数学北师大版八年级下册第六章平行四边形小结与复习

第六章平行四边形【知识点归纳与总结】一、平行四边形的定义及性质知识点1 平行四边形的概念：的四边形是平行四边形知识点2 平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：平行四边形的对边；平行四边形的对边（2）角的性质：平行四边形的（3）对角线的性质：平行四边形的对角线（4）对称性：平行四边形是图形二、平行四边形的判定:知识点1 平行四边形的判定（1）是平行四边形（定义）（2）是平行四边形（3）是平行四边形（4）是平行四边形（注意：①必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。

②有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形）知识点2 两条平行线间的距离的定义若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等。

三、三角形的中位线1、三角形中位线的定义：连接的线段叫做三角形的中位线2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角线的第三边，且。

四、多边形的内角与外角和知识点一、多边形及正多边形1、多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段组成的封闭图形叫做多边形2、多边形的分类：多边形按组成它的线段的条数分为三边形（三角形）、四边形、五边形……由n条线段组成的多边形叫做n边形3、多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线4、正多边形：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做。

知识点二、多边形的内角和与外角和1、多边形的内角和：n变形的内角和等于（n≥3）2、多边形的外角和：多边形的外角和等于 3.多边形的对角线有：(3)2n n第六章 单 元 测 试 题一、选择题1．平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O （如图），则图中全等三角形的对数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．下面平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．两组对边分别相等C ． 对角线相等D ．相邻两角互补3．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数之比有可能是（ ）A ．1∶2∶3∶4B ．2∶2∶3∶3C ．2∶3∶2∶3D ．2∶3∶3∶24.已知平行四边形ABCD 中，∠B=4∠A，则∠C=（ ）A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°5．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 6.如图，在平行四边形ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC 的长度分别为（ ）A ．2和3 B ．3和2 C ．4和1 D ．1和47、 ABCD 中，AB －BC ＝4cm ，周长是32cm ，那么AB 长（ ）A 、10cmB 、6cmC 、12cmD 、8cm8.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是（ ）A ．2cm ＜OA ＜5cmB ．2cm ＜OA ＜8cmC ．1cm ＜OA ＜4cmD ．3cm ＜OA ＜8cm9．如图，五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE 、∠AED 、∠EDC 的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于（ ）A ．90°B ．180°C ．210°D ．270°10.（2013•宁波3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ）A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8二、填空题 1、平行四边形ABCD 中，AB=24，∠B=45°，BC=10，则平行四边形ABCD 的面积是 。

