泊松分布ppt课件

定义3 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t0}满足下列 条件：[泊松过程的第一种定义方式] 1.N(0)＝0； 2.具有独立增量； 3.P{N(h)=1}＝h+0(h)； 4.P{N(h)2}＝0(h) 则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次)泊 松过程。
例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令X(t)表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数,则{X(t),t0}满足定义3 的条件, 故{X(t), t0}是一个泊松过程.
定义1 称随机过程{N(t),t0}为计数过程,若N(t)表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件: (1) N(t)0 (2)N(t)取正整数; (3)若s<t,则N(s)<N(t); (4)当s<t,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数.
若t1<t2t3<t4,则在(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1) 与在(t3,t4]内时间A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,此时 计数过程N(t)是独立增量过程.
第8章 泊松过程
1、泊松分布的定义 2、泊松分布的性质 3、非齐次泊松过程 4、复合泊松分布
泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程, 它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位, 它们都属于所谓的独立增量过程.
一、 独立增量过程(independent increment process) 给定二阶矩过程 { X(t),t≥0 } 我们称随机变量
P{N(t) - N(s) k} [(t s)]k e(ts) , k 0,1, 2,L
k!
则称{N(t),t0}为参数(或平均率、强度)为的(齐次) 泊松过程。[泊松过程的第二种定义方式]
注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= t. 由于, =E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称为此过程的速率或强度
对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下, 它的有限维分布函数可以由增量 X(t) – X(s) (0≤s<t)
的分布所确定.
特别,若对任意的实数h和0 ≤s+h<t+h,X(t+h) X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有
平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖 于时间差t-s(0≤s<t),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上, 令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的.
1.计数过程:设
为一随机过程,
如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时,
N(s) ≤N(t),则称 XT {N(t),t T [0,)} 为计数过程(counting process).
若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到
电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程.
例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记X(t)为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数,则{X(t),t0}为一泊松过程
X(t)-X(s),0≤s<t 为随机过程在 (s , t] 的增量.如果对 任意选定的正整数n和任意选定的0≤t0<t1<t2<…<tn, n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), …,X(tn)-X(tn-1)相互 独立,则称 {X(t),t≥0}为独立增量过程.
直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态 的增量是相互独立的”这一特征.
若计数过程N(t)在(t,t+s]内(s>0),事件A发生的次数N(Hale Waihona Puke Baidu+s)N(t)仅与时间差s有关,而与t无关,则计数过程N(t)是平稳独 立增量过程.
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图
电话呼叫模型
N(t) 第三个信号到达 … … … …
在X(0)=0和方差函数为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:
1、 泊松过程举例 （Poisson process ）
现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述, 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画. 泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程 理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所 接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生 的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机 事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间 上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系. 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.
对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数 过程名称的由来.对 0≤s<t,N(t)-N(s)就表示在(s,t]中 发生的电话呼叫次数.
计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到 某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛 的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种
第二个信号到达
第一个信号到达
0
S1 S2
S3
S4
t
S5
S6
将增量
它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
2.泊松计数过程过程 : {N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;
(2) N(0)=0;
(3) 对于充分小的
其中常数 λ>0 ,称为过程N(t)的强度. (亦即在充分小 的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长 度成正比)
(4) 对于充分小的
在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强 度为 λ 的泊松流.
定义2 如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足： 1.N(0)＝0； 2.具有独立增量； 3.对任意0s<t,N(t)-N(s)服从参数为(t-s)泊松分布，