2019年4月河南省郑州市2019届高三毕业班第三次质量预测(三模)数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年河南省高三（下）第三次联考数学试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−1<x<5}，B={x|0<x≤2}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|0<x<5}C. {0,1，2}D. {1,2}2.已知a，b∈R，3+ai=b−(2a−1)i，则()A. b=3aB. b=6aC. b=9aD. b=12a3.已知向量a⃗=(0,2)，b⃗ =(2√3,x)，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，则x=()A. −2B. 2C. 1D. −l4.若x，y满足约束条件{x−y≤0x+y≤2x+1≥0，则z=y+2x+3的最大值为()A. 12B. 34C. 52D. 35.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是()A. i≤3?B. i≤4?C. i≤5?D. i≤6?6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3−2x，则不等式f(x)>0的解集为()A. (−32,32) B. (−∞,−32)∪(32,+∞)C. (−∞,−32)∪(0,32) D. (−32,0)∪(32,+∞)7.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有()A. 1人B. 2人C. 5人D. 6人8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为()A. 14B. √154C. 2√65D. 159.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)与直线ya−xb=1交于A，B两点焦点P(0,−c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为()A. √5−12B. √3−12C. √3+14D. √5+1410.将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=5π9对称；②它的最小正周期为2π3③它的图象关于点(11π18,1)对称；④它在[5π3,19π9]上单调递增．其中所有正确结论的编号是()A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为()A. 56383B. 57171C. 59189D. 6124212.已知函数f(x)=ae x(a>0)与g(x)=2x2−m(m>0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为()A. (4e2,+∞) B. (8e2,+∞) C. (0,4e2) D. (0,8e2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}为等比数列，a1+a2=−2，a2+a3=6，则a5=______．14.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数．现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为______．16.如图，在三棱锥A−BCD中，点E在BD上，EA=EB=EC=ED，BD=√2CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动(不含端点)，且AM=CN，则当四面体C−EMN的体积取得最大值23时，三棱锥A−BCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a−c=2bcosC．(1)求sin(A+C2+B)的值；(2)若b=√3，求c−a的取值范围．18.某校高三(1)班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：考试分数[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)[125,135)[135,145]频数510155105赞成人数469364(2)依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．,n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.010k0 2.7063.8415.0246.635AD= 19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，∠DAB=90°，AB=BC=PA=12 2，E为PB的中点，F是PC上的点．(1)若EF//平面PAD，证明：F为PC的中点．(2)求点C到平面PBD的距离．20. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C的弦，已知以AB 为直径的圆经过点(−1,0)． (1)求p 的值及该圆的方程；(2)设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF ⊥NF ． 21. 已知函数f(x)=(x+1)(1+lnx)x−3m ，g(x)=−mx +lnx(m ∈R)．(1)求函数g(x)的单调区间与极值．(2)当m >0时，是否存在x 1，x 2∈[1,2]，使得f(x 1)>g(x 2)成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =cosα,y =3sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=6． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若射线m 的极坐标方程为θ=π3(ρ≥0).设m 与C 相交于点M ，m 与l 相交于点N ，求|MN|．23. 设函数f(x)=|12x +1|+|x −1|(x ∈R)的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1ma +12mb +13mc =23，证明：a9+2b 9+c3≥1．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A ={x ∈Z|−1<x <5}={0,1，2，3，4}， B ={x|0<x ≤2}， ∴A ∩B ={1,2}． 故选：D ．求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题． 2.答案：C解析：解：由3+ai =b −(2a −1)i ，得{3=ba =1−2a，即a =13，b =3． ∴b =9a ． 故选：C ．直接利用复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 本题考查复数相等的条件，是基础题． 3.答案：B解析：解：∵向量a ⃗ =(0,2)，b ⃗ =(2√3,x)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =0+2x =2⋅√12+x 2⋅cos π3，即2x =√12+x 2，求得x =2，故选：B ．由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出x 的值． 本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题． 4.答案：C解析：解：因为z =y+2x+3表示经过点D(−3,−2)和可行域内的点(x,y)的直线的斜率； 画出可行域；可知可行域的三个顶点分别为A(−1,3)，B(−1,−1)，C(1,1)； 且K AD =52； 故z ≤52．即z =y+2x+3的最大值为52．故选：C ．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题． 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当i 为何值时输出，得到判断框中的条件． 【解答】解：初始值i =9，S =1模拟执行程序框图，可得S =10，i =8不满足条件，继续循环； S =18，i =7不满足条件，继续循环； S =25，i =6不满足条件，继续循环；S =31，i =5，此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为31． 故判断框中应填入的关于i 的条件是i ≤5？ 故选C ． 6.答案：C解析：解：根据题意，f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则其图象如图： 且f(32)=f(−32)=0，则不等式f(x)>0的解集为(−∞,−32)∪(0,32)；故选：C ．根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得f(x)的图象，据此分析可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，属于基础题． 7.答案：C解析：解：设这两项成绩均合格的人数为x ，则立定跳远合格100米跑不合格的人数为30−x ， 则30−x +35+5=45， 得x =25，即这两项成绩均合格的人数是25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×2545=5，故选：C ．设这两项成绩均合格的人数为x ，根据集合关系建立方程进行求解即可，再根据分层抽样即可求出． 本题主要考查集合关系的应用和分层抽样的问题，属于基础题． 8.答案：D解析：【分析】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题． 可画出图形，连接BE ，从而可得出∠DEB 为异面直线AF ，BE 所成的角，并连接DB ，然后可设正方体的棱长为2，从而可得出△BDE 三边的长度，根据余弦定理即可求出cos∠DEB 的值． 【解答】解：如图，连接BE ，则BE//AF ，则∠DEB 为异面直线AF ，DE 所成的角，连接DB ，设正方体的棱长为2，则：BE =DE =√5,BD =2√2， ∴在△BDE 中，由余弦定理得，cos∠DEB =BE 2+DE 2−BD 22BE⋅DE=2×√5×√5=15．故选：D ． 9.答案：A解析：解：椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)与直线y a −xb =1交于A ，B 两点焦点P(0,−c)，其中C 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A(0,a)，B(−b,0)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得b 2=ac ，即a 2−c 2=ac ，即e 2+e −1=0，e ∈(0,1)， 故e =√5−12．故选：A ．利用已知条件求出A 、B 坐标，结合三角形是直角三角形，推出a 、b 、c 关系，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 10.答案：B解析：解：将函数f(x)=sin3x −√3cos3x +1=2sin(3x −π3)+1的图象向左平移π6个单位长度， 得到函数g(x)=2sin(3x +π2−π3)+1=2sin(3x +π6)+1的图象． 令x =5π9，求得g(x)=2sin 11π6+1=0，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x =5π9对称，故①不正确；它的最小正周期为2π3，故②正确； 当x =11π18时，g(x)=1，故g(x)的图象关于点(11π18,1)对称，故③正确； 在[5π3,19π9]上，3x +π6∈[5π+π6,6π+π2]，g(x)没有单调性，故④错误，故选：B ．由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题． 11.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和，是基础的计算题．由已知可得被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5×7=35的等差数列，求其通项公式，由a n ≤2020求得n 值，再由等差数列的前n 项和求解． 【解答】解：被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5×7=35的等差数列，记数列{a n }.则a n =23+35(n −1)=35n −12， 令a n =35n −12≤2020，解得n ≤58235． 故该数列各项之和为58×23+58×572×35=59189．故选：C ． 12.答案：D解析：解：设切点为A(x 0,y 0)，所以{ae x 0=2x 02−m ae x 0=4x 0，整理得{4x 0=2x 02−m x 0>0m >0，由m =2x 02−4x 0>0，解得x 0>2．由上可知a =4x 0e x 0，令ℎ(x)=4x e x ，则ℎ′(x)=4(1−x)e x ．因为x >2，所以ℎ′(x)=4(1−x)e x<0,ℎ(x)=4xe x 在(2,+∞)上单调递减，所以0<ℎ(x)<8e 2，即a ∈(0,8e 2)．故选：D ．先设出切点，根据切点是公共点且切点处导数值相等构造方程，由此将m 用切点的横坐标x 0表示出来，根据m 的范围求出x 0的范围，再将a 表示成x 0的函数，利用导数求其值域即可．