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与坚固提升知识点解说2.掌握三角形的中位线定理 .3.认识多边形的定义以及内角、外角、对角线等观点 . 掌握多边形的内角和与外角和公式 .4.累积数学活动经验，展开推理能力 .【知识网络】【重点梳理】重点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形 ABCD记作“口 ABCD〞，读作“平行四边形 ABCD〞.重点解说：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 .重点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线相互均分；重点解说：〔1〕平行四边形的性质定理中边的性质能够证明两边平行或两边相等；角的性质能够证明两角相等或两角互补；对角线的性质能够证明线段的相等关系或倍半关系 .〔2〕因为平行四边形的性质内容许多，在使用时依据需要进行选择 .（3〕利用对角线相互均分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决 .重点三、平行四边形的判断定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线相互均分的四边形是平行四边形 .重点解说：（1〕这些判断方法是学习本章的根基，一定坚固掌握，当几种方法都能判断同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2〕这些判断方法既可作为判断平行四边形的依照，也可作为“画平行四边形〞的依照 .重点四、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：〔1〕定义：两条平行线中，一条直线上的随意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正当 .2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等 .平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.重点五、三角形的中位线三角形的中位线1 ．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半.重点解说：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的地点关系与数目关系 .〔2〕三角形的三条中位线把原三角形分红可全等的 4 个小三角形. 因此每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的 .（3〕三角形的中位线不一样于三角形的中线 .重点六、多边形内角和、外角和边形的内角和为 ( －2) ?180°(≥3)．重点解说： (1) 内角和定理的应用：①多边形的边数，求其内角和；②多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；多边形的外角和为 360°．边形的外角和恒等于 360°，它与边数的多少没关 .【典型例题】种类一、平行四边形的性质与判断1 、〔2021?海淀区二模〕如图 1，在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC= α，D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作△ ADE，使 AE=AD，∠ DAE+∠BAC=180°．（1〕直接写出∠ ADE的度数〔用含α的式子表示〕；（2〕以 AB，AE为边作平行四边形 ABFE，①如图 2，假定点 F 恰巧落在 DE上，求证： BD=CD；②如图 3，假定点 F 恰巧落在 BC上，求证： BD=CF．【思路点拨】〔1〕由在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC=α，可求得∠ BAC=180°﹣ 2α，又由 AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2 α，既而求得∠ ADE的度数；（2〕①由四边形 ABFE是平行四边形，易得∠ EDC=∠ ABC=α，那么可得∠ ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得 AD⊥BC，又由 AB=AC，依据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠ B=∠C=α，四边形 ABFE是平行四边形，可得 AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠ EAC=∠C=α，又由〔 1〕可证得 AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．∴B D=CF．【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质以及等腰三角形的性质与判断．注意〔 2〕①中证得 AD⊥BC是重点，〔2〕②中证得 AD=CD是重点．贯通融会：【变式】分别以口 ABCD〔∠ CDA≠90°〕的三边 AB，CD，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ ABE，△ CDG，△ ADF．（1〕如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外面时，连结 GF，EF．请判断 GF与 EF的关系并证明〕；（2〕如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，〔1〕中结论还建立吗？假定建立，给出证明；假定不建立，说明原因．【答案】解：〔1〕GF⊥EF，GF＝EF建立；∵四边形 ABCD是平行四边形，∴A B＝CD，∠ DAB＋∠ ADC＝180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ GDF＝∠ GDC＋∠ CDA＋∠ ADF＝90°＋∠ CDA，∠EAF＝ 360°﹣∠ BAE﹣∠ DAF﹣∠ BAD＝ 270°﹣〔 180°﹣∠CDA〕＝ 90°＋∠ CDA，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，，∴△ EAF≌△ GDF〔SAS〕，∴EF＝FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠ GFA，∴∠ GFE＝90°，∴GF⊥EF；（2〕GF⊥EF，GF＝EF建立；原因：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ DAB＋∠ ADC＝180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ BAE＋∠ FAD＋∠ EAF＋∠ ADF＋∠ FDC＝180°，∴∠ EAF＋∠ CDF＝45°，∵∠ CDF＋∠ FDG＝45°，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，，∴△ EAF≌△ GDF〔SAS〕，∴EF＝FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠ GFA，∴∠ GFE＝90°，∴G F⊥EF．