福建省宁德市2014-2015学年高二下学期期末考试文科数学试卷 扫描版含答案

福建省厦门第一中学2024-2025学年度第一学期入学考高三年数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}2|e 1,|log (2)x P y y M x y x ==+==-，则集合M 与集合P 的关系是（）A.M P =B.P M∈ C.M P⊆ D.P M⊆2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差不为0，若4a ，5a ，7a ，成等比数列，1166S =，则8a =（）A.7B.8C.10D.1233.已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[a ﹣1，2]，则函数()f x 的值域为（）A.（﹣∞，1） B.（﹣∞，1]C.[﹣3，1]D.[1，+∞）4.已知3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.55 B.55-C.45D.2555.设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞6.四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（）A. B. C.2863D.7.已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于直线π3x =对称C.()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D.若()π2f =-，则()g x 在区间[]0,π8.已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数+1的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（）A.4- B.3- C.3D.4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则（）A.两人均获得满分的概率12B.两人至少一人获得满分的概率712C.两人恰好只有甲获得满分的概率14D.两人至多一人获得满分的概率1210.已知函数() cos sin f x x x x =-，则（）A.函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B.对于()0,x π∀∈，()0f x <恒成立C.若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x <D.若sin x ab x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为111.已知曲线C 是平面内到定点()0,1F 和定直线l ：1y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则（）A .曲线C 关于x 轴对称B.曲线CC.曲线C 及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）D.点()00,P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()0,1F 的距离之和最小为92三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为__________.13.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF |＝5，O 为坐标原点，则OAF △的面积为___________.14.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C +=．（1）求B ；（2）若AC =，点D 是线段AC 上的一点，且ABD CBD ∠=∠，4BD =．求ABC V 的周长．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．（1）若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．17.已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，()ln h x kx =，且()()()()2332f g f g >.（1）若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；（2）若()()()u x f x h x =-，()24f =，且()0u x ≥，求k 的取值范围；（3）若()()()u x g x h x =，()21f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.18.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为22，A ，B 分别是E 的左、右顶点，P 是E 上异于A ，B 的点，APB △的面积的最大值为（1）求E 的方程；（2）设O 为原点，点N 在直线2x =上，N ，P 分别在x 轴的两侧，且APB △与NBP △的面积相等.（i ）求证：直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值；（ⅱ）是否存在点P 使得APB NBP ≌△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.19.甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球.（1）当5N =时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ，求()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ；（2）当10N =时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设()12345k A k =，，，，表示“第k 次取出的是红球”，比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小；（3）由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作2P .那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：17.03≈)福建省厦门第一中学2024-2025学年度第一学期入学考高三年数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}2|e 1,|log (2)x P y y M x y x ==+==-，则集合M 与集合P 的关系是（）A.M P =B.P M∈ C.M P⊆ D.P M⊆【答案】C 【解析】【分析】求出集合P 中函数的值域，集合Q 中函数的定义域，得到这两个集合，可判断集合间的关系.【详解】函数e 1x y =+值域为()1,+∞，函数2log (2)y x =-定义域为()2,+∞，即()1,=+∞P ，()2,M =+∞，所以有M P ⊆.故选：C.2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差不为0，若4a ，5a ，7a ，成等比数列，1166S =，则8a =（）A.7B.8C.10D.123【答案】C 【解析】【分析】设公差为d ，由题意可得1,a d 的方程组，解方程组求出n a 可得答案.【详解】设公差为d ，由题意可得5547111101111662a a a a S a d ⨯=⨯⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，即()()()21111436115566a d a d a d a d ⎧+=+⨯+⎪⎨+=⎪⎩，解得106d a =⎧⎨=⎩舍去，或124d a =⎧⎨=-⎩，所以()42126n a n n =-+-=-，可得816610=-=a .故选：C.3.已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[a ﹣1，2]，则函数()f x 的值域为（）A.（﹣∞，1） B.（﹣∞，1]C.[﹣3，1]D.[1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数的定义域特征，求出a 的值，再由偶函数的定义求出b ，结合二次函数图像，即可求解.【详解】已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[]21a -，，所以12,1a a -=-∴=-，()(),f x f x x R -=∈恒成立，即2211,20,x bx x bx bx x R --+=-++=∈恒成立，20,()1,[2,2]b f x x x ∴=∴=-+∈-，函数()f x 的值域为[3,1]-.故选:C.【点睛】本题考查偶函数的性质，以及二次函数的性质，函数的奇偶性要注意定义域满足的条件，属于基础题.4.已知3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.55 B.55-C.45D.255【答案】A 【解析】【分析】由已知可求得3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而sin 02α>，再根据余弦的二倍角公式进行计算即可得解.【详解】 3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 02α>，23cos 12sin 25αα=-= ，可得21sin 25α=，5sin25α∴=．故选：A ．【点睛】易错点睛：本题容易忽略2α的取值范围，进而忽略sin 2α的范围，将结果求错.5.设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数3x y =在R 上单调递增，而函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，所以2y x a =-在区间()1,2单调递减，所以22a≥，解得4a ≥．故选：D ．6.四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（）A. B. C.2863D.【答案】C 【解析】【分析】根据四棱台的性质，结合四棱台的体积公式进行求解即可.【详解】过1A E AC ⊥，由正四棱台的性质可知：1A E 是该正四棱台的高，因为四边形11ACC A 是等腰梯形，所以()111122AE A C AC =-==，由勾股定理可知：1A E ===所以该四棱台的体积为(2212864233⨯+=，故选：C7.已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于直线π3x =对称C.()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D.若()π2f =-，则()g x 在区间[]0,π【答案】C 【解析】【分析】首先利用三角函数的性质求出()f x 和()g x 的关系，根据对称点距离和周期关系即可判断A ；求出正弦型函数的对称轴和对称中心即可判断BC ；利用整体法即可求出()g x 的最值.【详解】由于函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，所以ππ+2k ϕ=()k ∈Z ，由于将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象，则()1πsin 26g x A x ωωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，对于A ，因为曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，故2π4π12T ω==，解得1ω=，故A 不正确；所以函数()πsin π2f x A x k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()cos f x A x =或()cos f x A x =-，()1ππsin π262g x A x k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于B ，令1ππ26x k +=()k ∈Z ，解得π2π3x k =-，Z k ∈，令ππ2π33k -=，解得1Z 3k =∉，则()g x 的图象不关于直线π3x =对称，故B 错误；对于C,令1πππ+262x k +=()k ∈Z ，解得2π2π+3x k =，Z k ∈，所以当0k =时，所以()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，当()π2f =-时，2A =-或2A =，所以()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递增，故函数的最大值为(π)1g =；当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递减，故函数的最大值为(0)g =，故D 错误；故选：C.8.已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数+1的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（）A.4-B.3- C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得()(2)2f x f x +--=-，(1)(1)g x g x -+=+，再由已知条件可得()g x 的周期，将所求转化为关于()g x 的函数值后，利用周期及(1)1g =即可求解.【详解】由函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，所以()(2)2f x f x +--=-，令4x =-，可得(4)(2)2f f -+=-，即(2)2f =-，由函数+1的图象关于y 轴对称，可知函数+1为偶函数，所以(1)(1)g x g x -+=+，由()()211f x g x +++=-，令0x =，可得(1)1(2)1g f =--=，由()()211f x g x +++=-，可得()(1)1f x g x +-=-，(2)(3)1f x g x --+--=-，两式相加可得2(1)(3)2g x g x -+-+--=-，即(1)(3)0g x g x -+--=，可得(5)(1)0g x g x -+-+=，由(1)(1)g x g x -+=+可得(5)(1)0g x g x -++=，即()(6)0g x g x ++=，故(6)()g x g x +=-，所以(12)(6)()g x g x g x +=-+=，即函数()g x 的周期12T =，由()(1)1f x g x +-=-可知(2030)1(2029)f g =--，所以()()203020171(2029)(2017)1(1)(1)12(1)3f g g g g g g -=---=---=--=-.故选：B【点睛】关键点点睛：根据中心对称及偶函数得出一般关系()(2)2f x f x +--=-，(1)(1)g x g x -+=+，再由()()211f x g x +++=-，利用消元思想，转化为关于()g x 的关系式是解题的第一关键，其次利用()g x 的关系式求出()g x 的周期是第二个关键点，求出周期后利用赋值求特殊函数值即可得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则（）A.两人均获得满分的概率12B.两人至少一人获得满分的概率712C.两人恰好只有甲获得满分的概率14D.两人至多一人获得满分的概率12【答案】ACD【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得.【详解】设A =“甲获得满分”，B =“乙获得满分”，则32(),()43P A P B ==,对于A ，“两人均获得满分”可表示为A B ⋂,因两人能否获得满分相互独立，故321()()()432P A B P A P B ⋂===,即A 正确；对于B ，因“两人至少一人获得满分”的对立事件为A B ⋂=“两人都没获得满分”,则“两人至少一人获得满分”的概率为：11111()1()()14312P A B P A P B -⋂=-=-⨯=，故B 错误；对于C ，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为A B ⋂，其概率为：311()()()434P A B P A P B ⋂==⨯=，故C 正确；对于D ，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为A B = “两人都获得满分”，则“两人至多一人获得满分”为：3211()1()()1432P A B P A P B -⋂=-=-⨯=,故D 正确.