必修一函数的单调性1(含答案)

人教版数学必修一函数的单调性与最大值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一、函数的单调性1.增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1< x2时，都有f(x1) >f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间（1）在某个区间具有单调性：①这个区间可以是整个定义域.如：y=x在整个定义域R上是增函数，②这个区间也可以是定义域的真子集，如：y=x²在定义域（-∞，+∞）上不具有单调性，但在（-∞，0 ] 上是减函数，在 [ 0，+∞）上是增函数（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取x1，x2”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（x1）<f（x2）↔x1<x2（4）有的函数不具有单调性，如函数y={1，x为有理数0，x为无理数，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性（5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=1x在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）”（6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的（7）函数在某一点处的单调性无意义例1：如图，是定义在[-5,5]上的函数y=f(x)的图像，根据图像写出单调区间，以及在每一个区间上函数y=f(x)的单调性3.判断函数单调性的方法定义法：①取值：在指定区间内任取x1，x2，且令x1<x2②做差变形：将f(x1)-f(x2)进行化简变形，变形后判断f(x1)-f(x2)的正负③定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，若不能直接确定差值的符号，可以考虑分类讨论④判断：根据增减函数的定义做出结论例2：用单调性的定义求函数f(x)=2x²+4x在[-1,+∞）上的单调性例3：利用函数单调性的定义证明函数f(x)=1x2在（-∞，0）上是增函数4.函数的最大（小）值（1）函数最大值的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) =M那么我们称M是函数y=f(x)的最大值（2）最值的求法①做出函数图象，尤其是分段函数或解析式含有军队之的函数，从图像中直接观察可得最值②求函数的值域，其边界即为最值，此时要注意边界值是否能取到（即最值是否存在）③利用函数单调性求最值：若函数在[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a).最小值为f(b)若函数在[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b).最小值为f(a)例4：如图为函数y=f(x)，x∈[-4,7]的图像，指出它的最大值、最小值例5：已知2x²-3x≤0，则函数f(x)=x²+x+1的最小值为________最大值为________5.复合函数单调性以复合函数y=f(g(x))为例，其单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减求复合函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域②将符合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x)③分别确定这两个函数的单调区间④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x)) 为增函数，若一增一减，则y=f(g(x)) 为减函数例6：已知函数f(x)=2x∈[2,6],试判断函数f(x)在x∈[2,6]上的单调性，x−1并求出函数f(x)在x∈[2,6]上的最大值和最小值的单调性例7：讨论函数f(x)=1x²−x−20练习：1.判断函数f(x)=1x²−1在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明2.已知二次函数f(x)=ax ²+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6，则a 的值为________1.若函数y=f(x)的图像如图所示，则其函数解析式为__________2.已知f(x)= {求函数f(x)的定义域和值域3.设函数f(x)={x +2,x >01,x =0−x ,x <0,则满足f(x)≥1的取值范围是_________4.已知函数f(x)={3x +5，x ≤0x +5，0＜x ≤1−2x +8，x >1（1）求f(32),f(1π)，f(-1)的值（2）求f(x)的最大值5.已知f(x)是一次函数，2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=__________6.已知函数f(x)=x²-2（a-1）x+2，x∈[-5.5]（1）求实数a的取值范围，是函数f(x)在区间[-5,5]上是单调函数（2）求f(x)的最小值。

数学必修一《函数的单调性》精选练习（含答案解析）一、选择题1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则y=f(x) ( )A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x2+43下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )①y=-x+1;②y=-;③y=x2-4x+5;④y=.A.①B.②C.③D.④4.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+4)的递增区间是( )A.(2,7)B.(-2,3)C.(-6,-1)D.(0,5)5.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是( )A.>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.>06.函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )A.[6,+∞)B.(6,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,6).7.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-2]时是减函数,x∈[-2,+∞)时是增函数,则f(1)等于( )A.-3B.13C.7D.由m而定的常数8.设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)二、填空题9.函数f(x)=的减区间是.10.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是.11.已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2<f(x)<2的解集为.12.函数y=在(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围是.13.f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是.三、解答题14.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.15.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.16.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).求证:函数F(x)在R上是单调增函数.17.定义在R上的函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2对任意m,n∈R恒成立.当x>0时,f(x)>2.(1)证明f(x)在R上是增函数.