2017年春季学期苏教版高中数学选修2-1学业分层测评：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离之和为，则到准线的距离为．【解析】由抛物线的定义可知点到焦点与准线的距离相等，又因为二者之和为，故到准线的距离为.【答案】．下列说法中正确的是(填序号)．①已知(－)，()，到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆；②已知(－)，()，到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆；③到点(－)，()两点的距离之和等于点()到，的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点(－)，()距离相等的点的轨迹是椭圆．【解析】根据椭圆的定义＋>可知选③.【答案】③．已知()，()，动点满足－＝，且点的轨迹是双曲线，则实数的取值范围是．【解析】因为＝，且点的轨迹是双曲线，则－＝＜，即＜＜.【答案】()．已知双曲线的焦点为，，双曲线上一点满足－＝.若点也在双曲线上，且＝，则＝.【解析】由双曲线的定义可知，－＝.又＝，∴－＝，解得＝或.【答案】或．已知点(－)，()．曲线上任意一点满足－＝(－)≠.则动点的轨迹是. 【导学号：】【解析】由条件可化简为＋＝，因为>＝，所以曲线是椭圆．【答案】椭圆．若点到直线＝－的距离比它到点()的距离小，则点的轨迹为．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)【解析】由题意到直线＝－的距离等于它到点()的距离，故点的轨迹为一条抛物线．【答案】抛物线．已知平面上定点，及动点，命题甲：－＝(为常数)，命题乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的条件．【解析】根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当<<时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．【答案】必要不充分．△的顶点(，－)，()，且( － )＝，则顶点的轨迹是．【解析】运用正弦定理，将( －)＝转化为边的关系，即＝×，则－＝＝<.显然，顶点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支去掉点()．【答案】以，为焦点的双曲线的上支去掉点()二、解答题．已知动点的坐标(，)满足方程(－)＋(－)＝(＋＋)，试确定动点的轨迹．【解】方程可变形为＝，∵表示点到点()的距离，表示点到直线＋＋＝的距离．又由＝知点到定点()的距离等于点到直线＋＋＝的距离．由抛物线的定义知点的轨迹是抛物线．．一炮弹在某处爆炸，在(－)处听到爆炸声的时间比在( )处晚，已知坐标轴的单位长度为，声速为，爆炸点应在什么样的曲线上？【解】由声速为，可知，两处与爆炸点的距离差为×＝()，且小于＝()，因此爆炸点在以，为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离处比处更远，所以爆炸点应在靠近处的一支双曲线上．[能力提升]．已知点(，)的坐标满足－＝±，则动点的轨迹是．【解析】方程表示点到()和(－，－)两点的距离差，∵<，∴点的轨迹是双曲。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．椭圆x29＋y216＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若| PF1|＝3，则PF2＝___________________________________________.【解析】方程x29＋y216＝1中，a＝4，则PF1＋PF2＝8，∴PF2＝2a－PF1＝8－3＝5. 【答案】 52．椭圆x2m＋y24＝1的焦距为2，则m的值为________．【解析】∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1或4－m＝1，∴m＝3或5.【答案】3或53．设F1，F2是椭圆x2a2＋y225＝1(a>5)的两个焦点，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________. 【导学号：09390023】【解析】易知|F1F2|＝8＝2c，即c＝4，∴a2＝25＋16＝41，∴a＝41，因为弦AB过点F1，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝441.【答案】4414．若方程x2m－y2m2－2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．【解析】∵方程x2m－y2m2－2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为y2 2－m2＋x2m＝1，∴有⎩⎨⎧2－m2>m，m>0，解得0<m<1.【答案】 (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)【解析】 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21，故△PF 1F 2是直角三角形．【答案】 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 根据椭圆定义有⎩⎨⎧|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.【答案】 67．过点(3，－5)且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．【解析】 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝ (3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 【答案】 y 220＋x 24＝18．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．【解析】 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，∴点M 的纵坐标为±34.【答案】 ±34二、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值． 【解】 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ，根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2.又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2， ∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围；(2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值．【解】 (1)原方程可化为x 22＋y 22k＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，2k<2，解得k >1.故k 的取值范围是k >1.(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k ＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7， 即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17. 故k 的值为－1或－17.[能力提升]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________. 【导学号：09390024】 【解析】 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上，且半焦距c ＝a 2－b 2＝25－9＝4,2a ＝10.∴A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的左、右焦点．∵点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，∴sin A ＋sin C sin B ＝2R sin A ＋2R sin C 2R sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54(R 为△ABC 外接圆的半径)．【答案】 542．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．【解析】 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎨⎧2a ＝5＋3， (2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝13． “mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件．