第九章 立体几何
28 9.3.2 直线与平面所成的角
【教学目标】
1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．
【教学重点】
直线与平面所成的角．
【教学难点】
斜线与平面所成的角．
【教学方法】
本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．
【教学过程】
环节 教学内容 师生互动 设计意图
导
入 1．直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理．
2．直线与平面的位置关系．
直线与平面的位置关系利用表格进行提问（见课件）．
师：空间直线与平面垂直属于哪一种情况？
生：一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直
师：一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？ 本节内容是建立在线面垂直的基础之上的，所以学生必须对线面垂直的定义、判定定理和性质定理非常熟练．课前复习，为新课的学习扫清障碍．
新
课
1．平面的斜线
如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段．
如图，AB是平面的斜线，B是斜足，AB是斜线段．
2．直线与平面所成的角
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示．
如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)；
教师给出定义．
学生理解并记忆定义．
重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线．
教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其
引导学生在理解的基础上记忆．
此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础．
B A
数学基础模块 下册
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新
1 专题二：直线与平面所成角的求法
直线与平面所成角是空间三大角之一，它既是教与学的难点，又是高考的热点，为帮助同学们学好这一内容，本文系统介绍求直线与平面所成角的常用方法。
【复习回顾】1、直线和平面所成角的定义及范围：
求直线和平面所成角的步骤：
一、直接法
直接法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法，直接法的关键是确定斜线在平面内的射影，下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。
（1）定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（2）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直。
（3）三垂线定理：在 的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（4）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这个斜线的射影垂直。
(5) （教材P23〃例4）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上。
（6）（教材P25〃T6）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在平面的射影是这个角的平分线。
（7）若三棱锥的三条侧棱相等，则其顶点在底面上的射影是底面三角形的 。
例1、已知正四面体ABCD中，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成角的大小。
2
例2、如图2，在正方体中，E、F分别是AB与的中点，求与平面所成角的大小。
图2
总结：直接法的关键在于确定斜线在平面上的射影，一般用以下几种方法来确定：
（1）利用几何体本身的特殊性，如正棱锥的顶点在底面上的射影在底面中心上；三条侧棱相等的三棱锥的顶点在底面上的射影在底面外心等。
第 1 页 共 2 页 直线与平面所成的角
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内 第 2 页 共 2 页 的射影，通过解直角三角形求得．
直线与平面所成角（第一课时）
教材：人教版必修二（A） 授课教师： 周国灿
教学目标：（1）知识目标：①学生理解掌握直线和平面所成的角定义及定义的合理性.
②学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤.
（2）能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力.
（3）思想目标：学生进一步内化化归的数学思想方法.
教学重点：（1）直线和平面所成的角的定义的生成.
（2）求直线和平面所成的角的方法步骤.
教学难点：求直线和平面所成的角的方法步骤
教学方法：问题探索法及启发式讲授法
教 具：多媒体及传统教具
教学过程：
一、复习提问
一\直线和平面的位置关系有哪几种？
（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交 二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：
二、问题引入：
如图，怎样刻画不同斜线1l与2l相对同一
平面的位置呢？
三、直线和平面所成的角
一）斜线和平面所成的角的概念
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角
二）规定：
（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角.
（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是0的角.
强调： （1）直线和平面所成的角的范围是：0,90 .
（2）定义 直线和平面所成角的可行性及合理性.
P
O A
2l
1l 四、立体精讲
例1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
(例题说明：由简到难，由直观到作图逐步加深)