(2)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(t-1)≤8.参考答案与解析1【解析】选D.由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.【误区警示】本题易错选A,原因是对增函数概念理解不到位,用特殊值代替一般值,因而是错误的.2【解析】选A.B在R上为减函数;C在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.3【解析】选B.结合函数的图象可知②在区间(0,2)上为增函数,而①③④在区间(0,2)上均为减函数.4【解析】选C.函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到,因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).5【解析】选C.由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x1<x2时,可能有x1=a或x2=b,即f(x1)=f(a)或f(x2)=f(b),故C不成立.6【解析】选C.函数f(x)的对称轴x=a-1,因为函数f(x)在[5,+∞)上是增函数,所以a-1≤5,所以a≤67【解析】选B.由题意知=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13. 8【解析】选D.因为a2+1-a=+>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a).9【解题指南】本题可先作出函数图象,由图象观察减区间.【解析】函数f(x)的图象如图所示.则减区间是(0,1].答案:(0,1]10【解析】由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).答案:f(-3)>f(-π)11【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R上是减函数,因此-3<x<0. 答案:(-3,0)【解析】因为y==1-,所以函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使函数在(-2,+∞)上为增函数,只要-2≥-a,即a≥2.答案:a≥213【解析】依题意,得不等式组解得<x≤4.答案:【误区警示】解答本题时易忽视函数定义域而出错.14【解题指南】根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点或最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间.【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象.由图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的.由图(2)可知,在和内,y=g(x)是单调递增的.15【解析】(1)由x2-1≠0,得x≠±1,所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1}.(2)函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x2>x1>1,所以-1>0,-1>0,x2-x1>0,x2+x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.16【证明】任取x1,x2∈R,且x1<x2,因为函数f(x)是R上的单调增函数,所以f(x1)<f(x2),f(2-x1)>f(2-x2),即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)<F(x2).所以函数F(x)在R上是单调增函数.17【解析】(1)对任意x1,x2∈R,且x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=2-f(x2-x1)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函数.(2)因为f(1)=5,所以f(2)=f(1)+f(1)-2=8,由f(t-1)≤8得f(t-1)≤f(2).因为f(x)在R上为增函数,所以t-1≤2,即t≤3, 故不等式的解集为{t|t≤3}.。

学科教师辅导教案―函数单调性教学内容1、概念： 单调增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) < f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调增函数，I 称为y=f(x)的单调增区间.单调减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) > f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调减函数，I 称为y=f(x)的单调减区间.2、函数单调性的几何意义：函数的单调性在图像上的反映是：若f(x)在区间I 上是单调增函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是上升的；若f(x)在区间I 上是单调减函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是下降的；3、单调区间：如果函数y=f(x)在区间I 上是单调增函数或者单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间 和单调减区间统称为单调区间.【注意点】1、在函数的单调性定义中，x 1,x 2有三个特征：一是任意：即区间内任意取两个值x 1,x 2；二是有大小：一般设x 1< x 2；三是同属于一个单调区间：任意x 1,x 2∈I.2、理解函数单调区间应注意的问题：①函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须先求函数的定义域；②单调区间可以是开区间，也可以是闭区间.但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点，要用开区间；③一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”，而应用“，”或“和”连接；如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上为减函数，而不能说在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数； ④函数的单调性是一个局部性质，介绍函数单调性时，一定要指出在哪一个区间上，而不能笼统说函数是单调的；⑤单调性与单调函数的区别：单调性是指在函数定义域的子区间上具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性，如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上分别具有单调性，但是它不是单调函数；函数y=3x+1在整个定义域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.知识模块1函数单调性的概念y 2y 1 x y =x 2 x 2 0 x 2 x 1 x y y =x 2 0 y 1 x y y 2x 1[例1]根据下图说出函数在每个单调区间上是增函数还是减函数？[巩固1]下图是定义在（-5，5）上的函数y=f(x)的图像，根据图像说出函数y=f(x)的单调区间以及在每一个区间上y=f(x)是单调增函数还是单调减函数.[例2] 说出下列函数的单调区间及在各个单调区间上的单调性.（1）xy1=（2）11-=xy（3）32+=xy（4）322-+=xxy[巩固2]下列说法不正确的是____________①若x1,x2∈I，当x1<x2时，f(x1) < f(x2)，则y=f(x)在I上是单调增函数②函数y=x2在R上是单调增函数③函数xy1-=在定义域上是单调增函数④函数xy1=的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）思考：一次函数、二次函数、反比例函数的单调性是怎样的？1、定义法：（1）取值：在区间内任取x1，x2，且x1< x2；（2）比较大小：比较f(x1) 和f(x2)的大小（作差或作商），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）根据定义，得出结论.当符号不确定时，可以进行分类讨论，在确定差的符号.[例1] 证明函数322-+=xxy在（-1，+∞）上的单调性.知识模块2函数单调性的判定与证明精典例题透析。