故选：ACD .10.已知函数() cos sin f x x x x =-，则（）A.函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B.对于()0,x π∀∈，()0f x <恒成立C.若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x <D.若sin x ab x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数研究()f x 在(0,)π上单调性及最值即可判断A 、B 的正误；构造sin ()xg x x=，应用导数研究单调性即知C 的正误；构造()sin h x x mx =-，应用导数并结合分类讨论的方法研究0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0h x >、()0h x <恒成立时m 的取值范围，即可判断正误.【详解】对AB ，()sin f x x x '=-，∴(0,)π上()0f x '<，即(0,)π上()f x 单调递减，则()(0)0f x f <=，∴A 错误，B 正确；对C ，令sin ()xg x x=，则在(0,)π上2cos sin ()0x x x g x x -'=≤，即()g x 单调递减，∴120x x π<<<时，有1212sin sin x x x x >，即1122sin sin x x x x <，C 正确；对D ，0x >，则sin x a x<等价于sin 0x ax ->，sin xb x <等价于sin 0x bx -<，令()sin h x x mx =-，则()cos h x x m '=-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当0m ≤时，()0h x '>，则()h x 单调递增，故()(0)0h x h >=；当1m ≥时，()0h x '<，则()h x 单调递减，故()(0)0h x h <=；当01m <<时，存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()cos 0h x x m '=-=，∴此时，0(0,)x 上()0h x '>，则()h x 单调递增，()(0)0h x h >=；0(,)2x π上()0h x '<，则()h x 单调递减，∴要使()sin 0h x x mx =->在0(,2x π上恒成立，则(1022m h ππ=-≥，得20m π<≤.综上，2m π≤时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0h x >恒成立，1m ≥时0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0h x <恒成立，∴若sin x ab x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1，正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：选项D ，由题设不等式构造()sin h x x mx =-，综合应用分类讨论、导数研究恒成立对应的参数范围，进而判断不等式中参数的最值.11.已知曲线C 是平面内到定点()0,1F 和定直线l ：1y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则（）A.曲线C 关于x 轴对称B.曲线CC.曲线C 及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）D.点()00,P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()0,1F 的距离之和最小为92【答案】BC 【解析】【分析】由题意得到曲线C 的解析式，画出图象，由图直观判断即可.【详解】设(,)M x y 是曲线C 上任意一点，由于(,)M x y 到定点0,1和定直线:1l y =-的距离之和等于4.14y ++=，当1y ≥-3y =-，即222(1)69x y y y +-=-+，化简得：212(12)4y x y =--≤≤，当1y <-5y =+，化简得：212(21)12y x y =--≤≤-.画出曲线C 的图象：如图，对于A ，显然图象不关于x 轴对称，故A 错误；对于B ，212(12)4y x y =--≤≤，当1y =-时，解得1)-A ，点A =，故B 正确；对于C ，由A 可得[]2,2y ∈-，当2y =时，0x =，此时直线2y =在曲线上或内部有1个整点；当1y =时，2x =±，此时直线1y =在曲线上或内部有5个整点；当0y =时，x =±0y =在曲线上或内部有5个整点；当1y =-时，x =±1y =-在曲线上或内部有7个整点；当2y =-时，0x =，此时直线2y =-在曲线上或内部有1个整点；故曲线C 及其内部共包含了19个整点，故C 正确；对于D ，如图：点G 到0,1与到直线:1l y =-的距离之和为4，点00(,)P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点0,1的距离之和最小值为：44QG -<，故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，根据题意，利用两点距离公式与点线距离公式得到曲线C 的解析式，从而作图即可得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为__________.【答案】220-【解析】【分析】将61(2)x x+-看作6个1(2)x x +-相乘，结合组合的知识即可直接求得答案.【详解】由题可得含3x 的项为()()13133344113636211C C 2C C C 2220x x x x ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，故答案为：220-.13.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF |＝5，O 为坐标原点，则OAF △的面积为___________.【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求出交点，再利用焦半径公式求出点A 的纵坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】根据题意，抛物线C ：24y x =的焦点为()10F ,，设(),A m n ，则+1=5AF m =，∴4m =，∴4n =±，∴11422AOF S =⨯⨯= .故答案为：214.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______.【答案】1239,,755【解析】【分析】根据函数的单调区间确定02ω<≤，再根据π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭确定关于周期的相应等式，结合其范围，即可求得答案.【详解】设()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期为T ，函数()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，故2πππ2()π,0263T ωω⎡⎤=≥--=∴<≤⎢⎥⎣⎦；由ππ63f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以及函数()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，得πππ630212f f ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-= ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由π4π63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4ππ7π,π366T -=≥，得7π6T =或π4ππ632124T +=-+或π4ππ3632124T +=-+，若7π6T =，则7π2π12,67ωω=∴=；若π4ππ632124T +=-+，则3πππ,412253ωω=-+∴=；若π4ππ3632124T +=-+，则3ππ3π9,41225ωω=-+∴=；故ω的可能取值为1259,,735，故答案为：1239,,755四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C +=．（1）求B ；（2）若AC =，点D 是线段AC 上的一点，且ABD CBD ∠=∠，4BD =．求ABC V 的周长．【答案】（1）2π3（2）18+【解析】【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，由题设得到1cos 2B =-，结合内角范围即得；（2）由等面积和余弦定理联立,求出18a c +=即得三角形的周长.【小问1详解】由22cos a c b C +=和正弦定理，2sin sin 2sin cos A C B C +=(*)，因sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,代入(*)化简得，2cos sin sin 0B C C +=,即sin (2cos 1)0C B +=，因sin 0C >，故得1cos 2B =-，因0πB <<,则2π3B =.【小问2详解】由题意知，BD 是ABC ∠的平分线.由ABC ABD BCD S S S =+△△△可得，2π1π()4sin 3231sin2a c ac =+⨯，化简得，4()c c a a =+①又由余弦定理，2222π2cos 3a c ac +-=，即2()252a c ac +-=②，将①代入②可得，2()4()2520a c a c +-+-=，解得18a c +=，（14a c +=-舍去），故ABC V 的周长为18+.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．（1）若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3030【解析】【分析】（1）取PD 的中点为S ，接,SF SC ，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得//BF 平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则1//,12SF ED SF ED ==，而//,2ED BC ED BC =，故//,SF BC SF BC =，故四边形SFBC 为平行四边形，故//BF SC ，而BF ⊄平面PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以//BF 平面PCD .【小问2详解】因为2ED =，故1AE =，故//,=AE BC AE BC ，故四边形AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而,PE ED ⊂平面PAD ，故,CE PE CE ED ⊥⊥，而PE ED ⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --，则()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD =--=--=-=-设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则由0m PA m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2020y z x y z --=⎧⎨--=⎩，取()0,2,1m =- ，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =，则由0n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩，取()2,1,1n = ，故30cos ,30m n ==-，故平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为3017.已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，()ln h x kx =，且()()()()2332f g f g >.（1）若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；（2）若()()()u x f x h x =-，()24f =，且()0u x ≥，求k 的取值范围；（3）若()()()u x g x h x =，()21f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.【答案】（1）证明见解析（2）)(k ⎡∈⎣ （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数解析式及性质可设函数解析式，再根据指数函数的单调性可证明不等式；（2）分情况讨论当0k >和0k <时函数的单调性与最值情况，进而可得解；（3）由已知可得0b a >=，求导，可转化为证明ln ln 10b b b x ++>在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭恒成立，结合函数()ln 1F b b b b =-+的单调性与正负情况可得证.【小问1详解】由已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，可设()af x x =和()bg x x =，且()()f x f x -=，()()g x g x -=-，又()()()()2332f g f g >，即2332a b a b ⋅>⋅，即2233a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以a b <，所以11111112222222a bu f g f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1110222abu ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由已知()224a f ==，得2a =，即()2f x x =，所以()()()2ln u x f x h x x kx =-=-，当0k >时，()2ln u x x kx =-的定义域为()0,∞+，()21212x u x x x x -'=-=，令()0u x '=，解得2x =或22x =-（舍），所以当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x '<，()u x 单调递减，当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x '>，()u x 单调递增，所以()212ln 0222u x u k ⎛⎫≥=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭，解得k ≤(k ∈；当0k <时，()2ln u x x kx =-的定义域为(),0-∞，()21212x u x x x x -'=-=，令()0u x '=，解得2x =（舍）或22x =-，所以当2,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0u x '>，()u x 单调递增，当,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x '<，()u x 单调递减，所以()1ln 0222u x u k ⎛⎫⎛⎫≥-=--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得k ≥)k ⎡∈⎣；综上所述)(k ⎡∈⎣ 【小问3详解】由()ln e ln e bk g b ===，又已知()221af ==，所以0a =，由（1）得a b <，即0b >，所以函数()()()ln bu x g x h x x bx ==的定义域为()0,∞+，所以()()11ln ln 1b b b bu x bxbx x x b bx bx--'=+⋅=+，又10b x ->恒成立，且当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以ln 1x >-，ln 1ln ln 1ln 1b bx b b b x b b b +=++>-+，设()ln 1F b b b b =-+，则()ln 11ln F b b b '=+-=，令()0F b '=，则1b =，所以当()0,1b ∈时，()0F b '<，()F b 单调递减，当()1,b ∈+∞时，()0F b '>，()F b 单调递增，所以()()10F b F ≥=，所以ln 10b bx +>，即当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()()1ln 10b u x xb bx -'=+>，所以函数()u x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．