2、如图，点 D 是△ABC的边 AB的延伸线上一点，点 F 是边 BC上的一个动点〔不与点 B 重合〕．以 BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又 AP BE〔点 P、E 在直线 AB的同侧〕，假如 BD＝ AB，那么△ PBC的面积与△ ABC面积之比为〔〕A ．B．C．D．【答案与分析】解：过点 P 作 PH∥BC交 AB于 H，连结 CH，PF，∵A P BE，∴四边形 APEB是平行四边形，∴P E∥AB，PE＝AB，∵四边形 BDEF是平行四边形，∴E F∥BD，EF＝BD，即 EF∥AB，∴P，E，F 共线，设 BD＝，∵ BD＝ AB，∴PE＝AB＝4 ，那么 PF＝PE－EF＝3 ，∵P H∥BC，∴ ，∵P F∥AB，∴四边形 BFPH是平行四边形，∴B H＝PF＝3 ，∵＝BH：AB＝3 ：4 ＝3：4，∴＝3：4．【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质与三角形面积比的求解方法．本题难度较大，注意正确作出协助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．贯通融会：【变式】△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在 BC边同侧作正△ ABD、正△ ACE和正△ BCF，求以 A、E、F、D四点为极点围成的四边形的面积．∴A B＝AD＝EF＝3∴四边形 AEFD是平行四边形〔两组对边分别相等的四边形是平行四边形〕∵D F∥AE，DF⊥BD延伸 EA交 BD于 H点， AH⊥BD，那么 H为 BD中点∴平行四边形 AEFD的面积＝ DF×DH＝4×＝6.3、在平行四边形 ABCD中，点 A1，A2，A3，A4 和 C1，C2，C3，C4 分别 AB和 CD的五均分点，点B1，B2 和 D1，D2 分别是 BC和 DA的三均分点，四边形A4B2C4D2的面积为 1，那么平行四边形ABCD 面积为〔〕A ．2 B．C．D．15【思路点拨】能够设平行四边形 ABCD的面积是 S，依据均分点的定义利用平行四边形 ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，便可表示出四边形A4B2C4D2的面积，进而获得两个四边形面积的关系，即可求解．【答案】 C；【分析】解：设平行四边形ABCD的面积是 S，设 AB＝5 ，BC＝3 ．AB 边上的高是 3 ，BC边上的高是 5 ．那么 S＝5 ?3 ＝3 ?5 ．即＝＝．△AA4D2与△ B2CC4全等，B2C＝ BC＝，B2C边上的高是?5 ＝4．那么△ AA4D2和△ B2CC4的面积是 2＝．同理△ D2C4D与△ A4BB2的面积是．那么四边形 A4B2C4D2的面积是 S－－－－＝，即＝1，解得S＝．【总结升华】考察平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用均分点的定义，获得两个四边形的面积的关系是解决本题的重点．种类二、三角形的中位线4、如图，△ ABC的周长为 26，点 D，E 都在边 BC上，∠ ABC 的均分线垂直于AE，垂足为 Q，∠ACB的均分线垂直于AD，垂足为 P，假定 BC＝10，那么 PQ的长为〔〕【答案】 C；【分析】解：易证△ ABQ≌△ EBQ, AB＝BE，Q为 AE中点，△A CP≌△ DCP, AC＝CD，P 为 AD中点，∴P Q∥DE,PQ＝ DE，∵A B＋AC＋BC＝26，BC＝10，∴A B＋AC＝BE＋CD＝16＝BD＋DE＋DE＋EC＝BC＋DE，∴D E＝6，PQ＝ DE＝3.【总结升华】本题考察了三角形的中位线定理及等腰三角形的判断，注意培育自己的敏感性，一般出现高、角均分线重合的状况，都需要找到等腰三角形．种类三、多边形内角和与外角和5、假定一个多边形的每个外角都等于60°，那么它的内角和等于〔〕A．180°B．720°C．1080°D．540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，依据边形的外角和为 360°计算出多边形的边数，而后依据边形的内角和定理计算即可．【答案】 B；∴这个多边形的内角和＝〔6－2〕× 180°＝ 720°．【总结升华】本题考察了边形的内角和定理：边形的内角和＝〔－2〕?180°；也考察了边形的外角和为 360°．贯通融会：【变式】〔2021 秋?小金县校级期末〕一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【答案】解：设内角是x°，外角是 y°，那么获得一个方程组，解得．而任何多边形的外角是360°，那么多边形中外角的个数是360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．6、甲、乙两人想在正五边形 ABCDE内部找一点 P，使得四边形 ABPE为平行四边形，其作法以下：〔甲〕连结BD、CE，两线段订交于P 点，那么 P 即为所求〔乙〕先取 CD的中点 M，再以 A 为圆心， AB长为半径画弧，交 AM于 P 点，那么 P 即为所求．关于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A ．两人皆正确B．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠B PE的度数，依据平行四边形的判断判断即可．【答案】 C；【分析】解：甲正确，乙错误，原因是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是＝108°，AB ＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ DEC＝∠ DCE＝×〔 180°－ 108°〕＝ 36°，同理∠ CBD＝∠ CDB＝36°，∴∠ ABP＝∠ AEP＝108°－ 36°＝ 72°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 72°－ 72°＝ 108°＝∠ A，∴四边形 ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠ BAE＝108°，∴∠ BAM＝∠ EAM＝54°，∵A B＝AE＝AP，∴∠ ABP＝∠ APB＝×〔 180°－ 54°〕＝ 63°，∠ AEP＝∠ APE ＝63°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 63°－ 63°≠ 108°，即∠ ABP＝∠ AEP，∠ BAE≠∠ BPE，∴四边形 ABPE不是平行四边形，即乙错误；北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与坚固提升知识点解说【总结升华】本题考察了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判断的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．。