本题考查了利用导数研究切线问题和研究函数值域的基本思路，属于中档题．注意计算要准确． 13.答案：81解析：解：设公比为q ，则q =a 2+a3a 1+a 2=−3，由a 1+a 2=a 1−3a 1=−2可得a 1=1， 故a 5=81． 故答案为：81．由已知结合等比数列的通项公式即可直接求解．本题主要考查了等比数列的简单应用，属于基础试题．14.答案：110解析：解：现从1～5这5个数中随机选取3个不同的数，基本事件总数n =C 53=10，这三个数为勾股数包含的基本事件(a,b ，c)有：(3,4，5)，共1个， ∴这三个数为勾股数的概率为p =110． 故答案为：110．基本事件总数n =C 53=10，这三个数为勾股数包含的基本事件(a,b ，c)有：(3,4，5)，共1个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：√3解析：解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F(2,0)，p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P(m,n)，由抛物线定义知：|PF|=m+p2=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为(3,±2√6)∴{a2+b2=49a2−24b2=1解得：a=1，b=√3，则渐近线方程为y=±√3x，即有点F到双曲线的渐近线的距离为d=√33+1=√3，故答案为：√3．根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2−a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．16.答案：32π解析：解：设ED=a，则CD=√2a.可得CE2+DE2=CD2，∴CE⊥ED．当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x．则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x)≤√212a(x+a−x2)2=23，当且仅当x=a2时取等号．解得a=2√2．此时三棱锥A−BCD的外接球的表面积=4πa2=32π．故答案为：32π．设ED=a，则CD=√2a.可得CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x.则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x).利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结论．本题考查了直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)因为2a−c=2bcosC=a2+b2−c22ab×2b，整理可得，a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得，cosB=12，故B=60°，A+C=120°，所以sin(A+C2+B)=sin120°=√32；(2)由正弦定理可得，asinA =csinC=√3sin60°，所以a=2sinA，c=2sinC，所以c−a=2sinC−2sinA=2sinC−2sin(120°−C)=sinC−√3cosC，=2sin(C−60°)，因为0°<C<120°，所以−60°<C−60°<60°，所以−√32<sin(C−60°)<√32，故−√3<c−a<√3解析：(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c−a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.答案：解：(1)因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50×30%=15，由表中数据知，优秀分数线应定为125分．(2)由(1)知，测试成绩优秀的学生有50×0.3=15人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有50−15=35人，其中“赞成的”有22人；填写2×2列联表如下：赞成不赞成合计优秀10515不优秀221335合计321850计算K2=50×(10×13−5×22)232×18×15×35=25378≈0.066<2.706，因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．解析：(1)计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；(2)由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验问题，是基础题．19.答案：(1)证明：因为BC//AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC//平面PAD．因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD=PM，又因为BC⊂平面PBC，所以BC//PM．因为EF//平面PAD，EF⊂平面PBC，所以EF//PM，从而得EF//BC．因为E为PB的中点，所以F为PC的中点．(2)解：因为PA⊥底面ABCD,∠DAB=90°,AB=BC=PA=12AD=2，所以PB=√PA2+AB2=2√2,PD=√PA2+AD2=2√5，BD=√BA2+AD2=2√5，所以S △DPB =12PB ⋅√DP 2−(12PB)2=6． 设点C 到平面PBD 的距离为d ，由V C−PBD =V P−BCD ，得13S △DPB ⋅d =13S △BCD ⋅PA =13×12×BC ×AB ×PA ，即13⋅6d =16⋅2⋅2⋅2，解得d =23．解析：(1)由线面平行的判定定理可得BC//平面PAD ，再由线面平行的性质定理可得EF//PM ，进而得到所求结论；(2)运用线面垂直的性质定理，结合勾股定理求得PB ，PD ，BD ，由三角形的面积公式可得三角形PBD 的面积，设点C 到平面PBD 的距离为d ，由V C−PBD =V P−BCD ，运用棱锥的体积的公式，计算可得所求值．本题考查空间线面平行、垂直的判定和性质的运用，考查点到平面的距离的求法，注意运用等积法，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 20.答案：解：(1)易知A 点的坐标为(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，解得p =2，又圆的圆心为F(1,0)，所以圆的方程为(x −1)2+y =4；(2)证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，代入C 的方程得ky 2−4y +4(y 0+k)=0， 令△=16−16k(y 0+k)=0.得y 0+k =1k ，所以ky 2−4y +4(y 0+k)=k 2y 2−4ky+4k =0，解得y =2k ， 将y =2k 代入C 的方程，得x =1k ，即N 点的坐标为(1k ,2k )，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 0)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k)， 所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2k 2+y 0⋅2k =2−2k 2+(1k −k)⋅2k=0 故MF ⊥NF ．解析：(1)易知A(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，即可解得p 的值，得到圆心坐标为(1,0)，半径为2，从而求出改圆的方程；(2)设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，与抛物线方程联立，由△=0可得令△=0可得y 0+k =1k ，所以y =2k ，与抛物线方程联立可求出N 点的坐标，从而得到FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故MF ⊥NF ． 本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的基本知识，是中档题．21.答案：解：(1)g′(x)=−m+1x，x>0，当m≤0时，g′(x)>0恒成立，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，所以不存在极值，当m>0时，当0<x<1m 时，g′(x)>0此时函数单调递增，当x>1m时，g′(x)<0，此时函数，单调递减故函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，此时函数g(x)在x=1m 处取得极大值，极大值为g(1m)=−1−lnm，无极小值，综上，当m≤0时，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，不存在极值．当m>0时，函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，极大值为−1−lnm，无极小值，(2)当m>0时，假设存在x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)成立则对x∈[1,2]，满足f(x)max>g(x)min，∵f′(x)=x−lnxx2x∈[1,2]，令ℎ(x)=x−lnx，x∈[1,2]，则ℎ′(x)=1−1x≥0，所以ℎ(x)在[1,2]上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(1)=1，所以f′(x)>0，所以f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)max=f(2)=3(1+ln2)2−3m，由(1)可知，①当0<1m≤1时，即m≥1时，函数g(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)的最小值是g(2)=−2m+ln2，②当1m ≥2，即0<m≤12时，函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)=−m，③当1<1m <2时，即12<m<1时，函数g(x)在[1,1m]上单调递增，在[1m,2]上单调递减．又g(2)−g(1)=ln2−m，，所以当12<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m．当ln2≤m<1时，g(x)在1，2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，所以当0<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m，故3(1+ln2)2−3m>−m，解得3(1+ln2)4>m，所以ln2>m>0，当ln2≤m时，函数g(x)在[1,2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，故3(1+ln2)2−3m>ln2−2m，解得m <3+ln22，所以ln2≤m <3+ln22．故实数m 的取值范围是(0,3+ln22).解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间与极值，(2)由题意可得，对x ∈[1,2]，满足f(x)max >g(x)min ，结合导数及单调性关系可求．本题综合考查了导数与单调性的关系及函数的存在性问题的求解，属于难题．22.答案：解：(1)已知曲线C 的参数方程为{x =cosα,y =3sinα(α为参数).消去参数α，得x 2+y 29=1，所以曲线C 的普通方程为x 2+y 29=1．直线l 的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=6.转换为直角坐标方程为x +y −6=0．(2)曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ9=1． 将θ=π3(ρ≥0)代入ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ9=1，解得ρ1=√3，将θ=π3(ρ≥0)代入ρsinθ+ρcosθ=6，解得ρ2=6√3−6．故|MN|=|ρ1−ρ2|=5√3−6．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用直线和曲线组成的方程组，进一步求出极径，利用极径的应用求出|MN|结的长．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|12x +1|+|x −1|={ −32x,x ≤−2−12x +2,−2<x <132x,x ≥1， 当x ∈(−∞,1)时，f(x)单调递减；当x ∈[1,+∞)时，f(x)单调递增．所以当x =1时，f(x)取最小值m =32．(2)证明：由(1)可知1a +12b +13c =1．因为a ，b ，c 为正实数，所以a +2b +3c =(a +2b +3c)(1a +12b +13c )=3+a 2b +a 3c +2b a +2b 3c +3c a +3c 2b =3+(a 2b +2b a )+(a 3c +3c a)+(2b 3c +3c 2b )≥3+2+2+2=9． 当且仅当a =2b =3c ，即a =3,b =32,c =1时取等号，所以a9+2b9+c3≥1．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，利用其单调性即可求得最小值m；(2)依题意，1a +12b+13c=1，利用基本不等式可证a+2b+3c≥9，由此得证．本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的运用，考查化简能力及推理论证能力，属于基础题．。