18.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为22，A ，B 分别是E 的左、右顶点，P 是E 上异于A ，B 的点，APB △的面积的最大值为（1）求E 的方程；（2）设O 为原点，点N 在直线2x =上，N ，P 分别在x 轴的两侧，且APB △与NBP △的面积相等.（i ）求证：直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值；（ⅱ）是否存在点P 使得APB NBP ≌△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点P 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，列方程组，即可求解；（2）（ⅰ）首先利用坐标表示APB S 和NBP S ，利用面积相等，以及点P 在椭圆上的条件，即可化简斜率乘积的公式，即可证明；（ⅱ）由条件APB NBP ≌△△，确定边长和角度的关系，再结合数形结合，即可判断是否存在点P 满足条件.【小问1详解】当点P 是短轴端点时，APB △的面积最大，面积的最大值为122a b ⋅⋅=，则2222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，得222b c ==，24a =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；【小问2详解】（ⅰ）设0,0，()2,N t ，00ty <00122APB S AB y y =⨯⨯= ，()0122NPB S t x =⨯- ，由题意可知，()001222y t x =⨯-，0042y t x =-，即0042y t x -=-，所以20020021224AP ONy y t k k x x -=⨯==-+-；（ⅱ）假设存在点P ，使得APB NBP ≅ ，因为AB AP >，NP NB >，BP BP =，所以AP NB =，APB NBP ∠=∠，ABP NPB ∠=∠，则90APN NBA ∠=∠= ，由（ⅰ）可知，AP ON ⊥，又AP NP ⊥，所以,,O N P 三点共线，如图，则OPB OBP ∠=∠，所以2OP OB ==，则点P 与点A 重合，这与已知矛盾，所以不存在点P ，使APB NBP ≌△△.19.甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球.（1）当5N =时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ，求()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ；（2）当10N =时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设()12345k A k =，，，，表示“第k 次取出的是红球”，比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小；（3）由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作2P .那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：17.03≈)【答案】（1）()E X =95，9()25D X =，918()()525E Y D Y ==（2）()()()()()12341234P A A A A P A P A P A P A <（3）195【解析】【分析】（1）由题意可得3~(3,)5Y B ，利用二项分布的期望公式和方差公式求解，X 服从超几何分布，X 的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，从而可求出()E X 和()D X ；（2）利用独立事件概率公式和古典概率公式求出()1234P A A A A ，()()()()1234P A P A P A P A ，进行比较即可；（3）根据题意表示出12,P P ，由120.003P P -≤化简得21952900N N -+≥，解法1：转化为290195N N+≥，构造函数()()2900f x x x x=+>，利用函数的单调性求解；解法2：直接解一元二次不等式即可.【小问1详解】对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的，则3393218~(3,),()3,()35555525Y B E Y D Y =⨯==⨯=X 服从超几何分布，X 的可能取值为1，2，3，则2112323233333555C C 3C C 3C 1(1)(2),(3)C 10C 5C 10P X P X P X =========3319()123105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=，2229393919()1235105551025D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，或222233199()12310510525D X ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=⎪⎝⎭；【小问2详解】495106A 3()A 5k P A ⨯==Q ，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为()35k P A =：41234381()()()()5625P A P A P A P A ⎛⎫∴==⎪⎝⎭又()14661234510A C 65436181A 10987635625P A A A A ⨯⨯⨯⨯===<⨯⨯⨯⨯，则()()()()()12341234P A A A A P A P A P A P A <.【小问3详解】因为()22233254C 0.43255125P =⨯=⎪=⎛⎫ ⎝⎭，()()213235133313255C C 11852512C 25(1)(2)6NNNN N N N N P N N N N N ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅ ⎪⎝⎭===⨯----，120.003P P -≤Q ，即311850.4320.00325(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯-≤--，即311850.43525(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯≤--，即31295(1)(2)48N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤--，由题意知()()120N N -->，从而()()348129125N N N N ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭--，化简得21952900N N -+≥，解法1：又0N >，290195N N ∴+≥，令()()2900f x x x x=+>，则()2222902901x f x x x-'=-=，所以当0x <<()0f x '<，当x >时()0f x '>，所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，(此处证单调性另解：()()2900f x x x x=+>为对勾函数，()29034.06f x xx=+≥≈，（当且仅当x =时取等）.所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增)，所以()f x 在17.03x =≈处取得最小值，从而290y N N=+在18N ≥时单调递增，当20N ≤时，290147N N+<，又290193194.50195193+≈<，290194195.49195194+≈>，∴当194N ≥时，符合题意考虑到25N ，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.解法2：化简得21952900N N -+≥，1952N <或1952+，N 为整数，1N ∴≤或194N ≥25N Q，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是根据题意正确区分二项分布和超几何分布，利用二项分布和超几何分布的概率公式求解，从而得解.。

宁德市2014—2015学年度第二学期高一期末考试数学（必修2、4）试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)友情提示:本卷第11、12、15、16、21、22题按达标校类别作答。

其中A 题供一、二级达标学校考生作答，B 题供非一、二级达标学校考生作答。

参考公式：锥体体积公式13V Sh =，柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．球的表面积24S R =π，体积公式343V R =π，其中R 为球的半径．第I 卷 （选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂． 1．函数()sin 2f x x =的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．2πD ．4π2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 与直线11C D 所成的角为 A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．化简：cos()2α5π-=A ．sin αB ．sin α-C ．cos αD ．cos α-4．若角α的终边经过点34(,)55A ，则sin α=A.35B.45C.34D.435．直线l 经过点(1,2)，且倾斜角是直线y x =倾斜角的2倍，则以下各点在直线l 上的是 A. (1,1) B. (2,2)C. (2,1)D. (2,0)DAB CA 1D 1C 1B 16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为A ．23πB ．πC ．2πD ．3π7．对于向量,,a b c 和实数λ，下列判断正确的是 A ．若=a b ，则=a b B ．若λ=0a ，则0λ= C ．若⋅=⋅a c b c ，则=a bD ．若=a b ，则⋅=⋅a c b c8．为了得到函数πsin(2)4y x =-的图象，只要将函数πsin()4y x =-上所有的点A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 9．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列判断正确的是 A ．若//，m α//αβ,则//m βB ．若,,m n αα⊂⊂//,m β//n β，则//αβC ．若//,m n ,m α⊥//αβ，则n β⊥D ．若,,m ααβ⊂⊥则m β⊥10．已知线段PQ 的中点为(0,4)M ，若点P 在直线20x y +-=上运动，则点Q 的轨迹方程是A. 60x y +-=B. 60x y ++=C. 20x y --=D. 20x y -+=(以下11A 、12A 两题供一、二级．．．．达标校考生作答) 11 A ．已知直线20x y n -+=与圆22:4O x y +=交于,A B 两点，若60AOB ︒∠=，则实数n的值为 AB．C．D．±12 A ．已知P 是△ABC 所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2(1)PD PC PA PB λ+=++，且△PBA 与△PBC 的面积相等，则实数λ的值为 A ．2B ．2-C ．1D ．1-俯视图正视图2 侧视图2(以下11B 、12B 两题供非一、二级．．．．．达标校考生作答) 11 B ．已知直线10x -=与圆22:(1)(2)4C x y -+-=交于,A B 两点，则弦AB 的长为A ．1BC ．2D．12 B ．如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为150°，OA 与OC 的夹角为90°，且1OA OB ==，2OC =，若（，）OC O A O B R λμλμ=+∈，则λμ+=A ．2B ．4 C2D ．4+第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．若向量a (3,)m =，b (2,4)=-，a ∥b ，则实数m 的值为 ＊＊ ．14．若方程2220x y x a +++=表示的曲线是圆，则实数a 的取值范围是 ＊＊ ． (以下15A 、16A 两题供一、二级．．．．达标校考生作答) 15A ．已知tan()3αβ-=，tan 4β=，则tan α= ＊＊ ．16A ．若直三棱柱111ABC A B C -每一条棱长都为4，则三棱锥1A ABC -与三棱锥111A ABC -公共部分的体积是 ＊＊ ．(以下15B 、16B 两题供非一、二级．．．．达标校考生作答) 15B ．已知tan 3α=，tan 4β=，则tan()αβ+= ＊＊ ．16B ．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则连接该正方体每个面的中心构成的几何体的体积是 ＊＊ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =，且(3)-⊥a b c ． （Ⅰ）求实数m 的值；（6分） （Ⅱ）求向量a 与b 的夹角θ．（6分）OABC18．（本小题满分12分）已知点(1,4),(3,2),(1,1)A B C ．（Ⅰ）求过点C 与直线AB 平行的直线方程；（5分）（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线与x ,y 轴分别交于点,M N ，求△OMN 的面积．（7分）19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥． （Ⅰ）求证：1AC BA ⊥；（5分）（Ⅱ）若M 为11A C 的中点，问棱AB 上是否存在点N ，使得MN ∥平面11BCC B ？ 若存在，求出ANNB的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．（7分）20．（本小题满分12分）一支探险队要穿越一个“死亡谷”，在这个峡谷中，某种侵扰性昆虫的密度 ()f t （只/立方米）近似于时间t （时）的一个连续函数，该函数的表达式为 (9)1000cos2000,917()43000,091724或t t f t t t -π⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩． （Ⅰ）求一天中该种昆虫密度()f t 的最小值和相应的时间t ；（6分）（Ⅱ）已知当密度超出2000只/立方米时，该种昆虫的侵扰将是致命的．问最早几点进入该峡谷可避免．．遭受该种昆虫致命性侵扰．（6分）B 1C 1C(本版面21A 、22A 两题供一、二级．．．．达标校考生作答，非一、二级．．．．．达标校考生作答的21B 、21B 两题在下一版面)21A ．（本小题满分12分）已知圆C 的一条直径的端点分别是(0,1),A (2,1)B ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（4分）（Ⅱ）若直线l :2y kx =-与圆C 相切，求k 的值；（5分）（Ⅲ）若圆C 上恰有两个点到点(1,)D a (1)a >的距离为2，请直接写出．．．．实数a 的取值 范围．（3分）22A ．（本小题满分14分）已知函数2()cos 2cos f x x x x =+． （Ⅰ）求()24f π的值；（4分） （Ⅱ）若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，求实数m 的最大值；（5分）（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两个实数根1212,()x x x x <，分别求实数a 与1211x x +的取值范围．（5分）(本版面21B 、22B 两题供非一、二级．．．．．达标校考生作答，一、二级．．．．达标校考生作答的21A 、21A 两题在上一版面)21B ．（本小题满分12分）已知圆C 的一条直径的端点分别是(0,1),A (2,1)B ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（5分）（Ⅱ）若过点(0,2)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．（7分）22B ．