高三数学 函数与方程的思想(第8讲)

第8讲 函数与方程[基础达标]1．(2019·浙江省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2019·温州十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减． 因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14 B ．18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意； 当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意， 当k >0，x ≥0时， 令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2－x ＝0， 即x (kx 2＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1， 综上所述k >1.7．(2019·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1， 所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1， 方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1.答案：a<－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. [能力提升]1．(2019·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e －1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2019·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x2，可得x 2－x ＋a －2＝0， 再由Δ＝0解得a ＝94.数形结合可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，944．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：55．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)法一：因为g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 所以m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e，即m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 所以其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．6．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2，4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（b －2）x ，x ≥2－x 2＋（b ＋2）x ，x <2，因为f (x )连续，所以f (x )在R 上递增等价于这两段函数分别递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤22＋b 2≥2，解得，b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a ＋2）x ，x ≥a －x 2＋（a －2）x ，x <a ，tf (a )＝－2ta ，当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a 24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1，当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0<t <1，综上所述，0<t <1.。

个性化教学辅导教案1、已知函数，则函数的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为f (x )为奇函数，所以不等式f x－f －x x <0可化为f xx<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．3、函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内 ( )．A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析 令f (x )＝0，得x ＝cos x ，在同一坐标系内画出两个函数y ＝x 与y ＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x ＝cos x 只有一个解． ∪函数f (x )只有一个零点． 答案 B4、设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案 B解析 ∪f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0， ∪f (1)·f (2)<0，∪函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的， ∪f (x )的零点所在的区间是(1,2)．1．(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2 答案 C解析 f ′(x )＝e x ＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3.设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝ .答案 －2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是 ． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.学科分析：从近五年的考查情况来看,本讲一直是高考的热点,主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.导数的运算一般不单独考查,而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查,导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值,常以选择题、填空题的形式出现,有时也出现在解答题的第一问,难度中等. 学生分析：1、学习风格（动觉型、视觉型、听觉型）2、知识点分析： （1）导数的概念与运算 （2）导数的几何意义【精准突破一】学习目标：导数的概念与运算 目标分解：∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.1、f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．E答案 B 解析 f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2、若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 B f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 3、已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.124、(2016·昆明模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2答案 3、A 4、A解析 3、设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3.4、∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，π2|1.x y ∴'＝＝－由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.5、若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，0|x x k y '＝＝＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.【查漏补缺】1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末答案 D解析 s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义知v ＝s ′(t )， 令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.4.(2017·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.5．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则001|x x y x '＝＝， 切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.【举一反三】1、(2016·泉州模拟)函数y ＝e x 的切线方程为y ＝mx ，则m ＝ .2、已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4 D ．－2 答案 1、e 2、D解析 1、设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x ， 得00|e xx x y ＝＝，从而切线方程为000e e ()x xy x x －＝－， 又切线过定点(0,0)，从而000e e ()xxx －＝－， 解得x 0＝1，则m ＝e. 2、∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D.3、如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )3、答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．【方法技巧】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．1、若函数f （x ）=e x •sinx ，则f'（0）= 。

【基础回归】1、（2009某某）2log 2的值为( )A ．2-B ．2C ．－1/2D ．1/2 2、下列各式，化简后其值不等于1的是 ( )A)22log 6log 3-B)lg 2lg5+C)log log a b b a ⋅D)82log 9log 3÷ 3、下列各式，化简后其值不等于2的是( )A)50.22log 10log 0.25-B)lg(1/4)lg 25-C)22log (log 16)D )3log 234、下列不等式中，不正确的是 ( )A)22log 3.4log 8.5<B)0.20.2log 3.4log 8.5>C) 1.13log 0.99log 1.1<D ) 1.13log 0.99log 1.1> 5、函数0.5log (43)y x =-的定义域是 ( )A){|3/4}x x >B){|1}x x <C){|3/41}x x <≤D){|3/41}x x <<6、（08某某）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--，则下列结论正确的是（ ）A )}{2,1AB =-- B )()(,0)RC A B =-∞C )(0,)A B =+∞D )}{()2,1R C A B =--7、若3log 21x =，则44x x -+的值为 ( )A)10/3B)82/9 C) 0D)5/27 8、（07某某）设0.5log 3a =，0.2(1/3)b =，1/32c =，则（ ）A)a b c <<B)c b a <<C)c a b <<D)b a c <<9、（07全国1）设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1/2，则a = ( )A)2 B)2 C)22 D)410、（08某某）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称。

