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2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编-圆锥曲线

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2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空、选择题1、（宝山区2017届高三上学期期末）椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为2、（崇明县2017届高三第一次模拟）抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 ．3、（虹口区2017届高三一模）点(20,40)M ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，PM PF +的最小值为41，则p 的值等于 ．4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在直角坐标平面内，点,A B 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，则满足tan tan PAB PBA ∠⋅∠=(m m 为非零常数）的点P 的轨迹方程是（ ）A ．221(0)y x y m -=≠ B ．221y x m -= C ．221(0)y x y m +=≠D ．221y x m+= 5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为 【 】A ．12-；B ．31-；C ．1；D ．2．6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）已知,x y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的取值范围是____________．7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于两点A B 、，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积的最小值为____________．x3 2-42y 23-4-228、（普陀区2017届高三上学期质量调研）设∈k R ，若1222=--k x k y 表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 .9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A B 、两点，且43AB =，则该双曲线的实轴长等于 ．10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，12(4,0),(4,0)F F -，则12||||PF PF +的最大值= ▲ ．11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为____________．12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为_________．13、（奉贤区2017届高三上学期期末）若抛物线px y 22=的焦点与椭圆1522=+y x 的右焦点重合，则p =____________.14、（金山区2017届高三上学期期末）点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是二、解答题1、（宝山区2017届高三上学期期末）已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；2、（崇明县2017届高三第一次模拟） 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅ 的值．3、（虹口区2017届高三一模）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ．（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；（3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出12k k +的取值范围．4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知双曲线C 以12(2,0)(2,0)F F -、为焦点，且过点(7 12)P ，．（1）求双曲线C 与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点，且OA OB ⊥(O 为坐标原点)．求直线l 的方程．5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）设双曲线C ：22123x y -=， 12,F F 为其左右两个焦点．(1) 设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求M F OM 1⋅的取值范围；(2) 若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，求动点P 的轨迹方程．6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为25．点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点． （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的一条直线交椭圆于P Q 、两点，若12PF F ∆的周长为442+，且长轴长与短轴长之比为2:1. （1）求椭圆C 的方程；（2）若12F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程.8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，x PQ ⊥轴，垂足为Q ,且621=F F ，935arccos 21=∠F PF ，△21F PF 的面积为23. （1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求MQ 的最大值, 并求出MQ 取得最大值时M 的坐标.9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图，12,F F 分别是椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，且焦距为22，动弦AB 平行于x 轴，且114F A F B +=． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值．10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点． （1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(, 0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）如图：双曲线Γ：2213x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ．（1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上．．．是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？若存在， 求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A B 、，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++=（其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）如图所示，椭圆C ：2214x y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ⫽2l ． （1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值．13、（奉贤区2017届高三上学期期末）过双曲线1422=-y x 的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当()2,0x P ，求直线l 的方程； （3）求证：OA OB ⋅是一个定值．参考答案：一、填空、选择题1、解析：消去参数θ得：2212516x y +=，所以，c ＝2516-＝3，所以，焦距为2c ＝6。