（本小题满分14分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()8f π的值；（4分）（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（5分）（Ⅲ）若关于x 的方程()0()f x a a -=∈R 在区间(0,)2π内有两个不相等的实数根12,x x ，记12cos()t a x x =+，求实数t 的取值范围．（5分）宁德市2014—2015学年度第二学期高一期末考试 数学（必修2、4）试题参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B 9．C 10．A 11A ．C 12A ．D 11B ．C 12B ．D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 6- 14．(,1)-∞ 15A ．711-16A 15B ．711- 16B ．43三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17. 解: (本题满分12分)（Ⅰ）∵(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =,∴3(1,3)(3,6)(13,3)m m -=-=--a b . ······························································ 2分 ∵(3)-⊥a b c ,∴(3)(13,3)(3,4)m -⋅--⋅a b c =3(13)(3)4m =-+-⨯990m =--= ············································································ 5分 解得1m =-. ······························································································ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知(1,3),=a (1,2)=-b ,∴5b =a , ································································································· 7分==a b , ······················································································ 8分∴cos 10b θ===⨯b a a . ·································································· 10分 ∵[0,]θπ∈， ∴4πθ=. ································································································ 12分 18．(本题满分12分) 解：（Ⅰ）∵(1,4)(32)A B 、，，∴直线AB 的斜率421.13AB k -==-- ································································· 2分 ∴过点C 与直线AB 平行的直线方程为1(1)y x -=--， ······································ 4分 即20x y +-=． ···················································································· 5分 （Ⅱ）∵(1,4)(32)A B 、，， ∴ AB 的中点坐标为(2,3). ··········································································· 6分 又线段AB 的垂直平分线的斜率为1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为：()312y x -=⋅-即10x y -+=. ··························································································· 8分 ∵(1,0),(1,0)M N -, ·················································································· 10分 ∴1122OMN S OM ON ∆==.········································································ 12分19. (本题满分12分)解法一:（Ⅰ）∵1AA ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,∴1AA AC ⊥. ··························································································· 2分 ∵AB AC ⊥，1AB AA A =I ,∴AC ⊥平面11ABB A . ·················································································· 4分 又∵1A B ⊂平面11ABB A ,∴1AC A B ⊥.····························································································· 5分（Ⅱ）存在点N 为AB 的中点，即1ANNB=，使得//MN 平面11BCC B . ··············· 6分 证明：取AC 得中点E ，连接,,MN ME NE ∵四边形11ACC A 是平行四边形， 且,M E 分别为11A C 、AC 的中点， ∴四边形1ECC M 是平行四边形∴ME ∥1CC . ···················································7分B 1C 1C∵ME ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ,∴ME ∥平面11BCC B . ················································································· 8分 ∵,N E 分别为AB 、AC 的中点，∴NE ∥BC . ····························································································· 9分 ∵NE ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,∴NE ∥平面11BCC B . ················································································ 10分 ∵MENE E =，∴平面MNE ∥平面11BCC B . ······································································· 11分 （注：直接由两组相交线平行得面面平行，扣2分） ∵MN ⊂平面MNE ,∴MN ∥平面11BCC B . ··············································································· 12分 解法二: （Ⅰ）∵1AA ⊥平面ABC ,1AA ⊂平面11ABB A ,∴平面11ABB A ⊥平面ABC ，且平面11ABB A I 平面ABC =AB . ··························· 2分 ∵AC AB ⊥, AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面11ABB A . ·················································································· 4分 又∵1A B ⊂平面11ABB A ,∴1AC A B ⊥.····························································································· 5分（Ⅱ）存在点N 为AB 的中点，即1ANNB=，使得//MN 平面11BCC B . ··············· 6分 证明：取BC 得中点F ，连接1,,MN NF C F . ∵,N F 分别为AB 、BC 的中点，∴NF ∥AC ,NF 12=AC . ······························· 7分 ∵1MC ∥AC ,1MC 12=AC ,∴1MC ∥NF ，1MC =NF . ······························· 8分∴四边形1MNFC 为平行四边形. ·································································· 10分B 1C 1C∴MN ∥1C F . ························································································· 11分 ∵MN ⊄平面11BCC B ，1C F ⊂平面11BCC B ,∴ MN ∥平面1C F . ·················································································· 12分 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）(1)当917t ≤≤时，(9)()1000+20004cos t f t π-= ∵(9)024t ππ-≤≤， ··············································································· 1分 (9)π(9)π=π=13 cos =144t t t --∴-当，即时，， ················································· 2分min ()1000(1)+20001000f t =⨯-= ································································· 4分(2)当09t ≤<或1724t <≤时，()3000f t = ··················································· 5分 所以，一天中该种昆虫密度的最小值是1000（只/立方米），出现最小值时的时间t =13·········································································································· 6分 （Ⅱ）解法1，依题意当()2000f t ≤时，可避免遭受该种昆虫致命性侵扰. 由()2000f t =，得(9)cos04t π-=， ··························································· 8分 ∵当917t ≤≤时，(9)024t ππ-≤≤∴ (9)=42t ππ-或(9)3=42t ππ-································································ 10分得11t =或15t = ················································································· 11分 ∴ 最早11点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰． ························· 12分（Ⅱ）解法2，依题意，当()2000f t ≤时，可避免遭受该种昆虫致命性侵扰.令()2000f t ≤，即(9)1000cos +200020004t π-≤，得(9)cos 04t π-≤ ·············· 8分则(9)32k 2,242t k k Z πππππ-+≤≤+∈, 得 811815,k t k k Z +≤≤+∈ ····························································· 10分 又∵917,t ≤≤ ∴1115,t ≤≤ ························································ 11分∴ 最早11点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰. ·························· 12分 (以下是21A 、22A 两题答案)21A. （Ⅰ）∵(0,1),(2,1)A B 是圆C 的一条直径的两端点，∴圆心C 是AB 的中点，其坐标为（1，1） ·············································· 1分圆C 半径1AC = ·········································································· 2分 ∴圆C 的方程是：22(1)(1)1x y -+-= ······················································ 4分 （Ⅱ）∵直线l ：2y kx =-与圆C 相切，∴圆心(1,1)C 到直线20kx y --=的距离等于半径1， 1=， ············· 7分解得43k =. ································································································ 9分 （Ⅲ）a 的取值范围是(2,4) ······································································· 12分 22A . (本题满分14分)解：（Ⅰ）∵()2cos 21f x x x =++ ··························································· 1分12cos 2)12x x =++ 2sin(2)16x π=++ ································································· 3分∴()2sin()12sin 11241264f ππππ=++=+=············································· 4分 （Ⅱ）由222,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈ 得,36k x k k Z πππ-≤≤π+∈ ∴()f x 在区间,()36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数 ············································· 5分∴当0k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ··············································· 6分若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，则[,][,]36m m ππ-⊆- ······················ 7分。

侨声中学、铭选中学、泉州九中、侨光中学2024春季高二年下学期期末四校联考英语试卷(满分: 150分; 考试时间: 120分钟)命题：第一部分听力 (共两节，满分30分)第一节 (共 5 小题;每小题 1.5 分,满分7.5 分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What is the man doing?A. Working in the garden.B. Talking on the phone.C. Writing a report.2. What does the man like about his brother being away?A. That he can use his brother's computer.B. That he can enjoy the quiet time.C. That he can have a private room.3. What are the speakers preparing to do?A. Apply for a visa.B. Go on vacation.C. Book a hotel.4. Which industry is the company in?A. Building.B. Technology.C. Tourism.5. What is the man unsatisfied with about his first apartment?A. Its price.B. Its size.C. Its surroundings.第二节 (共 15 小题, 每小题 1.5 分, 满分 22.5 分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

