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高等数学c类教材答案一、导数与微分1. 导数的定义与求导法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述函数在某一点的变化率。
常见的导数定义包括利用极限的形式进行描述，如函数f(x)在点x处的导数可表示为：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]。
求导法则是求取导数的一些基本规则，包括常数倍法则、和差法则、积法则以及商法则等。
通过这些法则，可以简化导数的计算过程，加快解题速度。
2. 微分的定义与应用微分是导数的一种运算形式，它定义为函数在某一点的导数与自变量的增量之积。
微分的计算能够帮助我们优化函数的近似值，如通过线性近似进行函数的近似计算、求解最值等。
在实际生活中，微分也有广泛的应用，例如在物理学中，通过微分可以描述物体的运动状态；在经济学中，微分可以用于分析边际效应等。
二、积分与定积分1. 定积分的定义与性质定积分是求取曲线与x轴之间的面积的一种方法。
通过将区间划分成无限小的矩形，取其面积的和的极限，即可得到定积分的值。
定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等方法进行。
在使用定积分求解问题时，需要注意积分区间的确定、被积函数的选择以及运用适当的方法进行求解。
2. 积分的应用积分在实际生活中有着广泛的应用，如通过求解曲线下的面积计算题目中的几何问题，求取物体的质心和重心位置，计算函数的平均值等。
此外，积分还可以用于求解物理、经济、生物等领域的实际问题，如计算物体的加速度、求解收益最大化问题以及描述人口增长模型等。
三、级数1. 级数的定义与性质级数是由一列数的和所组成的数列。
常见的级数有等差级数、等比级数和调和级数等。
级数的求和可以通过求取部分和的极限进行计算。
在级数的研究中，需要关注级数的收敛性与发散性，以及级数的积性、和性等性质。
2. 常见级数的求和方法求和级数方法有很多种，其中常见的有部分和法、比值判别法、积分法等。
这些方法通常根据级数的特点和问题的要求进行选择。
高数c试题及答案一、选择题1.若函数f(x) = x^2 + bx + c在(-∞,3)上严格单调递增，那么b和c的符号关系是（）。
A. b < 0，c > 0B. b > 0，c < 0C. b > 0，c > 0D. b < 0，c < 0答案：C2.设函数f(x) = 2^x，g(x)=log2 (x+2)，则满足f(g(x))=x的x的范围是（）。
A. x > -2B. x > -1C. x < -2D. x < -1答案：A3.已知函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x + a，若f(1) = 1，f(-2) = -3，则a 的值为（）。
A. -6B. -5C. 4D. 5答案：D二、填空题1.已知函数f(x) = sin(πx)，x0为f(x)的一个最小正周期，则x0 = （）。
答案：2三、计算题1.求极限lim┬(x→2)〖(2x^3-2x^2+x-3)〗。
解：将x = 2代入得到lim┬(x→2)〖(2x^3-2x^2+x-3) = 2(2)^3 -2(2)^2 + 2 - 3 = 9〗。
2.求不定积分∫(x^2 - 2x + 1)dx。
解：∫(x^2 - 2x + 1)dx = (1/3)x^3 - x^2 + x + C。
四、证明题已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，求证：若a>0，则当b^2 - 4ac < 0时，f(x)无实数根。
证明：根据二次函数的判别式，b^2 - 4ac < 0表明二次函数的图像在x轴上没有交点，即无实数根。
总结：本文提供了高数C试题及答案，包括选择题、填空题、计算题和证明题。
通过解答这些题目，读者可以加深对高等数学C的理解，并夯实数学基础。
希望本文能够对广大学生有所帮助。
《高等数学》习题答案二〇一四年六月三日《高等数学》习题答案第1章 函数练习题1.11.（1）不是。
定义域不相同。
函数x y =的定义域为R ，函数xx y 2=的定义域为}{0≠x x 。
（2）不是。
对应法则不相同。
x x y ==2。
2.（1）⎩⎨⎧>-≠-0120)12lg(x x ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>121x x x 且。
（2）022≥-x }2-x 2x {x ≤≥∴或定义域为。
（3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为。
3.25)23(,23)21(==f f 。
4.[()]12xf f x x=- 5.（1）⎩⎨⎧≥-≠0102x x {}011≠≤≤-∴x x x 且定义域为 （2）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为 （3）⎩⎨⎧≠≥-003x x {}03≠≤∴x x x 且定义域为6. 不是。
定义域不相同。
{}{}0lg 2)(,0lg )(2>=≠=x x x x g x x x x f 的定义域为的定义域为。