2、343、42或224、C5、B6、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7、88、【解析】若1222=--k x k y 表示焦点在y 轴上的双曲线，可得，可得k ＞2，半焦距c==．则半焦距的取值范围是：（，+∞）．故答案为：（，+∞）． 9、4 10、10 11、92 12、221641y x -= 13、4 14、55二、解答题 1、2、解：（1）设2,F M 的坐标分别为220(1,0),(1,)b b y ++因为点M 在双曲线上，所以220211y b b+-=，所以22||MF b =...........2分12Rt MF F 中，因为1230MF F ∠=︒，所以21||2MF b =，...........5分由双曲线定义，得：211||||2MF MF b -==...........5分所以双曲线的方程为：2212y x -=...........6分 （2）由（1）知，双曲线的两条渐近线分别为12:20,:20l x y l x y -=+=.......8分 设11(,)P x y ，则P 到两条渐近线的距离分别为111|2|||3x y PP -=，112|2|||3x y PP +=.......10分设两条渐近线的夹角为θ，则两个向量夹角也为θ，其中1cos 3θ=..........12分 又点P 在双曲线2212y x -=上，所以221122x y -=所以12122||||cos 9PP PP PP PP θ⋅=⋅= ..................................14分 3、解：（1）2a = ，又1c =，∴223b a c =-=，∴椭圆方程为22143x y +=…4分 （2）直线:1l y x =-+，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得27880x x --=，有1287x x +=，1287x x ⋅=-．………………7分 12121212121212121233222()4144444()162y y x x x x x x k k x x x x x x x x ------+++⋅=⋅=⋅==-----++………………9分 （3）当直线AB 的斜率不存在时，不妨设3(1,)2A ，3(1,)2B -， 则13312412k -==-，13332412k +==-，故122k k +=．…………11分 当直线AB 的斜率存在时，设其为k ，则直线AB ：(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222(43)8(412)0k x k x k +-+-=，有2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+．………………13分 12121212121212121233332(53)()8(3)44444()16y y kx k kx k kx x k x x k k k x x x x x x x x -------+++++=+=+=-----++222222222241282(53)8(3)72(1)43432412836(1)4164343k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅+++++===-+-⋅+++……………16分4、解：（1）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，半焦距为c ，则2c =，2222122|||||||912512|2a PF PF =-=+-+=，1a =， ……………2分 所以2223b c a =-=，故双曲线C 的方程为2213y x -=． ……………………………4分 双曲线C 的渐近线方程为3y x =±． ……………………………6分（2）设直线l 的方程为y x t =+，将其代入方程2213y x -=，可得222230x tx t ---= （*） ……………………………8分22248(3)12240t t t ∆=++=+>， 若设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程（*）的两个根，所以212123,2t x x t x x ++==-，又由OA OB ⊥，可知12120x x y y +=， ……………………………11分即1212()()0x x x t x t +++=， 可得212122()0x x t x x t +++=， 故222(3)0t t t -++=+，解得3t =±，所以直线l 方程为3y x =±． …………………………14分 5、（1）设(),M x y ，2x ≥，左焦点1(5,0)F -，1(,)(5,)OM FM x y x y ⋅=⋅+222235532x x x y x x =++=++-……………………………4分 25532x x =+- （2x ≥）对称轴525x =-≤ )1210,OM F M ⎡⋅∈++∞⎣……………………………3分（2）由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆22221x y a b+=，1225F F =，122PF PF a +=2221212121212204220cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--⋅-∠==⋅⋅21242012a PF PF -=-⋅……………………………4分由基本不等式得121222a PF PF PF PF =+≥⋅， 当且仅当12PF PF =时等号成立212PF PF a ⋅≤221224201cos 1929a F PF a a -⇒∠≥-=-⇒=，24b = 所求动点P 的轨迹方程为22194x y +=……………………………3分 6、[解]（1）设双曲线Γ的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，双曲线的焦距为2c ；………2分依题意可得()1,0A -，()1,0B ，1,5a c ==；222514b c a ∴=-=-=∴双曲线Γ的方程为2214y x -= …………………………4分 (2) 由题意可知，直线,,AP BP OM 的斜率皆存在，且不为零． 设点()11,P x y 、()22,Q x y ，直线AP 的方程为()1y k x =+ （02k <<）联立方程组()22114y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 整理，得()22224240k x k x k +++-=， ………6分 解得，1x =-或2244k x k -=+，22244k x k -∴=+，得22248,44k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，2224,44k kM k k⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ………8分 因为02k <<， 24444M k y k k k==++在()0,2上是增函数，所以()0,1M y ∈………10分 （或者244414442M k y k k k k k==≤=++⋅，当且仅当2k =时取等号，所以()0,1M y ∈）（3）方法一：由题（2）知直线OM 的方程为:4y x k=-………………12分 同理，解方程组()22114y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，可得21244k x k +=-， 得点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭直线BP 的斜率1141BP y k x k==- 直线BP 的方程为:()41y x k=-， …………………………14分 联立直线BP 与直线OM 的方程，解得12x =， 因为直线BP 与OM 的斜率互为相反数，所以直线BP 与OM 关于直线12x =对称． …………………………16分 方法二：由()11,P x y 在双曲线上可得：111411y yx x ⋅=+- 所以4AP BP k k ⋅= …………………………12分 同理4AQ BQ k k ⋅=-，即4AP OM k k ⋅=-, …………………………14分 因此0OM BP k k +=设直线OM :y k x '=，则直线BP :()1y k x '=--,解得12x =因为直线BP 与OM 的斜率互为相反数，所以直线BP 与OM 关于直线12x =对称． …………………………16分 7、解：（1）由条件可知：22442a c +=+，:2:1a b =，∵222a b c =+，解得：22,2,2a b c ===，……………………………4分所以椭圆C 的方程为22184x y +=…………………………6分 （2）设直线2PF 的方程为：()()11222,,,,x ty P x y Q x y =+；因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+，所以OP OQ PQ +=，所以OP OQ ⊥，所以12120x x y y +=…………………………9分()222212440842x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 12122244,22t y y y y t t --+==++……………………………11分 ()()2412121212121x x y y t y y t y y ++=+++解得：212,22t t ==±………………………………………13分 所以直线PQ 的方程为2220x y ±-=…………………………………14分8、【解】（1）在△21F PF 中，由935arccos21=∠F PF 得935cos 21=∠F PF 96sin 21=∠F PF 因为△21F PF 的面积为23，621=F F ,所以23sin 2121121=∠⋅⋅F PF PF F F . 