【解析】 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n ＝1，所以要使方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．【答案】 必要不充分 4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值．【解】 ①当椭圆焦点在x 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2，所以m 2＝25－9＝16.因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25，所以m 2＝25＋9＝34.因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．抛物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5，则该抛物线的方程是________．【解析】 设抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，设A (m ，－3)． 由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2，又(－3)2＝2am ， ∴a ＝±1或a ＝±9，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 【答案】 y 2＝±2x 或y 2＝±18x2．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB ＝43，则焦点到弦AB 的距离为________．【解析】 由题意我们不妨设A (x,23)，则(23)2＝4x ，∴x ＝3，∴直线AB 的方程为x ＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB 的距离为2.【答案】 23．在抛物线y 2＝16x 内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB 所在直线的方程是________. 【导学号：09390047】【解析】 显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k ，则直线方程为y －1＝k (x －2)①，由⎩⎨⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝16x ，消去x 得ky 2－16y ＋16(1－2k )＝0，∴y 1＋y 2＝16k ＝2(y 1，y 2分别是A ，B 的纵坐标)，∴k ＝8，代入①得y ＝8x －15.【答案】 y ＝8x －154．已知过抛物线Γ：x ＝－y 22的焦点F 的直线交抛物线Γ于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝－7，则AB 的值为________．【解析】 因为x ＝－y 22，所以y 2＝－2x ，所以抛物线Γ的准线方程为x ＝12，根据抛物线的定义知AF ＝12－x 1，BF ＝12－x 2，所以AB ＝AF ＋BF ＝1－(x 1＋x 2)＝1－(－7)＝8.【答案】 85．直线y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝8x 有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 联立直线与抛物线方程，得⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋1)，所以ky 2－8y ＋8k ＝0.由题意得⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝(－8)2－4×k ×8k ＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠0. 所以实数k 的取值范围是(－2，0)∪(0，2)． 【答案】 (－2，0)∪(0，2)6．已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 是E 的准线l 上一点，Q 是直线PF 与E 的一个交点．若PQ →＝2QF →，则直线PF 的方程为________. 【导学号：09390048】【解析】 抛物线E ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设Q 到l 的距离为d ，则QF ＝d .∵PQ →＝2QF →，∴|PQ →|＝2|QF →|＝2d ，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0. 【答案】 x ＋y －1＝0或x －y －1＝07．如图2-4-3是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽_____________ m.图2-4-3【解析】 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意A (2，－2)，代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为2 6 m.【答案】 2 68．设点A 的坐标为(a,0)(a ∈R )，则曲线y 2＝2x 上的点到A 点的距离的最小值为________. 【导学号：09390049】【解析】 设抛物线上的点到A 点的距离为d ，抛物线上任一点的坐标为(x ，y )，则d 2＝(x －a )2＋y 2＝x 2－(2a －2)x ＋a 2＝[x －(a －1)]2＋(2a －1)．因为x ∈[0，＋∞)，所以当a －1≥0，即a ≥1时，d 2min ＝2a －1，d min ＝2a －1； 当a －1<0，即a <1时，当x ＝0时，d 2min ＝a 2，d min ＝|a |.【答案】 2a －1(a ≥1)或|a |(a <1)二、解答题9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．【解】 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ， 由⎩⎨⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0(舍)或x ＝2p k 2， ∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ②解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45，又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可化简为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[能力提升]1．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积为________．【解析】 由条件，不妨设l OA 为y ＝x ，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得x ＝2p ，所以A (2p,2p )．故S △AOB ＝12·2·(2p )·(2p )＝4p 2.【答案】 4p 22．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m ，n ，则1m ＋1n ＝________.【解析】 由焦点弦性质，知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a ，p ＝12a ，∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n ＝4a . 【答案】 4a3．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a ＞0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线，则OP →·FP→的最小值为________．【解析】 抛物线y ＝18x 2的焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2a 2－x 2＝1中，c ＝2，则a 2＝3.即双曲线方程为y 23－x 2＝1，设P (m ，n )()n ≥3，则n 2－3m 2＝3， 则OP →·FP →＝(m ，n )·(m ，n －2)＝m 2＋n 2－2n ＝n 23－1＋n 2－2n ＝4n 23－2n －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫n －342－74，所以当n ＝3时，OP →·FP →的最小值为3－2 3. 【答案】 3－2 34．如图2-4-4，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x轴．证明：直线AC 经过原点O .图2-4-4【证明】 法一：设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2py k －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，k OA ＝y 1x 1，k OC ＝y 2－p 2＝2p y 1.又∵y 21＝2px 1，∴k OC ＝y 1x 1＝k OA ，∴AC 经过原点O .当k 不存在时，AB ⊥x 轴，同理可得k OA ＝k OC ，所以AC 经过原点O . 法二：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由于直线AB 斜率不确定，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .法三：如图，过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则AD ∥EF ∥BC ，设AC 与EF 相交于点N ，则EN AD ＝CN AC ＝BFAB ，NF BC ＝AF AB .由抛物线的定义可知AF ＝AD ，BF ＝BC ，∴EN ＝AD ·BF AB ＝AF ·BC AB ＝NF .即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .。