练习题1.21.（1）偶函数（2）偶函数（3）奇函数2.（1）π2=T （2）ππ==-=-==22,2cos 212122cos 1sin 2T x x x y （3）ππ==22T练习题1.31.（1）x y 2tan = （2）)1sin(2+=xe y2.（1）23,10+==x u u y （2）21,x u u y -==（3）x u y u-==,10 （4）2,2x u y u== （5）1,log 22+==x u u y （6）x u u y 5,sin == （7）5,sin x u u y == （8）x u u y sin ,5== （9） x v v u u y lg ,lg ,lg === （10）2,arcsin x u u y == 3.（1）由)(21,2112R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得 （2）由)(2,22333R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得练习题1.41.（1）R （2）⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>0101lg lg 00lg x x x x x x {}1>∴x x 定义域为 （3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为 （4）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为第一章复习题一、判断题:1.√2.×3.√4.√5.√6.√ 二、填空题:1. 0>x2. e 、13. 5,,tan -===x v v u u y4. 22-x 5. {}122±≠≤≤-x x x 且 三、解答题:42)(,4)0(3++-=-=x x x f f第2章 极限练习题2.11.（1）极限为0 （2）极限为0 （3）极限为1 （4）极限为1（5）当n 无限增大时，n)1(1-+无休止地反复取0和2两个数，而不会无限接近于任何一个确定的常数，故该数列当∞→n 时没有极限（6）数列{}n n)1(-即为-1,2，-3,4，-5…… ，故该数列当∞→n 时没有极限（7）极限为22. 该数列的奇子数列为1,2,3,…，n … 没有极限 偶子数列为111,,23n⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 极限为0 所以该数列的极限不存在。
完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。
1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。
A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。
A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。
A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。
A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。
A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。
A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。
A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。
A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。
A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。
A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。
高等数学c教材习题高等数学是大学数学的重要组成部分，它深入探讨了微积分、数学分析和线性代数等内容。
对于学习该学科的学生来说，掌握相关习题是提高数学水平的关键之一。
在本文中，将为大家介绍一些高等数学C教材中的习题，并逐一解答。
1. 函数的极限与连续1.1 求函数f(x)=x^2-x在点x=1处的极限。
解：根据函数的极限定义，当x无限趋近于1时，f(x)=x^2-x无限趋近于1^2-1=0。
因此，函数f(x)在点x=1处的极限为0。
1.2 设函数f(x)在点x=a处连续，求证f(x)在点x=a处的左极限等于右极限。
解：根据函数连续的定义，当x趋近于a时，f(x)的极限存在且等于f(a)。
根据极限的性质，函数f(x)在点x=a处的左极限等于右极限。
2. 微分与导数2.1 求函数f(x)=3x^2-4x+1的导函数。
解：对f(x)=3x^2-4x+1进行求导，得到f'(x)=6x-4。
因此，函数f(x)=3x^2-4x+1的导函数为f'(x)=6x-4。
2.2 求函数f(x)=x^3的二阶导数。
解：对f(x)=x^3进行一次求导，得到f'(x)=3x^2。
再对f'(x)进行一次求导，得到f''(x)=6x。
因此，函数f(x)=x^3的二阶导数为f''(x)=6x。
3. 微分中值定理与泰勒公式3.1 利用微分中值定理证明函数f(x)=sinx在区间(0, π/2)内存在唯一的根。
解：根据微分中值定理，对于任意一个连续函数f(x)，如果在区间[a, b]上满足f(a)与f(b)异号，那么在区间(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c)=0。
在函数f(x)=sinx的情况下，f(0)=0，f(π/2)=1，且f'(x)=cosx≠0。
因此，在区间(0, π/2)内，函数f(x)=sinx存在唯一的根。
3.2 利用泰勒公式求函数f(x)=e^x在x=0处展开的带有误差项的二阶泰勒多项式。
