具正负系数的高阶中立型差分方程正解的存在性

带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性：1. 什么是带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性？带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性是指求解（n+1）阶中立型微分方程组x'（t）=f（t，x1（t），x2（t），…，xn（t））（n>0）时，在某一定义域D中，当解x1（t），x2（t），…，xn（t）存在时，它们是满足某种约束关系的解的情况，且既要满足该中立型微分方程本身，也要满足该强迫项。

2. 带强迫项的高阶中立型微分方程存在性的分类（1）带线性强迫项的存在性：海伦-马歇尔存在定理，当中断式线性微分系统具有某一定义域D上的独立矩阵满足某些条件时，线性强迫项可以得到满足。

（2）带拉格朗日强迫项的存在性：拉格朗日正解存在定理指出，对于线性分析系统来说，存在一个带有独立拉格朗日变量的线性矩阵A，它的特征根具有某些性质，使得它的正解性质得以保证。

（3）带中立强迫项的存在性：中断式中立分析系统可以实现对状态变量的实时监测，其正解存在性可以通过一种叫做中断式中立分析系统（ICA）的数学方法进行分析和判断，ICA在某种意义上可以看作是带有特殊约束形式的中立强迫项。

3. 带强迫项的高阶中立型微分方程求解（1）数值解法：利用积分法、遗传系数法等进行数值求解。

（2）解析解法：利用拉格朗日乘数法、解析积分、数学归纳法等方法求解。

（3）特殊解法：利用偏微分方程的特殊解方法，例如平面坐标旋转换技术、模拟数据简化、解析技术等进行求解。

4. 带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性及其求解方法的应用带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性及其求解方法可以应用于灵敏度分析和最优设计。

例如，应用带线性强迫项的存在性，可以分析响应高增益系统；可以利用拉格朗日正解存在定理来优化某种仿真系统的特性；另外，可以应用带强迫项的高阶中立型微分方程求解方法来有效地对系统的演变和参数进行详细分析，以及使用特殊解法来求解带强迫项的高阶中立型微分方程。

