数学归纳法ppt

2.3 数学归纳法
阜阳四中 李斌
完全归纳 法 问题 1:袋中有5个小球，如何证明它们都是 绿色的？ an n 1, 2, ... 问题 2: 对于数列an ,已知a1 1，an1
1 an
1 a1 1 1 a2 2 1 a3 3
问题情境一
猜想其通项公式
1 an n
优点：可以帮助我们从一些具体事
例中发现一般规律 缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的
在使用归纳法探究数学命题时，必 须对任何可能的情况进行论证后，才能 判别命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢？ 思考2：如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢？
例1：观察
5 3 1
9
7
你能得出什么结论？ n 并用数学归纳法证 明你的结论。
归纳猜想： 1+3+5+…+(2n–1)=n2 (n∈N*)
等式成立. （1）当n=1时，左边=1, 右边=12=1， 证明： （2）假设n=k时等式成立， 即1+3+5+…+(2k–1)=k2 , 则n=k+1时， 1+3+5+…+[2(k+1)–1] = 1+3+5+…+(2k–1)+[2(k+1)-1] = k2+2k+1 =(k+1)2. 即n=k+1时等式也成立.
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
k (k 1)( 2k 1) 1 2 3 k 6
2 2 2 2
那么
12 2 2 3 2 k 2 ( k 1) 2 k ( k 1)(2 k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)(2 k 1) 6( k 1) 2 6 ( k 1)(2 k 2 7 k 6 ) 6 ( k 1)(k 2 )(2 k 3 ) 6 ( k 1)( k 1) 12( k 1) 1 6
归纳小结
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数 学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确 （3）由（1）、（2）得出结论 作业：课本：P96 A组 1，2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
由（1）和（2），可知等式对任何 n N 都成立

上述结论是容易理解的 ：根据（），n 1 1 时等式成立，再根据（），n 1 1 2时等式 2 也成立。由于 2时等式成立，再根据（）， n 2 n 2 1 3时等式也成立，这样递 推下去，就 知道n 4， ， ， 时等式都成立，即等式 5 6 对任 何n N 都成立。
因此数学归纳法是一种科学的递推方法
(1)是递推的基础 (2)是递推的依据
练习：已知数列{a n }为等比数列， 公比为q,求证:通项公式为a n = a1q n-1 （提示：a n = qa n-1）
注意 ：
1、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两 步同样重要，两步骤缺一不可. 2、第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到 n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归 纳法。 3、最后一定要写“由（1）（2）……”
不完全归 纳法
问题3：某人看到树上乌鸦是黑的， 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。
…
论的推理方法
：由一系列有限的特殊事例得出一般结 归纳法
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法 结论不一定可靠
结论一定可靠
思考：归纳法有什么优点和缺点？
证明：（1）当n=1时， 左边
a1 , 右边 a1 0 d a1 ,
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a1 ( k 1)d ,
那么 a a d [a (k 1)d ] d k 1 k 1
a1 [(k 1) 1]d
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某 同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同 学得到的结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1wenku.baidu.com命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
例2 如果 {a n } 是等差数列，已知首项为 a1 公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d 对一切n N 都成立 试用数学归纳法证明
数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有 关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它 们的正确性： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【命题成立的必要性】递推基础 （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 【命题成立的连 证明当n=k+1时命题也成立. 续性】归纳假设 最后由（1）（2）得出结论全体自然数成立(结论) 这种证明方法叫做 数学归纳法（两步一结论）
这就是说，n＝k+1时也成立
所以等式对任何n∈N*都成立 该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提 下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早 事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立
思考3：下面是某同学 用数学归纳法证明等式 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 1 1 （n∈N＊） 2 3 2 2 2 2n 2n 成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？ 第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合 数学归纳法的证明要求 1 1 证明：①当n=1时，左边＝ 1 , 右边＝ 1 1 , 等式成立 2 2 2 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 1 1 , ②假设n=k时，等式成立， 即 2 22 23 2k 2k
1 ( k 1)k 1 1k 1 2 = 3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当
n N ，命题正确。
例题4 用数学归纳法证明
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6
2 2 2 2
证明：
1 2 3 1 （1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝ 6
例3：用数学归纳法证明：
1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ n(n 1)(n 2) 3
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ k ( k 1)(k 2)
3
则当n=k+1时， 1 2 2 3 3 4 ... k (k 1)
( k 1)(k 2)
从n=k到n=k+1有什么变化
＝
=
1 k ( k 1)(k 2) + 3
(k 1)(k 2)
利 用 假 设
1 ( k 1) (k 1)(k 2) 3
1 [1 ( 1 )k 1 ] 1 2 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 1 2 1 k 1 . 2 2 2 23 2 2k 2k 1 1 1 2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立
那么n=k+1时
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
因此，用数学归纳法证明命 题的两个步骤，缺一不可。第一 步是递推的基础，第二步是递 推的依据。缺了第一步递推失 去基础；缺了第二步，递推失去 依据，因此无法递推下去。
根据（1）,（2）知等式对一切n∈N*都成立.
n
用数学归纳法证明
口诀：递推基础不可少，
1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝
n2
归纳假设要用到，
证明： （1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 结论写明莫忘掉。 （2）假设当n＝k时，等式成立，即 （假设） 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2 证 那么当n=k+1时 明 传 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］ 递 ＝ k2 + [2(k+1)－1］ 性 （利用假设） ＝ k2 ＋2k＋1 ＝ （k+1）2 （凑结论） 即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）可知，等式对任何 n N 都成立。