高等数学学习指导及练习（下册）基础题答案第8章 空间解析几何与向量代数8.4 基 础 题8.4.1 第8章 练习1一、选择题1. 点()1,1,1关于xOy 坐标面对称的点是 ( )A. ()1,1,1-B. ()1,1,1-C. ()1,1,1---D. ()1,1,1- 2. 点()2,3,1关于原点的对称点是 ( )A. ()2,3,1--B. ()2,3,1--C. ()2,3,1-D. ()2,3,1--- 3. 点()4,3,5--与xOy 面的距离是 ( )A. 4B. 5C. 3 4. 点()4,3,5--与原点的距离是 ( )A. 4B. 5C. 5. 在z 轴上与点()4,1,7A -和点()3,5,2B -等距离的点是 ( )A. ()0,0,9B. ()0,0,9-C. 140,0,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 140,0,9⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在X 轴上投影为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 157. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在Y 轴上的分量为 ( ) A. 5j B. 4j - C. j D. 7j8. 已知两向量5a mi j k =+-，3b i j nk =++平行，则常数m ，n 分别为 ( )A. 115,5B. 115,5-C. 115,5-D. 115,5--高等数学（下册）学习指导及练习二．填空题1. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则||a b += .2. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则(32)(2)a b a b -+= .3. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则a b ⨯= .4. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则,a b = .5. 同时垂直于向量22a i j k =++和453b i j k =++的单位向量的为 .6. 已知3OA i j =+，3OB j k =+，，则OAB ∆的面积为 . 7. 已知两点(),(3,0,2)P Q ，则向量PQ 的方向角分别为 .三．计算题1. 已知a 的起点为()2,1,0，||3,a =a 的方向余弦为11cos ,cos 22αβ==，求向量a .解:2221cos 1cos cos 2γαβ=--=,cos 2γ=±,11(,,)222a a =⨯±33(,,22=. 2. 由(1,1,1)A 、(3,0,2)B 、(2,2,1)C -所确定的三角形中,求AC 边上高的长度.解:三角形的面积1122S AB AC AC h =⨯=⨯⨯,h =第8章 空间解析几何与向量代数8.4.2 第8章 练习2一、选择题1. xOz 面上的抛物线25z x =绕X 轴旋转所成的旋转曲面的方程是（ ）. A ．225y z x += B ．225x z y += C ．225y z x -= D ．225x z y -=2. 方程2249x y z =+所表示的曲面是 ( ).A. 椭圆抛物面B. 双曲抛物面C. 抛物面D. 椭球面3. 旋转抛物面22(04)z x y z =+≤≤在yOz 坐标面上的投影是 ( ).A ．2240x y z ⎧+≤⎨=⎩ B ．2(04)0z y z x ⎧≥≤≤⎨=⎩ C ．2240x z y ⎧+≤⎨=⎩ D ．2(04)0z x z y ⎧=≤≤⎨=⎩4. 过点(3,0,5)M -且与平面282x y z -+=平行的平面方程为 ( ).A. 281x y z --=B. 281x y z -+=C. 282x y z --=D. 282x y z -+= 5. 过Z 轴和点(3,1,2)--的平面方程 ( ).A. 30x y +=B. 30x y +=C. 80x y -=D. 82y x += 6. 过(111)(222)---，，，，，和(1,1,2)-三点的平面方程 ( ).A. 320x y z -+=B. 320x y z --=C. 320x y z +-=D. 320x y z ++= 7. 平面2250x y z -++=与xOz 坐标面的夹角余弦是 ( ). A ．13 B ．23 C ．13- D ．23-8. 过点(2,2,1)A -且与平面324x y z -+=垂直的直线方程为 ( ).A. 221312x y z --+==- B. 221312x y z --+==--C. 221312x y z -++==-- D ． 221312x y z -++==二．填空题1. 向量(1,0,1)-与向量()2,0,k 垂直，则k = .高等数学（下册）学习指导及练习2. 向量()1,1,1--与向量()2,2,k -平行，则k = .3. 过点(2,2,1)A -且方向角为2,,343πππ的直线方程为 . 4. 直线300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩和平面10x y z --+=的夹角为 .5. 点(1,2,0)P -在平面210x y z +-+=上的投影为 .6. 点(3,1,2)P --到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为 .三．计算题1. 求过点(1,2,1)-且与两平面21,210x y z x y z +-=+-+=平行的直线方程. 解：所求直线的方向向量为1123121i j ks i j k =-=-+-所求直线方程为: 121311x y z +--==-.2. 求两异面直线9272,431292x y z x y z -++-====--的距离. 解：记A （9，-2，0），B （0，-7，2），与两条异面直线都垂直的向量431151030292i j k n i j k =-=--+-,245Pr 735n AB s d j AB s====.第九章 多元函数微分法及其应用9.4 基 础 题9.4.1 第9章 练习1一、选择题 1．函数z =）。