古田县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷班级__________姓名__________座号__________考号__________考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题时，所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效；3.考试结束后，只需上交答题卡.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.35是数列的（ ）A.第16项B.第17项C.第18项D.第19项2.已知数列是等差数列，且，则（ ）A.4B.6C.8D.103.已知等差数列的前项和为，若，则的值是（ ）A.95B.55C.100D.不确定4.已知数列为等比数列，若，则（ ）A.B.2C.4D.5.已知等差数列的前项和为，且，则当取得最大值时，（ ）A.37B.36C.18D.196.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是（ ）A.167斤B.184斤C.191斤D.201斤7.设数列满足，且，则数列前10项的和为（ ）A.B. C. D.8.已知数列的前项和为，且满足，则数列的前81项的和为（ ）A.1640B.1660C.1680D.1700二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目3,5,7,9,⋯{}n a 238232a a a ++=4a ={}n a n n S 31710a a +=19S {}n a 2480,16a a a >=6a =4-4±{}n a n n S 36370,0S S ><n S n ={}n a 11a =()*11n n a a n n +-=+∈N 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭201119111710159{}n a n n S ()112n n S a n =+-{}n na要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）A.B.数列是等比数列C.D.数列是公差为2的等差数列10.已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（）A.数列是递增数列B.是数列中的最小项C.和是中的最小项D.满足的的最大值为2511.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.的最大值为D.的最大值为第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，公比，则__________.13.已知为正项等比数列的前项和，若，则__________.14.数列满足，数列的前项和为，且，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记为等差数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）求的最小值.q {}n a n S {}n a n 142332,12a a a a ⋅=+=2q ={}2n S +8510S ={}lg n a {}n a n n S d 10a <101512a a a +={}n a 13a {}n a 12S 13S {}n S 0n S <n {}n a q n n S n n T 6167711,1,01a a a a a ->><-01q <<7801a a <<n S 7S n T 6T {}n a 4738512,124a a a a ⋅=-+=q ∈Z 10a =n S {}n a n 242349,2a a S a a ==+7a ={}n a 31n a n =+{}n b n n T 1(1)n n n b a +=-19T =n S {}n a n 32618,5a S a =-={}n a n S16.（15分）已知是等差数列，.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若等比数列满足，求的通项公式.17.（15分）某食品公司年初投资300万元，购置冻干银耳生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第年该设备产生的利润（利润该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为.（1）写出的表达式；（2）在该设备运行若干整年后，该食品公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案：①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备；②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备.请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由.18.（17分）已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.19.（17分）已知数列的前项的和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.{}n a 141,7a a =={}n a n n S {}n b 2235,b a b a =={}n b n =n a n a {}n a 35a =41a +21a +73a +{}n a ()*11n n n b n a a +=∈⋅N {}n b n n T {}n a n n S ()*22n n S a n =-∈N {}n a ()2log ,1n n n n n b a c a b ==⋅+{}n c n n T古田县第一中学2023级高二第一次月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.【解答】解：数列的通项为，由，得，所以35是数列的第17项.故选：B.2.【解答】解：由题设，故.故选：C.3.【解答】解：在等差数列中，由，得..故选：B.4.【解答】解：数列为等比数列，若，则偶数项均为正数，由，则.故选：C.5.【解答】解：等差数列的前项和为，且，，，则从而当时，取得最大值.故选：C.3,5,7,9, 21n +2135n +=17n =3,5,7,9, 238354222432a a a a a a ++=+==48a ={}n a 31710a a +=1010210,5a a =∴=()11919101919195952a a S a+⨯∴===⨯={}n a 20a >4816a a =64a ={}n a n n S 36370,0S S ><()()()13636136181936181802a a S a a a a +==+=+>()1373719373702a a S a +==<18190,0,a a ><18n =n S6.【解答】记8个儿子按年龄从大到小依次分棉斤，斤，斤，斤，因为按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，所以数列为等差数列，且公差为17，所以.因为绵的总数为996斤，所以，解得.所以第7个儿子分到的绵是斤.故选：A.7.【解答】因为数列满足，且，所以当时，，当时，上式也成立，所以，所以，所以数列的前项和为，所以数列的前10项和为，故选A.故选：A.8.【解答】由，有，有.又由，可得，可得则数列的前81项的和为.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【解答】解：在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，1a 2a 3a 8,a ⋯{}n a ()1171n a a n =+-1878179962a ⨯+⨯=165a =765176167a =+⨯={}n a 11a =()*11n n a a n n +-=+∈N 2n ≥()()()12111212n n n n n a a a a a a n -+=-++-+=+++=1n =()12n n n a +=()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 1111122122311n n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2011()112n n S a n =+-()()111111*********n n n n n n n a S S a n a n a a ++++=-=+-+-=-+11n n a a ++=11112a S a ==10a =0,1,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}n na ()402802468016402⨯+++++== q {}n a n S {}n a n 142332,12a a a a ⋅=+=，解得（舍）或，故A 正确，数列是等比数列，故B 正确；，故C 正确；数列不是公差为2的等差数列，故D 错误.故选：ABC.10.【解答】解：对于A ：因为等差数列的前项和为，公差为，且，所以，所以，因为，所以，数列是递增数列，A 正确；对于B ：因为数列是递增数列，所以最小项是首项B 错误；对于C ：因为，所以当或时，取最小值，C 正确；对于D ：由不等式可得，又因为，所以满足的的最大值为D 错误.故选：AC.11.【解答】解：由条件，可得，中没有最大值，的最大值为.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【解答】解：，3112113212a a q a q a q ⎧⋅=∴⎨+=⎩1116,2a q ==12,2a q ==()1212222,12n n n S +-+=+=∴-{}2n S +()8821251012S -==-2,lg lg2,n n n a a n =∴=∴ {}n lga {}n a n n S d 11015120,a a a a <+=11191411a d a d a d +++=+131120a a d =+=1120a d =-<0d >{}n a {}n a 1,a 1130,0a a <=12n =13n =n S ()()()()1131112250,222n n n n n dnS na d n a d d n --=+=-+=-<025n <<*n ∈N 0n S <n 24,6167711,1,01a a a a a ->><-6781,01,01a a a <<<<<()()77860,1,0,1,n a q a a S a ∴=∈∈n T 6T 4738512,124a a a a ⋅=-+=，则得或者，公比为整数，，，解得，即故答案为：512.13.【解答】为正项等比数列，且公比；，.故答案为：12.14.【解答】因为，数列的前项和为，所以.故答案为：31.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解答】（1）解：设等差数列的公差为，由，可得，解得，所以数列的通项公式为.384738512,124a a a a a a ∴⋅=⋅=-+=384,128a a =-=34128,4a a ==- q 384,128a a ∴=-=54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512,a a q ==⨯-=⨯={}n a 0n a ∴>0q >224339,3a a a a ==∴= ()21224343423473212122,2,3412a a qa a a a S a a q a a q S a a a a +++=+∴====∴==⨯=++ 131,(1)n n n n a n b a +=+=-{}n b n n T 191234171819T a a a a a a a =-+-++-+ 471013525558=-+-++-+ ()()()471013525558=-+-++-+ 3958275831=-⨯+=-+={}n a d 32618,5a S a =-=()111218255a d a d a d +=-⎧⎨+=+⎩124a =-3d ={}n a ()11327n a a n d n =+-=-（2）解：由（1）知，可得数列为递增数列，且，所以当时，；当时，；当时，，所以，当或9时，取得最小值，即，所以，故的最小值为.16.【解答】（1）设等差数列的公差为，则.，数列的通项公式及前项和（2）设等比数列的公比为，由，得，的通项公式为.17.【解答】（1）由题意可知第年的使用费为首项为36，公差为6的等差数列第年的使用费为，，所以的表达式为3d ={}n a 939270a =⨯-=*18,n n ≤≤∈N 0n a <9n =90a =*10,n n ≥∈N 0n a >8n =n S ()198991082a a S S +===-108n S ≥-n S 108-{}n a d 41712413a a d --===-()12121n a n n ∴=+-=-()12n n n a a S +=()21212n n n +-=={}n a n 2n S n ={}n b q 22353,9b a b a ====323b q b ==22n n b b q -=⋅21333n n --=⨯={}n b ∴21333n n n b --=⨯=n n ()3616n +-⨯()1213616n a n ⎡⎤∴=-+-⨯⎣⎦()*8561691,n n n =--=-+∈N n a *691,n a n n ∴=-+∈N（2）设的前项和为，则，若采用第一种方案，则总收入最大，根据二次函数的对称轴公式，可得或，，当时，即第15年时总利润最大为（万元），若采用第二种方案，令，，当且仅当时取等号，第10的平均利润最大，此时的总利润为（万元），故最大利润为综上所述，两种方案的最终利润一样，但是第二种方案只用了10的时间，因此选择第二种方案合理.18.【解答】（1）设等差数列的公差为，因为，则，因为是与的等比中项，所以，即化简得，解得或（舍）所以.（2）由（1）知，，n a n n S ()2859163882n n n S n n +-==-+4423b x a =-=14n =15n =14151514644,645,S S S S ∴==∴>∴15n =6453007352-+=300300300388388n n S b n n n n n -⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭3003260n n∴+≥=10n =∴10300280S -=28072352+={}n a ()0d d >35a =4275,5,54a d a d a d =+=-=+11a +21a +73a +()()()2427113a a a +=++()()2(6)684,d d d +=-+254120d d --=2d =65d =-21n a n =-21n a n =-所以，所以.数列的前项和19.【解答】（1）当时，，当时，.，是以2为首项，2为公比的等比数列，.（2），①②①-②得，.()()1112121n n n b a a n n +==-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭123n nT b b b b =++++ 11111111121335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭{}n b n 21n nT n =+1n =11122,2S a a =-∴=2n ≥1n n n a S S -=-()12222n n a a -=---122n n a a -=-12n n a a -∴={}n a ∴1222n n n a -∴=⨯=()2log 2,12nnn n b n c n ===+⋅()1212232212n n n T n n -=⨯+⨯++⨯++⨯ ()23122232212n n n T n n +=⨯+⨯++⨯++⨯ ()231422212nn n T n +-=++++-+⨯ ()()122121221n n n +⨯-=+-+⨯-()1112122n n n n n +++=-+⨯=-⋅12n n T n +∴=⋅。

