泊松分布

定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t0}满足下列 条件：[泊松过程的第一种定义方式] 1.N(0)＝0； 2.具有独立增量； 3.P{N(h)=1}＝h+0(h)； 4.P{N(h)2}＝0(h) 则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次)泊 松过程。 例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令X(t)表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数,则{X(t),t0}满足定义3 的条件, 故{X(t), t0}是一个泊松过程. 例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记X(t)为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数,则{X(t),t0}为一泊松过程
k t
e
, k 0 ,1 , 2 ,
(1)k=0，p0(t+h)＝P{N(t+h)=0} ＝P{N(t)=0,N(t+h)-N(t)=0} ＝P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=0} ＝p0(t)[1-h+o(h)] 因为
p 0 '(t ) p 0 (t ) 令 h 0 得， p 0 (0) P{N (0) 0} 1
P{N (2) k} (2 2) k!
k
e
4
则
P{N (2) 0} P{N (2) 1} P{N (2) 2} P{N (2) 3}
e
4
4e
4

4
2
e
4

4
3
e
4

71 3
e
4
2!
3!
即Poisson过程是满足 增量独立性 增量平稳性 增量普通性 的计数过程.
k
e
(t s )
, k 0 ,1, 2 ,
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
第8章 泊松过程
1、泊松分布的定义 2、泊松分布的性质 3、非齐次泊松过程 4、复合泊松分布
泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程, 它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位,
它们都属于所谓的独立增量过程. 一、 独立增量过程(independent increment process) 给定二阶矩过程 { X(t),t≥0 } 我们称随机变量
2.泊松计数过程过程 : {N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2) N(0)=0; (3) 对于充分小的 其中常数 λ>0 ,称为过程N(t)的强度. (亦即在充分小 的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长 度成正比)
定理泊松过程的定义2与定义3是等价的。 证明23：条件a)与1)相同。条件b)可由2)和 3)直接得到。 P{N(h)=1}＝P{N(h)-N(0)=1}＝ ＝h[1-h+o(h)]＝h+o(h) 即c)。
P { N ( h ) 2}
2

k 2

( h ) k!
k
e
h

k 0

( te )
iu
k
e
t
k!
e
te
iu
eBaidu Nhomakorabea
t
e
t (e
iu
3 协方差函数和相关函数
协方差函数 相关函数 B(s,t)＝min(s,t)， R(s,t)＝min(s,t)＋2st。
证明R(s,t)＝E[X(s) X(t)] ＝E{X(s)[X(t)- X(s)+ X(s)]} s<t ＝E[X(s)]E[X(t)- X(s)]+E[X 2(s)] ＝s· (t-s)+s+(s)2＝s+2st B(s,t)＝R(s,t)-m(s)m(t)＝s+2st-st＝s
k
e
(ts)
, k 0 ,1 , 2 , 。
得出3)。■
由 此 可 见 ， 增 量 N ( 0 , t )的 概 率 分 布 是 参 数 为 ( t ) 的 泊 松 分 布 ， 且 只 与 时 间 差 t有 关 ， 所 以 强 度 为 的 泊松过程是一齐次的独立增量过程。
例： 设病人以每分钟2人的速率到达某诊所,病人流 为泊松流,求在2分钟内到达的病人不超过3人的概率? 解：设{N(t) , t≥0}是病人到达数的泊松过程， λ = 2 ，故
k=1时,
p 1 ' (t ) p 1 (t ) e t p 1 (0) 0 解得：p1(t)＝te-t，所以k=1时结论成立。
假设k-1时结论成立，
解
p k 1 (t )
( t )
k 1
( k 1 )!
e
t
。
p k ' (t ) p k (t ) p k 1 (t ) , p k (0) 0
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对
任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程. 直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态 的增量是相互独立的”这一特征.
一般地，B(s,t)＝min(s,t)，
R(s,t)＝min(s,t)＋2st。
定理1：设{N(t) ,t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程. 若计数过程N(t)在(t,t+s]内(s>0),事件A发生的次数N(t+s)N(t)仅与时间差s有关,而与t无关,则计数过程N(t)是平稳独 立增量过程.
得
p k (t )
( t ) k!
k
e
t
。
结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2,…，结论成立。 ( t ) 得证 P[N (t ) k ] e , k 0 ,1 , 2 , 。
k t
k!
再由平稳独立增量性质，对一切0s<t,
P[N (t ) N (s ) k ] P[N (t s ) k ] [ ( t s )] k!
平稳性：在时间区间[t, t+t)内到达k个的概率与t无关，只与t 有关。记为pk(t）。 无后效性：不相交的时间区间内到达数互相独立。 普通性：在足够短的时间内到达多于一个的概率可以忽略； 有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。
2 泊松过程的基本性质
1.对任意t>0,N(t)～ (t),P{N(t)=k} 由泊松分布知
计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到 某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛 的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
p
j 0
j
(t)p
kj
(h)
＝pk(t)[1-h+o(h)]+pk-1(t)[h+o(h)]+o(h)，
p k (t h ) p k (t ) h p k (t ) p k 1 (t ) o (h ) h ,
p k ' (t ) p k (t ) p k 1 (t ) 令 h 0 得， , ( k 0 ,1 , 2 , ) p k (0) P{N (0) k } 0
解得：p0(t)＝e-t。
(2)k1 pk(t+h)＝P{N(t+h)=k}


j 0
k
k
P{N(t) j , N(t h) N(t) k j}


j 0
k
P{N(t) j } P { N(h) k j}
k2

p
j 0
j
(t)p
kj
(h) p k (t)p 0 (h) p k 1 (t)p 1 (h)
1、 泊松过程举例 （Poisson process ） 现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述, 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画. 泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程 理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所 接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生 的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机 事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间 上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系. 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.
特别地,令t0 =0,由于假设N(0)=0,故可推知
泊松过程的均值函数和方差函数分别为
,即泊松过程的强度 λ (常数)等于
单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.
2 泊松分布的一维特征函数
(u ) E [e
iu N ( t )
]

k 0

e
iu k
( t ) k!
k
e
t

1 )
即d)。
( h ) o ( h ) [1 h o ( h )] o ( h ) 2!
32：条件1)与a)相同。条件2)由b)直接得到。只要证
明：N(t)(t0)服从参数为t泊松分布。
设pk(t)＝P{N(t)=k}，利用归纳法证明：
p k (t ) ( t ) k!
(4) 对于充分小的
在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强 度为 λ 的泊松流.
定义2 如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足： 1.N(0)＝0； 2.具有独立增量； 3.对任意0s<t,N(t)-N(s)服从参数为(t-s)泊松分布，
P { N (t) - N (s ) k } [ ( t s )] k!
对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下, 它的有限维分布函数可以由增量 X(t) – X(s) (0≤s<t) 的分布所确定. 特别,若对任意的实数h和0 ≤s+h<t+h,X(t+h) X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有
平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖 于时间差t-s(0≤s<t),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上, 令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的. 在X(0)=0和方差函数为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图
电话呼叫模型
N(t) 第三个信号到达 … … … … 第二个信号到达 第一个信号到达
0
t S1 S2 S3 S4 S5 S6
将增量 它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
为一随机过程, 1.计数过程:设 如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时, N(s) ≤N(t),则称 X T {N (t ), t T [0, )} 为计数过程(counting process). 若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到 电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程. 对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数 过程名称的由来.对 0≤s<t,N(t)-N(s)就表示在(s,t]中 发生的电话呼叫次数.