第一章 函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=+(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞U U ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[U ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[4,2)(3,6]--U ; (4)函数定义域为(,1]-∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：函数f要有意义，必须01≤≤，因此f 的定义域为[0,1]；同理得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；函数()()f x c f x c ++-要有意义，必须0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，因此，（1）若12c <，定义域为：[],1c c -；（2）若12c =，定义域为：1{}2；（3）若12c >，定义域为：∅． 3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以 21(2)104a f a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22 ,>1,11(1)10 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥; (2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111na a n--≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+= 111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++L 得证。
高等数学c教材课后答案详解1. 一元函数、多元函数与极限在高等数学C教材中的第一章中，我们学习了一元函数、多元函数与极限的概念和性质。
以下是课后习题的答案详解：1.1 一元函数1.1.1 定义域和值域对于一元函数f(x)，定域是指使函数f(x)有意义的x的取值范围。
而值域是指函数f(x)在定域上所能取到的所有值。
例如，对于函数f(x) = √(x-2)，我们需要满足x-2≥0，即x≥2。
因此，定域为[2, +∞)。
而在这个定域上，函数f(x)能够取到的值域为[0, +∞)。
1.1.2 奇偶性与周期性对于一元函数f(x)，奇偶性指的是函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
周期性指的是函数图像在一定区间内重复出现的性质。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，它是奇函数，因为f(-x) = -f(x)；而它是周期函数，因为f(x+2π) = f(x)。
1.2 多元函数1.2.1 偏导数和全微分对于多元函数z = f(x, y)，它的偏导数指的是在变量x或y固定时，函数z对于x或y的变化率。
例如，对于函数z = x^2 + 2y^2，其关于x的偏导数为∂z/∂x = 2x，关于y的偏导数为∂z/∂y = 4y。
1.2.2 隐函数与显函数对于多元函数z = f(x, y)，如果可以通过一个显式的等式z = g(x, y)来表示，则称为显函数。
如果无法通过显式等式表示，而是通过一条方程F(x, y, z) = 0来定义，则称为隐函数。
例如，对于方程x^2 + y^2 - z^2 = 1，可以解出z = √(x^2 + y^2 - 1)，因此可以表示为显函数。
1.3 极限1.3.1 定义和性质在一元函数中，我们讨论了函数在某点的左极限、右极限以及极限存在的条件。
同时，我们也介绍了无穷大极限和无穷小极限的概念。
在多元函数中，我们引入了二重极限的概念，即函数在二元变量(x, y)逼近某一点时，同时有两个变量趋于该点的极限存在。
1 高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A 2、D 3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题1、（1）解函数要有意义，必须满足îíì³-¹0102x x 即îí죣-¹110x x 定义域为]1,0()0,1(È-（2）解函数要有意义，必须满足ïïîïïí죣-¹³-111003x xx 解得1-£x 或31££x 3．（1）解由1-=x e y 得1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解由11+-=x x y 得y yx -+=11交换x 、y 得反函数为xx y -+=114．（1）解只有t=0时，能；t 取其它值时，因为112>+t ，x arcsin 无定义（2）解不能，因为11££-x ，此时121-=x y 无意义5．