新乡市2019届高三第三次模拟测试数学试卷（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．231i ii（＋）（＋）＋＝A．5 B．5i C．6 D．6i2．已知集合A＝{x｜x2－4x＜5），B＝{x x＜2}，则下列判断正确的是 A．－1．2∈A B15∉BC．B⊆A D．A∪B＝{x｜－5＜x＜4}3．某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如下茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[499，501]内的概率为1A．513B．613C．713D．8134．设向量e l，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e l－e2与b＝e l－λe2共线，则λ＝A．13B．－13C．－3 D．35．已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x2－3x，则A．f（tan70°）＞f（1．4）＞f（－1．5）B．f（tan70°）＞f（－1．5）＞f（1．4）C．f（1．4）＞f（tan70°）＞f（－1．5）D．f（－1．5）＞f（1．4）＞f（tan70°）6．若曲线nxxye＝在点（1，1e）处的切线的斜率为4e，则n＝A．2 B．3 C．4 D．57．如图，过双曲线C：22221x ya b－＝（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线交C于A，B两点（A在B的上23方），若A ，B 到C 的一条渐近线的距离分别为d l ，d 2，且d 2＝4d l ，则C 的离心率为A ．2B ．54C ．3D ．43 8．已知函数f （x ）＝sin （2ωx ＋ϕ）＋cos （2ωx ＋ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜π），若f （x ）的最小正周期为π，且f （－x ）＝－f （x ），则f （x ）的解析式为A ．2sin 2f x x （）＝－ B ．2sin 2f x x （）＝ C ．2cos 2f x x （）＝－ D ．2cos 2f x x （）＝ 9．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，且5S ＝5，10S ＝30，则15S ＝A ．90B ．125C ．155D ．18010．若圆C ：x 2＋（y －4）2＝18与圆D ：（x －1）2＋（y －1）2＝R 2的公共弦长为62，则圆D 的半径为 A ．5 B ．25 C ．26 D ．2711．某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如4图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为 A ．163 B ．163或203C ．203D ．203或6 12．已知函数2log 0x x f x x x ⎧⎨⎩1－，≤0，（），＞，若关于x 的方程f （f （x ））＝m 只有两个不同的实根，则m 的取值范围为A ．[1，2]B ．[1，2）C ．[0，1]D ．[0，1）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的13，且样本容量为200，则中间一组的频数为___________． 14．记等差数列{n a }的前n 项和为n S ．若5a ＝3，13S ＝91，则1a ＋11a ＝___________．15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 上一点，且CE ＝2DE ，F 为棱AA 1的中点，且平面BEF 与DD 1交于点G ，则B 1G 与平面ABCD 所成角的正切值为___________．16．某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：那么，该农户一年种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）的最大值为__________万元．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝3，AB⊥BC．（1）求BD；（2）若∠BCD＝150°，求CD．18．（12分）《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《Super Brain》而推出的大型科学竞技真人秀5。

2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．12．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D．2．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B中的元素的个数为2．故选：B．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g（x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x ）=﹣2a=，当a ≤0时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在区间（0，+∞）单调递增，因此g （x ）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a ＞0时，令g′（x ）=0，解得x=，令g′（x ）＞0，解得0＜x ＜，此时函数g （x ）单调递增；令g′（x ）＜0，解得x ＞，此时函数g （x ）单调递减．∴当x=时，函数g （x ）取得极大值．当x 趋近于0与x 趋近于+∞时，g （x ）→﹣∞， 要使g （x ）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g （）=ln＞0，解得0＜a ＜．∴实数a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ﹣1 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1． 故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为 9 ．【考点】BB ：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9．故答案为：9．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则V M﹣ANB′=V C，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．﹣ANB′【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴V M﹣ANB′=V C﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f （x ）=mx+2lnx+，m ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设函数g （x ）=，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数m 的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x 0∈[1，e]，使得m ＞﹣成立，设H （x ）=﹣，根据函数的单调性求出m 的范围即可． 【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x ）=m++=，m=0时，f′（x ）=，f （x ）在（0，+∞）递增，m ＞0时，f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m ＞2时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＜0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m ≤2时，x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0， f （x ）在（0，+∞）递增，m ＜0时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＞0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=mx+2lnx ﹣，∵至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，∴至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。

2019年郑州市高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13． ． 14．. 15.． 16．． 5π6425⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分 ABC ∆3184222⋅-+=c c a 又在中，---------------4分ACD ∆933216943642cos 2222aa CD AC AC CD AD ADC -+=⋅-+=∠在中，----------------------6分ABD ∆931693642cos 22222ac a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠又π=∠+∠ADC ADB 即-----------------------② 0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 06423222=+-c a 联立①②得， 即---------------------------------------------------------------8分 6=c 6=AB （Ⅱ） 31cos =∠CAB 322cos =∠∴CAB ---------------------------------------------------------10分28sin 21=∠⨯⨯⨯=∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------------------------12分32831==∆∆ABC ABD S S18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．ABCD AO ⊥BD ∵平面，平面，FO ⊥ABCD AO ⊂ABCD∴．----------------------------------------------------------------2分 AO ⊥FO 又四边形为平行四边形，OAEF ∴∥，EF AO ∴，，------------------------------------------------------4分 EF ⊥BD EF ⊥FO ∵，∴平面．BD ∩FO =O EF ⊥BDF ∵平面，EF ⊂DEF ∴平面平面．----------------------------------------------------6分 DEF ⊥BDF （Ⅱ）∵，四边形为菱形，AB =FO =BD =2ABCD ∴为等边三角形，且，．ΔABD AO =3DO =BO =1∵，，，BD ⊥AC BD ⊥FO AC ∩FO =O ∴平面，BD ⊥OAEF ∴四棱锥的体积为．AOFE D -V D ―AOFE =13⋅S AOFE ⋅DO =13×(3×2)×1=233-----------------------------------------8分 3321===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V ∵平面，点在线段上，且，FO ⊥ABCD H BF FH =λFB 所以点到平面的距离．H ABCD ℎ=λ|FO |=2λ所以， V B ―AHC =V H ―ABC =13⋅S ABC ⋅ℎ=13×(12×2×2×sin120°)×2λ=23λ3=33解得------------------------------------------------------------12分 21=λ19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 y =c ·x d （Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分 y =c ·x d ln y =ln c +d ln x v =ln c +du 由表中数据得：，u =v =1.5∴，-------------------------------4分 ()()()31ˆ2121121=--=---=∑∑∑∑====u n u v u n v u u u v v u u d n i i i n i i n i i i n i i ∴，∴，ln c =v ―^du =1.5―13×1.5=1c =e ∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分 x y y =e ·x 13(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，z (x )=27x 13―x ∴，--------------------------------------------------------8分z '(x )=9x―23―1令，得， z '(x )=9x ―23―1=0x =27且当时，单调递增；x ∈(0,27)z '(x )>0,z (x )当时，单调递减．