高中数学课后提升训练二十一3.1.2复数的几何意义新人教A版选修2_2

【优化方案】2013-2014学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义能力提升（含解析）新人教A 版选修2-21．已知复数z满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 的对应点的轨迹是( ) A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆 解析：选A.由|z |2－2|z |－3＝0，得(|z |＋1)(|z |－3)＝0. 又∵|z |＝－1(舍去)，∴|z |＝3.故复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．故选A. 2．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－3－2i ，z 4＝3－2i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别是A ，B ，C ，D ，则∠ABC ＋∠ADC ＝________.解析：|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5，所以点A ，B ，C ，D 应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD 对角互补，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°. 答案：180°3．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于12，那么复数z 的对应点组成的平面图形的面积是多少？解：∵|z |≤1，∴z 对应的点组成的图形是一个以原点为圆心，以1为半径的圆面(包括边界)，又∵虚部的绝对值不小于12， ∴所求复数对应点组成的图形如图所示(阴影部分)．∵∠AOB ＝23π， ∴S 扇形AOB ＝π3.又S △AOB ＝34， ∴上面的阴影部分面积为π3－34. ∴整个阴影部分的面积为23π－32， 即复数z 的对应点组成的平面图形的面积为23π－32. 4．设全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |＜1，z ∈C }，若z ∈A ∩(∁U B )，求复数z 在复平面内对应点的轨迹．解：∵z ∈C ，∴|z |∈R ，∴1－|z |∈R ，由||z |－1|＝1－|z |，得1－|z |≥0，即|z |≤1，∴A ＝{z ||z |≤1，z ∈C }．又B ＝{z ||z |＜1，z ∈C }，∴∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }，∴z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A 且z ∈∁U B .∴⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤1|z |≥1⇒|z |＝1，由模的几何意义知，复数z 在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．。

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

选修2-2 第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3[答案] C[解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C.2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1>z 2 B ．z 1<z 2 C ．|z 1|>|z 2| D ．|z 1|<|z 2| [答案] D[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A ，B. 又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42， ∴|z 1|<|z 2|. 故选D.3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i [答案] B[解析] 由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →对应复数为2＋i.故应选B.4．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i [答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.5．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，∴4cos 2α2＝－2cos α2.6．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C. 二、填空题7．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.[答案] －2＋3i[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i.8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．[答案] 5[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)－2－1.解得a ＝5.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. [答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．一、选择题11．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 D ．－1和6[答案] C[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.[点评] 复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．12．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2| [答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 13．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.14．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3) [答案] C[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)． 故选C. 二、填空题15．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是________________．[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ， 由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5.16．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tan θ＝12.