2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．(1)当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；(2)当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程，则梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√) 2．直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.(√)3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)4．直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．(√)类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－332∪⎝⎛⎭⎫332，＋∞ 解析 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－423∪⎝⎛⎭⎫423，＋∞解析 依题意得，19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．答案 9解析 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋n m≥5＋24m n ·nm＝9， (当且仅当n ＝2m 时等号成立) 故m ＋n 的最小值为9.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)． 将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，当k ＝－12时，(*)式的判别式Δ＞0.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即直线AB 的斜率k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16.② ①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4， 得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)， 故AB ＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有⎩⎨⎧x 2336＋y 239＝1，x 2436＋y249＝1，两式相减得x 24－x 2336＋y 24－y 239＝0，整理得k AB ＝y 4－y 3x 4－x 3＝－9(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如P A ＋PB 的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时P A ＋PB 取得最值，即应用“化曲为直”的思想．(2)求解形如P A 的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∵由椭圆方程知a ＝5，c ＝3，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．答案 (－2，2)解析 由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．答案 相离解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27. 4．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，∴点(0，b )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，∴－2<b <2.5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝423，求直线l 的方程．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0. 由MN ＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0， 所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，或AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．一、填空题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b ＝________. 答案 ±1解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．已知A 1，A 2，B 1，B 2，F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形A 1B 1A 2B 2的面积是四边形B 1F 2B 2F 1面积的2倍，则椭圆的离心率为________． 答案 12解析 依题意得，12×b ×2a ×2＝2×12×b ×2c ×2，即a ＝2c ，故离心率e ＝c a ＝12.3．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________． 答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．4．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么F 1A ＋F 1B 的值为________． 答案823解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴F 1A ＋F 1B ＝2＋523＝823.5．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取最大值的点P 的坐标为________． 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝4， 当且仅当PF 1＝PF 2＝2， 即P (0，－1)或(0,1)时，取等号．6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为________． 答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 设交点的纵坐标为y 0， 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c2a 2，∴y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________． 答案3解析 由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________． 答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )， ∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0， 所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0) 所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 2＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.11．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________． 答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)． 如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0， 由此解得k ＝23或k ＝38.二、解答题12．