第8节 函数与方程1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析：C [A 中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B 中函数的图象不连续；D 中函数在x 轴下方没有图象，故选C.]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B [当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x >0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B.]3．(2020·乌鲁木齐市一模)函数f (x )＝e x＋2x －3的零点所在的一个区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：C [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－2＜0，f (1)＝e －1＞0，所以零点在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上，故选C.] 4．(2020·某某市模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．多于4个解析：C [由f (x ＋2)＝f (x )可得函数的周期为2， 又函数为偶函数且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故可作出函数f (x )的图象．∴方程f (x )＝log 3|x |的解个数等价于y ＝f (x )与y ＝log 3|x |图象的交点个数， 由图象可得它们有4个交点，故方程f (x )＝log 3|x |的解的个数为4，故选C.] 5．(2020·某某市模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－1＜x ＜3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：B [∵f (x ＋1)＝－f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， ∴f (x )的周期为2.∴f (1－x )＝f (x －1)＝f (x ＋1)， 故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－1＜x ＜3)的图象关于直线x ＝1对称，作出f (x )和g (x )的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在(－1,3)上共有4个交点， ∴所有交点的横坐标之和为2×2＝4.故选B.] 6．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为 ________ . 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－127．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝ ________ .解析：∵2<a <3<b <4，∴f (1)＝log a 1＋1－b ＝1－b <0，f (2)＝log a 2＋2－b <0，f (3)＝log a 3＋3－b ，又∵log a 3>1，－1<3－b <0，∴f (3)>0，即f (2)f (3)<0，故x 0∈(2,3)，即n ＝2. 答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________ .解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根， ∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值X 围是(0,1)．10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值X 围． 解：(1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b 且1a －1＝1－1b，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．。