三、解答题17．(2014·山东鱼台一中高二期中)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． [解析] (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0. *18.已知复数z 1＝1＋cos θ＋isin θ，z 2＝1－sin θ＋icos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．[解析] 由已知得，|z 1|2＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ， |z 2|2＝(1－sin θ)2＋cos 2θ＝2－2sin θ. |z 1|2＋|z 2|2≥2，即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2， cos θ－sin θ≥－1， cos(θ＋π4)≥－22，所以2k π－π≤θ≤2kπ＋π2，k ∈Z .所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋π2]，k ∈Z .。

课后提升训练二十一复数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.过原点和-i对应的点的直线的倾斜角是( )A. B.- C. D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.2.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹是( )A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆【解析】选A.由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1,因为|z|≥0,所以|z|=3.所以复数z对应的轨迹是1个圆.3.(2017·兰州高二检测)复数z=+ai(a∈R且a≠0)对应的点在复平面内位于( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限【解析】选B.复数z=+ai(a∈R且a≠0)对应的点为,可以发现点在函数y=图象上,故复数z对应的点位于第一、三象限.【补偿训练】(2017·郑州高二检测)已知a∈R,且0<a<1,i为虚数单位,则复数z=a+(a-1)i在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为0<a<1,所以a>0且a-1<0,故复数z=a+(a-1)i在复平面内所对应的点(a,a-1)位于第四象限.4.已知复数z=(a2+1)-2ai,若其对应点在直线y=x上,则实数a的值为( )A.-1B.-2C.-3D.-4【解析】选A.复数z对应的点为(a2+1,-2a),由题意得a2+1=-2a,所以a=-1.5.设z∈C,则满足条件2≤|z|≤4的点Z的集合对应的图形的面积为( )A.4πB.12πC.8πD.16π【解析】选B.由2≤|z|≤4,可知对应图形面积为圆心在原点,半径为4和半径为2的两个圆的面积差.故面积为16π-4π=12π.6.在复平面内,O为原点,若向量对应的复数z的实部为3,且||=3,如果点A关于原点的对称点为点B,则向量对应的复数为( )A.-3B.3C.3iD.-3i【解析】选A.根据题意设复数z=3+bi(b∈R),由复数与复平面内的点、向量的对应关系得=(3,b),已知||=3,即=3,解得b=0,故z=3,点A的坐标为(3,0).因此,点A关于原点的对称点为B(-3,0),所以向量对应的复数为z′=-3.7.下列命题中的假命题是( )A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|【解析】选D.①任意复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=≥0总成立.所以A为真;②由复数等于零的条件z=0⇔⇔|z|=0,故B 为真;③若z 1=a 1+b 1i,z 2=a 2+b 2i(a 1,b 1,a 2,b 2∈R).若z 1=z 2,则有a 1=a 2,b 1=b 2,所以|z 1|=|z 2|,反之由|z 1|=|z 2|,推不出z 1=z 2,如z 1=1+3i,z 2=1-3i 时|z 1|=|z 2|,故C 为真;④不全为实数的两个复数不能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,所以D 为假命题.8.设A,B 为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cosB-tanA)+tanBi 对应的点位于复平面的 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选 B.因为A,B 为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>-B,sinA> cosB.cosB-tanA=cosB-<cosB-sinA<0,又tanB>0,所以点(cosB-tanA,tanB)在第二象限.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·三门峡高二检测)设z ∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的轨迹是______【解析】由|z|=|3+4i|得|z|=5. 这表明向量的长度等于5,即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的轨迹是以原点O 为圆心,以5为半径的圆.答案:以原点O 为圆心,以5为半径的圆【一题多解】设z=x+yi(x,y ∈R),则|z|2=x 2+y 2.因为|3+4i|=5,所以由|z|=|3+4i|得x 2+y 2=25,所以点Z 的轨迹是以原点O 为圆心,以5为半径的圆.答案:以原点O 为圆心,以5为半径的圆10.设(1+i)sin θ-(1+icos θ)对应的点在直线x+y+1=0上,则tan θ的值为________.【解析】(1+i)sin θ-(1+icos θ)=(sinθ-1)+(sinθ-cosθ)i,对应点为(sinθ-1,sinθ-cosθ),由点(sinθ-1,sinθ-cosθ)在直线x+y+1=0上,得sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,即2sinθ=cosθ,所以tanθ=.答案:三、解答题11.(10分)已知复数z=m2(1+i)-(m+i),当实数m分别取何值时,(1)z是实数.(2)z对应的点位于复平面的第一象限内.【解题指南】(1)令虚部为0可求解.(2)根据对应点在第一象限,复数的实部和虚部都大于0进行求解. 【解析】因为z=m2(1+i)-(m+i)=(m2-m)+(m2-1)i.(1)若z是实数,则m2-1=0,解得m=1或m=-1,即m=1或m=-1时,z为实数.(2)若z对应的点在第一象限内,则m2-m>0且m2-1>0,解得m>1或m<-1,所以m>1或m<-1时,z对应的点位于复平面的第一象限内.【补偿训练】实数k为何值时,复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i对应的点位于:(1)x轴正半轴上?(2)y轴负半轴上?(3)第四象限的角平分线上?【解题指南】先确定复数的实部与虚部,并求出复数z的对应点,再进行计算.【解析】因为k为实数,所以k2-3k-4,k2-5k-6都为实数,所以复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i的对应点Z的坐标为(k2-3k-4,k2-5k-6).(1)若对应点位于x轴正半轴上,则解得k=6.(2)若对应点位于y轴负半轴上,则解得k=4.(3)若对应点位于第四象限的角平分线上,又第四象限的角平分线的方程为y=-x(x>0),所以解得k=5.【能力挑战题】欧拉公式e ix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e2i表示的复数在复平面中位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.e2i=cos2+isin2,对应点为(cos2,sin2),由于<2<π,因此cos2<0,sin2>0,所以点(cos2,sin2)在第二象限.。