解（1）12arccos 2-====x w wv vu ey u(2) 令22y y y +=则11ln 21+=+==x u u v vy xw em m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解ïîïíì-£+£<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g 7．解设cbx ax x f ++=2)(所以ïîïíì==++=++41242c c b a c b a 解得25214-===b a c习题二习题二一．单项选择题一．单项选择题1、A 2、B 3、D 二．填空题二．填空题1、>1 2、单调增加、单调增加 三．计算题三．计算题1、（1）解）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数所以函数是偶函数 （2）解）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数所以函数是奇函数（3）解）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=ïîïíì>+-=<--=ïîïíì<---=->-+-=- 所以函数是奇函数所以函数是奇函数2．解．解 因为因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为p ，所以x y 2sin =是周期函数，周期为p3．解．解 由h r V 231p = 得23rvh p =表面积：表面积： )0(919221226224222222³++=++=+×+=r r v r r r rv r r r r h r s p p p p p p p 四 证明证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x xxxx-=+-=+-=--- 习题三习题三一．单项选择题一．单项选择题1、C 2、C 3、B 4、C 二．填空题二．填空题1、1 2、a 3、³4、2，0 5、1 三．判断正误三．判断正误1、对；、对；2、对；、对；3、错、错 四．（1） 证明证明 令12+=n nx ne <=<+=-n nn n nx n11022只要e 1>n ，取]1[e=N当N n >时，恒有e <-0n x所以01lim2=+¥®n nn（2）证明）证明 因为)0()(lim>=+¥®A A x f x ，对取定的2A=e ，存在M>0，当x>M 时，有时，有2)()(AA x f A x f <-<-故当x>M 时，2)(Ax f >习题四习题四一．单项选择题一．单项选择题1、B 2、B 3、B 4、D 二．填空题二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误三．判断正误 1、错；、错； 2、错；、错； 3、错；、错； 四．计算题四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim 11=+--=+---®®x x x x x x x x 2、原式＝01111lim 11lim =++=+++¥®+¥®xxxx x x 3、原式＝2311lim )1)(1()1)(1(lim 32313231=+++=-+++-®®xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-×+=-++¥®++++¥®n n n n n nn nn 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ×+--++×-+×-+¥®n n n 21)2112121(lim =×+-=¥®n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++¥®+¥® 2132123lim 22=+=¥®nn n n 7、因为、因为 0lim =-+¥®xx e 1s i n £x 所以所以 0s i nl i m =-+¥®x e xx习题五习题五一、1.B ， 2.A, 3. B 二、1.sin tan x x x << 2．０．０ 三、1. （1）0sin 77lim tan 55x x x ®=解：（2）0lim sin0x x x p ®=解：这是有界函数乘无穷小量，故 （3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x xxx x x x x x x x x x®®®---===-+++解： （4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x ++®®+=解：原式解：原式==后一项是无穷小量乘有界函数2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n nn n n e e nn n´+®¥®¥®¥=+=++==原式 （2）()1()1111lim(1)lim 1x x x x x x e ---·-®¥®¥éùæö-=-=êúç÷èøêúëû原式原式== （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x xx e x x -++-·---®¥®¥éù-=-=êú++êúëû原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ·®=+=原式(中间思维过程同前) （5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nnn n n n n n n nn n n·®¥®¥®¥®¥+==+=+=+=原式四．四．1.证明：证明：22222111......2n n n n n n n n n ppppp<+++<+++++22limlim 1,,.n n n nn n n p p®¥®¥==++而故由夹逼准则知原式成立 2.证明：证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->> n 即而0<x <1,<1,故故即故数列单调递增且有界故数列单调递增且有界,,极限存在极限存在..22212(21)11(1)1lim 1n nnnn n n n x x x x x x x +®¥=-+=--++=--<\=习题六习题六一、1．B ，2．B ，3．B ，4．B ，5。