§8.1 直线的方程考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程适用范围 点斜式 y －y 0＝k(x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1和直线y ＝y 1 截距式 x a ＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用微思考1．直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？提示 不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 的范围 k ＝0 k>0不存在k<0k 的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) 题组二 教材改编2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.3．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________． 答案π4或3π4解析 由|k|＝|tanα|＝1知tanα＝±1， ∴α＝π4或3π4.4．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m 的值为________． 答案 2解析 因为A ，B ，C 三点在同一直线上，所以k AB ＝k BC ，即2－－10－－3＝4－2m －0，故m ＝2. 题组三 易错自纠5．(多选)下列说法正确的是( ) A ．有的直线斜率不存在B ．若直线l 的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k ＝tanαC ．若直线l 的斜率为1，则它的倾斜角为3π4D ．截距可以为负值 答案 ABD6．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一直线的倾斜角与斜率例1 (1)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 答案 D解析 ①当m ＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，∵k＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.(2)(2020·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k≥12B ．k≤－2C ．k≥12或k≤－2D ．－2≤k≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k(x －2)＋1经过定点P(2,1)，∵k PA ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12，又直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k≤12.本例(2)直线l 改为y ＝kx ，若l 与线段AB 相交，则k 的取值范围是______．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[3，＋∞) 解析 直线l 过定点P(0,0)， ∵k PA ＝3，k PB ＝12，∴k≥3或k≤12.思维升华 (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k ＝tanα的单调性． 跟踪训练1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案 D解析 因为直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，所以0<k 3<k 2.直线l 1的倾斜角为钝角，斜率k 1<0，所以k 1<k 3<k 2.(2)直线l 过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是______________． 答案 (－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞) 解析 如图所示，当直线l 过点B 时，k 1＝3－00－1＝－ 3.当直线l 过点A 时，k 2＝1－02－1＝1，∴要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．题型二求直线的方程1．(2021·荆门期末)经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋5＝0 D ．x －y －5＝0答案 D解析 倾斜角为45°的直线的斜率为tan45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y ＋3＝x －2，即x －y －5＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tanα＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M(2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0.3．经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3,2)的直线方程为__________． 答案 2x ＋3y －5＝0解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v ＝(－3,2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.4．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为_________________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.思维升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．题型三直线方程的综合应用 命题点1 直线过定点问题例2已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； (3)若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________． 答案 (1)(0,3) (2)(－3,0) (3)(3,0)解析 (1)当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0,3)． (2)直线方程可化为y ＝k(x ＋3)，故直线过定点(－3,0)． (3)当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3,0)． 命题点2 与直线有关的多边形面积的最值例3已知直线l 过点M(2,1)，且分别与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，则可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)．∵与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k >0，1－2k>0⇒k<0.于是S △AOB ＝12·|OA|·|OB|＝12·2k －1k ·(1－2k)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·－4k ＝4. 当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a>0，b>0)，则2a ＋1b＝1.又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1.本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l 的方程．解 方法一 由本例知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)(k<0)．∴|MA|·|MB|＝1k 2＋1·4＋4k 2＝21＋k 2|k|＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例知A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，2a ＋1b ＝1.∴|MA|·|MB|＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.思维升华 (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标． (2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．跟踪训练2已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S(O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．(1)证明 直线l 的方程可化为k(x ＋2)＋(1－y)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)．(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k≥1，解得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k≠0，再由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0.∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k|＝12·1＋2k2k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．(2021·清远期末)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2.2．(2021·菏泽模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，则a 等于( ) A ．1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0 答案 A解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a(a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.3．(2021·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 A解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a<0，解得－2<a<1.4．(2020·北京丰台区模拟)若直线y ＝ax ＋c 经过第一、二、三象限，则有( ) A ．a>0，c>0 B ．a>0，c<0 C ．a<0，c>0 D ．a<0，c<0 答案 A解析 ∵直线y ＝ax ＋c 经过第一、二、三象限， ∴直线的斜率a>0，在y 轴上的截距c>0.5．直线2xcosα－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3答案 B解析 直线2xcosα－y －3＝0的斜率k ＝2cosα， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k ＝2cosα∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1， 3 ]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. 6．(多选)在下列四个命题中，错误的有( ) A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B ．直线倾斜角的取值范围是[0，π)C ．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 答案 ACD解析 对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A 错误； 对于B ，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B 正确；对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C 错误；对于D ，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D 错误． 故选ACD.7．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．2x －y ＝0 D ．x －y －1＝0答案 ABC解析 当直线经过原点时，斜率为k ＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k ，把点A(1,2)代入可得1－2＝k ，或1＋2＝k ， 求得k ＝－1，或k ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. 综上知，所求的直线方程为 2x －y ＝0，x －y ＋1＝0， 或x ＋y －3＝0.8．(多选)垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－3答案 CD解析 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d3，－d 4，所以6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d224.所以d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3. 9．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1011，b)在l 上，则b 的值为________． 答案 2023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1011，得y ＝2023，∴b＝2023.10．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝______；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝________. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1. 11．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 12．(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．答案 13，－3 解析 方法一 设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k ＝tanα.则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋π4，其斜率为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 依题意知：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，即tanα＋tanπ41－tanα·ta n π4＝tanα＋11－tanα＝2，∴tanα＝13， ∴正方形一边的斜率k ＝13，可知相邻一边所在直线的斜率为－3. 方法二 正方形两条相邻边与对角线的夹角为 π4， 设正方形的边所在直线的斜率为k ，则由夹角公式得tan π4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －21＋2k ⇒k ＝13或k ＝－3.13．已知P(－3,2)，Q(3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－13 解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a.若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a<－13.14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋1(n∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________．答案 45解析 由a n ＝1n n ＋1可知a n ＝1n －1n ＋1， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9. 所以直线方程为x 10＋y 9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.15．(多选)已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线不过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案 BD解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sinα·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cosα＝1|sin2α|≥1，所以D 正确． 16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程是______．答案 (3＋3)x －2y －3－3＝0解析 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n2＝12·m －3n 2，m －0·－3n －1＝n －0·m －1， 解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