----------------------------------10分 x ∈(27,+∞)z '(x )<0,z (x )所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.x =27z ()5427=z 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分 20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以， ()2522=--=P MF 抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分 1=∴p x y 22-=（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为M ()2,2-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分 l B A ,当直线斜率存在时，设直线的方程为l l b kx y +=设，，将直线与抛物线联立得：A ()11,y xB ()22,y x l⎩⎨⎧-=+=x y b kx y 22()022222=+++b x kb x k ，——————————————————①-------------7分 22122k kb x x --=+2221k b x x =又， 22222221121-=+-++-=+x y x y k k 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx 将①带入得， ()01222=+---b k b b 即()()0221=--+k b b 得或--------------------------------------------------------------------------------------10分 1-=b k b 22+=当时，直线为，此时直线恒过1-=b l 1-=kx y ()1,0-当时，直线为，此时直线恒过（舍去） k b 22--=l ()2222++=++=x k k kx y ()2,2-所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分l ()1,0-21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x -+=+=ln 由题意可知 ，-----4分 ()1-+='x b ae x h x ()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h ea 2=∴1=b （Ⅱ）当时，等价于 0>x ()()01>++'-x x f k x x e x k x +-+<11设 -------------------------------------------------6分 ()x e x x F x +-+=11()()()212---='x x x e x e e x F 令 当时，恒成立()2--=x e x R x ()1-='x e x R 0>x ()0>'x R 在上单调递增 ， 又，()x R ()+∞,0()01<R ()02>R 在上有唯一零点，且，---------------------------9分 ()x R ∴()+∞,00x ()2,10∈x 0200=--x e x 单减区间为，单增区间为()x F ∴()0,0x ()+∞,0x 在的最小值为----------------------------11分()x F ∴()+∞,0()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x --------------------------------------------------------------------12分()0x F k <∴2max =∴k （二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，l 01=++y x ()0,1-∴A ()1,0-B 的方程可化为，设点的坐标为，，1C ()0122≥=+y y x P ()θθsin ,cos πθ≤≤0--------------------------------5分 []12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθ（2）曲线的直角坐标方程为： 2C ()()82222=-++y x 直线的标准参数方程为，代入得： l ()为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=2212222C 0722=--m m 设，两点对应的参数分别为， M N 1m 2m ， 故，异号 221=+m m 0721<-=m m 1m 2m ------------------------------------------------------------------10分221=+=-∴m m QN QM 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当时，1a =232()|1||2|121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩()3f x ≤ 当时解得 2x ≤-()233f x x =--≤32x -≤≤-当时恒成立21x -<<-()13f x =≤当时解得 1x ≥-()233f x x =+≤10x -≤≤综上可得解集………………5分[3,0]-（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当，即时，无最小值； (1)0a -+>1a <-()f x 当，即时，有最小值； (1)0a -+=1a =-()f x 1-当且，即时， (1)0a -+<(1)0a -≤11a -<≤min ()(1)f x f a =-=当且，即时， (1)0a -+<(1)0a ->1a >min ()(2)1f x f =-=综上：当时，无最小值；1a <-()f x 当时，有最小值；1a =-()f x 1-当时， 11a -<≤min ()(1)f x f a =-=当时， ……………… 10分 1a >min ()(2)1f x f =-=。

郑州市2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合A ＝{x ∈N ｜－1＜x ＜3}，集合B ＝{x ｜0＜x ＜π}，则A ∩B ＝ A ．{x ｜0＜x ＜3} B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{x ｜0＜x ＜π}2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1－i ）＝2＋i ，则在复平面内z 的对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作 为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北 朝时期专著的概率为 A ．35 B ．710 C ．45 D ．9104．已知双曲线22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2），则该双曲线的离心率为A ．2B C D ．3 5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于（6π，0）对称；③在[0，4π]上是增函 数”的一个函数可以是A ．3sin 24y x π＝（－） B ．sin 23y x π＝（－） C ．2cos 23y x π＝（＋） D ．sin 26y x π＝（＋）6．在△ABC 中，若点D 满足CD uuu r ＝2DB uuu r ，点M 为AC 中点，则MD uuu r ＝A ．2136AB AC － B ．1136AB AC － C ．2133AB AC － D ．2136AB AC ＋7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（－∞，0）上是减函数，若a ＝f （－1），b ＝142log f （），c ＝f （20．3），则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为AB ．2 C． D ．4 9．已知数列{n a }，{n b }满足1a ＝1b ＝1，1n a ＋－n a ＝1n nb b ＋＝3，n ∈N *．则数列{n a b }的前10项和为A ．101312（－） B ．10118（9－） C ．91126（27－） D ．101126（27－） 10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为ABC ．6483π－ D ．643π－411．函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足在D 内是单调函数且存在[m ，n]⊆D 使f （x ）在[m ，n]上的值域为[2m ，2n]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f （x ）＝log a （a x ＋t ）（a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是 A ．（0，14] B ．（0，14） C ．（0，＋∞） D ．（14，＋∞） 12．已知椭圆C 1：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：2219y x －＝有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A ．2878a ＝ B ．212a ＝C ．298b ＝ D ．21b ＝第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22－23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．若实数x ，y 满足条件01033x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－1≥，－－≤，－＋≥0，则z ＝3x －2y 的最大值为__________．14．在三棱锥D －ABC 中，AB ＝AC ＝AD，BC ＝BD ＝CD ＝2，则三棱锥D －ABC外接球的表面积为__________．15．在数列{n a }中，满足1a ＝1，2a ＝4．2n na ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋（n ≥2且n ∈N *），则8a ＝__________．16．已知函数21ln 2f x a x x （）＝（－）＋，若在区间（1，＋∞）上函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC ＝4，cos ∠CAB ＝13．点D 在线段BC 上，且BD ＝12CD ，AD＝3．（Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求△ABD 的面积．18．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ； （Ⅱ）若AB ＝FO ＝BD ＝2，点H 在线段BF 上，且FH ＝λFB ，三棱锥B －AHC 的体积等于三棱锥O －DEF 的体积，求λ的值．19．（本小题满分12分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·x d（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．（Ⅱ）对数据作出如下处理：令u i＝lnx i，v i＝lny i，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为27z y xe＝－（其中e＝2．71828…），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（－2，m）在抛物线上，且｜MF｜＝52，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k 1＋k 2＝－2时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（本小题满分12分）设函数f （x ）＝ae x －x ，g （x ）＝blnx ． （Ⅰ）设h （x ）＝f （x ）＋g （x ），函数h （x ）在（1，h （1））处切线方程为y ＝2x －1，求a ，b 的值； （Ⅱ）若a ＝1，k 为整数，当x ＞0时，x k f x x '（－）（）＋＋1＞0成立，求k 的最大值．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y t ⎧⎨⎩＝－－，＝＋（t 为参数），曲线C 1：y x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4π⎛⎫⎪⎝⎭α－． （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在C 1上，求BA ·BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与C 2交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为（－2，1），求｜｜QM ｜－ ｜QN ｜｜的值．