高数c大一期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(0)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：B2. 求极限lim (x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2 - 2x + 1)dx的值。
A. 1/3B. 1C. 2D. 3答案：B4. 已知序列{a_n}满足a_1 = 1, a_(n+1) = 2a_n + 1，求a_3的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = ln(x)，求f'(x)的值。
答案：1/x2. 求级数1 + 1/2 + 1/4 + ...的和。
答案：23. 已知向量a = (3, -4)，b = (2, 1)，求向量a与向量b的点积。
答案：-104. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式值。
答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 15在x = 2处的导数。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9，代入x = 2得到f'(2) =3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3。
2. 证明：若a > b > 0，则a^3 > b^3。
证明：由a > b > 0，得a^2 > b^2，两边同时乘以a，得a^3 > ab^2，又因为a > b，所以ab^2 > b^3，故a^3 > b^3。
四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上可积。
证明：根据连续函数的性质，若f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上满足黎曼可积的条件，即存在一个实数I，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得任意两个分划P1和P2，只要它们的最大子区间长度都小于δ，那么它们的黎曼和之差小于ε。
高等数学（少学时）习题解答第一章 函数与极限习题1-11.求下列函数的定义域:(1) 211x xy --=; 解：110≤≤-≠x x 且；(2) ;1arctan 3xx y +-=解：30≤≠x x 且；(3) ()x x x y -+--=2ln 1562;解：由020562>-≥--x x x 且，得16≤≤-x ；(4) 212arccosx xy +=. 解：由,11212≤+≤-xxR x ∈. 2. 设()x f 的定义域为[]1,0，求()()()0>-++a a x f a x f 的定义域.解：⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 111010－知由从而得 ][.211,210φ时，定义域为；当时，定义域为当>-≤<a a a a3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x ,求)2(46ϕπϕπϕ、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛.解：6sin )6(ππϕ=21=；22)4sin()4(=-=-ππϕ；()02=ϕ4.判断下列函数的奇偶性:(1) x x x f cos sin )(+=;解：x x x x x f cos sin )cos()sin()(+-=-+-=-；非奇非偶；(2) ()1e e 2-=+x xy ; 解：)()(21)(x f e e x f x x=+=--；偶函数； (3) ()1e e 2-=-x xy ; 解：)()(21)(x f e e x f x x -=-=--；奇函数；(4) )tan(cos x y =.解：)()tan(cos ))tan(cos()(x f x x x f ==-=-；偶函数. 5.求2sin 3,,66ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦y x x 的反函数. 解：32,23sin ,3sin 2yarcisnx y x x y ===；反函数为：[]1,1,2arcsin 31-∈=x x y 6.对于下列每组函数写出))((x g f 的表达式: (1)1)(,sin )(2-==x x g x x f ; 解：)1sin())((2-=x x g f ；(2)()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ,()e =x g x . 