期末复习(六) 平行四边形01 各个击破)命题点1 平行四边形的性质与判定【例1】 (桂林中考)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． (1)求证：四边形EBFD 为平行四边形；(2)对角线AC 分别与DE ，BF 交于点M ，N ，求证：△ABN≌△CDM.【思路点拨】 (1)先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB ＝CD ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；(2)因为AB ＝CD ，∠CAB ＝∠ACD 已知，则只需要再证明一组对应角相等即可． 【解答】 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12DC. ∴BEDF.∴四边形EBFD 为平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∴∠CAB ＝∠ACD.∵四边形EBFD 为平行四边形， ∴∠ABN ＝∠CDM. 又∵AB＝CD ，∴△ABN ≌△CDM(ASA)．【方法归纳】 1.判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 2．利用平行四边形的性质进行计算的方法：(1)利用平行四边形的性质，通过角度或线段之间的等量转化进行相应的计算；(2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可通过三角形全等的性质进行求解．1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ，BD 相交于点O ，若AC ＝6，则AO 的长度等于3．2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并说明理由．解：线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是相等且平行． 理由：∵CE∥AB， ∴∠DAO ＝∠ECO.∵OA ＝OC ，∠AOD ＝∠COE， ∴△ADO ≌△CEO.∴AD ＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∴CD ∥AE ，CD ＝AE.3．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴∠DAE ＝∠F，∠D ＝∠ECF. ∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF＝∠F，∠D ＝∠ECF，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS)． (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.命题点2 三角形的中位线【例2】 (邵阳中考)如图，等边三角形ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连接CD 和EF. (1)求证：DE ＝CF ； (2)求EF 的长．【思路点拨】 (1)欲证DE ＝CF ，由三角形中位线定理可知DE ＝12BC ，而条件中有CF ＝12BC 故易证得；(2)欲求EF 的长，可证四边形DEFC 是平行四边形，因此只需求出CD 的长．在等边三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，因此运用勾股定理可求出，问题获解．【解答】 (1)证明：∵D，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12BC ，且DE∥BC. ∵点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，∴DE ∥CF ，且DE ＝CF.(2)由(1)知DE∥CF，且DE ＝CF ， ∴四边形DEFC 为平行四边形．∵△ABC 是等边三角形，边长是2，点D 是AB 的中点，AB ＝BC ＝2， ∴CD ⊥AB ，∠BDC ＝90°，BD ＝12AB ＝1. ∴CD ＝BC 2－BD 2＝22－12＝ 3. ∵四边形DEFC 为平行四边形， ∴EF ＝CD ＝ 3.【方法归纳】 若题中有中点通常考虑到三角形的中线和中位线，而在等边三角形(等腰三角形)中，中线同时也是高和角平分线．4．如图，CD 是△ABC 的中线，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点，EF ＝2，则BD ＝4．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝70°，求∠PMN 的度数．解：∵M，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∴MP ，PN 分别是△ABD，△BCD 的中位线， ∴MP12AB, PN12CD.∴∠MPD ＝∠ABD＝20°，∠BPN ＝∠BDC＝70°. ∴∠DPN ＝110°.∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝20°＋110°＝130°. 又∵AB＝CD ，∴MP ＝PN. ∴∠PMN ＝∠PNM. ∴∠PMN ＝25°.命题点3 多边形的内角和与外角和【例3】(泰安中考)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)A．90°B．180°C．210°D．270°【思路点拨】由AB∥CD，推导∠B＋∠C＝180°，故∠B，∠C两角的外角和是180°，根据多边形外角和等于360°可计算∠1＋∠2＋∠3度数．【方法归纳】对于求多边形的外角和或部分外角的和的问题，都要根据任意多边形的外角和是360°以及邻角和其补角的互补关系这两个知识点，来解决问题．6．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8．7．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E＋∠F＝260°，求两外角和α＋β的度数．解：∵AB⊥AF，BC⊥DC，∴∠A＝∠C＝90°.又∵∠E＋∠F＝260°，∴∠EDC＋∠ABC＝(6－2)×180°－90°×2－260°＝280°.∴β＋α＝(180°－∠EDC)＋(180°－∠ABC)＝360°－(∠EDC＋∠ABC)＝80°.故两外角和α＋β的度数为80°.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知平行四边形ABCD的周长为32 cm，AB＝4 cm，则BC的长为(B)A．4 cm B．12 cmD．16 cm D．24 cm2．(西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4 C．6 D．83．(临沂中考)将一个n边形变成n＋1边形，内角和将(C)A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°4．(乐山中考)如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD 的周长为(D)A．