D 3.如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．（Ⅰ）求证：PC⊥DE；（Ⅱ）若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为，求PA的值．