函数的单调性

1.3函数的基本性质
1.3.1单调性与最大(小)值
第1课时函数的单调性
课时过关·能力提升
基础巩固
1.已知函数f(x)在R上是减函数,则有()
A.f(3)<f(5)
B.f(3)=f(5)
C.f(3)>f(5)
D.f(3)与f(5)的大小关系不确定
解析:∵函数f(x)在R上是减函数,且3<5,
∴f(3)>f(5).
答案:C
2.下列函数中,在区间(0,+∞)内是增函数的是()
A.y=-x2
B.y=x2-2
C.y=-2x+1
D.y
解析:∵y=x2-2的图象开口向上,且对称轴为x=0,
∴y=x2-2在(0,+∞)内是增函数.
答案:B
3.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2)时,f(x)是减函数,则f(1)等于()
A.-3
B.13
C.7
D.1
解析:由题意知,函数f(x)图象的对称轴为x=-2,
∴f(1)=2×12+8×1+3=13.
答案:B
4.函数y=1
-
A.在区间(-1,+∞)内单调递增
B.在区间(-1,+∞)内单调递减
C.在区间(1,+∞)内单调递增
D.在区间(1,+∞)内单调递减
解析:函数y=1
-
的定义域为{x|x≠1},故排除A,B;当x∈(1,+∞)时,由函数单调性的定义可证得函数
y=1
-
在区间(1,+∞)内为增函数.
答案:C
5.已知函数f(x)是区间(0,+∞)内的减函数,则f(a2-a+1)与的大小关系为
A.f(a2-a+1)≥
C.f(a2-a+1)=
不确定
解析:∵a2-a+1-
且函数f(x)是区间(0,+∞)内的减函数,
∴f(a2-a+1)≤
答案:B
6.已知函数y=f(x)在区间[-4,7]上的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是 .
答案:[-1.5,3]和[5,6]
7.若函数f(x)=(1-2a)x+3在R上是增函数,则a的取值范围是.
解析:由一次函数性质可得1-2a>0,解得a
答案:a
8.函数f(x)=|x-3|的单调递增区间是,单调递减区间是.
解析:f(x)
--
其图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是[3,+∞),单调递减区间是(-∞,3].
答案:[3,+∞)(-∞,3]
9.求证:函数f(x)=2x2在区间[0,+∞)内是增函数.
证明设x1,x2是区间[0,+∞)内的任意两个实数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
∵0≤x1<x2,
∴x1-x2<0,x1+x2>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)=2x2在区间[0,+∞)内是增函数.
10.已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围.
解:由题意,得--
--
解得1≤x≤2.①
因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,
且f(x-2)<f(1-x),
所以x-2<1-x,解得x
由①②得,1≤x
所以x的取值范围为
能力提升
1.已知定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有-
-
则
A.函数f(x)先增后减
B.函数f(x)是R上的增函数
C.函数f(x)先减后增
D.函数f(x)是R上的减函数
答案:B
2.已知函数f(x)是定义在[1,4]上的增函数,且f(m)>f(4-m),则实数m的取值范围是()
A.(2,3]
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)
D.[1,2)
解析:由题意,得-
-
解得2<m≤3.
答案:A
3.已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,则()
A.f(-1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(-1)
C.f(2)<f(-1)<f(1)
D.f(1)<f(-1)<f(2)
解析:∵函数f(x)=x2+bx+c的图象开口向上,且对称轴为x=1,∴f(x)在区间(-∞,1)内递减,在区间(1,+∞)内递增,∴f(1)<f(2)<f(-1).
答案:B
4.已知函数f(x)≠0)在区间(0,+∞)内是增函数,则实数k的取值范围是.
解析:函数f(x)是反比例函数,若k>0,函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数;若k<0,函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)内是增函数,所以k<0.
答案:(-∞,0)
5.已知函数f(x)是定义域上的减函数,且其图象过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是.
解析:∵f(x)是定义域上的减函数,f(-3)=2,f(1)=-2,∴当x>-3时,f(x)<2;当x<1时,f(x)>-2,则当-3<x<1时,|f(x)|<2.
答案:(-3,1)
6.★若函数f(x)=-2x2+mx+1在区间[1,4]上是单调函数,则实数m的取值范围是 .
解析:二次函数f(x)图象的对称轴是直线x又二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,则∉(1,4), 所以≤1或≥4,即m≤4或m≥16.
答案:(-∞,4]∪[16,+∞)
7.★已知f(x)
-
≠a).
(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求实数a的取值范围.
解:(1)设x1<x2<-2,
则f(x1)-f(x2)-
∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增.
(2)设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)
--
-
--
∵a>0,x2-x1>0,f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,
∴(x1-a)(x2-a)>0在区间(1,+∞)内恒成立,
∴a≤1,∴实数a的取值范围为(0,1].
8.★(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(2)写出函数y=2|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(3)定义在区间[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图所示,请补全函
数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(4)由以上你发现了什么结论?(不需要证明)
解:(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1],单调递增区间是[1,+∞);其图象的对称轴是直线x=1;区
间(-∞,1]和区间[1,+∞)关于直线x=1对称,函数y=x2-2x在对称轴两侧的单调性相反.
(2)函数y=2|x|的单调递减区间是(-∞,0],单调递增区间是[0,+∞);其图象的对称轴是y轴,即直线x=0;
区间(-∞,0]和区间[0,+∞)关于直线x=0对称,函数y=2|x|在对称轴两侧的单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图象如图所示.
函数y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[-1,2],[5,8];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,函数y=f(x)在对称轴两侧的对称区间内的单调性
相反.
(4)发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称区间内的单调性相反.。