23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝｜x ＋1｜＋a ｜x ＋2｜． （Ⅰ）求a ＝1时，f （x ）≤3的解集；（Ⅱ）若f （x ）有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上． 13． 5． 14．π6. 15.425． 16．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得3184222⋅-+=c c a -------------①---------2分 又在ACD ∆中，933216943642cos 2222aa CD AC AC CD AD ADC -+=⋅-+=∠---------------4分 在ABD ∆中，931693642cos 22222ac a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠----------------------6分又π=∠+∠ADC ADB0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 即06423222=+-c a -----------------------② 联立①②得，6=c 即6=AB ---------------------------------------------------------------8分 （Ⅱ）31cos =∠CAB 322cos =∠∴CAB28sin 21=∠⨯⨯⨯=∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------10分32831==∆∆ABC ABD S S ---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形， ∴∥， ∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面， ∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥AOFE D -的体积为．3321===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V -----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得21=λ------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 （Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴()()()31ˆ2121121=--=---=∑∑∑∑====un u vu n v u u u vv u udni i i ni i ni ii ni i，-------------------------------4分 ∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为()5427=z 千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以()2522=--=P MF ， 1=∴p 抛物线的方程为x y 22-=-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点M 的坐标为()2,2-当直线l 斜率不存在时，此时B A ,重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为b kx y += 设A ()11,y x ，B ()22,y x ，将直线l 与抛物线联立得：⎩⎨⎧-=+=xy b kx y 22()022222=+++b x kb x k 22122kkb x x --=+，2221k b x x =——————————————————①-------------7分 又22222221121-=+-++-=+x y x y k k ， 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx将①带入得，()01222=+---b k b b即()()0221=--+k b b得1-=b 或kb 22+=--------------------------------------------------------------------------------------10分 当1-=b 时，直线l 为1-=kx y ，此时直线恒过()1,0-当k b 22--=时，直线l 为()2222++=++=x k k kx y ，此时直线恒过()2,2-（舍去） 所以直线l 恒过定点()1,0----------------------------------------------------------------------------------12分21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x-+=+=ln()1-+='x b ae x h x由题意可知()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h e a 2=∴，1=b -----4分 （Ⅱ）当0>x 时，()()01>++'-x x f k x 等价于x e x k x+-+<11设()x e x x F x +-+=11()()()212---='x x x e x e e x F -------------------------------------------------6分令()2--=x e x R x()1-='xe x R 当0>x 时，()0>'x R 恒成立()x R 在()+∞,0上单调递增 ， 又()01<R ，()02>R ()x R ∴在()+∞,0上有唯一零点0x ，且()2,10∈x ，0200=--x e x ---------------------------9分()x F ∴单减区间为()0,0x ，单增区间为()+∞,0x ()x F ∴在()+∞,0的最小值为()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x ----------------------------11分()0x F k <∴ 2max =∴k --------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线l 的普通方程为01=++y x ，()0,1-∴A ，()1,0-B1C 的方程可化为()0122≥=+y y x ，设点P 的坐标为()θθsin ,cos ，πθ≤≤0，[]12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθBP BA --------------------------------5分（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()82222=-++y x直线l 的标准参数方程为()为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=221222，代入2C 得：0722=--m m 设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m221=+m m ，0721<-=m m 故1m ，2m 异号221=+=-∴m m QN QM ------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当1a =时，232()|1||2|121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩()3f x ≤当2x ≤-时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x ≥-时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-………………5分（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-； 当(1)0a -+<且(1)0a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值；当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当1a >时， min ()(2)1f x f =-=……………… 10分。

郑州市2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A ＝{x ∈N ｜－1＜x ＜3}，集合B ＝{x ｜0＜x ＜π}，则A ∩B ＝A ．{x ｜0＜x ＜3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{x ｜0＜x ＜π}2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1－i ）＝2＋i ，则在复平面内z 的对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5 部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作 为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北 朝时期专著的概率为 A ．35 B ．710 C ．45 D ．9104．已知双曲线22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2），则该双曲线的离心率为A C D ．3 5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于（6π，0）对称；③在[0，4π]上是增函 数”的一个函数可以是A ．3sin24y x π＝（－） B ．sin 23y x π＝（－） C ．2cos 23y x π＝（＋） D ．sin 26y x π＝（＋）6．在△ABC 中，若点D 满足CD ＝2DB ，点M 为AC 中点，则MD ＝A ．2136AB AC － B ．1136AB AC － C ．2133AB AC － D ．2136AB AC ＋7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（－∞，0）上是减函数，若a＝f （－1），b ＝142log f （），c ＝f （20．3），则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为A ．2B ．2C ．22D ．4 9．已知数列{n a }，{n b }满足1a ＝1b ＝1，1n a ＋－n a ＝1n nb b ＋＝3，n ∈N *．则数列{n a b }的前10项和为 A ．101312（－） B ．10118（9－） C ．91126（27－） D ．101126（27－）10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．64823π－ B ．6423π－4C ．6483π－ D ．643π－411．函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足在D 内是单调函数且存在[m ，n]⊆D 使f （x ）在[m ，n]上的值域为[2m ，2n ]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f （x ）＝log a （a x＋t ）（a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是 A ．（0，14] B ．（0，14） C ．（0，＋∞） D ．（14，＋∞） 12．已知椭圆C 1：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：2219y x －＝有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A ．2878a ＝B ．212a ＝C ．298b ＝ D ．21b ＝第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22－23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．若实数x ，y 满足条件01033x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－1≥，－－≤，－＋≥0，则z ＝3x －2y 的最大值为__________．14．在三棱锥D －ABC 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，BC ＝BD ＝CD ＝2，则三棱锥D －ABC 外接球的表面积为__________．15．在数列{n a }中，满足1a ＝1，2a ＝4．2n na ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋（n ≥2且n ∈N *），则8a ＝__________．16．已知函数21ln 2f x a x x （）＝（－）＋，若在区间（1，＋∞）上函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC ＝4，cos ∠CAB ＝13．点D 在线段BC 上，且BD ＝12CD ，AD ＝833．（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求△ABD 的面积．18．