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB →|.解 (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0， 解得－3<b < 3.所以b 的取值范围是(－3，3)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.相应地，y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝432.13．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程． 解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得c ＝a 2－(a 2－1)＝1，∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1， 代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得(2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a 2－1.又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1. ∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1，∴y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0. ∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0， 即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1，解得a 2＝2±3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3. 故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1.三、探究与拓展14．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.15．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0， 消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0. 由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2. ∵OP →⊥OQ →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0. ∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2.∴1a 2＋1b2等于定值． (2)解 ∵e ＝ca ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2.又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)用向量表示直线的位置：(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b来确定：②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量：知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v 1＝(a 1，b 1，c 1)，v 2＝(a 2，b 2，c 2)分别是直线l 1，l 2的方向向量．若直线l 1∥l 2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理(1)空间中平行关系的向量表示：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解 由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)， 所以PC →＝(1，3，－1)， 即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)． 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解 如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 类型二 证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)． 证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________． 答案 平行解析 设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三 利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解 以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设存在满足题意的点E (0，y ，z )， 则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)． 答案 ③解析 显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)． 答案 ④解析 由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________． 答案 x －3y －z ＋4＝0解析 由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)． 又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简，得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________． 答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________． 答案 12解析 因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________． 答案 ±2解析 易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________． 答案 4解析 因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线， 所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________． 答案 －1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7， 即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0， ∴y ＝12.8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________. 答案 －3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z .∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行， ∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________． 答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)， n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1) ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1) ＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0， ∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________. 答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5. 二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)． 所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)， 所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0， AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0， 所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ， 所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解 如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， 则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →， 即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．