解：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([x x x x g f x g x g x g x g f 从而得 7.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50kg 时，按基本运费计算，如从上海到某地以0.15元/kg 计算基本运费,当超过50kg 时，超重部分按0.25元/kg 收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x (kg)之间的函数关系.解：25.0)50(15.050⨯-+⨯=x y 8.某产品共有1500吨，每吨定价150元，一次销售不超过100吨时，按原价出售，若一次销售量超过100吨，但不超过500吨时，超出部分按9折出售；如果一次销售量超过500吨，超过500吨的部分按8折出售，试将该产品一次出售的收入y 表示成一次销量的函数.解：设一次销售量为x 吨，()⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+≤<-+≤=500)500(120)100(13515000500100)100(13515000100150x x x x x x xx f习题1-21.观察下列数列的变化趋势,判断它们是否有极限,若有极限写出它们的极限:(1) n n x 311+=;解：极限是1；(2) n n n x 412+=;解：极限不存在；(3) 1332-+=n n x n ; 解：极限是32； (4) ()[]nn x n n 111+-+=.解：极限不存在；2．判断下列各题是否正确，并说明原因. (1)如果数列{}n x 发散，则{}n x 必是无界数列. 解：错，反例：()[]nn x nn 111+-+= (2)数列有界是数列收敛的充分必要条件. 解：错，必要但不充分条件（3）,lim lim a z y n n n n ==∞→∞→且当N n >时有,n n n z x y ≤≤则.lim a x n x =∞→解：对，夹逼定理 （4）1sin lim=∞→xxx .解：错，极限是0（5）1)11(lim =+∞→n n n.解：错，极限是e3*.用数列极限的定义证明22lim 313→∞=-n n n .证明：|392||1n 33)13(26||321n 3n 2|-=---=--n n n ）（ 0>∀ε，存在时，有当N N ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=n |,3192|εε<-=---=--|392||1n 33)13(26||321n 3n 2|n n n ）（ 既22lim313→∞=-n n n .习题1-31.判断下列各题是否正确,并说明原因.(1）如果)(0x f =5，但4)(lim )(lim 00==+→→-x f x f x x x x ，则)(lim 0x f x x →不存在.解：错，)(lim 0x f x x →=4（2）)(lim x f x ∞→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→和)(lim x f x -∞→都存在.解：正确(3)如果在0x 的某一去心邻域内,,0)(>x f 且,)(lim 0A x f x x =→则.0>A解：正确2.设⎩⎨⎧≥-<+=,1 ,12,1 ,4)(x x x x x f 求)(lim ),(lim 11x f x f x x +-→→; )(lim 1x f x →是否存在,为什么? 解：5)(lim 1=-→x f x ，1)(lim 1=+→x f x ，)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠， )(l i m 1x f x →不存在.3.设x x f =)(,求)(lim 0x f x →.解：10|0|)(lim 0-=∆∆-=∆-∆+=-→∆xxx x x f x ；10|0|)(lim 0=∆∆=∆-∆+=+→∆xxx x x f x . 左右极限不相等，极限不存在. 4*.根据函数的定义证明: (1) ()813lim 3=-→x x ,解：即可。
只要要使33,33813,0εεε<-<-=-->∀x x x8)13(lim 813303,03=-<--<-<>∀→x x x x 所以成立时，恒有，当＝取故εδεδε(2) 0sin lim=+∞→xxx .解：，即可。
故取只要要使2211,sin ,0εεεε=><≤>∀X x x xx0sin lim,0sin 3=<->→xx xx X x x 所以成立时，恒有当ε5*. 根据函数极限的定义证明:A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.证明：必要性：时，当δδε<-<>∃>∀||0,0,00x x 有ε<-|)(|A x f 。
特别的，当时，δ<-<00x x 有ε<-|)(|A x f 成立，又有时，δ<-<x x 00ε<-|)(|A x f ，所以A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0。
充分性：A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0，则当时，100δ<-<x x 有ε<-|)(|A x f 成立，又有时，200δ<-<x x ε<-|)(|A x f 成立，则取，},min{21δδδ=时，当δε<-<>∀||0,00x x 显然有ε<-|)(|A x f 成立。