5B．7C．10D．145．某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是(C)A．4和7 B．5和7C．5和8 D．4和176．(葫芦岛中考)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是(A)A．60°B．65°C．55°D．50°7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(B)A．2 3 B．43C．4 D．88．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B 为顶点的网格平行四边形的个数为(D)A．6个B．8个C．10个D．12个二、填空题(每小题4分，共24分)9．(陕西中考)一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的边数是8．10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件AE＝FC或∠ABE＝∠CDF，则四边形EBFD为平行四边形．11．(娄底中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO 的周长是9．12．(泉州中考)如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝3，则AB 的长为3．14．在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10 cm ，6 cm ，一条对角线的长为8 cm ；则原三角形纸片的周长是48_cm 或(32＋813)cm ．三、解答题(共52分)15．(6分)一个多边形的内角和与外角和的差为1 260度，求它的边数． 解：设多边形的边数是n ，则(n －2)·180－360＝1 260.解得n ＝11. 答：它的边数为11.16．(8分)(陕西中考)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF ，CE ，求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.在△ADF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，∠ADF ＝∠CBE，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS)． ∴∠AFD ＝∠CEB. ∴AF ∥CE.17．(8分)(永州中考)如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3. (1)求证：BN ＝DN ； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AN 平分∠BAC， ∴∠BAN ＝∠DAN. ∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN ，∴△ABN ≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN. (2)∵△ABN≌△ADN， ∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB. 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线． ∴CD ＝2MN ＝6.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AD ＋CD ＋BC ＝10＋10＋6＋15＝41.18．(10分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使EF ＝ED ，连接CF.(1)四边形DBCF 是平行四边形吗？说明理由；(2)DE 与BC 有什么样的位置关系和数量关系？说明理由． 解：(1)四边形DBCF 是平行四边形． 理由：∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE.又∵EF＝ED ，∠CEF ＝∠AED， ∴△AED ≌△CEF(SAS)． ∴AD ＝CF ，∠A ＝∠ECF. ∴AD ∥CF ，即CF∥BD.又∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD＝CF. ∴四边形DBCF 是平行四边形． (2)DE∥BC，DE ＝12BC. 理由：∵EF＝ED ，∴DE ＝12DF. 又∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴DF ＝BC ，DF ∥BC. ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC.19．(10分)(怀化中考)已知：如图，在△ABC 中，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，AD ，其交点为点O.求证： (1)△CDE≌△DBF； (2)OA ＝OD.证明：(1)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝CE ，DF ∥CE ，DB ＝DC. ∵DF ∥CE ， ∴∠C ＝∠BDF.在△CDE 和△DBF 中，⎩⎨⎧DC ＝BD ，∠C ＝∠BDF，CE ＝DF ，∴△CDE ≌△DBF(SAS)．(2)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝AE ，DF ∥AE.∴四边形DEAF 是平行四边形． ∵EF 与AD 交于点O ， ∴OA ＝OD.20．(10分)(扬州中考改编)如图，AC 为长方形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． (1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)证明：由折叠的性质可知：AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D＝90°，∠AME ＝∠B＝90°， ∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°. ∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC.∴AM ＝CN ，∠FAN ＝∠ECM. ∴AM －MN ＝CN －MN ， 即AN ＝CM.在△ANF 和△CME 中，∠FAN ＝∠ECM，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME， ∴△ANF ≌△CME(ASA)． ∴AF ＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF 是平行四边形． (2)∵AB＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4. 在Rt △CEM 中，(8－x)2＋42＝x 2， 解得x ＝5.∴S 四边形AECF ＝EC·AB＝5×6＝30.。