第八节函数与方程一、学习目标1、理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系，并会求函数的零点或判断个数。

2、会根据函数的零点求参数，了解函数零点存在定理，会判断零点所在区间。

二、学习过程知识点一函数的零点1.函数零点的概念对于函数y＝f（x），x∈D，我们把使f（x）＝0的叫做函数y＝f（x），x∈D的零点.注意：零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x.2.三个等价关系3.零点存在定理【提醒】函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点.自查自测1、（判断题）函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点. ( )2、函数245y x x =--的零点为（ ）.A ．()5,0B ．()1,5-C ．1-和5D ．()1,0-和()5,03、(人教A 版必修①P155·T1改编)下列图象所表示的函数中不能用零点存在性定理求零点的是( ).A 、B 、C 、D 、考点一 函数零点所在区间的判断例11、设()2f x lnx x ＝＋－，则函数f (x )的零点所在的区间为( ).1(0)A ， ).(12?B ， .3(2)C ， .4(3)D ，变式11：()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,5 变式12、(人教A 版必修①P160)已知函数x x f x +=2)(，x x x g +=2log )(，x x x h +=3)(的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c ，的大小顺序为( ).A 、c b a >>B 、a c b >>C 、b a c >>D 、c a b >>考点二 函数零点个数问题例21、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,)(221x x x x f x ，则函数g (x )＝f (x )－12的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3变式21、函数()()0.2sin log 02f x x x x π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4交点个数为（ ）A 、3B 、4C 、6D 、8拓展、已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m 的取值范围是（ ）．A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞- C ．[0,)+∞ D ．[1,0)-【当堂检测】1．函数()234x f x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,32．已知函数()1,02,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程()30x f x -=的解的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 3．函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,8π上的所有零点之和为（ ）A ．45πB ．40πC ．35πD ．30π 4．（选做）若函数()2ln f x x m x =+-在区间()1,2上只有一个零点，则常数m 的取值范围为（ ）A ．12m <<B ．ln 22m <<C ．11ln 2m <<+D ．1ln 22m +<<【归纳总结】1、确定函数零点所在区间的常用方法2、函数零点个数的判断方法【作业】1、函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭2、（多选）函数2()2x f x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的可能取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、函数()32,03e ,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为___________. 4、（2024上海模拟卷改编 选做）已知函数()()()122,0,R log 1,0,x x f x a x x ⎧≤⎪=∈⎨+>⎪⎩，a x f x g +=)()(在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){},10-∞- B ．(),1∞-- C ．()1,-+∞ D ．。

高中数学中函数与方程思想的研究函数与方程思想是数学学科中的两个重要思想，也是解决实际问题的重要方法。

在高中数学教学中，函数与方程思想的应用对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。

本文旨在探讨函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究，以期为优化高中数学教学提供参考。

普通高中教学的主要目标是培养学生的创新精神和实践能力，为其未来的发展奠定基础。

在这个过程中，数学学科作为一门重要的基础课程，需要着重培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

函数与方程思想作为数学学科的基本思想，也是解决高中数学教学问题的关键。

在普通高中教学中，函数与方程思想的实践主要包括以下环节：教学准备：教师需要深入理解函数与方程思想的概念和特点，掌握其在解决问题中的应用方法。

同时，教师应结合具体的教学内容和教学目标，准备好相应的教案和学案。

教学目标制定：教师需要明确函数与方程思想的教学目标，包括知识目标、能力目标和情感目标。

同时，教师需要根据学生的实际情况和需求，制定相应的教学计划。

教学实施：教师在课堂上需要采用多种教学方法和手段，如案例教学、探究式教学等，引导学生理解和掌握函数与方程思想，并运用它们解决实际问题。

教学反思：教师需要及时反思自己的教学过程和效果，发现问题并及时改进，以便更好地提高教学质量和效果。

以高中数学中“函数”章节的教学为例，教师可以通过以下方式将函数与方程思想融入教学中：帮助学生理解函数的概念和性质，如定义域、值域、单调性等，为后续的应用奠定基础。