解得331=PF ……2分在△21F PF 中，由余弦定理得，212112212122c o s 2F PF F F PF F F PF PF ∠⋅⋅-+=，所以322=PF ,故32=PF ，于是34221=+=PF PF a ,故32=a ……4分，由于3=c ，所以3=b ,故椭圆Γ的方程为131222=+y x （2）设()00,y x P ，根据题意可知2321021=⋅⋅y F F ，故20±=y ,由于00>y ,所以20=y ……7分，将20=y 代入椭圆方程得，1321220=+x ，解得20±=x ，由于00>x ，所以20=x ，故Q 的坐标为()0,2……8分 令()y x M ,，则131222=+y x ,所以4322x y -=()2222y x MQ +-=74432+-=x x 3538432+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x ，其中3232≤≤-x ……11分，所以当32-=x 时，2MQ 的最大值为3816+，故MQ 的最大值为()132+…13分，此时点M 的坐标为()0,32-. 9、解：因为焦距22，所以2222c c =⇒=，由椭圆的对称性及已知得12F A F B =，又因为114F A F B +=，所以124F B F B +=，因此24,2a a ==， 于是2b =，因此椭圆方程为22142x y +=； （2）设0011(,),(,)B x y P x y ，则00(,)A x y -直线PA 的方程为101110()y y y y x x x x --=-+，令0x =得100110x y x yy x x +=+，故100110(0,)x y x y M x x ++；直线PB 的方程为101110()y y y y x x x x --=--，令0x =得100110x y x yy x x -=-，故100110(0,)x y x y N x x --；所以10011001121010,2()2()x y x y x y x y k k x x x x +-=-=-+-，因此2222100112221012)x y x y k k x x -⋅=⋅-； 因为,A B 在椭圆C 上，所以222201102,2,22x x y y =-=- 所以2222100112221011(2)(2)12212x x x x k k x x ---⋅=⋅=- 10、解：（1）由题意得 224913a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………2分解得 2213a b ⎧=⎨=⎩ ……………3分∴双曲线C 的方程为221.3y x -=……………4分 （2）证明：设A 点坐标为00(,)A x y ，则由对称性知B 点坐标为00(,)B x y --…………5分设(,)P x y ，则2200022000PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-……………7分 2200221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得2222003()y y x x -=- ……………8分 所以22223PA PB y y k k x x -⋅==-……………10分 （3）当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2222=++--k x k x k ，∴2300k ⎧-≠⎨∆>⎩ 得 23k ≠ 且2122212243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪⋅=⎪-⎩……………12分 设11(,)A x y 、22(,)Bx y ∵1212()()MA MB x m x m y y ⋅=--+212122222121222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433x m x m k x x k x x k m x x m kk k k k m m kk k =--+--=+-+++++++=-++--2223(45)3m k m k -+=+- ……………………14分 假设存在实数m ，使得0MA MB ⋅=，故得2223(1)(45)0m k m m -+--=对任意的23k ≠恒成立，∴2210450m m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得 1.m =-∴当1m =-时，0MP MQ ⋅=.当直线l 的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)P Q -及(1,0)M -知结论也成立综上，存在1m =-，使得0MA MB ⋅=. …………………………………16分11、解：（1）易得1(2,0)F -，2(2,0)F ，Γ的渐近线方程为33y x =±，由对称性， 不妨设3:(2)3l y x =-,即320x y --=，------------------2分 所以，1(2,0)F -到l 的距离|22|213d --==+.-----------------------------4分（2）当直线l 的斜率为1时，l 的方程为2y x =-，------------------------5分 因此，(0,2)Q -， -----------------------------6分又1(2,0)F -，故1(2,2)FQ =-， 设Γ右支上的点P 的坐标为(,),(0)x y x >，则1(2,)F P x y =+ ， 由110F P FQ ⋅=，得2(2)20x y +-=，-----------------------8分又2213x y -=，联立消去y 得2212150x x ++=，由根与系数的关系知，此方程无正根，因此，在双曲线Γ的右支上不存在点P ，满足110F P FQ ⋅=. --------------------10分 （3）设1122(,),(,) A x y B x y ，则1212(,)44x x y y M ----， ----------------11分 由M 点在曲线上，故212212()4()134x x y y -----=(*)设:(2) l y k x =-联立l 与Γ的方程，得2222(13)121230k x k x k -+--=---------------------------12分 由于l 与Γ交于不同两点，所以，33k ≠±. 所以，21221213k x x k-+=-， 因此，12121224(2)(2)()413ky y k x k x k x x k k -+=-+-=+-=-. ------------14分从而(*)即为22222124()3()481313k k k k ---=--， 解得22k =±. 即直线l 的方程为220x y ±-= . -------------------------------------------16分12、证明：（1）设11()A x y ,，22()B x y ,， 根据对称性，有11()C x y --,因为11()A x y ,，22()B x y ,都在椭圆C 上所以221114x y +=，222214x y += （2分） 二式相减，2222121204x x y y -+-=所以22212121122221212114y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-为定值（4分） xyDCBF 2F 1OA（2）（Ⅰ）当1l 的倾角为0︒时，1l 与2l 重合，舍（6分）（Ⅱ）当1l 的倾角不为0︒时，由对称性得四边形ABCD 为平行四边形1(30)F -, 设直线1l 的方程为3x my =-代入2214x y +=，得22(4)2310m y my +--= （8分） 显然0∆>，122234m y y m +=+，12214y y m -⋅=+ 所以221222221323113||()4232244(4)OABm m S y y m m m -+=⋅⋅-=⋅-⋅=⋅+++△ （10分） 设21m t +=，所以21m t =-，(1)t ∈+∞,，所以22221119(4)69126m t m t t t t+==+++++≤（12分） 当且仅当9t t=即2m =±时等号成立。