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形． （Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若AB ＝FO ＝BD ＝2，点H 在线段BF 上，且FH ＝λFB ，三棱锥B －AHC 的体积等于三棱锥O －DEF 的体积，求λ的值．19．（本小题满分12分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·x d（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．（Ⅱ）对数据作出如下处理：令u i＝lnx i，v i＝lny i，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为27z y xe＝－（其中e＝2．71828…），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（－2，m）在抛物线上，且｜MF｜＝52，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1＋k2＝－2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．21．（本小题满分12分）设函数f（x）＝ae x－x，g（x）＝blnx．（Ⅰ）设h （x ）＝f （x ）＋g （x ），函数h （x ）在（1，h （1））处切线方程为y ＝2x －1，求a ，b 的值； （Ⅱ）若a ＝1，k 为整数，当x ＞0时，x k f x x '（－）（）＋＋1＞0成立，求k 的最大值．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y t ⎧⎨⎩＝－－，＝＋（t 为参数），曲线C 1：y 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4π⎛⎫⎪⎝⎭α－．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在C 1上，求BA ·BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与C 2交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为（－2，1），求｜｜QM ｜－ ｜QN ｜｜的值．23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝｜x ＋1｜＋a ｜x ＋2｜． （Ⅰ）求a ＝1时，f （x ）≤3的解集；（Ⅱ）若f （x ）有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上． 13． 5． 14．π6. 15.425． 16．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得3184222⋅-+=c c a -------------①---------2分 又在ACD ∆中，933216943642cos 2222aa CD AC AC CD AD ADC -+=⋅-+=∠---------------4分 在ABD ∆中，931693642cos 22222ac a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠----------------------6分又π=∠+∠ADC ADB0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 即06423222=+-c a -----------------------② 联立①②得，6=c 即6=AB ---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）31cos =∠CAB 322cos =∠∴CAB28sin 21=∠⨯⨯⨯=∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------10分32831==∆∆ABC ABD S S ---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形， ∴∥， ∴，，------------------------------------------------------4分 ∵，∴平面．∵平面， ∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥AOFE D -的体积为．3321===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V -----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得21=λ------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 （Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴()()()31ˆ2121121=--=---=∑∑∑∑====un u vu n v u u u vv u udni i i ni i ni ii ni i，-------------------------------4分 ∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得， 且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为()5427=z 千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分 20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以()2522=--=P MF ， 1=∴p 抛物线的方程为x y 22-=-----------------------------------4分 （Ⅱ）由（1）可知，点M 的坐标为()2,2-当直线l 斜率不存在时，此时B A ,重合，舍去.---------------- --------5分 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为b kx y += 设A ()11,y x ，B ()22,y x ，将直线l 与抛物线联立得：⎩⎨⎧-=+=xy b kx y 22()022222=+++b x kb x k 22122kkb x x --=+，2221k b x x =————————————①-------------7分又22222221121-=+-++-=+x y x y k k ， 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx将①带入得，()01222=+---b k b b即()()0221=--+k b b得1-=b 或k b 22+=----------------------------------------------10分 当1-=b 时，直线l 为1-=kx y ，此时直线恒过()1,0-当k b 22--=时，直线l 为()2222++=++=x k k kx y ，此时直线恒过()2,2-（舍去） 所以直线l 恒过定点()1,0--------------------------------------------12分 21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x-+=+=ln()1-+='x b ae x h x 由题意可知()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h e a 2=∴，1=b -----4分 （Ⅱ）当0>x 时，()()01>++'-x x f k x 等价于x e x k x+-+<11设()x e x x F x +-+=11()()()212---='x x x e x e e x F ------------------------6分令()2--=x e x R x()1-='xe x R 当0>x 时，()0>'x R 恒成立()x R 在()+∞,0上单调递增 ， 又()01<R ，()02>R ()x R ∴在()+∞,0上有唯一零点0x ，且()2,10∈x ，0200=--x e x ---------------------------9分()x F ∴单减区间为()0,0x ，单增区间为()+∞,0x ()x F ∴在()+∞,0的最小值为()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x ----------------------------11分()0x F k <∴ 2max =∴k ---------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线l 的普通方程为01=++y x ，()0,1-∴A ，()1,0-B1C 的方程可化为()0122≥=+y y x ，设点P 的坐标为()θθsin ,cos ，πθ≤≤0，[]12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθBP BA --------------------------------5分（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()82222=-++y x直线l 的标准参数方程为()为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=221222，代入2C 得：0722=--m m 设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m221=+m m ，0721<-=m m 故1m ，2m 异号221=+=-∴m m QN QM------------------------------------------------------------------10分 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当1a =时，232()|1||2|121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩ ()3f x ≤当2x ≤-时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x ≥-时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-………………5分（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-=当1a >时， min ()(2)1f x f =-=……………… 10分。

河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B．+1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD 外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x ﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．故选：D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，由f（0）=0，可得c=0．可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，解得m=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，数列的前n项和为S n，则S2017=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B．+1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD 外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2016，∴h=1+h（﹣2017）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA=．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得：===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，（2）化简b n根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n}的前n项和S n，利用裂项相消法求出S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，（2）b n====（﹣），∴S n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。