高三数学专题复习 （幂函数）经典1．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∈3,2,1,21,1,2α，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．设11,0,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．对于幂函数f(x)=45x ，若0＜x 1＜x 2，则12()2x x f +，12()()2f x f x +的大小关系是( )A. 12()2x x f +＞12()()2f x f x + B. 12()2x x f +＜12()()2f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2f x f x + D. 无法确定 4．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 5．下列说法正确的是( )A ．幂函数的图像恒过(0,0)点B ．指数函数的图像恒过(1,0)点C ．对数函数的图像恒在y 轴右侧D ．幂函数的图像恒在x 轴上方 6．若0>>n m ，则下列结论正确的是（ ）A. 22m n< B. 22m n <C. n m 22log log >D.11m n> 7．若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数，则m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 8．幂函数y f x =()的图象经过点142(,)，则(2)f （ ）A.14 B. 12- C. 29．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=，则m =（ ）A.0B.1C.2D.310．已知幂函数()mf x x =的图象经过点（4，2），则(16)f =（ ）A.11．已知命题p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在（0，1）内恰有一个零点；命题q ：函数2ay x -=在(0,)+∞上是减函数，若p 且q ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．a≤2C ． 1<a≤2D ．a≤l 或a>212．[2014·北京西城模拟]已知函数f(x)＝122,0,20x x c x x x ⎧⎪≤≤⎨⎪+-≤<⎩，其中c ＞0.那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则c 的取值范围是________． 13．幂函数()f x x α=经过点P(2,4),则f = .14．设f (x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+--21121xx 11>≤x x ，则f [ f (21)]＝15．幂函数 f （x ）=x α（α∈R）过点，则f （4）= ． 16．幂函数 f （x ）=x α（α∈R ）过点，则 f （4）= ． 17．若幂函数y ＝f(x)的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则f(25)＝________．18．若a ＋a －1＝3，则32a －a －32＝______． 19．若()121a -+<()1232a --,则a 的取值范围是 .20．设函数f (x )＝0102x x x ≥⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩，，＜，则f (f (－4))＝________.21．已知幂函数的图像经过点（2，32）则它的解析式是 . 22．已知幂函数()f x x α=在[1,2]上的最大值与最小值的和为5，则α= ． 23．已知幂函数2()(1)mf x m m x =--在(0,)x ∈+∞上单调递减，则实数m = .24．已知幂函数()x f 存在反函数，且反函数()x f 1-过点（2，4），则()x f 的解析式是 . 25．知幂函数13()n y xn N *-=∈ 的定义域为(0,)+∞ ，且单调递减，则n =__________.26．若函数f(x)是幂函数，且满足(4)3(2)f f =，则1()2f 的值为 .27．已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．28．已知幂函数y ＝f(x)经过点12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．29．已知幂函数y ＝x 3m －9(m∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数． (1)求m 的值；(2)求满足不等式(a ＋1)－3m <(3－2a)－3m的实数a 的取值范围． 30．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．参考答案1．C【来源】2013-2014学年福建省三明一中高二下学期期中考试文科数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：因为ay x =是奇函数，所以a 应该为奇数，又在(0,)+∞是单调递增的，所以0a >则只能1,3． 考点：幂函数的性质. 2．B【来源】2014届陕西西工大附中高三上学期第四次适应性训练理数学卷（带解析） 【解析】试题分析：由幂函数的基本性质可知，定义域为R 的a 的值为：{}1,2,3，函数为奇函数的a 的值为{}1,1,3-，故满足条件的所有a 的值为{}1,3两个.考点：幂函数的定义域、奇偶性. 3．A【来源】2013-2014学年江西鹰潭市高一上学期期末考试理科数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：可以根据幂函数f(x)＝45x 在（0，+∞）上是增函数，函数的图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有12()2x x f +＞12()()2f x f x +，由此可得结论． 考点：函数的性质的应用.4．B【来源】2013-2014学年江西省赣州市六校高一上学期期末联考数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：由函数知识知函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)的横坐标x 0即为方程321()2x x -=的解，也是函数函数()f x =321()2x x --的零点，由零点存在性定理及验证法知(1)(2)f f ＜0，故x 0在区间（1,2）内. 由题知x 0是函数()f x =321()2x x --的零点，∵(1)(2)f f =31232211[1()][2()]22----=-7＜0，故选B.考点：函数零点与函数交点的关系，零点存在性定理 5．C【来源】2013-2014学年山东省滕州市高一（上）期末考试数学试家（带解析） 【解析】试题分析：对于A 、D ，幂函数y x α=的图像不一定过点(0,0)，也不一定恒在x 轴的上方，如1y x=不过原点且它的图像也不恒在x 轴的上方，应该是幂函数y x α=的图像恒过定点(1,1)；对于B ，指数函数x y a =恒过定点(0,1)，因为01a =；对于C ，因为对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的定义域为{}|0x x >，所以对数函数的图像恒在y 轴的右侧，故选C.考点：基本初等函数的图像与性质. 6．C【来源】2013-2014学年浙江丽水高一上普通高中教学质量监控数学卷（带解析） 【解析】试题分析：指数函数、对数函数的底数大于 1 时,函数为增函数,反之,为减函数，对于幂函数y x α=而言，当0α>时，在(0,)+∞上递增，当0α<时，在(0,)+∞上递减，而0>>n m ，所以22log log m n >，故选C.考点：1.指数函数；2.对数函数；3.幂函数的性质. 7．A【来源】2013-2014学年甘肃高台第一中学高一秋学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：由题意，得231m +=，解得1m =-． 考点：幂函数的解析式． 8．C【来源】2013-2014学年甘肃高台第一中学高一秋学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：因为函数的图象y f x =()经过点142(,)，则有142a =，解得2a =-，所以2(2)22f -==． 考点：幂函数的解析式与图象．9．B【来源】2013-2014学年甘肃高台第一中学高一秋学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：由题意知350m -<，解得53m <，由()()f x f x -=知函数()f x 为偶函数，又因m N ∈，所以1m =，故选B ．考点：1．幂函数的解析式样 2．幂函数的单调性与奇偶性． 10．B【来源】2013-2014学年甘肃高台第一中学高一秋学期期末考试数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：因为幂函数()mf x x =的图象经过点（4，2），所以有24m=，解得12m =，所以(16)4f =． 考点：幂函数解析式与图象． 11．C【来源】2014届宁夏银川一中高三上学期第五次月考理科数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：由题知，命题p ：0(1)0a f >⎧⎨>⎩，得1a >，命题q ：20a -<，则2a >，若p 且q ⌝为真命题，则有12a a >⎧⎨≤⎩，故实数a 的取值范围是12a <≤．考点：1、函数的零点；2、幂函数的图象和性质；3、复合命题的真假.12．－1和0 (0,4]【来源】2015数学一轮复习迎战高考：2-4二次函数与幂函数（带解析）【解析】当0≤x≤c 时，由12x ＝0得x ＝0.当－2≤x＜0时，由x 2＋x ＝0，得x ＝－1，所以函数零点为－1和0.当0≤x≤c 时，f(x)＝12x ，所以当－2≤x＜0时，f(x)＝x 2＋x ＝12x ⎛⎫+⎪⎝⎭2－14，所以此时－14≤f(x)≤2.若f(x)的值域是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即0＜c≤4，即c 的取值范围是(0,4]． 13．2【来源】2013-2014学年广东省顺德市勒流中学高一上学期第2段考数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：将P(2,4)点坐标代入幂函数()f x x α=，可得2α=，所以2()f x x =，则2f =.考点：函数的求值. 14．134 【来源】2013-2014学年江苏省扬州中学高二第二学期阶段测试文科数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：先从内层算起，23212121-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,13423-11232=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f . 考点：分段函数求值 15．2【来源】2013-2014学年江苏省扬州中学高二第二学期阶段测试文科数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：将点()2,2，代入幂函数，得22=α，解得21=α，所以()21x x f =,那么()24421==f考点:幂函数的性质 16．2【来源】2013-2014学年江苏省扬州中学高二第二学期阶段测试理科数学试卷（带解析） 【解析】试题分析：将点()2,2，代入幂函数，得22=α，解得21=α，所以()21x x f =,那么()24421==f考点:幂函数的性质 17．15【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨第二章第9课时练习卷（带解析） 【解析】设f(x)＝x α，则13＝9α，∴α＝－12，即f(x)＝x －12，f(25)＝1518．±4【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨第二章第7课时练习卷（带解析）【解析】32a －a －32＝(12a －a －12)(a ＋a －1＋1)．∵(12a －a －12)2＝a ＋a －1－2＝1，∴(12a －a －12)＝±1，∴原式＝(±1)×(3＋1)＝±4. 19．23,32⎛⎫⎪⎝⎭【来源】2014届人教版高考数学文科二轮专题复习提分训练5练习卷（带解析） 【解析】令f(x)=12x-,则f(x)的定义域是{x|x>0},且在(0,+∞)上单调递减,则原不等式等价于10,320,132,a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得23<a<32.20．4【来源】2014年高考数学（文）二轮专题复习与测试选择填空限时训练1练习卷（带解析） 【解析】f (－4)＝12⎛⎫⎪⎝⎭－4＝16， 所以f (f (－4))＝f (16)4 21．5y x =【来源】2013-2014学年贵州遵义湄潭中学高一上学期期末考试数学试卷（带解析）【解析】试题分析：设幂函数方程为ny x =，将点()2,32代入可得322n=，解得5n =，所以此幂函数解析式为5y x =。

数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出了每题要考察的主要知识和能力和一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程 度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．A 2．A 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算。

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．3 14．2 15．31 16．()212n n n -+⋅ 第16题解法一：()122232201111111C 2C 3C C C C 2C C C k n k n n n n n n n n n n k n n k n ------+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+()()()()0111121111111111C C C C C 2C 1C 1C k n k n n n n n n n n n n k n ------------⎡⎤=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦()()()()10122122222221C C C C 21212n k n n n n n n n n n n n n n n ----------⎡⎤⎡⎤=+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=+-⋅=+⋅⎣⎦⎣⎦解法二： 0122(1+)=C +C C C n n nn n n n x x x x ++⋅⋅⋅+， ∴两边求导数，得 112231(1+)=C2C 3CCn n n n n n n n x x x n x --+++⋅⋅⋅+ ， 两边同乘以x ，得112233(1+)=C 2C 3C C n n nn n n n n x x x x x nx -+++⋅⋅⋅+ ，两边再求导，得1212222321(1+)(1)(1+)=C 2C 3C C n n n n n n nn n x n n x x x x n x ---+-+++⋅⋅⋅+， 令1x =，得()2122232212C 2C 3C C C n k nn n n n n n n k n -+⋅=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+三、解答题：本大题 共6小题，共70分。