所以A x f x x =→)(lim 0习题1-41．判断下列各题是否正确, 并说明原因. （1）零是无穷小. 解：对，00lim =+∞→x（2）两个无穷小之和仍是无穷小. 解：对.（3）两个无穷大之和仍是无穷大.解：错，+∞=+∞→n n lim ，-∞=-+∞→)(lim n n ，0)]([lim =-++∞→n n n（4）无界变量必是无穷大量.解：错（5）无穷大量必是无界变量. 解：对2.当0→x 时,指出下列函数哪些是无穷小? 哪些是无穷大?(1) 11+-=x x y ; 解：既不是无穷大也不是无穷小(2) 13+=x xy ;解：01lim 30=+→x xx ,无穷小(3) x x y 1+=;解：∞=+=+→→→x x xx x x x 1lim lim )1(lim 000,无穷大(4) x xy sin =;解：0lim →x xxsin =1，既不是无穷大也不是无穷小(5) xx y 1sin =;解：011sinlim=→xx x ,无穷小(6)x y cot =.解：∞=→x x cot lim 0,无穷大.3. 求下列极限: (1) x x x 1sin lim 20→;解：xx x 1sin lim 20→=011sinlim lim 11sinlim000==→→→xx x x x x x x x(2) xxx arctan lim ∞→.解：2arctan 2ππ≤≤-x ,01lim=∞→xx 0a r c t a nl i m =∴∞→x x x4.函数x x y cos =在()+∞∞-,内是否有界?这个函数是否为+∞→x 时的无穷大?为什么?解：x x y c o s =在()+∞∞-,内无界，,0>∀M 在()+∞∞-,内总可以找到)(2Z k k x ∈=π,使得M k k k y >==|2||)2cos(2|||πππ，)(2||Z k Mk ∈>π.它不是+∞→x 时的无穷大，取)(22Z k k x n ∈+=ππ，∞→+∞→k x k 时，但此时0|)22cos()22(|||=++=ππππk k y5.求函数()224x x f -=的图形的渐近线. 解：2,2-==x x .习题1-51.求下列极限:(1) 35lim 22-+→x x x ;解：9325435lim 22-=-+=-+→x x x(2) 164lim 24--→x x x ;解：5141lim 164lim 424=+=--→→x x x x x (3) 112lim1---→x xx x ;解：21)12)(1()12(lim 112lim11=+----=---→→x x x x x x x x x x (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21211lim x x x ;解：2)02)(01(1211lim 2=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x(5) 11lim 22+-+∞→x x x x ;解：111111lim 11lim 2222=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x (6) 13lim 242+-+∞→x x xx x ;解：13lim242+-+∞→x x xx x =01311lim42=+-+∞→xx xx (7) ()223222lim-+→x x x x ;解：()223222lim-+→x x x x =()2222)2(lim-+→x x x x =∞(8) 13lim 2+∞→x x x解：13lim 2+∞→x x x =∞(9) ⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x ;解：⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x =1)1)(1(31lim 221-=++--++→x x x x x x (10) ()13lim 2-+∞→x x x .解：()13lim 2-+∞→x x x =∞2. 求下列极限:(1) x xx ωsin lim0→;解：xx x ωsin lim 0→=ωωωω=→.sin lim 0x xx(2) x xx 3tan lim0→;解：xx x 3tan lim 0→=333cos 1.33sin lim 0=⋅→x x x x(3) x x xx sin 2cos 1lim 0-→;解：xx x x sin 2cos 1lim 0-→=2sin .sin 2lim 20=→x x xx(4) xxx sin ln lim 0→;解：x x x sin ln lim 0→01ln sin lim ln 0==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→x x x (5) ()xx x 1021lim +→;解：()xx x 1021lim +→=22.210)21(lim e x x x =+→(6) xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→21lim .解：xx x ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→21lim = 2220)21(lim ---→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-e x x x习题1-61. 当0→x 时, 22x x -与32x x -相比, 哪一个是较高阶的无穷小?解：23220023(1)lim lim 02(2)0x x x x x x x x x x x x x →→--==--∴→-当时，是较高阶的无穷小。
