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习题三 3.1计算积分2Cz dz ⎰，其中C 是：（1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。
解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t tit =+=+≤≤()2dz i dt =+于是()()()2221222113Ci i d z d t i z t +++==⎰（2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z tt =≤≤，2C 参数方程为()201z itt =+≤≤()()122212222122113CC C z dz z dz z dz t dt id it i t +=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z itt =≤≤，2C 参数方程为()02z t it =+≤≤()()()12212222212113CC C z dz z dz z dz it idt dt t i i +=+++==⎰⎰⎰⎰⎰ 3.2设C 是,i z e θθ=是从π-到π的一周，计算： （1）()Re Cz dz ⎰；（2）()Im Cz dz ⎰；（3）Czdz ⎰解：cos sin i z e i θθθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+（1）()()Re cos sin cos Cz dz i d i ππθθθθπ-=-+=⎰⎰；（2）()()Im sin sin cos Cz dz i d ππθθθθπ-=-+=-⎰⎰；（3）()()cos sin sin cos 2Czdz i i d i ππθθθθθπ-=--+=⎰⎰3.3计算积分Cz zdz ⎰，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭曲线。
解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=；2C 表示为()cos sin 0z x iy i θθθπ=+=+≤≤，()sin cos dz i d θθθ=-+，()()1211cos sin sin cos CC C z zdz z zdz z zdzx xdx i i d iπθθθθθπ-=+=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰3.5沿下列指定曲线的正向计算积分()21C dzz z +⎰ 的值：（1）1:2C z =；（2）3:2C z =；（3）1:2C z i +=；（4）3:2C z i -=。
第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。
2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。
3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。
柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。
解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。
积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。
第三章习题详解1・沿下列路线计算积分J；' z2dz o1）自原点至3 + i的直线段；解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0<r<l dz =（3 + i）dt2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0</<1 dz = dt3 1=-33 «3连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O<Z<1 dz = idt J J z2dz = £(3 + it)2 idt = -(34-17)3=-(3 + i)3彳" 3 n 3・・・ f z2dz = £t2dt 4- £(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)33)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。
解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0</<1 dz = idtJ：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dtr*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。
解：•/ j = x x2 + iy = x2 + ix ••• dz = (1 + i)dx・・・『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +•/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dxf 衣=［（3+03&二（3+讥♦3+i0=(3 + 厅0 d^ed Z=[\2dt=护而（W 宙討…T + 一 11.1.11 5. i = 1—i3 3 2 26 6/(z) =1 _ 1 z 2+2z + 4~ (z + 2)2在c 内解析，根据柯西一古萨定理,$匹J z 2 + 2z + 4/. £1+，(x 2+ iy)dz = (1 + /)£ * (1 + ilx)dx = (14-彳+ 设/(z)在单连通域〃内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
第三章习题详解1．沿下列路线计算积分。
⎰+idz z 3021)自原点至的直线段；i +3解：连接自原点至的直线段的参数方程为： i +3()t i z +=310≤≤t ()dti dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2)自原点沿实轴至，再由铅直向上至；33i +3解：连接自原点沿实轴至的参数方程为： 3t z =10≤≤t dtdz =33033230233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z 连接自铅直向上至的参数方程为： 3i +3it z +=310≤≤t idtdz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+3)自原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至。
i i i +3解：连接自原点沿虚轴至的参数方程为： i it z =10≤≤t idtdz =()()313102023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自沿水平方向向右至的参数方程为： i i +3i t z +=10≤≤t dtdz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z i iii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++2．分别沿与算出积分的值。
x y =2x y =()⎰++i dz iy x102解： x y = ix x iy x +=+∴22()dxi dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴()dxx i dz 21+=∴ ()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()ii i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3．设在单连通域内处处解析，为内任何一条正向简单闭曲线。
问，()z f B C B ()[]0=⎰Cdz z f Re 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
()[]0=⎰Cdz z f Im 解：不成立。
例如：，，()z z f =ϑi ez C =。
πϑ<≤0()[]()ii d dz z f Cπϑϑϑπ=+=⎰⎰sin cos cos Re 20()[]()πϑϑϑπ-=+=⎰⎰sin cos sin Im i d dz z f C204．利用在单位圆上的性质，及柯西积分公式说明，其中为正向单位圆周。