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2016年_2017年学年广东14市高三年级数学(理]期末考试试题分类汇编_圆锥曲线(有答案解析](上学期]

2016年_2017年学年广东14市高三年级数学(理]期末考试试题分类汇编_圆锥曲线(有答案解析](上学期]

广东省14市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（潮州市2016届高三上期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点恰为抛物线28y x =的焦点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为A 、2213y x -= B 、221412x y -= C 、2213x y -= D 、221124x y -=2、（东莞市2016届高三上期末）已知圆22()4x m y -+=上存在两点关于直线20x y --=对称，的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（A ）1 （B ） （C ） （D ）43、（佛山市2016届高三教学质量检测（一））已知1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点P ，使得︒=∠9021PF F ，且满足12212F PF F PF ∠=∠，那么双曲线的离心率为（ ）A ．13+B ．2C ．3D ．254、（广州市2016届高三1月模拟考试）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r，则此双曲线的离心率为（A （B （C ）2 （D 5、（惠州市2016届高三第三次调研考试）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线2y x=无交点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．D ．6、（揭阳市2016届高三上期末）如果双曲线经过点p ，且它的一条渐近线方程为y x =，那么该双曲线的方程式（A ）22312y x -= （B ） 22122x y -= （C ）22136x y -= （D ）22122y x -=7、（茂名市2016届高三第一次高考模拟考试）设双曲线2214y x -=上的点P 到点的距离为6，则P 点到(0,的距离是（ ）A ．2或10 B.10 C.2 D.4或88、（清远市2016届高三上期末）已知双曲线C ：2221x my +=的两条渐近线互相垂直，则抛物线E ：2y mx =的焦点坐标是（ ） A 、（0,1） B 、（0，－1） C 、（0，12） D 、（0，－12） 9、（东莞市2016届高三上期末）已知直线l 过抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点F 且与x 轴垂直，l 与E 所围成的封闭图形的面积为24，若点P 为抛物线E 上任意一点，A （4,1），则｜PA ｜＋｜PF ｜的最小值为（A ）6 （B ）4＋ （C ）7 （D ）4＋10、（汕尾市2016届高三上期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为，点 A 在其右半支上， 若12AF AF ＝0， 若，则该双曲线的离心率e 的取值范围为) B.（ C. D. ）11、（韶关市2016届高三1月调研）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的（ ） A ．焦距相等 B ． 离心率相等 C ．焦点相同 D ．顶点相同12、（珠海市2016届高三上期末）点00()P x y ，为双曲线22:149x y C -=上一点,12B B 、为C 的虚轴顶点，128PB PB ⋅<uuu r uuu r，则0x 的范围是( )A ．(2][2-UB ．(2)(2-UC ．(2][2--UD ．(2)(2--U13、（湛江市2016年普通高考测试（一））等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，｜AB ｜＝C 的实轴长为：CA B 、 C 、4 D 、814、（潮州市2016届高三上期末）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)x y +-＝1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是A 、（1,2）B 、［2，＋∞）C 、D 、B 、∞）选择题答案：1、A2、D3、A4、C5、D6、B7、A8、D9、C 10、A 11、A 12、C 13、 14、A 二、解答题1、（潮州市2016届高三上期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶点与右焦点的距离为－1，短轴长为。

2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线

2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线

2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线是考查的重点之一。

圆锥曲线作为高中数学的重要内容，深受学生们的关注和重视。

本文将从以下几个方面对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线进行分析和总结，帮助学生更好地复习和备考。

一、考查的内容2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线主要考查了椭圆、双曲线和抛物线的相关知识。

涉及的知识点包括曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

考题以解析几何的形式出现，要求考生运用所学知识解题，考察学生对圆锥曲线的理解和掌握程度。

二、难度分析2017年的圆锥曲线考题整体难度适中，但从解题的角度来看，难度考查了学生对圆锥曲线的深入理解和灵活运用能力。

其中，部分考题对于几何图形的分析和推理要求较高，考生需要具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

三、备考建议针对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的考试情况，学生在备考过程中要重点掌握圆锥曲线的相关知识，包括各种曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

在解题方法上，要加强对几何分析和推理的训练，提高解题技巧和应试能力。

也要多做历年真题和模拟题，针对性地进行复习和练习，加深对知识点的理解和掌握。

四、复习方法在复习过程中，建议学生通过系统学习教科书相关章节，掌握圆锥曲线的基本概念和性质。

可以借助辅导书、习题集等辅助资料进行强化训练，加深对知识点的理解。

多做真题和模拟题，及时总结和归纳解题思路和方法，在实践中提高解题能力。

积极参加学校的数学学科活动和竞赛，加强学习氛围，激发学习兴趣。

五、总结2017年的全国1卷理科数学考试中的圆锥曲线部分，考查的内容主要围绕椭圆、双曲线和抛物线展开，难度适中，但要求学生在解题过程中具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