一类非线性四阶差分方程边值问题正解的存在性准则刘览;胡宏【摘要】运用不动点指数理论,获得了非线性四阶差分方程边值问题△4u(t-2)=λf(t,u(t)),t∈T2,u(0)=u(T+2)=△u(0)=△u(T+1)=0正解的存在性准则,其中,T2={2,3,…,T},f:T2×R→[0,∞)连续且T＞4,λ＞0为参数.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(045)004【总页数】7页(P30-36)【关键词】四阶差分方程;正解;存在性;不动点指数【作者】刘览;胡宏【作者单位】徐州工程学院数学与物理科学学院江苏徐州221008;徐州工程学院数学与物理科学学院江苏徐州221008【正文语种】中文【中图分类】O175.70 引言差分方程不仅可以作为研究微分方程离散化的基本形式，还可以描述经济学、人口动力学中的实用模型．因此，非线性差分方程的研究备受关注［1－4］．近年来，对两端简单支撑的非线性四阶差分方程边值问题解的存在性的研究取得了丰富的成果［5－8］．然而，对于如下四阶差分方程边值问题正解的存在性研究却相对较少，其中，T2={2，3，…，T}，f:T2×R→R连续且T＞4，λ＞0为参数．众所周知，两端固定支撑的弹性梁方程在工程中有着重要的应用，对于问题(2)正解的存在性与多解性已有很多研究［9－15］．值得注意的是问题(1)可以看作问题(2)的离散形式，研究问题(1)正解的存在性有助于求解(2)的数值解．同时，问题(1)也可以看作工程中两端固定支撑弹性梁的离散模型，文中获得问题(1)正解存在性的参数区间是最优的，这有助于解决实际问题中的数据选取，同时也对差分方程边值问题正解的存在性提供了一种研究方法．1 主要结果下面给出主要结果．为了方便，引进一些记号:定理1 假定f:T2×R→［0，∞)连续，令(i)若0≤f∞≤f0≤+∞，则对任意的，问题(1)至少存在一个正解;(ii)若0≤f0≤f∞≤ +∞，则对任意的)，问题(1)至少存在一个正解，其中，λ1为线性特征值问题的第一个正的特征值．注1 定理1中给出问题(1)正解存在的参数区间是最优的．例如考虑如下边值问题其中为问题(3)的第一个正的特征值，记φ为相应于λ1的特征函数．显然，．若λ =1 时，则问题(4)不存在正解．事实上，假设u为问题(4)的一个正解，则(4)两边同乘以φ，并从t=2到t=T求和，可得由f的定义可知，这与产生矛盾．2 预备知识及主要工具令 T1={0，1，…，T+1，T+2}，定义空间则空间E按范数成 Banach空间．对任意的u，v∈E，记u≤v，如果对任意t∈T1，有u(t)≤v(t)成立．对任意给定的 r＞0，记Br={u∈E:‖u‖ ＜r}，∂Br={u∈E:‖u‖=r}，且θ表示空间E中的零元素．引理1 令h:T2→R．则边值问题存在解其中，G(t，s)=又因 u(T+2)=Δu(T+1)=0，故有证明通过简单的和分运算，结合u(0)=Δu(0)=0，易得从而(5)成立．通过计算，不难证明格林函数G(t，s)满足如下性质:其中，进一步，记满足G(t，s)≥σΦ(s)，对任意的s∈T1，t∈T2．定义E中的锥P如下:易证问题(1)等价于和分方程其中，G(t，s)如(6)式定义．问题(1)的正解是指存在一对(λ，μ)满足λ ＞0，u(t)＞0，t∈T2且满足问题(1)．定义算子L，f:E→E如下:则A=Lf．引理2A(P)⊂P且A:P→P全连续．证明对任意给定的u∈P，有故A(P)⊂P．因E为有限维空间，结合f的连续性，从而可证A:P→P全连续．根据引理可知，u={u(t)}Tt=+02是问题(1)的一个解，当且仅当u={u(t)}Tt=+02∈E为算子λA的一个不动点．下面考虑线性特征值问题(3)的谱．显然，(3)等价于算子方程u=λLu．引理3 算子L的谱半径r(L)＞0，且存在φ∈E满足φ(t)＞0，t∈T2，使得Lφ=r(L)φ且进一步，λ1=为线性特征值问题(3)的第一个正的特征值，且证明定义锥P0={u∈E y(t)≥0，t∈T1}，则P0为一个内部非空的正则锥．从而E=P0－P0，即P0为E 中的完全锥．因 G(t，s)＞0，(t，s)∈T2×T2，故存在t0∈T2使得 G(t0，t0)＞0，取u∈E 使得u(t)≥0，t∈T1，u(t0)＞0 且 u(t)=0，t∉T2，则对任意的t∈T2，有从而存在常数c＞0，使得对任意的t∈T1，有c(Lu)(t)≥u(t)．根据Krein-Rutman定理［16］得，谱半径r(L)＞0 且φ0∈E 满足φ0(t)＞0，t∈T2，使得Lφ0=r(L)φ0．注意到，Lφ=r(L)φ等价于下面边值问题则为问题(3)第一个正的特征值．对任意的x，y∈E，通过计算可得令Lu为下列边值问题的唯一解则故(7)成立，引理得证．作者所使用的主要工具:引理4［16］令E为Banach空间，P⊂E为E中的一个锥，Ω为E中的有界开集．假设A:P∩Ω－→P全连续．若存在x0∈P\{θ}，使得对任意的x∈P∩∂Ω，μ≥0，有 x－Ax≠μx0成立，则 i(A，P∩Ω，P)=0．引理5［16］令E为Banach空间，P⊂E为E中的一个锥，Ω为E中的有界开集．假设A:P∩Ω－→P全连续．若对任意的x∈P∩∂Ω 且μ≥1，有Ax≠μx，则i(A，P∩Ω，P)=1．3 主要结果的证明定理1的证明(i)对任意给定的λ，有f0＞和f∞根据知，存在ε∈(0，1)，r1＞0，使得假设λA在P∩∂Br1中无不动点，若不然，(i)已证．下面证明其中，φ由引理3定义．反设存在u0∈P∩∂Br1且μ0≥0，使得u0=λAu0+μ0φ 成立．易见，μ0≥μ0φ．令，则 u* ＞0且u0≥μ*φ．由于 L(P)⊂P，可知故这与μ*的定义矛盾，从而(8)成立．根据引理4可得由定义和f(t，u)的连续性知，存在σ∈(0，1)和常数C＞0，使得下证W为E中的有界集．