曲线x 2＋y 2＝9与曲线x 2＝8y 的交点坐标是________．【解析】 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝9，x 2＝8y ，得y 2＋8y －9＝0，解得y ＝1或y ＝－9.∵y ≥0，∴y ＝1，代入x 2＝8y ， ∴x 2＝8，x ＝±22， ∴交点坐标为(±22，1)． 【答案】 (±22，1)2．抛物线x 2＝－4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则AB ＝________. 【解析】 由直线AB 过焦点且垂直于对称轴知，AB 为通径， 所以AB ＝2p ＝4. 【答案】 43．直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，AB 中点坐标为(3,2)，则直线l 的方程是________．【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)， 又因为y 1＋y 2＝4，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.所以直线l 的方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝04．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________.【导学号：09390064】【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. 【答案】 x 24＋y 22＝15．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有__________条．【解析】 设该抛物线焦点为F ，则AB ＝AF ＋FB ＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．【答案】 26．曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________． 【解析】 由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y ＝x 2－x ＋2，消去y ，得x 2－2x ＋2－m ＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m )>0，∴m >1.【答案】 (1，＋∞)7．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若AB ＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于________．【解析】 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.【答案】 948．已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A ，B 两点，若AB ＝5，则实数b 等于________. 【导学号：09390065】【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1，x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1. 又AB ＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2. 故所求b 的值为±2. 【答案】 ±2 二、解答题9．如图2-6-7, 斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．图2-6-7【解】 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0，所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85. 所以AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4·85＝85.10．直线l ：y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1有两个不同的交点， (1)求a 的取值范围；(2)设交点为A ，B ，是否存在直线l 使以AB 为直径的圆恰过原点，若存在，就求出直线l 的方程；若不存在，则说明理由．【解】 (1)由方程组⎩⎨⎧3x 2－y 2＝1，y ＝ax ＋1，可得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，由方程有两实数根，则⎩⎨⎧3－a 2≠0，Δ＝(－2a )2－4(3－a 2)×(－2)＞0，解得－6＜a ＜6且a ≠±3，故所求a 的取值范围是(－6，－3)∪(－3，3)∪(3，6)．(2)设交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知，x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2， 由题意可得， OA ⊥OB (O 是坐标原点), 则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， 而y 1y 2＝(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， ∴ (a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0， 于是可得(a 2＋1)－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1，且满足(1)的条件，所以存在直线l 使以AB 为直径的圆恰过原点，直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.能力提升]1．过点P (4,1)的直线l 与椭圆x 218＋y 29＝1有且只有一个公共点，则直线l 的方程为________． 【解析】 若直线l 不存在斜率，则方程为x ＝4；把x ＝4带入轨迹方程可得y ＝±1，即直线l 和椭圆有两个公共点，不合题意．∴设直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝kx －4k ＋1，带入轨迹方程并整理得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－4k )x ＋16(2k 2－k －1)＝0.∵直线l 与椭圆只有一个公共点，∴Δ＝16k 2(1－4k )2－64(1＋2k 2)(2k 2－k －1)＝0，解得k ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝－2x ＋9. 【答案】 y ＝－2x ＋92．双曲线x 2－4y 2＝λ(λ≠0)截直线x －y －3＝0所得弦长为833，则双曲线方程为________．【解析】 联立方程⎩⎨⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0，设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12(36＋λ)>0，所以AB ＝(1＋k 2) [(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫82－4×36＋λ3＝8(12－λ)3＝833， 解得λ＝4，所求双曲线方程是x 24－y 2＝1. 【答案】 x 24－y 2＝13．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】 根据题意，设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点， ∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)·(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27.【答案】 274．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．【解】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1，② ①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)， 又因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2，又因为直线x ＋y －3＝0过椭圆右焦点，∴c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，所以设直线CD 的方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1，得3x 2－43x ＝0，解得x ＝0或x ＝433，不妨令A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，－33，所以可得AB ＝463. 