3.1.2 复数的几何意义●三维目标1．知识与技能理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义，会求复数的模．2．过程与方法渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观引导学生观察现象、发现问题、提出观点、验证结论、培养良好的学习思维品质．●重点难点重点：复数的几何意义及复数的模．难点：复数的几何意义及模的综合应用．树立复数与坐标平面内的点的一一对应、复数与向量的一一对应的意识，是将复数由代数形式引向几何形式的关键环节，通过图形展示，让学生直观、形象的探索其内在联系，可以降低理解难度．●教学建议建议本课在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使整个教学更有序，更有效，激发学生兴趣，锻炼学生毅力，兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证．让学生由实数的绝对值的几何意义，类比复数模的几何意义，探索复数模的几何应用．可以利用多媒体教学，展示复数与坐标平面的对应关系及复数模的几何意义，引导学生利用数形结合的思想去分析问题、解决问题．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识复数几何意义．了解复数模的定义、作用、计算方法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数与平面内的点的对应关系，复数与向量的对应关系．引导学生分析例题1的已知条件和问题(1)(2)应满足的条件．学生自主完成求解过程，教师指导完善．完成互动探究．学生分组探究例题2解法，总结利用复数相等条件求参数的规律方法．完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．【问题导思】1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与有序实数对(a ，b )有怎样的对应关系？【提示】 一一对应．2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？【提示】 一一对应．3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？【提示】 一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．【问题导思】1．平面直角坐标系中的点Z 与向量OZ →有怎样的对应关系？【提示】 一一对应．2．复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？【提示】 一一对应．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应 平面向量OZ →.为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ →，并且规定，相等的向量表示同一个复数．向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且r ＝a 2＋b 2(r ≥0，且r ∈R ).复平面内的点同复数的对应关系例题1 实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【思路探究】 找出复数z 的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件．【自主解答】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 对应复平面内点的坐标P 为(2m,4－m 2)．(1)若P 在虚轴上，则⎩⎨⎧ 2m ＝0，4－m 2≠0，即m ＝0. (2)若点P 在第三象限，则⎩⎨⎧2m ＜0，4－m 2＜0，解得m ＜－2. ∴当点P 位于第三象限时，实数m 的范围是(－∞，－2)．规律方法1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点(a ，b )． 2．判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部．互动探究在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m .(1)在实轴上；(2)在直线y ＝x 上．【解】 (1)若点在实轴上，则4－m 2＝0，即m ＝±2.(2)若点在直线y ＝x 上，则4－m 2＝2m ，解得m ＝－1±5.复数的模的求法例题2 已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【思路探究】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b .【自主解答】 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i. 法二 原式可化为 z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，于是|z |＝2－|z |2＋82， 即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i.规律方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．变式训练求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小． 【解】 |z 1|＝36＋64＝10，|z 2|＝－122＋－22＝14＋2＝32，|z 1|>|z 2|.复数的模及其几何意义 例题3 已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i ， (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？【思路探究】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.(2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形．【自主解答】 (1)|z 1|＝－32＋12＝2. |z 2|＝－122＋－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．规律方法1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点z 1，z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．