z z 1=i dz z Cπ2=⎰C 1=z 解： 011-==z z z ()i f dz z dz z CCππ20201==-=∴⎰⎰5．计算积分的值，其中为正向圆周：⎰Cdz zzC 1)；2=z 解：在上，2=z ϑi e z 2=()[]ii id e d e dz zzi i Cπϑϑπππϑϑ422222202020====⎰⎰⎰-2)4=z 解：在上，4=z ϑi e z 4=()[]ii id e d e dz zzi i Cπϑϑπππϑϑ844444202020====⎰⎰⎰-6．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向的圆周。
C 1=z 1)⎰-Cz dz2解：在内解析，根据柯西—古萨定理，()21-=z z f C 02=-⎰Cz dz 2)⎰++Cz z dz 422解：在内解析，根据柯西—古萨定理，()()2221421+=++=z z z z f C 0422=++⎰Cz z dz3)⎰Cz dz cos 解：在内解析，根据柯西—古萨定理，()z z f cos 1=C 0=⎰Cz dz cos 4)⎰-Cz dz21解：在内解析，在内，()1=z f C 210=z C iif z dz C ππ221221=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰5)⎰Czdzze 解：在内解析，根据柯西—古萨定理，()zze z f =C 0=⎰Czdz ze 6)()⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-C z i z dz22解：在内解析，在内，()()21+=z z f C 20iz =C ()22122222i ii if z i z dz C +=⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰ππ7．沿指定曲线的正向计算下列各积分：1)，：⎰-Czdz z e 2C 12=-z 解：在内，在解析，根据柯西积分公式：2=z C ()ze zf =C 222ie dz z e Czπ=-⎰2)，：⎰-Caz dz22C a a z =-解：在内，在解析，根据柯西积分公式：a z =C ()a z z f +=1C i dz a z a z a z dz CCπ=-+=-⎰⎰222213)，：⎰+Cizdz z e 12C232=-i z 解：在内，在解析，根据柯西积分公式：i z =C ()i z e z f iz +=C ⎰⎰=-+=+CizC izedz i z i z e dz z e π124)，：⎰-Cdz z z3C 2=z 解：不在内，在解析，根据柯西—古萨定理：3=z C ()3-=z zz f C 03=-⎰Cdz z z 5)，：()()⎰--C z z dz1132C 1<=r z 解：在解析，根据柯西—古萨定理：()()()11132--=z z z f C ()()01132=--⎰Cz z dz 6)，：为包围的闭曲线⎰Czdz zcos 3C 0=z 解：在解析，根据柯西—古萨定理：()z z z f cos 3=C 03=⎰Czdz z cos 7)，：()()⎰++Cz z dz 4122C 23=z 解：在内，在解析，根据柯西积分公式：i z =C ()()()412++=z i z z f C ()()⎰++C z z dz 41228)，：⎰Cdz z zsin C 1=z 解：在内，在解析，根据柯西积分公式：0=z C ()z z f sin =C 002==⎰sin sin i dz z zCπ9)，：⎰⎪⎭⎫⎝⎛-Cdz z z22πsin C 2=z 解：在内，在解析，根据高阶导数公式：2π=z C ()z z f sin =C 02222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰πππ'sin sin i dz z zC10)，：⎰C zdz ze 5C 1=z 解：在内，在解析，根据高阶导数公式：0=z C ()ze zf =C ()()!!4204245if i dz ze C z ππ==⎰8．计算下列各题：1)⎰-iizdzeππ32解：()02121263232=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---⎰i i ii z iize e e dz e ππππππ2)；⎰063izdz ch π解：320313313066i i sh z sh zdz ch i -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰πππ3)；⎰-iizdz ππ2sin解：πππππππππ222412212212sh i i z i dz zzdz iiii ii -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-=---⎰⎰sin cos sin 4)；⎰1zdz z sin 解：[]⎰⎰⎰+-=+-=-=10110111sin cos cos cos cos sin zdz z z z zd zdz z 5)；()⎰--izdz e i z 0解：()()()[]()ii i iziziz i z ie e e i dz ee i z de i z dz e i z -------=--=+--=--=-⎰⎰⎰10006)（沿到的直线段）。
⎰+idz z tgz121cos 1i 解：()12112121112212112tg tg i tg tgi z tg tgz dtgz tgz dz ztgziii--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+⎰⎰cos 9．计算下列积分：1)，（其中：为正向）；⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++C dz i z z 2314C 4=z 解：()i i dz i z dz z dz i z z CCC ππ1434223142314=+=+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎰⎰⎰2)，（其中：为正向）；⎰+Cdz z i122C 61=-z 解：()()()()()()0222222122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+++-=-+=+-==⎰⎰⎰⎰i z i z C C CC i z i i z i i dz i z i z idz i z i z idz i z i z idz z iπ3)，（其中：为正向，：为负向）；⎰+=213C C C dz z zcos 1C 2=z 2C 3=z 解：在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：()3z zz f cos =0213=⎰+=C C C dz zz cos4)，：（其中为以，为顶点的正向菱形）；⎰-Ci z dz C 1=z C 21±i 56±解：在所给区域内，有一孤立奇点，由柯西积分公式：()i z z f -=1ii z dz Cπ2=-⎰5)，（其中为的任何复数，：为正向）。
()⎰-C zdz a z e 3a 1≠a C 1=z 解：当，在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：a z ≥()()3a z e z f z -=()03=-⎰C zdz a z e 当，在所给区域内解析，根据高阶导数公式：a z ≤()ze zf =()i e e i dz a z e a aC z ππ==-⎰!22310．证明：当为任何不通过原点的简单闭曲线时，。
C 012=⎰Cdz z证明：当所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：；C 012=⎰Cdz z当所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：；C ()00212==⎰'if dz zCπ11．下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？1)⎰=2z dz z z 2)⎰=4z dz z z 解：1）； 2）0222202==⎰⎰-=πϑϑϑϑd ie ee dz z zi i i z 0444204==⎰⎰-=πϑϑϑϑd ie ee dz z z i i i z 由此可见，1）和2）的积分值相等。