备考时，学生要重点掌握相关知识，加强几何分析和推理的训练，多做真题和模拟题，提高解题能力。

通过科学的复习方法和策略，相信学生们一定能够取得理想的成绩。

以上是对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的分析和总结，希望能够对广大学生在备考中有所帮助。

专题09 圆锥曲线第01期-2016-2017学年高三数学文期末

专题09 圆锥曲线第01期-2016-2017学年高三数学文期末

一．基础题组1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，7】已知ABC ∆的顶点B C 、在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．．．12 【答案】B 【解析】试题分析：由椭圆的定义可知，则ABC ∆的周长是4a = B. 考点：椭圆的定义.2. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，5】已知双曲线221259x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线左支上有一点M 到右焦点2F 距离为18，N 为2MF 的中点，O 为坐标原点，则NO 等于（ ） A ．23B ．1C ．2D ．4【答案】D考点：双曲线的定义、标准方程与几何性质.3. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，4】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若1||1PF =，则2||PF =（ ）A ．3B ．C ．4D ．2【答案】A 【解析】试题分析：1||11PF a c =<+,所以点P 在双曲线的左支上，所以2121213PF PF a =+=+⨯=，故选A.考点：双曲线的定义及几何性质.4. 【河北唐山2017届高三上期期末，4】双曲线221124x y -=的顶点到渐近线的距离为（ ）A ．．3 C.2 D 【答案】D考点：1、双曲线的性质；2、点到直线的距离公式．5. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），6】抛物线216y x =的焦点到双曲线221412x y -=的渐近线的距离是（ ）A ．1B ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，知抛物线的焦点为(4,0)0y ±=，所以抛=D ．考点：1、线与双曲线的几何性质；2、点到直线的距离．6. 【四川2016年普通高考适应性测试，6】已知双曲线22:13y E x -=的左焦点为F ，直线2x =与双曲线E 相交于A ，B 两点，则ABF △的面积为（ ）A.12B.24C.【答案】A 【解析】试题分析：A ，B 两点坐标为(2,3)±，所以ABF △的面积为1(2(2))6122--⨯=，选A.考点：双曲线焦点7. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，4】已知双曲线()222103x y a a -=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则a 为（ ）A ．1 C.2 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得22321a a +=⇒=，选B. 考点：双曲线基本量8. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，4】已知双曲线221927x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，且2F 为抛物线22y px =的焦点.设P 为两曲线的一个公共点，则12PF F △的面积为（ ）A.18 B ． C.36 D ．【答案】D考点：双曲线与抛物线9.【河北衡水中学2017届高三上学期五调，14】已知抛物线2:4C y x =，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为 ． 【答案】0x y -=【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由,A B 在抛物线上，所以2211224,4y x y x ==，两式作差得2212124()y y x x -=-，所以直线AB 的斜率1212124414y y k x x y y -====-+，直线方程为22y x -=- 即0x y -=.考点：直线与抛物线的位置关系.10. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，14】双曲线22142x y -=的离心率e = ．考点：双曲线的标准方程及几何性质 二．能力题组1. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，11】若实数数列：123181a a a --，，，，成等比数列，则圆锥曲线2221y x a +=的离心率是（ ）A ．13或【答案】D 【解析】试题分析：因为123181a a a --，，，，成等比数列，所以2221(81)81,9a a =-⨯-==-（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为2219y x -=，其中1,3,a b c ===离心率为ce a== D. 考点：1.等比数列的性质；2.双曲线的几何性质.【名师点睛】本题考查等比数列的性质、双曲线的几何性质，属中档题；求双曲线的离心率的值或范围的基本思想是建立关于,,a b c 的方程或不等式，根据已知条件和双曲线中,,a b c 的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a c 的等量关系或不等关系，解方程或不等式可得所求离心率的值或范围．解题中要注意椭圆与双曲线中,,a b c 关系的不同． 2. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，9】过抛物线()240y ax a =>的焦点F 作斜率为1-的直线,l l 与离心率为e 的双曲线()222210x y b a b-=>的两条渐近线的交点分别为,B C .若,,B C F x x x 分别表示,,B C F 的横坐标，且2F B C x x x =-，则e =（ ）A ．6 B3 D【答案】D3. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，9】已知抛物线22y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5:4，且2AF >，则A 点到原点的距离为（ ）．AB．．4 D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：设2(,)2y A y ，则215122||2||42y y y +=⇒=或，因为2AF >，所以21222y +>，所以2y =，因此(2,2)A ±，其到原点的距离为 B. 考点：抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．4. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，11】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为23，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 【答案】A考点：双曲线渐近线5. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，8】过抛物线24y x =的焦点且倾斜角为30︒的直线交抛物线于,A B 两点，则AB =（ ） A ．4 B ．8 C.16 D ．32 【答案】C 【解析】试题分析：由22sin p AB α=得2416sin 30AB ==o，选C. 考点：焦点弦【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根6. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，12】已知椭圆22:154x y E +=的一个顶点为()0 2C -，，直线l 与椭圆E 交于 A B ，两点，若E 的左焦点为ABC △的重心，则直线l 的方程为（ ）A ．65140x y --=B ．65140x y -+= C.65140x y ++= D ．65140x y +-= 【答案】B考点：直线与椭圆位置关系7. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，11】已知抛物线28y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =，则△AOB 的面积为（ ）A B C D 【答案】B 【解析】试题分析：383,3A B A B AF FB x x y y =⇒=-=-uu u r uu r，所以2298(83)98,||3B B B B B y x x x y =-=⨯⇒==,因此△AOB 的面积为11(||+||)=2(4|22A B B OF y y y ⨯⨯⨯⨯，选B. 考点：抛物线8. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，12】已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】A9. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，15】在直角坐标系xOy 中，有一定点()1,2M -，若线段OM 的垂直平分线过抛物线()220x py p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是____________．【答案】54y =- 【解析】试题分析：线段OM 的中点为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，2OM k =-，所以线段OM 的垂直平分线方程为11122y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即5202x y -+=，其y 轴的交点为5,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以该抛物线的准线方程是54y =-. 考点：抛物线的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.本题解答的关键是通过求线段OM 的垂直平分线方程，得到其与y 轴的交点即抛物线的焦点坐标，根据标准形式的抛物线特征得到其准线方程.求线段的垂直平分线方程把握好“垂直”和“平分”，垂直得到斜率，平分即垂直平分线过线段中点，据此求出垂直平分线方程.10. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，16】已知P 为双曲线221916x y -=上的动点，点M 是圆22(5)4x y ++=上的动点，点N 是圆22(5)1x y -+=上的动点，则||||PM PN -的最大值是 ． 【答案】911. 【四川2016年普通高考适应性测试，15】如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=.【答案】14 【解析】试题分析：设1122 (x,y) (,) (x ,y )Q T x y S ，，，12 QA QA ，斜率为12,k k ，则,OT OS 斜率为12,k k ，且212253399y y y k k x x x =⋅==-+--，所以22222221111112145(1)59k OT x y x k x k +=+=+=+，同理2222245(1)59k OS k +=+，因此22OS OT +=22222221211111222222121111212545(1)45(1)45(1)45(1)8145(1)812512670+++142559595959595959k k k k k k k k k k k k k k +++++++====+++++++ 考点：解析几何定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.12. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，16】设12F F 、是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +=（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为___________．113. 【河北唐山2017届高三上期期末，15】抛物线 ()2:20M y px p =>与椭圆()2222:10x y N a b a b+=>>有相同的焦点F ， 抛物线M 与椭圆N 交于,A B ，若,,F A B 共线，则椭圆N 的离心率等于 ．1 【解析】试题分析：由题意，知(,0)2p F ，2pc =，即2p c =．由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和x 轴垂直，所以22||||||b AB AF BF a =+=，又由抛物线的定义知||2AB p =，所以224b c a=，即2220c ac a +-=，2210e e +-=，解得1e =． 考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系．【方法点睛】在抛物线中，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.14. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，16】已知抛物线C ：28y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：22430x y x +-+=作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 面积的最小值为____________．三、拔高题组1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，20】（本小题满分12分）已知曲线C 在y 轴右边，C 上的每一点到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离多1. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）已知过点()(),00M m m >的直线l 与曲线C 有两交点A B 、，若0FA FB <恒成立，求m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()240y x x =>；（Ⅱ）(3-+.（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty m =+，l 与曲线C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ，∴22112211,44x y x y ==. 将l 的方程代入抛物线方程化简得：2440y ty m --=.∴判别式()21212160,4,4t m y y t y y m ∆=+>+==-.又()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-，∴()1212121FA FB x x x x y y =-+++,()()222121212111164y y y y y y =+-++, ()()22121212*********y y y y y y y y ⎡⎤=+-+-+⎣⎦.又0FA FB <恒成立，12124,4y y t y y m +==-，∴226140m m t -+-<恒成立， ∴22614m m t -+<恒成立.240t ≥，∴只需2610m m -+<即可.即：33m -<<+∴所求m的取值范围为(3-+.考点：1.抛物线的定义、标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.向量的坐标运算.【名师点睛】本题考查.抛物线的定义、标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系以及向量的坐标运算，属难题；抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等问题.2. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，20】（本小题满分12分）已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1:2l x =-的距离为1d ，到点(1,0)F -的距离为2d ，且21d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A B 、（,A B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=.