互动探究如果将本题中|z 2|≤|z |≤|z 1|，改为|z 2|＜|z |＜|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？【解】 |z 2|＜|z |＜|z 1|⇒1＜|z |＜2，则复数z 的轨迹为以原点O 为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误典例 试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．【错解】 将方程变为|x |2－5|x |＋6＝0⇒|x |＝2或|x |＝3⇒x ＝±2或x ＝±3，故共有4个．【错因分析】 这里常出现将|x |看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x |是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x 2也不能写成|x |2.【防范措施】 (1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数．(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别．(3)理解|z |的意义及|z |的计算方法．(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解．【正解】 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎨⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝±3，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝±1， 即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i.故方程在复数集上的解共有6个．课堂小结1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．。

3.1.2 复数的几何意义课时演练·促提升A组1.在复平面内,复数6 +5i, -2 +3i对应的点分别为A,B.假设C为线段AB的中点,那么点C对应的复数是()A.4 +8iB.8 +2iC.2 +4iD.4 +i解析:复数6 +5i对应A点坐标为(6,5), -2 +3i对应B点坐标为( -2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),所以点C对应的复数为2 +4i.应选C.答案:C2.以下复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z = -2 -iB.z =2 -3iC.z =3 +2iD.z = -3 -2i解析:A中|z| =<3;B中对应点(2, -3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第|一象限;D中对应点( -3, -2)在第三象限,|z| =>3.答案:D3.向量对应的复数为z1 = -3 +2i,对应的复数z2 =1 -i,那么||为()A.B.C.2 D.解析:因为向量对应的复数为z1 = -3 +2i,对应的复数为z2 =1 -i,所以 =( -3,2), =(1, -1),那么 =( -2,1),所以|| =.答案:A4.复数z满足|z|2 -2|z| -3 =0,那么复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2 -2|z| -3 =0,∴(|z| -3)(|z| +1) =0,∴|z| =3,表示一个圆,应选A.答案:A5.0<a<2,复数z =a +i(i是虚数单位),那么|z|的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)解析:|z| =.∵0<a<2,∴0<a2<4,∴1<,即1<|z|<.应选B.答案:B6.在△ABC中,对应的复数分别为 -1 +2i, -2 -3i,那么对应的复数为.解析:因为对应的复数分别为 -1 +2i, -2 -3i,所以 =( -1,2), =( -2, -3).又 =( -2, -3) -( -1,2) =( -1, -5),所以对应的复数为 -1 -5i.答案: -1 -5i7.复数z1 =x +y i,z2 =x +(x -3y)i,x,y∈R.假设z1 =z2,且|z1| =,那么z1 =.解析:因为z1 =z2,所以y =x -3y,即x =4y.又|z1| =,即17y2 =17,解得y =1,x =4或y = -1,x = -4,所以z1 =4 +i或z1 = -4 -i.答案:4 +i或 -4 -i8.在复平面内,假设复数z =(m2 -m -2) +(m2-3m +2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.解:(1)假设复数z的对应点在虚轴上,那么m2 -m -2 =0,所以m = -1或m =2.此时z =6i或z =0.(2)假设复数z的对应点在实轴负半轴上,那么解得m =1,即z = -2.9.z0 =x +y i(x,y∈R),z =(x +3) +(y -2)i,且|z0| =2,求复数z对应点的轨迹.解:设z =a +b i(a,b∈R),那么即∵z0 =x +y i(x,y∈R),且|z0| =2,∴x2 +y2 =4,∴(a -3)2 +(b +2)2 =4,∴复数z对应的点的轨迹是以(3, -2)为圆心,2为半径的圆.B组1.向量 =(,1)按逆时针方向旋转60°所对应的复数为()A. - +iB.2iC.1 +iD. -1 +i解析:向量 =(,1),设其方向与x轴正方向夹角为θ,tan θ =,那么θ =30°,按逆时针旋转60°后与x轴正方向夹角为90°,又|| =2,故旋转后对应的复数为2i,应选B.答案:B2.向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,那么z =.解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y = -x上,设z = -a +a i(a>0).∵|z| =1,即 =1,∴a2 =.而a>0,∴a =.∴z = -i.答案: -i3.复数z =1 +cos α +isin α(π<α<2π)的模的取值范围为.解析:|z| =,∵π<α<2π,∴ -1<cos α<1.∴0<2 +2cos α<4.∴|z|∈(0,2).答案:(0,2)4.复数z满足z +|z| =2 +8i,那么复数z =.解析:设z =a +b i(a,b∈R),那么|z| =,代入方程得,a +b i + =2 +8i,∴解得∴z = -15 +8i.答案: -15 +8i5.设z =log2(1 +m) +ilo(3 -m)(m∈R),(1)假设z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;(2)假设z在复平面内对应的点在直线x -y -1 =0上,求m的值.解:(1)由,得即解得 -1<m<0,故m的取值范围是( -1,0).(2)由得,点(l og2(1 +m),lo(3 -m))在直线x -y -1 =0上,即log2(1 +m) -lo(3 -m) -1 =0,故log2[(1 +m)(3 -m)] =1,即(1 +m)(3 -m) =2.整理得m2-2m -1 =0,解得m =1±,且当m =1±时都能使1 +m>0,且3 -m>0,故m =1±.6.在复平面内,O是原点,复数z1 = -1 +2i,z2 =1 -i,z3 =3 -2i,它们所对应的点分别是A,B,C,假设 =x +y(x,y∈R),求x +y的值.解:由,得 =( -1,2), =(1, -1), =(3, -2),所以x +y =x( -1,2) +y(1, -1) =( -x +y,2x -y).由 =x +y,可得解得即x +y =5.7.复数z =2 +cos θ +(1 +sin θ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.解:设复数z =2 +cos θ +(1 +sin θ)i对应的点为Z(x,y),那么即所以(x -2)2 +(y -1)2 =1.所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.。