函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0D．b＜0例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）A．（a，f（﹣a））B．（﹣a，f（a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（a，﹣f（a）例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx例2.函数y=（2m-1）x+b在R上是减函数．则（）A．m>B．m<C．m>-D．m<-例3.函数f（x）=-x2+x-1的单调递增区间为（）A．B．C．D．例4.已知函数f（x）=-3x+2sin x，若a=f（3），b=-f（-2），c=f（log27），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a例5.定义在R的函数f（x）=-x3+m与函数g（x）=f（x）+x3+x2-kx在[-1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．[2，+∞）C．[-2，2]D．（-∞，-2]∪[2，+∞）例6.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=lnxC．y=sin x D．y=2-x例7.下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2+2x B．y=2x+1C．y=x3+1D．y=（x-1）|x|例8.函数f（x）=x|x-2|的递减区间为（）A．（-∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）利用定义法证明单调性知识讲解1.利用定义证明单调性的步骤（1）取值：设，是所研究的区间内的任意两个值，且（2）作差：（3）变形：将通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式.（4）判断符号（5）结论2函数单调性的常见结论（1）函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（2）函数f(x)与函数f（x）＋c（c为常数）具有相同的单调性；（3）当c＞0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当c＜0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（4）若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性；（5）若，函数与具有相同的单调性；（6）若,具有相同的单调性，则与,具有相同的单调性；（7）若,具有相反的单调性，则与具有相同（与具有相反）的单调性。

第二章函数§3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=2x+1B.y=x2+1C.y=3-xD.y=x2+2x+1y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).>0成立,则()3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-bA.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)是先增后减D.函数f(x)是先减后增>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上由f(a)-f(b)a-b是增函数.4.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则()A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.5.若函数f (x )=x 2-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,3]∪[4,+∞)B.(-∞,3)∪(4,+∞)C.(-∞,3]D.[4,+∞)f (x )图象开口向上,对称轴为直线x=a-1,因为函数在区间(2,3)上为单调函数,所以a-1≤2,或a-1≥3,相应解得a ≤3,或a ≥4,故选A .6.函数f (x )=|x|与g (x )=x (2-x )的单调递增区间分别为( )A.(-∞,0],[1,+∞)B.(-∞,0],(-∞,1]C.[0,+∞),[1,+∞)D.[0,+∞),(-∞,1](图略)可知选D .7.(多选题)下列命题是假命题的有( )A.定义在区间(a ,b )上的函数f (x ),如果有无数个x 1,x 2∈(a ,b ),当x 1<x 2时,有f (x 1)<f (x 2),那么f (x )在区间(a ,b )上为增函数B.如果函数f (x )在区间I 1上为减函数,在区间I 2上也为减函数,那么f (x )在区间I 1∪I 2上就一定是减函数C.任取x 1,x 2∈(a ,b ),且x 1≠x 2,当f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0时,f (x )在区间(a ,b )上单调递减 D.任取x 1,x 2∈(a ,b ),且x 1≠x 2,当(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0时,f (x )在区间(a ,b )上单调递增是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”; 以f (x )=1x为例,知B 是假命题; ∵f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0(x 1≠x 2)等价于[f (x 1)-f (x 2)]·(x 1-x 2)<0,而此式又等价于{f (x 1)-f (x 2)>0,x 1-x 2<0或{f (x 1)-f (x 2)<0,x 1-x 2>0,即{f (x 1)>f (x 2),x 1<x 2或{f (x 1)<f (x 2),x 1>x 2,∴f (x )在区间(a ,b )上是减函数,C 是真命题,同理可得D 也是真命题.8.若函数y=ax 与y=-b x 在区间(0,+∞)上都是单调递减,则函数y=ax 2+bx 在区间(0,+∞)上是( ) A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增y=ax 与y=-b x 在区间(0,+∞)上都是单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为x=-b2a <0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax 2+bx 在区间(0,+∞)上单调递减.9.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m=,f(1)=.函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴x=-b2a =m4=-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.81310.证明函数f(x)=-√x在定义域上为减函数.f(x)=-√x的定义域为[0,+∞).任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=(-√x2)-(-√x1)=√x1−√x2=√x1-√x2)(√x1+√x2)√x+√x=12√x+√x.∵x1-x2<0,√x1+√x2>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴函数f(x)=-√x在定义域[0,+∞)上单调递减.能力提升练1.