数学归纳法课件

8n 9, (n N )
补充练习
2.求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2n 1 2n n 1 n 2 2n
补充练习
3.设 an 1 2 2 3 n(n 1) , (n N )
*
1 2 a 求证： n ( n 1) 2
一、创设情境、引出课题
类 比 联 系：
上述两个例子，对我们证明刚才所提 到的那道例题有什么启发？
一、创设情境、引出课题 例：对于数列{an },已知a1 1,
an an1 , (n 1, 2,），求an . 1 an

正如骨牌不用一个一个地推，鞭炮不用一个一个 地点一样，上述例题的证明也不需要一项一项地 验证，事实上，只要结论对于该数列的第一项成 立，并且，当第k项成立时，也会导致第k+1项 成立，那么，这个猜想也就成立了。
如果没有归纳奠基……
课堂练习
思考：观察例题的证明过程，你认为数 学归纳法可以 “以有限驭无穷”的奥秘在哪里？
(A组） 1、当n为正整数时，证明： 1 3 5 2n 1) n 2 . （ 2、证明引例中的猜想； （B组） 1 1 1 n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 2n 1
二、揭示新知 数学归纳法的一般步骤
（1）第一个鞭炮点燃； 类比
（1）第一块骨牌倒下；
1、（归纳奠基）证明当 n 取第一个值n0时命题成立；
（2）任意相邻两个鞭 炮，前一个点燃一定导 类比 致后一个点燃。 （2）任意相邻两块骨 牌，第k块倒下一定导 致第K+1块倒下。
2、（归纳递推）假设 n k (k n0 , k N * ) 时命题成立，证明当 n k 1时命题也成立
课后作业： 课本96页 A组 2题 B组 2题
数学家Fermat的小故事
法国数学家费马观察到 ： 2 1 5，
21
2 1 17，
22
2 1 257 ，
23
2 1 65537
24
都是质数，于是他用归 纳推理提出猜想： 任何形如2 1(n N * )的数都是质数这 .
三、例题讲解
例1 用数学归纳法证明：
n(n 1)(2n 1) * 1 2 n (n N ) 6
2 2 2
例题讲解：证明
右边 1，等式成立。
证明：（）当n 1时，左边 12 1， 1
n(n 1)(2n 1) 1 2 n (n N * ) 6
数学归纳法
一、创设情境、引出课题
例：对于数列{an },已知a1 1, an an1 , (n 1, 2,），求an . 1 an


问题一：试猜想其通项公式； 问题二：该通项公式对任意正整数均 成立吗？ 问题三：如何证明你的猜想？
一、创设情境、引出课题
请同学们描述一下一串 鞭炮是怎样燃完的？
2n
就是著名的费马猜想 .半个世纪之后 善于 , 计算的欧拉(Euler)发现，第5个费马数： F5 2 1 4294967297 641 6700417
25
Pierre de Fermat (1601～1665） 返回
不是质数，从而推翻了 费马的猜想。
如果没有“归纳奠基”……
例如，“奇数是2的倍数”显然是个假命题。 但是如果没有第一步奠基，直接假设“如 果奇数k是2的倍数”（这是一个不符合实 际的假设），却能推出“那么后一个奇数 k+2也是2的倍数“的错误结论。
是否需要一个个亲自去 点呢？
如果你点燃了第一个鞭炮却 发现这串鞭炮的导火线坏了， 那么这串鞭炮还能燃完吗？
一、创设情境、引出课题
结论： 一串鞭炮全部引燃的条 件是： （1）第一个鞭炮点燃； （2）任意相邻两个鞭 炮，前一个点燃一定导 致后一个点燃。
多米诺骨牌动画演示
一、创设情境、引出课题
结论： 所有多米诺骨牌倒下的条件是： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻两块骨牌，第k块倒下一定导 致第K+1块倒下。
分析： （2）假设当n k时成立，即 这是一个与正整数有关的命题的 k (k 1)(2k 1) 2 2 2 1 2 k , 归纳假设 6 证明，可以考虑采用数学归纳法。
例题讲解：证明
n(n 1)(2n 1) 1 2 n (n N * ) 6
2 2 2
(k 1)( k 2)( 2k 3) 6
(k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6 即当n k 1时等式也成立。
根据（）和（ ），可知 1 2 等式对任何n N 都成立。
*wenku.baidu.com
递推基础不可少； 归纳假设要用到； 结论写明莫忘掉。
结论写明莫忘掉
如果没有归纳递推……
如果没有“归纳递推”……
例如，“ n 11是质数”这个命题对 n
2
于n 1,2,3,,9都成立，但是对于 10 n 却不成立。
返回
三、例题讲解
例2 已知数列
1 1 1 1 , , , , , 1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3n 1)
计算 S1, S2 , S3 , S4 ，根据计算结果，猜想Sn 的表达式，并用数学归纳法进行证明。
补充练习
1.用数学归纳法证明： 3 能被64整除。
2 n 2
2 2 2
归纳奠基不可少
则当n k 1时， 左边 12 22 k 2 (k 1) 2 突破难点 k ( k 1)( 2k 1) 归纳假设要用到 ( k 1) 2 6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2 6 (k 1)(2k 2 7 k 6) 6