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高中数学必修第二章平面向量公式及定义

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平面向量公式

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.

a+b=x+x',y+y'.

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：a+b+c=a+b+c.

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”

a=x,y b=x',y' 则 a-b=x-x',y-y'.

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.

当λ＞0时,λa与a同方向；

当λ＜0时,λa与a反方向；

当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向λ＞0或反方向λ＜0上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向λ＞0或反方向λ＜0上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：λa•b=λa•b=a•λb.

向量对于数的分配律第一分配律：λ+μa=λa+μa.

数对于向量的分配律第二分配律：λa+b=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积内积、点积是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.

向量的数量积的运算律

a•b=b•a交换律；

λa•b=λa•b关于数乘法的结合律；

a+b•c=a•c+b•c分配律；

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a•b=0.

|a•b|≤|a|•|b|.

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即：a•b•c≠a•b•c；例如：a•b^2≠a^2•b^2.

2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a•b=a•c a≠0,推不出 b=c. 3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积外积、叉积是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a‖b〈=〉a×b=0.

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

λa×b=λa×b=a×λb；

a+b×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；

② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；

② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.

定比分点

定比分点公式向量P1P=λ•向量PP2

设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数

λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比. 若P1x1,y1,P2x2,y2,Px,y,则有

OP=OP1+λOP21+λ；定比分点向量公式

x=x1+λx2/1+λ,

y=y1+λy2/1+λ.定比分点坐标公式

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

向量共线的重要条件

若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.

零向量0平行于任何向量.

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a•b=0.

a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.

零向量0垂直于任何向量.

1、线性运算

①a+b=b+a ②a+b+c=a+b+c ③λμa=λμa. ④λ+μa=λa+μa. ⑤λa±b=λa±λb ⑥a,b共线→b=λa

2、坐标运算,其中ax1,y1, bx2,y2

①a+b= x1+x2,y1+y2 ②a-b= x1-x2,y1-y2 ③λa=λx1,λy1 ④点Aa,b,点Bc,d,则向量AB=c-a,b-d ⑤点Aa,b,点Bc,d,则向量BA=a-c,b-d

3、数量积运算

①ab=∣a∣∣b∣cosθ ②ab=ba 交换律

③λab=λab =a λb结合律,注意向量间无结合律

④a±bc=ac±bc分配律 ⑤若ab-c=0,则b=c或a垂直于b-c

⑥a±b2=a2±2ab+b2 ⑦a+ba-b=a2-b2

⑧ax1,y1, bx2,y2,则ab=x1x2+y1y2,∣a∣2 =x2+y2,∣a∣=√x2+y2 a垂直于b→x1x2+y1y2=0；一般地,a与b夹角θ满足如下条件： cosθ=ab/∣a∣∣b∣=x1x2+y1y2/√x12+y12√x22+y22

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高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量

1 高中数学必修4知识点总结

第二章

平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；

②结合律：abcabc；③00aaa．

⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．

设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,xxyy．

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．

20、向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、0bb共线．

21、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基b a C

高中数学必修四第二章平面向量章末小结导学案

高中数学必修四第二章平面向量章末小结导学案

高中数学必修四第二章平面向量章末小结导学案

第二章平面向量章末小结

【本章知识体系】

【题型归纳】

专题一、平面向量的概念及运算

包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

1.AB→＋Ac→－Bc→＋BA→化简后等于

A．3AB→B.AB→

c.BA→D.cA→

在平行四边形ABcD中，oA→＝a，oB→＝b，oc→＝c，oD→＝d，则下列运算正确的是

A．a＋b＋c＋d＝0

B．a－b＋c－d＝0

c．a＋b－c－d＝0

D．a－b－c＋d＝0

已知圆o的半径为3，直径AB上一点D使AB→＝3AD→，E、F为另一直径的两个端点，则DE→•DF→＝

A．－3B．－4

c．－8D．－6

如图，在正方形ABcD中，设AB→＝a，AD→＝b，BD→＝c，则在以a，b为基底时，Ac→可表示为________，在以a，c为基底时，Ac→可表示为________．

下列说法正确的是

A．两个单位向量的数量积为1

B．若a•b＝a•c，且a≠0，则b＝c

c．AB→＝oA→－oB→

D．若b⊥c，则•b＝a•b

专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算

向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。

已知向量a＝，b＝，若2a－b与b垂直，则|a|等于

A．1B.2

c．2D．4

设向量a＝，b＝，c＝，若表示向量4a,4b－2c,2，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则d＝

A．B．

c．D．

已知a＝，b＝，c满足a•c＝0，且|a|＝|c|，b•c>0，则c＝________.

数学必修4 第二章《平面向量》测试题

数学必修4 第二章《平面向量》测试题

1 第二章《平面向量》测试题

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)

1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）.

A.(0,0)a，(1,2)b B.(1,2)a，(2,4)b

C.(3,5)a，(6,10)b D.(2,3)a，(6,9)b

2.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且ABa，ADb，则BE( ).

A.12ba B.12ba Ｃ. 12ab Ｄ. 12ab

3.若向量a与b不共线，0ab，且()()aabcaab，则向量a与c的夹角为（ ）.

A.π2 B.π6 C.π3 D.0

4.设i，j是互相垂直的单位向量，向量(1)3maij，(1)mbij，

()()abab，则实数m为（ ）.

A.2 B.2 Ｃ.21 Ｄ.不存在

5.已知向量a，b满足1a，4b，且2ab，则a与b的夹角为（ ）.

A．6 B．4 C．3 D．2

6.若平面向量b与向量(2,1)a平行，且||25b，则b( ).

A．)2,4( B．)2,4( C．)3,6( D．)2,4(或)2,4(

7.在四边形ABCD中，2ABab，4BCab，53CDab，则四边形ABCD是（ ）.

A.长方形 B.平行四边形 Ｃ.菱形 Ｄ.梯形

8.下列说法正确的个数为（ ）. 2 ①()()()ababab； ②abab；

数学必修二第二章知识点7篇

数学必修二第二章知识点7篇

数学必修二第二章知识点7篇

数学必修二第二章知识点1

1、平面向量基本概念

有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB；

向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；

零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；

平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；

单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。

相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

2、平面向量运算

加法与减法的代数运算：

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）则ab=（x1+x2，y1+y2）。

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律：+=+（交换律）；+（+c）=（+）+c（结合律）； 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

（1）||=||·||；

（2）当a>0时，与a的方向相同；当a<0时，与a的方向相反；当a=0时，a=0。

两个向量共线的充要条件：

（1）向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=。

（2）若=（），b=（）则‖b。

3、平面向量基本定理

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+e2。

4、平面向量有关推论

三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。

若O是三角形ABC的外心，点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。