第六章 平行四边形
一、平行四边形的性质
1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形的邻角互补
（3）平行四边形的对角相等
（4）平行四边形的对角线互相平分。

二、平行四边形的判定
1、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（4）定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

3、平行四边形的面积：S 平行四边形=底×高=ah
三、三角形的中位线
1、概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线）
2、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
四、多边形的内角和与外角和
1、多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于∙-)2(n 180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

2、正多边形的每个内角都等于n
n 0
180)2(∙-。

八年级数学下册第六章《平行四边形》知识点归纳北师大
版
八年级数学下册第六章《平行四边形》知识点归纳（北师大版）
一、平行四边形性质
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2性质：
（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。

（2）平行四边形对边相等；
（3）平行四边形对角相等；
（4）平行四边形对角线互相平分
二、平行四边形判定
1、判定：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
2、平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离。

三、三角形的中位线
第 1 页/ 共 2 页。

2021最新北师大版八年级数学下册第六章平行四边形【知识点归纳与总结】一、平行四边形的定义及性质知识点1平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形知识点2平行四边形的性质〔边,角,对角线,对称性〕〔1〕边的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对边平行〔2〕角的性质：平行四边形的对角相等〔3〕对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分〔4〕平行四边形是中央对称图形二、平行四边形的判定：知识点1平行四边形的判定〔2〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形〔3〕对角线互相平分的四边形是平行四边形〔4〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形〔注意：必须是同一组对边平行且相等,也就是一组对边平行,另一组对边相等时,不一定是平行四边形. 有两条边相等,并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形〕知识点2两条平行线间的距离的定义假设两条直线互相平行,那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等,这个距离称为平行线之间的距离,实际上平行线间的距离处处相等三、三角形的中位线1、三角形中位线的定义：连接三角线两边中点的线段叫做三角形的中位线2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角线的第三边,且等于第三边的一半〔要区别三角形中位线和中线不要搞混淆了, 说的是中位线与第三边的位置关系, 中位线与第三边的数量关系〕四、多边形的内角与外角和知识点一、多边形及正多边形1、多边形：在平面内,由假设干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形2、多边形的分类：多边形按组成它的线段的条数分为三边形〔三角形〕、四边形、五边形 由n 条线段组成的多边形叫做n 边形3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线4、正多边形：在平面内,内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形 知识点二、多边形的内角和与外角和1、多边形的内角和：n 变形的内角和等于〔n-2〕 *180° 〔nM 〕2、多边形的外角和：多边形的外角和等于 3600 3.多边形的对角线有: 【稳固练习】一、平行四边形的概念及性质 1.平行四边形 ABCDfr, / B=4/ A,那么/C=【 ] A. 18°B. 36°C. 72°D. 144°2 .如图,在平行四边形 ABCm ,AD=5 AB=3 AE 平分/ BAD 交BC 边于点E,那么线段BE, EC 的长度分别为【】 A. 2和3 B . 3和2 C . 4和1 D . 1和43 .如图,在平行四边形 ABCDK 过点C 的直线CELAB,垂足为E,假设/ EAD=53 ,那么/ BCE 的度数为【】 A. 53°B. 370C. 47°D. 123°4 .如图,在平行四边形 ABCDfr, AB=3cm BC=5cm 对角线AC, BD 相交于点O,那么OA 勺取值 范围是【 】A. 2cm< OA< 5cm B. 2cm< OA< 8cm C . 1cmK OA< 4cmD. 3cm<OA< 8cm7、在UABCDfr,对角线 AC 、BD 相交于点O,如果AC=14 , BD=8 , AB= x ,那么x 的取 值范围是. 8、如下图,平行四边形ABCD 勺周长是18 cm,对角线AC BD 相交于点O,假设△AODfAAOB 的周长差是5 cm,那么边AB 的长是 cm.9.