2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13．．14．. 15.．16．．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分又在中，---------------4分在中，----------------------6分又即-----------------------②联立①②得，即---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）---------------------------------------------------------10分---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形，∴∥，∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥的体积为．-----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分（Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴，-------------------------------4分∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线斜率存在时，设直线的方程为设，，将直线与抛物线联立得：，——————————————————①-------------7分又，即将①带入得，即得或--------------------------------------------------------------------------------------10分当时，直线为，此时直线恒过当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分21.解析：解：（Ⅰ）由题意可知，-----4分（Ⅱ）当时，等价于设-------------------------------------------------6分令当时，恒成立在上单调递增，又，在上有唯一零点，且，---------------------------9分单减区间为，单增区间为在的最小值为----------------------------11分--------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，的方程可化为，设点的坐标为，，--------------------------------5分（2）曲线的直角坐标方程为：直线的标准参数方程为，代入得：设，两点对应的参数分别为，，故，异号------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当时，当时解得当时恒成立当时解得综上可得解集………………5分（2）当，即时，无最小值；当，即时，有最小值；当且，即时，当且，即时，综上：当时，无最小值；当时，有最小值；当时，当时，……………… 10分。

2019 届河南省高考模拟试题精编(三)文科数学(考试用时：120 分钟试卷满分：150 分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)2＋i1．已知复数z＝(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( )1－i3 2 A.＋3 1 3 2i B. 2i2－1 2 C.＋3 32i D. －22iD. －32i2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠?，则 a2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x的值为( )A．1 B．2 C．3 D．1 或2 3．如图，小方格是边长为 1 的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．8－4π3 B．8－π页1第C．8－2ππ3 D．8－34．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7 天，共走了700 里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( )128 44 800A.127 B.127700 175C.127D.32x＋y－2≥0x－2y＋4≥0 ，则z＝3x＋y 的最大值与最5．已知点x，y满足约束条件x－2≤0小值之差为( )A．5 B．6 C．7 D．8→＋A→C|＝3|A→B－A→C|，|A→B|＝|A→C|＝3，则C→B·C→A＝( ) 6．在△ABC 中，|AB9A．3 B．－3 C.2 D．－9 27．执行如图的程序框图，则输出x 的值是( ) A．2 018 B．2 019 1C.2 D．22x 8．已知双曲线2－a2y2＝1( a＞0，b＞0)的右顶点与抛物b3线y2＝8x 的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方2程为( )2 2 2 2x y x yA. ＝1B. ＝14 5 5 4－－2y C.－42 2 2x y x＝1 D. －＝1 5 5 4页2第9．已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，且函数f(x＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )A．f( π＜)f(3)＜f( 2) B．f( π＜)f( 2)＜f(3)C．f( 2)＜f(3)＜f( π) D．f( 2)＜f( π＜)f(3)10．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17 名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是( )A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士x－a·2x＋1＋1 有零11．从区间[－2,2]中随机选取一个实数a，则函数f(x)＝4点的概率是( )1 1 1A.4B.3C.2D. 2 32＋bx＋c) e x 的一个极值点，四位同学分别12．已知x＝－1 是函数f(x)＝(ax给出下列结论，则一定不成立的结论是( )A．a＝0 B．b＝0 C．c≠0 D．a＝c第Ⅱ卷二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．把答案填在题中横线上)13．2017 年高校毕业生就业形势仍然相当严峻，某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪(单位：元)进行调查，共调查了 3 000 名大学生，并根据所得数据绘制了频率分布直方图(如图)，则所期望的月薪在[2 500,3 500)内的大学生有________名．页3第14．化简：2sin π－α＋sin 2α＝________.2αcos22＝4y的焦点为F，直线AB 与抛物线 C 相交于A，B15．已知抛物线C：x两点，若2O→A＋O→B－3O→F＝0，则弦AB 中点到抛物线 C 的准线的距离为________．16．在数列{a n}中，a1＝2，a2＝8，对所有正整数n 均有a n＋2＋a n＝a n＋1，则2 018a n＝________. n＝1三、解答题(共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60 分．17．(本小题满分12 分)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2c－a＝2bcosA.(1)求角B 的大小；(2)若b＝2 3，求a＋c的最大值．18．(本小题满分12 分)为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100 道题，每题 1 分，总分100 分，该课外活动小组随机抽取了200 名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100] 分成5 组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60 分的称为“文科意向”学生，低于60 分的称为“理科意向”学生．页4第(1)根据已知条件完成下面2×2 列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？理科意向文科意向总计男110女50总计(2)将频率视为概率，现按照性别用分层抽样的方法从“文科意向”学生中抽取8 人作进一步调查，校园电视台再从该8人中随机抽取 2 人进行电视采访，求恰好有 1 名男生、1 名女生被采访的概率．2n ad－bc参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.a＋b c＋d a＋c b＋d参考临界值表：2≥kP(K 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82 819．(本小题满分12 分)如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝30°，AB＝4，DE＝EF＝2.(1)求证：EF∥平面ABCD；(2)求三棱锥B- D EF 的体积．20．(本小题满分12 分)已知椭圆2x2＋a2y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是点bF1，F2，其离心率e＝1，点P 为椭圆上的一个动点，△P F1F2 面积的最大值为24 3.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F1，A→C·B→D 页5第＝0，求|A→C|＋|B→D|的取值范围．21．(本小题满分12 分)已知函数f( x)＝ln x－x. 1＋2x(1)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2)若f [x(3x－2)]＜－1，求实数x 的取值范围．3(二)选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10 分)选修4－4：坐标系与参数方程π在极坐标系下，圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin θ－＝42 2(ρ≥0,0≤θ≤2π．)(1)求圆O与直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π时)，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23．(本小题满分10 分)选修4－5：不等式选讲b已知a＞0，b＞0，函数f(x)＝| 2x＋a|＋2|x－2|＋1 的最小值为2.(1)求a＋b的值；(2)求证：a＋log31a＋4b≥3－b.页6第高考文科数学模拟试题精编(三)班级：_____________ 姓名：__________ 得分：____________题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．把答案填在题中横线上)10.83________ 14.________ 15._________ 16._________三、解答题(共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12 分)10.84(本小题满分12 分) 10.85(本小题满分12 分)10.86(本小题满分12 分) 10.87(本小题满分12 分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考文科数学模拟试题精编(三)2＋i1－i 1．解析：选B.z＝＝2＋i 1＋i1－i 1＋i1＝＋232i，所以z 的共轭复数为1－232i，故选B.2．解析：选B.当a＝1 时，B 中元素均为无理数，A∩B＝?；当a＝2 时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠?；当a＝3 时，B＝?，则A∩B＝?.故a 的值为 2.选B.3．解析：选D.由三视图知，该几何体是由一个边长为 2 的正方体挖去一个底面半径为1，高为2 的半圆锥而得到的组合体，所以该几何体的体积V＝23－1 1π×π×1 ，故选D.2×2＝8－2 3 31 4．解析：选B.由题意知马每日所走的路程成等比数列{a n}，且公比q＝，2S7＝700，由等比数列的求和公式得1a1 1－72121－44 800＝700，解得a1＝，故选B.127x＋y－2≥010.88解析：选C.作出约束条件x－2y＋4≥0对应的x－2≤0平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x 并平移知，当直线经过点A时，z取得最大值，当直线经过点B时，z 取得最小值，由x＝2x－2y＋4＝0，得x＝2y＝3，即A (2，3)，故z max＝9.由x－2y＋4＝0x＋y－2＝0，得x＝0y＝2，即B(0,2)，故z min＝2，故z 的最大值与最小值之差为7，选C.6．解析：选C.对|A→B＋A→C|＝3|A→B－A→C|两边平方，得A→B2＋A→C2＋2A→B·A→C＝3(A→B2＋A→C2－2A→B·A→C)，即8A→B·A→C＝2A→B2＋2A→C2＝2×32＋2×32＝36，所以页11第→→＝9→|＝|A→C|，所以△ABC 为等腰三角形，所以∠ABC＝∠BCA，AB·AC2.因为|AB2－A→B·A→C＝9－9＝9，故选C. 所以C→B·C→A＝(C→A＋A→B) ·C→A＝C→A2＋A→B·C→A＝C→A2 27．解析：选D.模拟执行程序框图，可得x＝2，y＝0，满足条件y＜2 019，1执行循环体，x＝＝－1，y＝1，满足条件y＜2 019，执行循环体，x＝1－211－－1＝1，y＝2，满足条件y＜2 019，执行循环体，x＝21＝2，y＝3，满足条件y11－2＜2 019，执行循环体，x＝1＝－1，y＝4，观察规律可知，x 的取值周期为3，1－2由于2 019＝673×3，可得：满足条件y＜2 019，执行循环体，x＝2，y＝2 019，不满足条件y＜2 019，退出循环，输出x 的值为 2.故选D.2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是8．解析：选A.易知抛物线y(2,0)，所以a＝2.又双曲线的离心率e＝32，所以c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以双曲线的方程为2 2x y－＝1，选A.4 59．