泊松分布的定义及图形特点.pptx

泊松分布的特征
一、泊松分布的概念
泊松分布是一种离散型概率分布，它描述了在固定时间或空间内随机
事件发生的次数。

它的命名来源于法国数学家西蒙·丹尼·泊松。

二、泊松分布的概率密度函数
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!，其中λ表示单位时间或单位空间内随机事件发生的平均次数。

三、泊松分布的期望与方差
泊松分布的期望为λ，方差也为λ。

这意味着在一个固定时间或空间内，随机事件发生的平均次数越多，其变异程度也越大。

四、泊松分布的应用
1. 人口统计学：在人口统计学中，泊松分布可以用来描述某个地区在
某个时间段内出生或死亡人数、疾病发病率等。

2. 金融风险管理：在金融风险管理中，泊松分布可以用来描述市场上
某种风险事件（如股票价格下跌）发生的概率。

3. 工业质量控制：在工业质量控制中，泊松分布可以用来描述某个时
间段内生产线上出现的缺陷数。

4. 交通流量研究：在交通流量研究中，泊松分布可以用来描述某个时
间段内某个路口通过车辆的数量。

五、泊松分布与其他概率分布的关系
1. 当λ趋近于无穷大时，泊松分布逼近于正态分布。

2. 当λ小于1时，泊松分布逼近于几何分布。

六、总结
泊松分布是一种常见的概率分布，在许多领域都有广泛应用。

它的特点是离散型、单峰型、对称型，并且具有平均值等于方差的特性。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数λ来描述随机事件发生次数的概率。

理解泊松分布
泊松分析实例
泊松分布
（Poisson, Simeon-Denis） （1781—1840）法国数学家
定义：设随机变量X的分布率为：
P{X k} k e , k 0, 1, 2, L , 0
k!
则称X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为： X ~ P()
E(X )
k pk
k 0
– 卡方统计量：x = Σ [ ( 观察值 - 期望值 ) ^ 2 / 期 望值 ]
实测频数
理论频数
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
美国枪击案的结论
• 计算得到，卡方统计量等于9.82。查表后得到，置 信水平0.90、自由度7的卡方分布临界值为12.017。 因此，卡方统计量小于临界值，这表明枪击案的观 察值与期望值之间没有显著差异。所以，可以接受 “发生枪击案的概率是稳定的”假设，也就是说，从 统计学上无法得到美国治安正在恶化的结论。
实例1-水果罐头
• 已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果 罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是 多少？
– 假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问 题满足以下三个条件：
（1）顾客购买水果罐头是小概率事件。 （2）购买水果罐头的顾客是独立的，不会互相
影响。 （3）顾客购买水果罐头的概率是稳定的。
实例1-水果罐头
为2。
实例2-美国枪击案
• 去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击 案，造成28人死亡
美国枪击案统计资料
• 资料显示，1982年至2012年，美国共发生 62起（大规模）枪击案。其中，2012年发 生了7起，是次数最多的一年。

X 近似服从 P 3.87 。
例 4.2.2 伦敦飞弹。 二战时伦敦遭到很多次炸弹袭击， 将整个面积分为 N 567 小块，其中发现 k 枚炸弹的小块数为 N k ，总共发现炸弹 537 枚。
k Nk
0 229
1 211
2 93
3 35
4 7
5 1
N pk ,0.9323 226.7 211.4 98.6 31.6 7.1 1.6
验证： k Z , pk 0 ，
pk e
k 0 k 0


k
k!
e
k 0

k
k!
e e 1
************************************************************ 泊松分布与二项分布的关系 考虑二项分布 B n, p ，当 p 很小 n 很大时， B n, p 与P np 非常接近，可相互 近似 若 X ~ B n, p ， Y ~ P np ，
k Nk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 16 17
N p k 3.87 54 211 407 525 508 394 254 140 68 29
57 203 383 525 532 408 273 139 45 27
1 1 设 X 为 1 次观察中到达的粒子数， 则 X ~ B 10094, ， 10094 3.87 2608 2608
Bk n, p
则 P X k P Y k
令 np ，则
Bk 1 n, p

2
3.2 泊松过程的性质
(3)n 1
T1=s1 T2=s2 0 Tn-1 =sn-1 Tn t
PX ( s1 sn1 t ) X ( s1 sn1 ) 0 e
t
PTn t | T1 s1 ,, Tn1 sn1
W1
W2
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。


3.1 泊松过程的定义
(3)当n 1时，
由于P 0） P X(0) 1 0 （ 1 所以C 0，P (t ) te 1
t
d t e P (t ) et P0 (t ) et e t 1 dt t P (t ) (t C )e 1
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t h) Pn (t ) o(h) Pn (t ) Pn1 (t ) h h 当h 0时，Pn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) e t Pn (t ) Pn (t ) e t Pn1 (t ) d t t e Pn (t ) e Pn1 (t ) dt