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高一数学必修二第二章 平面向量向量练习

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必修四

平面向量

【知识整理】

1、向量：既有大小，又有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为0的向量．方向任意。

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；

②结合律：abcabc；

③00aaa．

⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则

1212,abxxyy．

设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则

1212,xxyy．

4、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．

⑵运算律：①aa； b a

C

abCC ②aaa；

③abab．

⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．

5、向量共线（平行）定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、0bb共线．

6、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）

7、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,xy，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy．（当时，就为中点公式。）1

8、平面向量的数量积： ⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则

①0abab．

②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或aaa．

③abab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212abxxyy．

若,axy，则222axy，或22axy．

设11,axy，22,bxy，则12120abxxyy． 必修四 平面向量

【强化练习】

一、选择题

1．化简ACBDCDAB得（ ）

A．AB B．DA C．BC D．0

2．设00,ab分别是与,ab向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）

A．00ab B．001ab

C．00||||2ab D．00||2ab

3．已知下列命题中：

（1）若kR，且0kb，则0k或0b，

（2）若0ab，则0a或0b

（3）若不平行的两个非零向量ba,，满足||||ba，则0)()(baba

（4）若a与b平行，则||||abab其中真命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．下列命题中正确的是（ ）

A．若ab＝0，则a＝0或b＝0

B．若ab＝0，则a∥b

C．若a∥b，则a在b上的投影为|a| D．若a⊥b，则ab＝(ab)2

5．已知平面向量(3,1)a，(,3)bx，且ab，则x（

）

A．3 B．1 C．1 D．3

6．已知向量)sin,(cosa,向量)1,3(b则|2|ba的最大值，

最小值分别是（ ）

A．0,24

B．24,4

C．16,0 D．4,0

二、填空题

1．若OA=)8,2(，OB=)2,7(，则31AB=_________

2．平面向量,ab中，若(4,3)a，b=1，且5ab，则向量b=____。

3．若3a,2b，且a与b的夹角为060，则ab 。

4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形

是___________。

5．已知)1,2(a与)2,1(b，要使bta最小，则实数t的值为___________。

三、解答题

1.已知向量a与b的夹角为60，||4,(2).(3)72babab,求向量a的模。

2．已知点(2,1)B，且原点O分AB的比为3，又(1,3)b，求b在AB上的投影。

3．已知(1,2)a,)2,3(b,当k为何值时，

（1）kab与3ab垂直？

（2）kab与3ab平行？平行时它们是同向还是反向？

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数学必修4 第二章《平面向量》测试题

数学必修4 第二章《平面向量》测试题

1 第二章《平面向量》测试题

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)

1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）.

A.(0,0)a，(1,2)b B.(1,2)a，(2,4)b

C.(3,5)a，(6,10)b D.(2,3)a，(6,9)b

2.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且ABa，ADb，则BE( ).

A.12ba B.12ba Ｃ. 12ab Ｄ. 12ab

3.若向量a与b不共线，0ab，且()()aabcaab，则向量a与c的夹角为（ ）.

A.π2 B.π6 C.π3 D.0

4.设i，j是互相垂直的单位向量，向量(1)3maij，(1)mbij，

()()abab，则实数m为（ ）.

A.2 B.2 Ｃ.21 Ｄ.不存在

5.已知向量a，b满足1a，4b，且2ab，则a与b的夹角为（ ）.

A．6 B．4 C．3 D．2

6.若平面向量b与向量(2,1)a平行，且||25b，则b( ).

A．)2,4( B．)2,4( C．)3,6( D．)2,4(或)2,4(

7.在四边形ABCD中，2ABab，4BCab，53CDab，则四边形ABCD是（ ）.

A.长方形 B.平行四边形 Ｃ.菱形 Ｄ.梯形

8.下列说法正确的个数为（ ）. 2 ①()()()ababab； ②abab；

高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法教案北师大版必修4课件

高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法教案北师大版必修4课件

1 2.2.2向量的减法

整体设计

教学分析

向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.

三维目标

1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.

2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.

重点难点

教学重点:向量的减法运算及其几何意义.

教学难点:对向量减法定义的理解.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.

思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.

推进新课

新知探究

提出问题

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？

③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?

人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积教案

人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积教案

ab数学学科必修4模块第二单元教学设计方案

第七学时～第八学时:第二方案

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义

一、教学目标

1.知识与技能：

掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义

2.过程与方法：

（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系

（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别

（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法

3.情感、态度与价值观：

通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。

二、教学重点、难点

重点：平面向量数量积的定义

难点：数量积的性质及运算率

三、教学方法：

探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程

四、教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

引入 以物理学中的做功为背景引入

问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？

力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

教师提出问题，学生思考 由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系

定义形成 问题：给一个精确定义

问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算

一、两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角

说明：

（1）当θ＝０时，a与b同向；

（2）当θ＝π时，a与b反向； 教师引导学生，

注意：

1.两向量必须同起点；

2.的取值范围；

3.数量积的定义公式形式；

4.注意特殊向量零让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性 （3）当θ＝2时，a与b垂直，记a⊥b；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180

二、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab =

高一数学必修4 第二章 平面向量 同步练习 2.3 第1课时

高一数学必修4 第二章 平面向量 同步练习 2.3 第1课时

第1页 2.3 第1课时

一、选择题

1．(08·广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝( )

A.14a＋12b B.23a＋13b C.12a＋14b D.13a＋23b

2．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD是( )

A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

3．(08·湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC→＝2BD→，CE→＝2EA→，AF→＝2FB→，则AD→＋BE→＋CF→与BC→( )

A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直

4．在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AM→＝4MC→，P为AD的中点，则MP→＝( )

A.45a＋310b B.45a＋1310b C．－45a－310b D．－34a－14b

5．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，其中O为坐标原点，则实数a的值为(

)

A．2 B．－2 C．2或－2 D.6或－6

6．已知△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s的值是( )

A.23 B.43 C．－3 D．0