解析：选C.因为函数 f (x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x ＝2 对称，又当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，所以当x∈[2,6]时，f(x)单调递增，f( 2)＝f(4－2)，因为2＜4－2＜3＜π，所以f( 2)＜f(3)＜f( π．) 10．解析：选C.设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男a＋b≥c＋d ②c＞a，③a＞b ④d≥2，得出：c＞a＞护士人数为d，则有：①b＞d≥2，假设：d＝2，仅有：a＝5，b＝4，c＝6，d＝2 时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b－1 符合，即女医生．女医生，故假设：d＞2 则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是选C.x，函数有零点就等价于方程t2－2at＋1＝0 有正根，11．解析：选A.令t＝2页12第Δ≥0 2－4≥04at1＋t2＞0 2a＞0进而可得??a≥1，t1t2＞0 1＞02－1 又a∈[－2,2]，所以函数有零点的实数 a 应满足a∈[1,2]，故P＝2－－2＝1，选A.42＋bx＋c，则g′(x)＝2a x＋b，f′(x)＝e x[g(x) 12．解析：选B.令g(x)＝ax＋g′(x)]，因为x＝－1 是函数f(x)＝g(x )ex 的一个极值点，所以有g(－1)＋g′(－2＋(b＋2a) x＋a＋b，若b＝0，则a＝1)＝0，得c＝a.设h( x)＝g(x)＋g′(x)＝ax2，h′(x)在x＝－1 两侧不变号，与x＝－1 是函数f(x)＝( a x2c≠0，h(x)＝a(x＋1)＋bx＋c) e x 的一个极值点矛盾，故b＝0 一定不成立，选择B.13．解析：由频率分布直方图可得所期望的月薪在[2 500,3 500)内的频率为(0.000 5＋0.000 4)×500＝0.45，所以频数为3 000×0.45＝1 350，即所期望的月薪在[2 500,3 500)内的大学生有 1 350 名．答案：1 35014．解析：2sin π－α＋sin 2α2sinα＋2sinαcosα＝2α 1cos 2 1＋cosα24sinα1＋cosα＝＝4sinα.1＋cosα答案：4sinα15．解析：解法一：依题意得，抛物线的焦点 F (0,1)，准线方程是y＝－1，因为2(O→A－O→F)＋(O→B－O→F)＝0，即2F→A＋F→B＝0，所以F，A，B 三点共线．设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，A( x1，y1)，B(x2，y2)，则由y＝kx＋12＝4yx，得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4 ①；又2F→A＋F→B＝0，因此2x1＋x2＝0 ②.1 2由①②解得x1＝2，弦AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为1＋1)＋(y2＋1)]2[(y页13第＝12(y1＋y2)＋1＝21 5x 92 2 18(x1＋x2)＋1＝＋1＝88(x1＋x2)＋1＝＋1＝4.解法二：依题意得，抛物线的焦点 F (0,1)，准线方程是y＝－1，因为2(O→A－O→F)＋(O→B－O→F)＝0，即2F→A＋F→B＝0，所以F，A，B 三点共线．不妨设直π线AB 的倾斜角为θ，0＜θ＜，|FA|＝m，点 A 的纵坐标为y1，则有|FB |＝2m.2分别由点A，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1，作AM⊥BB1 于M，则有|AA1|＝|AF |＝m，|BB1|＝|FB |＝2m，|BM |＝|BB1|－|AA1|＝m，sin θ＝|BM |＝|AB|1 2 2，|AF |＝y1＋1＝2－|AF |sinθ，|AF |＝，同理|BF |＝y2＋1＝，|AF | 31＋sinθ1－sinθ2 2 4＋|BF |＝＋＝＝2θ1－sinθ1＋sinθ1－sin 9，因此弦AB 的中点到抛物线 C 的准线2的距离等于1 12[( y2(y1＋1)＋(y2＋1)]＝1＋y2)＋1＝192(|AF |＋|BF |)＝4.答案：9 416．解析：∵a1＝2，a2＝8，a n＋2＋a n＝a n＋1，∴a n＋2＝a n＋1－a n，∴a3＝a2－a1＝8－2＝6，同理可得a4＝－2，a5＝－8，a6＝－6，a7＝2，a8＝8，⋯，∴a n＋6＝a n，又2 018＝336×6＋2，∴2 018a n＝336×(a1＋a2＋a3＋a4＋n＝1a5＋a6)＋a1＋a2＝2＋8＝10.答案：1017．解：(1)∵2c－a＝2bcosA，∴根据正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin Bcos A，∵A＋B＝π－C，(2 分)可得sin C＝sin(A＋B)＝sin BcosA＋cosBsin A，∴代入上式，得2sin Bcos A＝2sin B cosA＋2cosBsin A－sin A，化简得(2cosB－1)sin A＝0 (4 分) 由A 是三角形的内角可得sin A＞0，∴2cosB－1＝0，页14第1π解得 cosB ＝ ，∵B ∈(0，π，) ∴B ＝ ；(6 分)2 32＝a 2＋c 2－2accos B ，得 12＝a 2＋c 2－ac.(8 分)(2)由余弦定理 b∴(a ＋c) 2－3ac ＝12，由 ac ≤2－3ac ＝12，由 ac ≤a ＋c 2 2，－3a c ≥ －3× a ＋c 4 2，(a ＋c) 2－3a c ≥ (a 3＋c)2－2， 4(a ＋c)∴12≥12，(当且仅当 a ＝c ＝2 3时)，即 (a ＋c)2≤ 48，∴a ＋c ≤ 4 3，4(a ＋c)(11 分)∴a ＋c 的最大值为 4 3.(12 分)18． 解 ： (1) 由频 率 分 布 直 方图可得 分 数 在 [60,80)之 间 的 学 生 人 数 为 10.89×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为 0.007 5×20×200＝30，所 以低于 60 分的学生人数为 120.因此 2×2 列联表如下：理科意向 文科意向总计男 80 30 110 女 405090总计12080200(4 分)200× 80×50－30×40120×80×110×90又 K 2＝2 ≈ 16.498＞6.635，所以有 99%的把握认为是否为 “ 文科意向 ” 与性别有关． (6 分)(2)将频率视为概率，用分层抽样的方法从“文科意向 ” 学生中抽取 8 人作进一步调查，则抽取的8 人中有 3 名男生、5 名女生，3 名男生分别记为x，y，z,5 名女生分别记为a，b，c，d，e，从中随机选取 2 人，所有情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，x)，(a，y)，(a，z)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，x)，(b，y)，(b，z)，(c，d)，(c，e)，(c，x)，(c，y)，(c，z)，(d，e)，(d，x)，(d，y)，(d，z)，(e，x)，(e，y)，(e，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共28 种．(9 分)记“恰好有 1 名男生、1 名女生”为事件A，则其包含的情况为(a，x)，(a，页15第y)，(a，z)，(b，x)，(b，y)，(b，z)，(c，x)，(c，y)，(c，z)，(d，x)，(d，y)，(d，z)，(e，x)，(e，y)，(e，z)，共15 种．15故恰好有 1 名男生、1 名女生被采访的概率为P(A)＝28.(12 分)19．解：(1)因为AD∥BC，AD?平面ADEF ，BC?平面ADEF ，所以BC ∥平面ADEF ，又EF?平面ADEF ，(3 分)所以BC∥EF，∵BC?平面ABCD，从而EF∥平面ABCD.(5 分)(2)如图，在平面ABCD 内，过点B 作BH⊥AD 于点H，因为DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，所以DE⊥BH，又AD，DE?平面ADEF ，AD∩DE＝D，所以BH⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B-DEF 的高．在直角三角形ABH 中，∠BAD＝30°，AB＝4，所以BH＝2.(8 分)因为DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以DE⊥AD，又由(1)知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，所以△DEF 的面积S＝12×2× 2＝2，(11 分)所以三棱锥B-DEF 的体积V＝1×S×BH＝31×2×2＝3418.(12分)20．解：(1)由题意知，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2 的面积取得最大值，此时△PF1F2 的面积S＝12－c2＝4 3 ①.(2 分) ·2c·b＝4 3，即c· a21又椭圆的离心率e＝，所以2 c＝a12 ②，(3 分)联立①②解得a＝4，c＝2，b2＝12，所以椭圆的方程为2x＋162y＝1.(5 分)12(2)由(1)知F1(－2,0)，因为A→C·B→D＝0，所以AC⊥BD.①当直线AC，BD 中有一条直线的斜率不存在时，|A→C|＋|B→D|＝8＋6＝14；(7 分)页16第y＝k x＋2②当直线A C 的斜率为k，k≠0 时，其方程为y＝k(x＋2)，由 2 2x y＋＝116 12，2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0.消去y并整理得(3＋4k设A( x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－22－4816k 16k2，x1x2＝2 ，所以|A→C| 3＋4k 3＋4k224 1＋k＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2×x1＋x2 2－4x1x2＝2 ，直线B D 的方程为3＋4ky＝－21 →|＝24 1＋kk(x＋2)，同理可得|BD2 ，(9 分)4＋3k2 2所以|A→C|＋|B→D|＝168 1＋k3＋4k24＋3k224＋3k2，令1＋k2＝t，则t＞1，所以|A→C|＋|B→D|＝2168t4t－1 3t＋1＝2168t 168＝，(10 分)2＋t－112t t－112＋2t设f( t)＝t－12 (t＞1)，则f′(t)＝t－t＋23 ，所以当t∈(1,2)时，f′(t)＞0，当tt∈(2，＋∞)时，f′(t)＜0，故当t＝2 时，f(t)取得最大值1 10.90又当t＞1 时，f (t)＝t－12 ＞0，所以0＜tt－12 ≤t1，所以|A→C|＋|B→D|∈96，14 .4 7综上，|A→C|＋|B→D|的取值范围为96，14 .(12 分)721．解：(1)证明：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．x∵f(x)＝ln x－1＋2x，1 ∴f′(x)＝－x2＋3x＋11＋2x－2x 4x2 ＝ 2 .(3 分) 1＋2x x 1＋2x∵x＞0，∴4x2＋3x＋1＞0，x(1＋2x)2＞0.∴当x＞0 时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(6 分)页17第(2)∵f (x)＝ln x － x 1 ，∴f(1)＝ln 1－ ＝－1＋2x 1＋2×1 1 10.91由 f[ x (3 x －2)]＜－ 1 3 得 f[ x (3x －2)]＜f(1)．(9 分)由(1)得 x 3x －2 ＞0 x 3x －2 ＜1 ，解得－ 1 ＜x ＜0 或 3 2 3 ＜x ＜1. 1 ∴实数x 的取值范围为 － ，0 ∪ 3 2 ，1 .(12 分)32＝ρcos θ＋ ρsin θ，故圆O 的直角 22．解： (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ坐标方程为： x 2＋y 2－x －y ＝0，(2 分)直线 l ：ρsin θ－ π ＝ 4 2 ，即 ρsin θ－ ρcos θ＝1，则直线的直角坐标方程为： 2 x －y ＋1＝0.(5 分)(2) 由 (1) 知圆O 与 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 ， 将 两 方 程联立 得2＋y 2－x －y ＝0 x x －y ＋1＝0 ，解得 x ＝0， y ＝1.即圆O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为 (0,1)，(9 分)π转化为极坐标为 1，2 .(10 分)23．解 ：(1)因为 f( x )＝| 2x ＋a|＋|2x －b|＋1≥ |2x ＋a －(2x －b)|＋1＝|a ＋b|＋1，当且仅当 (2x ＋a)(2 x －b)≤ 0 时，等号成立， (2 分)又 a ＞0，b ＞0，所以 |a ＋b|＝a ＋b ，所以 f(x)的最小值为 a ＋b ＋1＝2，所以a ＋b ＝1.(5 分)(2)由(1)知，a ＋b ＝1，所以 1 a ＋4 ＝(a ＋b) b 1 4 ＋ a b b 4a ＝1＋4＋ ＋ ≥ 5＋2 a bb 4a · a b＝9，当且仅当 b ＝ a 4a 1 2 且 a ＋b ＝1，即 a ＝ ，b ＝ 时取等号． (7 分) b 3 3所以log31 4＋a b≥log39＝2，所以a＋b＋log31 4＋a b≥1＋2＝3，页18第WORD文档即a＋log31 4＋a b≥3－b.(10 分)页19第WORD文档。