邯郸市2024高二第二学期期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列复数的实部大于虚部的是（）A.33i +B.35i +C.()i 35i + D.()i 35i -2.已知()f x 为奇函数，当3x >时，()273f x x x =--，则()4f -=（）A.-9 B.9C.-17D.173.10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲､乙､丙3人站在一起的概率为（）A.118B.115C.130 D.1904.一质点沿着正东方向从点A 到达点,10cm B AB =，在点A 处测得点P 在其东北方向，在点B 处测得点P 在其北偏西15 方向，则PB =（）A. B.cm 3C.10cmD.5.若正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱与底面所成的角为π4，且112,6AB A B ==，则该正六棱台的体积为（）A .B. C. D.6.已知点P 在抛物线2:8M y x =上，过点P 作圆22:(4)1C x y -+=的切线，若切线长为则点P 到M 的准线的距离为（）A.7B.6C.5D.7.在边长为2的正ABC 中，()(),0,1,,0,1AE AB AF AC λλμμ=∈=∈，点D 在线段BC 上，0,//DE AB DF AB ⋅=，则2||BE DF + 的最小值为（）A.1516B.1916C.2516D.55168.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用m x 表示整数x 被m 整除，设*,,a b m ∈∈Z N 且1m >，若()m a b -，则称a 与b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．已知916161521431341215161616161616C 5C 5C 5C 5C 5C 52a =⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯- ，则（）A.()2024mod7a ≡B.()2025mod7a ≡C.()2026mod7a ≡D.()2027mod7a ≡二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()sin cos 2f x x x =-+，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 的最大值为3C.()f x 的图象关于点π,24⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 的图象关于直线π4x =-对称10.已知椭圆22:1(08)8x y C m m +=<<的离心率为2，焦点为12,F F ，则（）A.C 的短轴长为4B.C 上存在点P ，使得12PF PF ⊥C.C 上存在点P ，使得12PF PF ⋅=D.C +=重合11.若函数()()()2log 1log 1(01)a a f x x x a +=-++<<在()1,+∞上单调递减，则a 的取值可以是（）A.0.39B.1- C.0.42 D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2{10},5140A x x B x x x =∈<=--<N∣∣，则A B ⋂中元素的个数为__________.13.已知一组数据1,2,2,5,5,6的第60百分位数为m ，随机变量X 的分布列为X2m14P0.30.60.1()D X =__________.14.在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,4,ABCD AB PD ==，点E 在线段PD 上，PB //平面EAC ，则四面体ABCE 外接球的表面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且1214a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列的前n 项和nS .16.民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向.（1）完成以下22⨯列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？对民航招飞有意向对民航招飞没有意向合计男生女生合计（2）若每名报名学生通过前3项流程的概率依次为321,,433，假设学生能否通过每项流程相互独立，以这600名男生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三男生对民航招飞有意向的概率，以这400名女生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三女生对民航招飞有意向的概率.从甲地任选一名高三学生（男､女学生的比例为1：1），求这名学生对民航招飞有意向且通过前3项流程的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.α0.050.010.001x α3.8416.63510.82817.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，且2, 4.PA AB BC AC Q ====为棱BP 上一点，且AQ BP ⊥.（1）求CQ 的长；（2）求二面角Q AC B --的余弦值.18.已知双曲线22Ω:1mx ny -=经过点((),4,1A B -.（1）求Ω的方程；（2）设直线():0l y kx b k =+≠经过Ω的右焦点，且与Ω交于不同的两点,M N ，点N 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PM 过定点.19.已知函数()44ln 8f x x x =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数()()4ln g x f x x =-的图象在点()(),t g t 处的切线为l ，求l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值；（3）设()f x 的零点为12,x x ，比较12x x +与2的大小，并说明理由.邯郸市2024高二第二学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列复数的实部大于虚部的是（）A.33i +B.35i +C.()i 35i +D.()i 35i -【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法化简，根据虚部、实部概念得解.【详解】因为()()i 35i 53i,i 35i 53i +=-+-=+，所以这4个复数中只有()i 35i -的实部大于虚部.故选：D2.已知()f x 为奇函数，当3x >时，()273f x x x =--，则()4f -=（）A.-9 B.9C.-17D.17【答案】A 【解析】【分析】利用奇函数求解函数值即可.【详解】()()()441679f f -=-=--=-.故选：A.3.10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲､乙､丙3人站在一起的概率为（）A.118B.115C.130D.190【答案】B 【解析】【分析】先求出样本空间总数，再求出该事件所包含的基本事件数，根据古典概率模型求解即可.【详解】根据已知得样本空间总数为：1010A 种甲、乙、丙三人站在一起共有：3838A A ⋅种所以甲､乙､丙站在一起的概率为：3833831010A A A 1A 10915==⨯.故选：B.4.一质点沿着正东方向从点A 到达点,10cm B AB =，在点A 处测得点P 在其东北方向，在点B 处测得点P 在其北偏西15 方向，则PB =（）A.102cmB.106cm 3C.10cmD.56cm【答案】B 【解析】【分析】结合题意求出45,60PAB APB ∠=∠= ，然后利用正弦定理求解即可.【详解】如图，由题可知45,15,90451560PAB PBC APB ∠∠∠===-+= ，在ABP 中，由正弦定理可得sin sin AB PBAPB PAB∠∠=，则sin 106cmsin 3AB PAB PB APB ∠∠==.故选：B5.若正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱与底面所成的角为π4，且112,6AB A B ==，则该正六棱台的体积为（）A.3B.843C.3D.1043【答案】D 【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算可得答案.【详解】因为正六边形的中心到每个顶点的距离等于该正六边形的边长，且正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱与底面所成的角为π4，所以该正六棱台的高()62tan454h =-=.依题意可得底面ABCDEF 的面积2126S =⨯=，底面111111A B C D E F 的面积22664S =⨯⨯=，所以该正六棱台的体积(143V =⨯⨯+=.故选：D.6.已知点P 在抛物线2:8M y x =上，过点P 作圆22:(4)1C x y -+=的切线，若切线长为则点P 到M 的准线的距离为（）A.7 B.6C.5D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合PQ 与圆相切，用勾股定理求出PC ，再用两点间距离公式，求出P 坐标，即可求出点P 到M 的准线的距离.【详解】如图所示，设切点为Q ,则||1,||26CQ PQ ==则2222||1(26)5PC CQ PQ =+=+=，设(),P x y 2222(4)(4)8165x y x x x -+=-+=+=，解得3x =±，因为280y x =≥，所以3x =.因为M 的准线方程为2x =-，所以点P 到M 的准线的距离PE 为()325--=.故选：C.7.在边长为2的正ABC 中，()(),0,1,,0,1AE AB AF AC λλμμ=∈=∈，点D 在线段BC 上，0,//DE AB DF AB ⋅=，则2||BE DF + 的最小值为（）A.1516B.1916C.2516D.5516【答案】A 【解析】【分析】设(02)BD x x =<<，根据条件得到2DF x =-，12BE x =，从而得到22715||416BE DF x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭ ，即可求出结果.【详解】如图，依题意可得点E 在线段AB （不含端点）上，点F 在线段AC （不含端点）上，设(02)BD x x =<<，因为DE AB ⊥，则1cos ,22BE BD ABC x CD x ∠===-，因为//DF AB ，ABC 为正三角形，所以CDF 为正三角形，所以2DF CD x ==-，所以222217715||(2)422416BE DF x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，因为02x <<，所以当74x =时，2||BE DF + 取得最小值，且最小值为1516.故选：A.8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用m x 表示整数x 被m 整除，设*,,a b m ∈∈Z N 且1m >，若()m a b -，则称a 与b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．已知916161521431341215161616161616C 5C 5C 5C 5C 5C 52a =⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯- ，则（）A.()2024mod7a ≡B.()2025mod7a ≡C.()2026mod7a ≡D.()2027mod7a ≡【答案】A 【解析】【分析】由二项式定理得到80801717178088888(142)3C 142C 142C 142C 1423a =+-=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯- ，得到()1mod7a ≡，结合2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，从而得到答案.【详解】由二项式定理，得0160115115151601616161616C 5(1)C 5(1)C 5(1)C 5(1)3a =⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯-- 161688(51)343163(142)3=--=-=-=+-0801717178088888C 142C 142C 142C 1423=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯- ,因为080171717888C 142C 142C 142⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 能够被7整除，8088C 1423253⨯⨯-=被7除余1，所以()1mod7a ≡．因为2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，所以()2024mod7a ≡．故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()sin cos 2f x x x =-+，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 的最大值为3C.()f x 的图象关于点π,24⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 的图象关于直线π4x =-对称【答案】ACD 【解析】【分析】利用辅助角公式结合三角函数的性质，逐项求解即可.【详解】()π24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为()2π,f x 的最大值为2+A 正确，B 错误；令π,4x =则()022,f x =+=则()f x 的图象关于点π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，C 正确；令π4x =-，则πsin 1,4x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()2,f x =+()f x 的图象关于直线π4x =-对称.，D 正确，故选：ACD.10.已知椭圆22:1(08)8x y C m m +=<<的离心率为2，焦点为12,F F ，则（）A.C 的短轴长为4B.C 上存在点P ，使得12PF PF ⊥C.C 上存在点P ，使得12PF PF ⋅=D.C +=重合【答案】BCD 【解析】【分析】根据方程及离心率求出m 判断A ，根据椭圆的对称性求出P 在短轴端点时12F PF ∠判断B ，计算数量积12PF PF ⋅的范围判断C ，根据椭圆的定义判断D.【详解】依题意可得2=2m =，则C 的短轴长为=，A 错误；若P 为短轴上的端点，O为坐标原点，则1112π2ππtan ,332F PO F PO F PF ∠∠∠====>，所以C 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，B 正确；设()(()1,,P x y x F -≤≤，)2F ，则())[]22222123,,66244,2,C 44x x PF PF x y x y x y x ⋅=-⋅-=-+=-+-=-∈-正确；设(),P x y 为椭圆C上任意一点，因为122PF PF a +===，D 正确.故选：BCD11.若函数()()()2log 1log 1(01)a a f x x x a +=-++<<在()1,+∞上单调递减，则a 的取值可以是（）A.0.39B.1- C.0.42D.【答案】BC 【解析】【分析】求导()()()()()2ln ln 2ln 2ln 1ln ln 2x a a a a f x x a a ⎡⎤++++--⋅'⎣⎦=+，当01,1a x <<>时，()()21ln ln 20xa a -⋅+<，()f x 在()1,∞+上单调递减，只需要研究分子()()ln ln 2ln 2ln 0x a a a a ⎡⎤++++-≥⎣⎦对()1,x ∞∈+恒成立即可．令()()()ln ln 2ln 2ln g x x a a a a ⎡⎤=++++-⎣⎦，看作一次函数来解即可．【详解】()()()()()()()()2ln ln 2ln 2ln 111ln 1ln 21ln ln 2x a a a a f x x a x a x a a ⎡⎤++++-⎣⎦=+--⋅'=+++.当01,1a x <<>时，则()()21ln ln 20x a a -⋅+<，()f x 在()1,∞+上单调递减，所以()()ln ln 2ln 2ln 0x a a a a ⎡⎤++++-≥⎣⎦对()1,x ∞∈+恒成立．设()()()ln ln 2ln 2ln g x x a a a a ⎡⎤=++++-⎣⎦，则满足()()2ln ln 2ln 20a a a a ++=+≥且()()12ln 20g a =+≥即可，则2211201a a a a ⎧+≥⎪≤+⎨⎪<<⎩，即11101a a a a ⎧≥-≤⎪-≤⎨⎪<<⎩或即)1,1a ∈，结合选项BC 符合，故选：BC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2{10},5140A x x B x x x =∈<=--<N∣∣，则A B ⋂中元素的个数为__________.【答案】7【解析】【分析】先求出集合,A B ，再求A B ⋂，从而可得答案.【详解】因为{}{10}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A x x =∈<=N∣，{}{}{}25140(2)(7)027B x x x x x x x x =--<=+-<=-<<∣所以{}0,1,2,3,4,5,6A B ⋂=，故A B ⋂中元素的个数为7.