3．1 数系的扩充和复数的概念3．1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．2．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．3．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．基础梳理1．复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋b i(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0), 它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．想一想：实轴与虚轴的交点是原点，对吗？解析：对，原点既在实轴上，又在虚轴上，但虚轴上的点，除了原点，都表示纯虚数．2．复数的几何意义想一想：复数z＝1－2i所对应的点在第__________象限．解析：因为复数z＝1－2i所对应的点是Z(1，－2)，所以复数z＝1－2i 所对应的点在第四象限．答案：43．复数的模→的模叫做复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|且|z|＝a2＋b2．向量OZ想一想：已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)的模|z|＝1，则复数z所对应的的轨迹是________．解析：因为|z|＝1，即x2＋y2＝1，所以x2＋y2＝1，所以复数z的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆．答案：以原点为圆心，半径为1的圆自测自评1．向量a＝(1，－2)所对应的复数是(B)A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i解析：∵a＝(1，－2)，∴复平面内对应的点Z(1，－2)，∴a对应的复数为Z＝1－2i.2．已知复数z＝a＋3i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(A)A．－1＋3i B．1＋3iC．－1＋3i或1＋3i D．－2＋3i解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，a2＋（3）2＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋3i.3．两个不相等的复数z1＝a＋b i(a，b∈R)，z2＝c＋d i(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为(A) A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－d D．a≠0，b≠d解析：z1＝a＋b i的对应点P1(a，b)，z2＝c＋d i的对应点P2(c，d)，因为P1与P2关于y轴对称，所以a＝－c，b＝d.故选A.基础巩固1．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是(D )A.π6 B ．－π6 C.2π3 D.5π6解析：∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)，∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α<π)，∴α＝56π. 2．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，所以A (6，5)，B (－2，3)，又C 为线段AB 的中点，所以C (2，4)，所以点C 对应的复数是2＋4i.3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于(D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．4．若复数3－5i，1－i和－2＋a i在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a＝5．能力提升5．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：设z＝5＋b i(b∈R)，则|z|＝25＋b2，又|4－3i|＝42＋（－3）2＝5，∴25＋b2＝5，∴b＝0，故选A.6．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(C)A．复数z对应的点在第一象限B．复数z一定不是纯虚数C．复数z对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数解析：∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，排除D.又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确．7．已知复数z＝x＋2＋(y－1)i的模为23，则点(x，y)的轨迹方程(x，y∈R)是__________．解析：由题意可得|z|＝23，即（x ＋2）2＋（y －1）2＝23，化简得(x ＋2)2＋(y －1)2＝12，所以点(x ，y )的轨迹方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝12.答案：(x ＋2)2＋(y －1)2＝128．复数z ＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为________．解析：|z |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，cos α2<0， ∴|z |＝－cos α2. 答案：－cos α29．实数m 分别取何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 在复平面内的对应点：(1)在x 轴上方？(2)在直线x ＋y ＋5＝0上？解析：(1)由题意得m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)由题意得(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，解得m ＝－3±414. 10．若复数z ＝(3＋2sin θ)＋(1－2cos θ)i(θ∈R)，则复数z 对应点的轨迹是什么？解析：令⎩⎨⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝1－2cos θ.消去θ，得 (x －3)2＋(y －1)2＝4.所求轨迹是以(3，1)为圆心，2为半径的圆．。