将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝－4m3，x 3x 4＝2m 2－63，则CD ＝2·(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2.又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)＞0，即－3＜m ＜3，所以当m ＝0时，CD 取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB ·CD ＝863.。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．曲线＋＝与曲线＝的交点坐标是．【解析】由(\\(＋＝，＝，))得＋－＝，解得＝或＝－.∵≥，∴＝，代入＝，∴＝，＝±，∴交点坐标为(±，)．【答案】(±，)．抛物线＝－与过焦点且垂直于对称轴的直线交于，两点，则＝.【解析】由直线过焦点且垂直于对称轴知，为通径，所以＝＝.【答案】．直线与抛物线＝交于，两点，中点坐标为()，则直线的方程是．【解析】设(，)，(，)，则＝，＝，相减，得(－)(＋)＝(－)，又因为＋＝，所以＝＝.所以直线的方程为－＝－，即－－＝.【答案】－－＝．已知椭圆：＋＝(>>)，(，)为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，则椭圆的方程为.【导学号：】【解析】由题意，得(\\(＝()，,()＝，＝＋，))解得(\\(＝，＝()，))所以椭圆的方程为＋＝.【答案】＋＝．过抛物线＝的焦点作一条直线与抛物线交于，两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线有条．【解析】设该抛物线焦点为，则＝＋＝＋＋＋＝＋＋＝＞＝.所以符合条件的直线有且仅有两条．【答案】．曲线＝－＋和＝＋有两个不同的公共点，则实数的取值范围是．【解析】由(\\(＝＋，＝－＋，))消去，得－＋－＝.若有两个不同的公共点，则Δ＝－(－)>，∴>.【答案】(，＋∞)．直线－－＝与抛物线＝交于，两点，若＝，则弦的中点到直线＋＝的距离等于．【解析】直线－－＝，即＝，即直线－－＝过抛物线＝的焦点.设(，)，(，)，则＝＋＋＝，故＋＝，则弦的中点的横坐标是，弦的中点到直线＋＝的距离是＋＝.【答案】．已知直线＝＋与曲线＝相交于，两点，若＝，则实数等于. 【导学号：】【解析】设(，)，(，)．联立方程组(\\(＝＋，＝，))消去，整理得＋－＝.①∵，是关于的方程①的两根，∴＋＝－，＝－.又＝，其中＝，代入则有＝·＝，∴＝，则＝±.故所求的值为±.【答案】±二、解答题．如图--, 斜率为的直线过椭圆＋＝的右焦点，交椭圆于，两点，求弦的长．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若椭圆＋＝1(0＜a ＜36)的焦距为4，则a ＝________.x 236y 2a 【解析】　∵0＜a ＜36，∴36－a ＝22，∴a ＝32.【答案】　322．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是________．【解析】　方程可化为＋＝1，易知a ＝5，b ＝3，c ＝4，y 225x 29∴长轴长为10，短轴长为6，离心率为.45【答案】　10,6，453．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1x 2a 2y 2b 2x 225y 216x 2a 2y 2b 2的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则a 2＝________，b 2＝________.y 221x 29【解析】　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆＋x 225y 216y 221＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.x 29【答案】　25　94．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上32一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．【解析】　由题意得2a ＝12，＝，所以a ＝6，c ＝3，b ＝3.ca 323故椭圆方程为＋＝1.x 236y 29【答案】　＋＝1x 236y 295．椭圆＋＝1的离心率为，则实数m 的值为________.x 2m y 2412【导学号：09390028】【解析】　当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝＝1－＝1－＝，∴m ＝；c 2a 2b 2a 24m 14163当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4，则e 2＝＝1－＝1－＝，∴m ＝3.c 2a 2b 2a 2m414【答案】　3或1636．椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线x 2a 2y 2b 2，则椭圆的离心率为________．b7【解析】　由题意知直线AB 的方程为＋＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.x－a yb 左焦点为F (－c,0)，则＝.|－cb ＋ab |a 2＋b 2b7∴(a －c )＝，7a 2＋b 2∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝或e ＝.1254又∵0<e <1，∴e ＝.12【答案】　127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．图2­2­4【解析】　可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750.又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375.∴e ＝＝＝.ca 3752 750322【答案】　3228．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB ＝________.【解析】　椭圆左焦点为(－，0)，2∴直线方程为y ＝(x ＋)，332由Error!得5x 2＋4x －8＝0，2∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－，42585∴弦长AB ＝＝.(1＋13)[(－425)2－4×(－85)]165【答案】　165二、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，－，试求椭圆的离心率及其方程．105【解】　令x ＝－c ，代入＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2得y 2＝b 2＝，∴y ＝±.(1－c 2a 2)b 4a 2b 2a 设P，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．(－c ，b 2a )∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－＝－，b 2ac ba ∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝c ，∴e ＝＝.2ca 22又∵a －c ＝－，解得a ＝，c ＝，∴b ＝，1051055∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 210y 2510．设直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．x 22(1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.【解】　(1)将y ＝x ＋b 代入＋y 2＝1，x 22消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，x 22所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0，＜b ＜.33所以b 的取值范围为(－，)．33(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－.43所以y 1＝1，y 2＝－.13所以|AB |＝＝.(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2423能力提升]1．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为，x 2a 2y 2b 233过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4，则C 的方程为3________．