故答案为：713.已知一组数据1,2,2,5,5,6的第60百分位数为m ，随机变量X 的分布列为X2m14P0.30.60.1()D X =__________.【答案】10.8【解析】【分析】利用百分位数的定义求得m ，再利用期望与方差公式，结合X 的分布列即可得解.【详解】()660% 3.6,5,20.350.6140.15,m E X ⨯=∴=∴=⨯+⨯+⨯= ()222(25)0.3(55)0.6(145)0.110.8D X ∴=-⨯+-⨯+-⨯=.故答案为：10.8.14.在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PD⊥平面,4,ABCD AB PD ==，点E 在线段PD 上，PB //平面EAC ，则四面体ABCE 外接球的表面积为__________.【答案】34π【解析】【分析】先由线面平行推出线线平行，得到E 为PD 的中点，再由四面体的外接球的特征，通过Rt QOC 与直角梯形ODEQ 建立方程，求出OQ 长，继而求得外接球半径，代入公式即得.【详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则平面PBD 平面ACE OE =，因PB //平面EAC ，故PB //OE ，易知O 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点.设四面体ABCE 外接球的球心为Q ，则OQ ⊥平面ABC ，设OQ h =，则222OQ OC QE +=，所以2222(h h +=-+，解得22h =，故四面体ABCE 外接球半径为2==，故其表面积为24π)34π2⨯=.故答案为：34π.【点睛】思路点睛：本题解题思路是，先确定底面多边形的外接圆圆心，作出外接球球心的大致位置，利用球的截面性质建立直角三角形或直角梯形，列出方程即可.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且1214a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列的前n 项和nS .【答案】（1）24n nn a =（2）222n nn S +=-.【解析】【分析】（1）利用已知2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列可得答案；（2）利用错位相减可得答案.【小问1详解】设2n n a b n =，则12122211,14216a ab b ====，则2114b b =，所以2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为14，公比也为14的等比数列，所以214nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则24n n n a =；【小问2详解】2n n=，则212222n n nS =+++ ，则2311122222n n n S +=+++ ，所以两式相减可得23111111221111121,12222222212nn n n n n n n n n S S +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦-=++++-=-=-- 故222n n n S +=-.16.民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向.（1）完成以下22⨯列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？对民航招飞有意向对民航招飞没有意向合计男生女生合计（2）若每名报名学生通过前3项流程的概率依次为321,,433，假设学生能否通过每项流程相互独立，以这600名男生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三男生对民航招飞有意向的概率，以这400名女生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三女生对民航招飞有意向的概率.从甲地任选一名高三学生（男､女学生的比例为1：1），求这名学生对民航招飞有意向且通过前3项流程的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.α0.050.010.001x α3.8416.63510.828【答案】（1）表格见解析，有关（2）5144【解析】【分析】（1）写出列联表，根据独立性检验即可求解；（2）求出每名报名学生通过前3项流程的概率，甲地高三男生对招飞有意向的概率，甲地高三女生对招飞有意向的概率，结合全概率公式即可求解.【小问1详解】列联表如下：对民航招飞有意向对民航招飞没有意向合计男生100500600女生100300400合计2008001000零假设为0H ：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联，因为21000200002000012510.417 6.63520080060040012χ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关；【小问2详解】因为每名报名学生通过前3项流程的概率依次为321,,433，所以每名报名学生通过前3项流程的概率为032114336P =⨯⨯=，依题意得甲地高三男生对招飞有意向的概率为110016006P ==，甲地高三女生对招飞有意向的概率为210014004P ==，由全概率公式得所求概率为102011522144P PP P P =+=.17.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，且2, 4.PA AB BC AC Q ====为棱BP 上一点，且AQ BP ⊥.（1）求CQ 的长；（2）求二面角Q AC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直结合等面积法求解，（2）利用空间向量求解二面角的余弦值.【小问1详解】因为4AB BC AC ===，所以222AB BC AC +=，则AB BC ⊥.因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥.又,AB BC AB PA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面ABP .因为AQ ⊂平面ABP ，所以AQ BC ⊥.又,AQ BP PB BC B ⊥⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .由CQ ⊂平面PBC ，得AQ CQ ⊥.又PA ⊥底面ABC ，所以PA AB ⊥，所以BP ==，由等面积法得3AP AB AQ BP ⋅==，故3CQ ==.【小问2详解】以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,4,0),A C 设000(,,)Q x y z则A Q,3CQ ==000(,,),AQ x y z =uuur 000(,4,),CQ x y z =-uu u r 000000(,,)(,4,)0AQ CQ x y z x y z ⋅=⋅-=uuu r uu u r解得224,,333Q ⎛⎫⎪⎝⎭则()2240,4,0,,,333AC AQ ⎛⎫== ⎪⎝⎭.设平面ACQ 的法向量为()1,,n x y z = ，则110,0,AQ n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()220,340,x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令2x =，得()12,0,1n =-.由PA ⊥底面ABC ，得()20,0,1n =为平面ABC 的一个法向量，则121212cos<,5n n n n n n ⋅>==-.由图可知，二面角Q AC B --为锐角，所以二面角Q AC B --的余弦值为18.已知双曲线22Ω:1mx ny -=经过点((),4,1A B -.（1）求Ω的方程；（2）设直线():0l y kx b k =+≠经过Ω的右焦点，且与Ω交于不同的两点,M N ，点N 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PM 过定点.【答案】（1）2218x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据曲线经过的点坐标代入方程得方程组，解之即得；（2）将直线方程与双曲线方程联立，得出韦达定理，求出PM 的方程，由对称性得PM 经过的定点必在x 轴上，令0y =代入PM 方程，经消元化简，并代入韦达定理计算即得定点.【小问1详解】依题意可得6471161m n m n -=⎧⎨-=⎩，解得181m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以Ω的方程为2218x y -=.【小问2详解】如图，由（1）知Ω的右焦点为()3,0，则:(3)l y k x =-，联立()223,1,8y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得，()222218487280k x k x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2180k -≠，0∆>，即218k ≠，故2212122248728,8181k k x x x x k k ++==--，因为点N 关于x 轴的对称点为P ，所以()22,P x y -，则直线PM 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，根据对称性可知，直线PM 经过的定点必在x 轴上，令0y =，得121212111212x x y x x yx y x y y y y -+=-+=++()()()()()()22221212121221212272848233323818148336681k k k k k x x x k x kx x k x x k k k k x k x k x x kk k k +--+--+--===-+-+---.当0k ≠且218k ≠时，()22222222227284823144161448818148348486681k k k k k k x k k k k +⨯-⨯+---===----，所以直线PM 过定点8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；当0k =时，显然直线PM 过定点8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上，直线PM 过定点8,03⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于通过作图动态观察，先要发现经过的定点应具备的特征，如本题中结合对称性判断定点在x 轴上，然后明确方向，证明定点横坐标为常数即得.19.已知函数()44ln 8f x x x =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数()()4ln g x f x x =-的图象在点()(),t g t 处的切线为l ，求l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值；（3）设()f x 的零点为12,x x ，比较12x x +与2的大小，并说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递增；()f x 在()1,+∞上单调递减.（2）64100025（3）122x x +<，理由见解析【解析】【分析】（1）按照求单调区间的步骤求解即可；（2）求导后将切线方程用t 表示出来，坐标轴上的截距也用t 表示，面积看作t 的一个函数，后用导数知识来求最值即可；（3）构造函数()()()2h x f x f x =--，利用导数与换元法研究()h t 函数的单调性，再用复合函数单调性得到()h x 的单调性，从而得解.【小问1详解】()f x 的定义域()0,∞+，()()()4234141(1)(1)44x x x x f x x x x x'---++-=-+==，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<在()1,+∞上单调递减.【小问2详解】()()438(0),4g x x x g x x =>'-+=-.切线l 的方程为()4384(0)y t tx t t +-=-->.令0x =，得4380y t =+>；令0y =，得433804t x t+=>.所以l 与坐标轴围成的三角形面积()()2444333813838248t t S t tt++=⨯+⨯=，()()444338588t t S t +-='.当t ⎛∈ ⎝时，0,S S '<单调递减；当t ⎫∈+∞⎪⎭时，0,S S '>单调递增.故当ι=时，S 取得最小值，且最小值为25.【小问3详解】不妨设12x x <，由（1）可知1201x x <<<，则121x ->.令()()()2h x f x f x =--，则()33444(2)42h x x x x x=--+--'()()33224484(2)48(2)222x x x x x x x x x x⎛⎫⎡⎤=-+-+=---+- ⎪⎣⎦--⎝⎭()()2883642x x x x =-+--.当()0,1x ∈时，设()()20,1t x x =-∈，则()()()288()836424(2)3222h x x x x x x x x x '=-+-=---+--，换元写成8()2432h t t t'=--+，()0,1t ∈，当10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h t h t '<单调递减；当1,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h t h t '>单调递增.因为()2t x x =-在()0,1上是增函数，所以()h x 在()0,1上先减后增.因为()41114ln 884ln842ln80888f ⎛⎫⎛⎫=-++<-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11,18x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()()224441151151111124ln 24ln 4ln15888888h -⨯+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭124ln15<-+()4ln1530=-<.又因为()10h =，所以()10h x <，即()()()1122f x f x f x -<=，所以122x x ->，即122x x +<.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2，利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3，适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4，构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将答题卡交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.曲线在原点处的切线斜率为（ ）A. B.0C. D.12.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）相关系数 相关系数 相关系数 相关系数A. B.C. D.3.已知事件，相互独立，且，，那么（ ）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.754.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.45.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ）A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86sin y x =1-cos11r 2r 3r 4r 24310r r r r <<<<24130r r r r <<<<42130r r r r <<<<42310r r r r <<<<A B ()0.3P A =()0.4P B =(|)P A B =(1,0,2)a =r (2,1,2)b =--r (0,1,)c λ=r a r b r c rλ=AI AI A B C A B C A B C 0.40.40.26.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则（ ）A.0B. C. D.7.若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。