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是单调递减,则a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1](x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,∵f(x)在区间[1,2]上单调递减,∴a≤1.∵g(x)=ax+1在区间[1,2]上单调递减,∴a>0,∴0<a≤1.2.若定义在R上的一元二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上单调递增,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是()A.0≤m≤4B.0≤m≤2C.m≤0D.m≤0或m≥4f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因为f(x)的图象的对称轴为x=--4a2a=2,所以f(x)在区间[0,2]上的值域与在区间[2,4]上的值域相同.所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.3.给出下列三个结论:①若函数y=f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (1)<f (2)<f (3),则函数y=f (x )在区间(0,+∞)上是增函数; ②若函数y=f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,则f (a 2+1)<f (a 2);③函数f (x )=1x 在其定义域上是减函数.其中正确的结论有( )A.0个B.1个C.2个D.3个在函数单调性的定义中,x 1,x 2具有任意性,不能仅凭区间内有限个函数值的大小关系判断函数单调性,①错误; ②∵a 2+1>a 2,又y=f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,∴f (a 2+1)<f (a 2),②正确;③取x 1=-1,x 2=1,∵f (-1)=-1,f (1)=1,∴f (-1)<f (1),故f (x )=1x 不是其定义域上的减函数,③错误.4.设函数f (x )在(-∞,+∞)上是减函数,a ,b ∈R 且a+b ≤0,则下列选项正确的是( )A.f (a )+f (b )≤-[f (a )+f (b )]B.f (a )+f (b )≤f (-a )+f (-b )C.f (a )+f (b )≥-[f (a )+f (b )]D.f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )a+b ≤0,所以a ≤-b ,b ≤-a ,又函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f (a )≥f (-b ),f (b )≥f (-a ),所以f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ).5.若函数f (x )={x 2+2ax +3,x ≤1,ax +1,x >1是定义域上的减函数,则实数a 的取值范围为 .{-a ≥1,a <0,12+2a ×1+3≥a ×1+1,解得-3≤a ≤-1,则实数a 的取值范围是[-3,-1].-3,-1]6.已知函数f (x )=ax+1x+2,若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2),则实数a 的取值范围是 .(用区间来表示)“若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2)”可知函数f (x )在区间(-2,+∞)上单调递增.而f (x )=ax+1x+2=a+1-2a x+2,故有1-2a<0,解得a>12,即a 的取值范围为(12,+∞).(12,+∞)7.(2020浙江金华高一检测)函数f (x )=√(x -1)(x -2)的定义域为 ;单调递减区间为 .f (x )=√(x -1)(x -2), ∴(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,函数f (x )的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞);又t=(x-1)(x-2)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,∴函数f (x )在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,∴函数f (x )的单调递减区间为(2,+∞).-∞,1)∪(2,+∞) (2,+∞)8.已知函数f (x )=mx+1nx +12(m ,n 是常数),且f (1)=2,f (2)=114. (1)求m ,n 的值;(2)当x ∈[1,+∞)时,判断f (x )的单调性并证明;(3)若不等式f (1+2x 2)>f (x 2-2x+4)成立,求实数x 的取值范围.f (1)=m+1n +12=2,f (2)=2m+12n +12=114,∴{m =1,n =2.1≤x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+12x 1+12−(x 2+12x 2+12)=(x 1-x 2)·(1-12x 1x 2)=(x 1-x 2)(2x 1x 2-12x 1x 2). ∵1≤x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>1.∴2x 1x 2-1>1.∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在区间[1,+∞)上单调递增.1+2x 2≥1,x 2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴只需1+2x 2>x 2-2x+4.∴x 2+2x-3>0.∴x<-3或x>1.素养培优练1.(2019江苏南通期中)已知函数f (x )=x 2+a x (x ≠0,a ∈R ),若函数f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,则a 的取值范围为 .x 1,x 2∈[2,+∞),且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,f (x 2)-f (x 1)=x 22+a x 2−x 12−a x 1=x 2-x1x 1x 2[x 1x 2(x 1+x 2)-a ]. 要使函数f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f (x 2)-f (x 1)>0在[2,+∞)上恒成立.∵x 2-x 1>0,x 1x 2>4>0,∴a<x1x2(x1+x2)恒成立.又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,即a的取值范围是(-∞,16].-∞,16]2.设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1;(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)在R上是减函数.根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),∵f(n)≠0,∴f(0)=1.(2)由题意知,当x>0时,0<f(x)<1;当x=0时,f(0)=1>0;当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1.∵f(x+(-x))=f(x)·f(-x),∴f(x)·f(-x)=1.∴f(x)=1>0.f(-x)故x∈R时,恒有f(x)>0.(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)·f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].由(2)知,f(x2)>0.∵x1-x2>0,∴0<f(x1-x2)<1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是减函数.。