（1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2212x y +=；(2) 112y x =+；(3) 直线l 总经过定点(2,0)M -. 得0AF BF k k +=，设直线AB 方程为y kx b =+，与椭圆方程联立得2221()2102k x kbx b +++-=，由根与系数关系计算1212121201111AF BF y y kx b kx bk k x x x x +++=+=+=++++得20b k -=，从而得到直线方程为(2)y k x =+，从而得到直线过定点(2,0)M -.试题解析： （1）设(,)P x y ，则1|2|d x =+，2d =1分∴21d d ==，化简，得2212x y +=，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.………………3分3. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，21】（本小题满分12分）如图，已知圆E ：221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点1F ，2F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与直线OA （O 为原点）平行的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点．当AMN ∆的面积取到最大值时，求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）y x =±【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点A 的坐标为)，∴直线OA 的斜率为………………………………………………………………………………（6分）故设直线l 的方程为2y x m =+，考点：1.椭圆的定义与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.4. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，20】设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)且倾斜角为60︒的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求AOB ∆的面积．【答案】(1) 22143x y +=；(2)15. 【解析】考点：1.椭圆的定义与标准方程、几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属中档题.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．5. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，20】（本小题满分12分）已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C的公共弦长为F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向. （1）求2C 的方程；（2）若||||AC BD =，求直线l 的斜率.【答案】(1)22198x y +=；(2)（2）如图，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因AC 与BD 同向，且AC BD=知AB CD =，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为()1y k x =-，由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()2222240k x k x k -++=，由12,x x 是这个方程的两根，212224k x x k ++=，从而22242k AB k +=+,由()221198y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()222289189720k x k x k +-+-=，而34,x x 是这个方程的两根，23421889k x x k +=+，从而()2222481118638989k k CD k k+=-=++， 由AB CD =得：238k =，解得3k =±l的斜率为3±.【考点】1.椭圆与抛物线的性质；2.直线与抛物线、椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆与抛物线的性质、直线与抛物线、椭圆的位置关系，属难题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 6. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2 1M ，（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且在直线2:0l x y -+上存在点M ，使得MPQ △为等边三角形，求直线1l 的方程.【答案】（1）22182x y +=；（2）0y =或27y x =．考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．【思维点睛】在解答圆锥曲线综合问题时应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数、三角等知识解答，这就要求在分析、解决问题时要充分利用数形结合、设而不求法、弦长公式及韦达定理综合思考． 7. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，21】（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，直线12x y +=经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）设椭圆Ω的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆Ω于,M N 两点. 设直线FM 和FN 的斜率为12,k k . ①求证: 12k k +为定值； ②求FMN ∆的面积S 的最大值.【答案】(1) 2212x y +=；(2)()22121221114221k h S MN h k x x x x k ====++-+()()22222882421121k kk k k k -=-+++12==令212t k =+，则S ==216k =时，S 的最大值为4. 考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．8. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为35，过左焦点F 且垂直于长轴的弦长为325．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点(),0P m 为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于A B 、两点，证明：22PA PB +为定值．【答案】（1）2212516x y +=（2）详见解析考点：解析几何中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 9. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个顶点为()2,0A ，直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M N 、两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆k 的值． 【答案】（1）22142x y +=（2）2k =±（2）由()221142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124240k x k x k +-+-=，设点,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则()()2211221212224241,1,,1212k k y k x y k x x x x x k k-=-=-+==++．．．．．．．．．．．7分 所以MN ===又因为点()2,0A 到直线()1y k x =-的距离d =所以AMN ∆的面积为412k S MN d ==．．．．．．．．．．．．．．10分9=，解得2k =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。