如图2,在平行四边形 ABCD 中,以下结论中错误.的是〔〕A. /1=/ 2 B. /BAD = /BCD C. AB=CD D. ACXBDn(n 3)25.如图,平行四边形ABCDm 寸角线相交于点 0,且AAAD 过O 作OEL BD 交BC 于点E.假设△ CDE 勺周长为10,那么平行四边形ABCD 勺周长为一 ,一… ................................ ……E C6. YABCD^,点 A(- 1, 0), B (2, 0), D (0, 1).那么点 C 的坐标为10.如图,在 Y ABCD 中,AD=2AB , 于点E, 且AE=3 ,那么AB 的长为〔(A)4 (B)3 11、不能判定一个四边形是平行四边形的条件是 (D)2 CE 平分/)•组对边分别平行 B. 一组对边平行,另一组对边相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等 12 假设以A (-0.5 , 0), B (2, 0), C (0, 1)三点为顶点要画平 行四边形,那么第四个顶点不可能在【 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 13.四边形ABCD 中,对角线AC, BD 相交于点O,给出以下四 个条件：① AD//BC ②AD = BC ③OA=OC ④OB = OD 从中任选两个条件,能使四边形ABCD 为平行四边形的选 D -法有〔 〕A. 3种B. 4种C. 5种 14、四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点 条件不能判定这个四边形是平行四边形的是〔 A. AB//DC, AD//BC C. AO = CO, BO = DO B. AB = DC, AD = BCD. AB//DC, AD = BC D. 6种 O,以下 15.依次连接任意四边形各边的中点,得到一个特殊图形〔可认为是一般四边形的性质〕 这个图形一定是【 1A.平行四边形B.矩形C.菱形 D .梯形 16如图,在Y ABCLfr, AD=8点E 、F 分别是BD CD 的中点,那么 EF= 17. 一个多边形的每个内角均为 A.七边形 B.六边形 C. 18一个多边形的内角和是 108.,那么这个多边形是〔 五边形 D .四边形540.,那么这个多边形是〔). A.四边形 B.五边形C.六边形D.七边形 19、五边形的内角和为〔 A. 720 B. 540° C.360° D.18020.如图,五边形 ABCDE 中,AB//CD,/1、/2、/3 分别是 / BAE 、 /AED 、/EDC 的外角,那么/ 1 + /2+/3等于 A. 900 B. 180° C. 210° D. 2700 20一个多边形的每个外角都等于 72°,那么这个多边形的边数为 0CA 2)A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 21一个多边形的内角和是1080°,这个多边形的边数是 22. 一个多边形的内角和是外角和的 2倍,那么这个多边形的边数为23以下多边形中,内角和与外角和相等的是〔 〕 A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 24、如图,E, F 是四边形ABCD 的对角线AC 上两点,AF = CE, DF=BE, DF // BE.求证:是平行四边形.(1) AAFD^ACEB ; (2)四边形 ABCD25、如图, BE//DF, /ADF=/CBE, AF=CE ,求证：四边形 DEBF 是平行四边形.26、如下图,在平行四边形 ABCD 中,BE=DF 求证：AE=CF .27. 我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.如图,在四边形ABCD边中点得到中点四边形⑵证实你的结论. 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,依次连接各 EFGH .⑴这个中点四边形 EFGH 的形状是 28.如图,在平行四边形 ABCD 中,/ABC 的平分线交 CD 于点E,/ADC 的平分线交 AB 于 点F.试证实四边形DFBE 为平行四边形.DCB时29、如图,在UABCD中,点E、F是对角线AC上两点,且AE=CF .求证：/ EBF= / FDE30如图,四边形ABCD, E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；31、平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB , BC边上的高DE、DF,且而cm, 乃〞求平行四边形ABCD的p面积. 广32、如图,平行四边形ABCD , E、F两点在对角线BD上,且BE=DF ,连接AE , EC, CF,FA.求证：四边形AECF是平行四边形. , 一33、如图, D 是4ABC 的边AB 上一点,CE // AB , DE 交AC 于点O,且OA=OC , 猜测线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系,并加以证实.34、如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD , BF=DE , AE ±BD, CFXBD,垂足分别为 E, F.ABCD, DE 是ADC 的角平分线,交BC 于点E. (1)求证: CD CE ； (2)假设 BE CE , B 80 ,求 DAE 的度 数.(1)求证：△ ABE CDF; (2) 假设AC 与BD 交于点O,求证：AO=CO .35、如图,平行四边形 AEC。