对任意的u∈W，存在μ∈［0，1］，使得u=μλAu．由(10)知，u=μλAu≤λ1σLu+λCLv0，其中，v0(t)≡1，t∈T2．故(I－K)u≤CLv0，其中，K=λ1σL，I为恒同算子．因为r(K)=λ1σr(L)＜1，所以逆算子(I－K)－1存在且可展为(I－K)－1=I+K+K2+…．结合 K(P)⊂P 可得，(I－K)－1(P)⊂P，从而u≤(I－K)－1CLv0．故 W为有界集．从而存在，使得u≠μλAu，∀u∈P∩BR1，μ∈［0，1］．由引理5知，因此，由(9)和(11)，结合不动点指数的可加性知，从而A在P∩(Br2\)中存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个正解．(ii)对任意给定的λ，有 f0＜和f∞ ＞根据 f0＜知，存在ε∈［0，1］，r2＞0，使得下面证明反设存在u0∈［0，1］且u0∈P∩∂Br2，使得u0= μ0λAu0，则从而λ1(1－ε)Lu0≥u0，给此不等式两边同时乘以φ，然后从t=2到t=T求和，结合(7)可得根据可知，ε≤0，这与ε的选取矛盾，故(12)成立．由引理5知，根据和f(t，u)关于u的连续性可知，存在常数C＞0，使得令对某些μ≥0}，其中，φ由引理3定义，宣称Ω为E中有界集．事实上，对任意的u∈Ω，存在μ≥0，使得u=λAu+μφ≥λAu，则对上面不等式两边同乘以φ，然后从t=2到t=T求和，结合引理4可得从而可得则‖u‖≤λδ－1C．因此Ω为E中的有界集，宣称成立．选取R2＞max{suup‖u‖，r2}，使得∈Ω结合引理4，可得由(13)和(14)，结合不动点指数的可加性知，根据不动点指数理论知，A在P∩(BR2\)中至少存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个正解．参考文献:［1］ Goldberg S．An Introduction to Difference Equations［M］．New York:John Wiley and Sons，1960:1 －270．［2］ Agarwal R P．Difference Equations and Inequalities:Theory，Methods，and Applications［M］．2nd ed．New York:Marcel Dekker，2000:1 －1000．［3］赵玉萍．具有连续变量高阶差分方程的振动性［J］．郑州大学学报:理学版，2012，44(3):12－15．［4］刘雪飞，钟晓珠，许红叶，等．含有极大值的二阶差分方程的有界振动性和非振动性［J］．郑州大学学报:理学版，2012，44(2):39－42．［5］ Cabada A，Iannizzotto A，Tersian S．Multiple solutions for discrete boundary value problems［J］．J Math Anal Appl，2009，356(2):418－428．［6］ Zhang Binggen，Kong Lingju，Sun Yijun，et al．Existence of positive solutions for BVPs of fourth-order difference equations ［J］．Appl Math 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具连续变量高阶中立型差分方程的渐近性孙静;刘志民【摘要】研究了一类具有连续变量的高阶中立型时滞差分方程△d(x(t)+q(t)x(t-τ))+p(t)f(x(t一δ(t))) =0的渐近性.在{x(t)}是方程的有界非振动解的假设下,通过变换引理中的三个条件,得到limx(t)=0或t→∞时,{x(t)}收敛于某有限数值,从而认为该方程具有渐近性.%The asymptotic behavior of higher order neutral difference equations with continuous arguments △d{x(t) + q(t)x(t - t)) +p(t)f(x(t- 8(t))) =0 was studied. It showed that the formula was asymptotic in that the { x (t) } converge to a certain finite value when lim x (t) = 0 or t→∞ by transform-ing the three conditions in Lemma to get the asymptotic equation under the assumption of non - oscillatorysolution.【期刊名称】《河北工程大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)003【总页数】2页(P111-112)【关键词】中立型差分方程;渐近性;连续变量【作者】孙静;刘志民【作者单位】河北工程大学理学院,河北邯郸056038;河北工程大学理学院,河北邯郸056038【正文语种】中文【中图分类】O175.7随着医学,生物数学,现代物理等自然科学和边缘学科的发展,出现了许多由差分方程描述的具体数学模型。

近年来,在具有离散变量的差分方程的解的振动性研究方面的论文比较丰富[1-3],而具有连续变量的高阶差分方程渐近性的研究还不多,文献[4]主要研究了一类高阶方程的振动性,且给出了非振动解的渐近性的一个充分条件,严秀坤在文献[5]中以离散Knesor定理为基础讨论了一类高阶变系数非线性中立型差分方程的渐近性,本文应用反证法和数学归纳法,考虑具有连续变量的高阶差分方程的渐近性。