2017年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线(供参考)

2017年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线(供参考)

2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数） 解析一、选择题 .................................................................................................................................... 1 二、填空题 .................................................................................................................................... 3 三、大题 .. (5)一、选择题【浙江卷】2．椭圆22194x y +=的离心率是 ABC ．23D ．59【解析】e == B.【全国1卷（理）】10.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的核心，过F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，那么|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴 易知11cos 22AF GF AK AK AF P P GP Pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AFθ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛+=+ ⎝最小值为16，应选A【全国Ⅱ卷（理）】9.假设双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b>）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，那么C 的离心率为（ ）A ．2 BCD ．3【解析】取渐近线by x a=，化成一样式0bx ay -=，圆心()20，得224c a =，24e =，2e =．【全国III 卷（理）】5.已知双曲线C:22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共核心，那么C 的方程为( ) A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -=【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y =，那么b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共核心，易知3c =，那么2229a b c +==②由①②解得2,a b ==，那么双曲线C 的方程为22145x y -=，应选B.【全国III 卷（理）】10.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右极点别离为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为( )A.6B.3C.23D.13【解析】∵以12A A为直径为圆与直线20bx ay ab-+=相切，∴圆心到直线距离d等于半径，∴222abd aa b==+又∵0,0a b>>，那么上式可化简为223a b=∵222b a c=-，可得()2223a a c=-，即2223ca=∴6cea==，应选A【天津卷】（5）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左核心为F，离心率为2.假设通过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为（）A.22144x y-= B.22188x y-= C.22148x y-= D.22184x y-=【解析】由题意得224,14,22188x ya b c a bc==-⇒===⇒-=-，故选B.二、填空题【全国1卷（理）】15.已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右极点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.假设∠MAN=60°，那么C的离心率为________.【解析】如图，OA a=，AN AM b==∵60MAN∠=︒，∴3AP，222234OP OA PA a b=--∴2232tan34APOPa bθ==-又∵tan b a θ=b a =，解得223a b =∴e ===【全国2卷（理）】16.已知F 是抛物线C:28y x =的核心，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．假设M 为FN 的中点，那么FN = ．【解析】28y x =则4p =，核心为()20F ，，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由概念ME MF =， 且MN NF =， ∴6NF NM MF =+=【北京卷】（9）假设双曲线221y x m-=m =_______________. 【解析】2m =⇒= 【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线别离交于点P ,Q ，其核心是F 1 , F 2 ,那么四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 .1(10,0)F -，2(10,0)F ，那么302102310S =⨯=. 【山东卷】14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右支与核心为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，假设4AF BF OF +=，那么该双曲线的渐近线方程为 .三、大题【全国I 卷（理）】20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–13），P 4（13C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不通过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.假设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 20.解：（1）依照椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必只是1P ，因此过234P P P ，，三点 将()233011P P ⎛- ⎝⎭，，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-得2m =，现在l 过椭圆右极点，不存在两个交点，故不知足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kbx x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+ 则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k--++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，现在64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，． 【全国II 卷（理）】20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 知足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦 点F .．解：⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又0NM ⎛== ⎝∴M x y ⎛⎫⎪⎝⎭，又M 在椭圆上．∴2212x +=，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠， 由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=，∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=． 设直线OQ ：3Q y y x =⋅-，因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3l Qk y =故直线l 方程为3()P P Qy x x y y =-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13P Q P x y y x =-⋅+，∵33P Q P y y x =+，∴1(33)13P P x x x =-++=-，若0Q y =，那么33P x -=，1P x =-，1P y =±，直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左核心．【全国III 卷（理）】20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OBx x y y ⋅=+ 12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上．(2)假设圆M 过点P ，那么0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ =那么圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==那么圆22:(3)(1)10M x y -+-=【北京卷】（18）（14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线别离与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其核心坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.（18）解：（Ⅰ）把P （1,1）代入y 2=2Px 得P =12∴C :y 2=x ， ∴核心坐标（14，0），准线：x =-14. （Ⅱ）设l ：y =kx +12，A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，OP ：y =x ，ON ：y =22yx x ，由题知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x ) 212y kx y x⎧>+⎪⎨⎪=⎩⇒k 2x 2+（k -1）x +14=0，x 1+x 2=21k k -，x 1·x 2=214k . 1112121112221122,22x kx x y x x y kx kx x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=++=+由x 1+x 2=21k k -，x 1x 2=214k ， 上式()2111121122122124kk kx kx k x x x k x -=+=+-⋅=∴A 为线段BM 中点.【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1(0)2222x y E :+a b a b=＞＞的左、右核心别离为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）假设直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.17.解:（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴228a c =②.联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）设00(,)P x y ，那么000,0x y >>，由题意得00001(1)1(1)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得0201x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y 在椭圆E 上，∴2200143x y +=，∴222002(1)33y x y -=，∴2200169,77x y ==，故点P 的坐标是4737(,)77.【江苏卷】B .[选修4-2：矩阵与变换]（本小题总分值10分）已知矩阵A = ，B =. (1) 求AB ;(2)假设曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下取得另一曲线C 2 ，求C 2的方程.B.解:（1）AB ==.（2）设11(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，变换后对应的点为1`0210x x y y ⎡⎤⎢⎥⎣⎡⎤⎡⎦⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因此112x y y x =⎧⎨=⎩，即1112x yy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为11(,)P x y 在曲线1C 上，因此228x y +=即曲线C 2的方程.【山东卷】（21）（本小题总分值13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点别离为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.（21）解：（I ）由题意知 22c e a ==，22c =， 因此 2,1a b ==，因此 椭圆E 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意知0∆>，令2112t k =+，【天津卷】（19）（本小题总分值14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左核心为F ，右极点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的核心，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .假设APD △的面积为2，求直线AP 的方程.（19）（Ⅰ）解：设F的坐标为(,0)c-.依题意，12ca=，2pa=，12a c-=，解得1a=，12c=，2p=，于是22234b a c=-=.因此，椭圆的方程为22413yx+=，抛物线的方程为24y x=.因此，直线AP的方程为3630x y+-=，或3630x y--=.【浙江卷】21．（此题总分值15分）如图，已知抛物线2x y=，点A11()24-，，39()24B，，抛物线上的点11()()24P x y x-<<，.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求AP PQ⋅的最大值.21．解：（Ⅰ）由题易患P（x，x2），-12<x<32，故k AP=21412xx-+=x-12∈（-1,1），故直线AP 斜率的取值范围为（-1,1）.故PA =（-1设直线AP 的斜率为k ，故1(PQ +=又2(1,)PA k k k =---- ，32(1)k PA PQ PA PQ k +==(1)(1)PA PQ k k =+-，令PA PQ 的最大值为。