【解析】　根据题意，因为△AF 1B 的周长为4，所以3AF 1＋AB ＋BF 1＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2＝4a ＝4，所以a ＝.又因为椭圆的离33心率e ＝＝，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为ca 33＋＝1.x 23y 22【答案】　＋＝1x 23y 222．若A 为椭圆x 2＋4y 2＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________. 【导学号：09390029】【解析】　由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y ＝x －2，代入x 2＋4y 2＝4，得5x 2－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝.把x ＝代入椭圆方程，得6565y ＝±，∴三角形的面积S ＝××＝.451285(2－65)1625【答案】　16253．过椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于x 2a 2y 2b 2另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若<k <，则椭圆离心率1312的取值范围是________．【解析】　因为<k <，所以点B 在第一象限．由题意可知点B 的坐标为1312.因为点A 的坐标为(－a ，0)，所以k ＝，所以<<.(c ，b 2a )b 2a －0c ＋a 13b 2a－0c ＋a 12又因为b 2＝a 2－c 2，所以＝＝＝＝1－e ，所以b 2a －0c ＋a b 2ac ＋a 2a 2－c 2a 2＋ac a －ca <1－e <，解得<e <，故椭圆离心率的取值范围是.13121223(12，23)【答案】　(12，23)4．(2016·绍兴高二检测)如图2­2­5，F 1，F 2分别是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的上顶点，B 是直线AF 2与椭x 2a 2y 2b 2圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.图2­2­5(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40，求a ，b 的值．3【解】　(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝ .12(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－(x －c )，3将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ，(85c ，－335c)所以|AB |＝·＝c .1＋3|85c －0|165由S △AF 1B ＝|AF 1|·|AB |·sin ∠F 1AB ＝a ·c ·＝a 2＝40，1212165322353解得a ＝10，b ＝5.3 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，可得t ＝a .85由S △AF 1B ＝a ·a ·＝a 2＝40知，a ＝10，b ＝5.12853223533。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．双曲线－＝上一点到一个焦点的距离是，那么点到另一个焦点的距离是．【解析】据题意知－＝－＝，∴＝或.【答案】或．双曲线－＝的焦距是．【解析】由题意，得＝＝，∴焦距为＝.【答案】．已知双曲线－＝的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆＋＝相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则－＝.【解析】设′是双曲线的右焦点，连接′(图略)，因为，分别是，′的中点，所以＝′.又＝＝，且由双曲线的定义知－′＝，故－＝－－′＝(－′)－＝×－＝－.【答案】－．焦点分别是(，－)，()，且经过点(－)的双曲线的标准方程是．【解析】由题意，焦点在轴上，且＝，可设双曲线方程为－＝(<<)，将(－)代入，解得＝.因此所求双曲线标准方程为－＝.【答案】－＝．已知双曲线－＝，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若⊥，则＋的值为．【解析】不妨设在双曲线的右支上，因为⊥，所以()＝＋，又因为－＝，所以(－)＝，可得·＝，则(＋)＝＋＋·＝，所以＋＝.【答案】．已知双曲线－＝上一点的横坐标为，则点到左焦点的距离是. 【导学号：】【解析】由于双曲线－＝的右焦点为()，将＝代入双曲线可得＝，即双曲线上一点到右焦点的距离为，故利用双曲线的定义可求得点到左焦点的距离为＋＝＋＝.【答案】．已知，是双曲线－＝的左，右焦点，是双曲线右支上一点，是的中点，若＝，则的值为．【解析】因为是的中点，所以＝＝，又由双曲线的定义知：－＝＝，所以＝.【答案】．若圆＋－－＝与轴的两个交点，都在双曲线上，且，两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为. 【导学号：】【解析】解方程组(\\(＋－－＝，＝，))得(\\(＝，＝))或(\\(＝，＝－.))∵圆＋－－＝与轴的两个交点，都在双曲线上，且，两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴(，－)，()，且＝＝，∴＝－＝，∴双曲线方程为－＝.【答案】－＝二、解答题．求适合下列条件的双曲线的标准方程．()＝，经过点；()经过点()，(－，－)．【解】()当焦点在轴上时，设所求标准方程为－＝(＞)，把点的坐标代入，得＝－×＜，不符合题意；当焦点在轴上时，设所求标准方程为－＝(＞)，把点的坐标代入，得＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝.()设双曲线的方程为＋＝(＜)，∵双曲线经过点()，(－，－)，。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．如图2-6-2所示，方程y ＝|x |x 2表示的曲线是________．图2-6-2【解析】 y ＝|x |x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，所以图②满足题意．【答案】 ②2．方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示的曲线是________．【解析】 方程(x ＋y －1)x －y －3＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≥0，x ＋y －1＝0，或x －y －3＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥2)或x －y －3＝0，故方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝0.【答案】 射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝03．条件甲“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则甲是乙的________条件．【解析】 在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．【答案】 必要不充分4．在平面直角坐标系中，方程|x 2－4|＋|y 2－4|＝0表示的图形是________．【解析】 易知|x 2－4|≥0，|y 2－4|≥0，由|x 2－4|＋|y 2－4|＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点． 【答案】 (2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点5．下列命题正确的是________(填序号)．①方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.【解析】 对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y ≠2；②中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有④是正确的．【答案】 ④6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).【导学号：09390057】①y ＝x 与y 2＝x ；②y ＝x 与x y ＝1；③y 2－x 2＝0与|y |＝|x |；④y ＝lg x 2与y ＝2lg x .【解析】 ①中y ＝x 时，y ≥0，x ≥0，而y 2＝x 时，x ≥0，y ∈R ，故不表示同一曲线；②中x y ＝1时，y ≠0，而y ＝x 中y ＝0成立，故不表示同一曲线；④。