3.1. 2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系 过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定.教学过程：学生探究过程： 1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a + = ，b a - =两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =讲授新课：复平面、实轴、虚轴： 复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即b Z(a ，b)a o y x复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例1．（2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限.例2．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.例3．满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆巩固练习：课堂小结：教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.。

§3.1.2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b)是b Z(a ，b)a o yx这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定，如z=3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z=a+bi(a 、b ∈R)可用点Z(a ，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z=－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例1．（2020年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：选B . 例2．（2020上海理科、文科）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例3．（2020北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆解：选C.巩固练习：课后作业：课本第106页 习题3. 1 A 组4，5，6 B 组1,2教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 32． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33．（2020北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（2020年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

第三章 3．1.2 复数的几何意义提能达标过关一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z －i ＝x ＋(y －1)i ，|z －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1，所以选C.答案：C2．在复平面内，与复数z ＝1＋i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：∵复数z ＝1＋i 对应点的坐标为(1,1)，∴它关于实轴的对称点A 的坐标为(1，－1)，∴点A 对应的复数为1－i ，故选B.答案：B3．(2019·长庆高中高二月考)在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i 解析：设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，⎩⎨⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝325.则z 2＝5＋4i 或15＋325i.故选D.答案：D4．下面四个式子中，正确的个数有( )①3i ＞2i ；②|2＋3i|＝|1－4i|；③|2－i|＞2i 2；④i 2＞i.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：在复数中，除去实数外，是不能比较大小的，∴①④错；∵|2＋3i|＝22＋32＝13，|1－4i|＝12＋(－4)2＝17，∴|2＋3i|＜|1－4i|，∴②错；∵|2－i|＝5，2i 2＝－2，∴|2－i|＞2i 2，∴③正确．答案：B5．若复数z ＝(1＋a )＋(1－a )i 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：依题意，⎩⎨⎧ 1＋a <0，1－a >0，解得a <－1，故选B. 答案：B二、填空题6．(2019·阳平中学高二月考)若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.解析：由条件知⎩⎨⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0， ∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.答案：127．复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数为________．解析：由题意知A (2,3)，B (3,2)，C (－2，－3)，设D (x ，y )，则AD →＝BC →，即(x －2，y －3)＝(－5，－5)，解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝－2.∴D 点对应的复数为z ＝－3－2i. 答案：－3－2i8．设z ＝(k 2－k )＋(k 2－1)i ，k ∈R ，且z 对应复平面上的点在第三象限，则k 的取值范围是________．解析：复数z 在复平面内对应的点为(k 2－k ，k 2－1)，此点在第三象限，则⎩⎨⎧ k 2－k ＜0，k 2－1＜0.解得0＜k ＜1. 答案：(0,1)三、解答题9．已知复数z ＝a 2＋a i(a ∈R )，若|z |＝2，且z 在复平面内对应的点位于第四象限．求复数z .解：因为|z |＝2，所以a 4＋a 2＝2，所以a 2＝1.又因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以a ＝－1，即z ＝1－i.10．(2019·辽阳集美高二期中)已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎨⎧ x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎨⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2. ① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4.将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．由Ruize收集整理。