通过实例让学生了解函数在解决实际问题中的应用，如利用函数解析式解决行程问题、利润问题等。

引导学生通过方程或不等式的方式描述实际问题，然后利用函数的性质和相关算法求解。

例如，帮助学生理解以下题目：某公司为了营销一款产品，计划在三个方面进行投入（x1, x2, x3），已知产品总成本为C元。

试求C关于x1, x2, x3的函数关系式。

教师可以引导学生列出成本与投入之间的方程，然后通过调整方程的形式，使学生理解函数关系式的意义和应用。

第八节函数与方程1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系续表3.二分法对于在区间『a，b』上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．(人教A 版教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2.5，3)『解析』 由零点存在性定理知x 0∈(2，3)，故选C. 『答案』 C2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)『解析』 显然f (x )＝e x ＋4x －3的图象连续不间断，又f (12)＝e －1＞0，f (14)＝4e －2＜0.∴由零点存在定理知，f (x )在(14，12)内存在零点．『答案』 C3．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12『解析』 由题意知2a ＋b ＝0， 即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0得x ＝0或x ＝a b ＝－12，故选C.『答案』 C4．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝(12)x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f (x )＝x 12－(12)x 只有1个零点．『答案』 B5．(2013·德州调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．『解析』 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0，1)上递增． 由已知条件f (0)f (1)＜0，即a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0. 『答案』 (－2，0)(1)(2012·天津高考)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)(2013·湛江模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．『思路点拨』 (1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．『尝试解答』 (1)因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0，1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)设f (x )＝x 3－(12)x －2，则x 0是函数f (x )的零点．在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝(12)x－2的图象，如图所示． ∵f (1)＝1－(12)－1＝－1＜0，f (2)＝8－(12)0＝7＞0∴f (1)f (2)＜0， ∴x 0∈(1，2)．『答案』 (1)B (2)(1，2),确定函数f (x )零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间『a ，b 』上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(1)函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点(2)(2013·汕头模拟)函数f (x )＝ln(x －2)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)『解析』 (1)令f (x )＝x －cos x ＝0，则x ＝cos x ，设函数y ＝x 和y ＝cos x ，在同一坐标系下做出它们在『0，＋∞)的图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内有且仅有一个零点．(2)由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ＞2}，∴排除A. ∵f (3)＝－23＜0，f (4)＝ln 2－12＞0，f (5)＝ln 3－25＞0，∴f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＞0，∴函数f (x )的零点在(3，4)之间，故选C.『答案』(1)B(2)C若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为()A．1.25B．1.375C．1.406 25 D．1.5『思路点拨』(1)二分法求近似零点，需将区间一分为二，逐渐逼近；(2)必须满足精确度要求，即|a－b|＜0.1.『尝试解答』根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，故方程的一个近似根可以是1.406 25.『答案』C,1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x)的图象在『a，b』内连续不间断，②f (a )·f (b )＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．『解析』 在(1，2)内取中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，∵f (32)＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，f (1)＜0，∴f (x )＝0的根在(32，2)内．『答案』 (32，2)(2013·临沂模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)． (1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．『思路点拨』 解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f (x )与g (x )有两个交点，从而数形结合求解．『尝试解答』 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是『2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)． 法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2，故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(2013·淮南模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x －1|，x ≤0，2x －1＋a ， x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．『解析』 由于当x ≤0，f (x )＝|x 2＋2x －1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x －1＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x ＝－2a ，结合图形只需－2a ＞1⇒a ＜－12即可．『答案』 a ＜－12一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范1.函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间『a ，b 』上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．思想方法之五 用函数与方程思想解决图象公共点问题(2012·山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0『解析』 由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)， x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.『答案』 B易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程的根的问题，找不到解决问题的切入点．(2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起来，思维受阻，无法解答． 防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在．(2)方程的根的情况与函数的极值的大小有密切的关系，求解时应注意寻找它们之间的关系．1．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』 根据x 2的范围判断y ＝cos x 2在区间『0，4』上的零点个数．当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈『0，4』，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为6.『答案』 C2．(2013·威海模拟)设方程log 4x －(14)x ＝0，log 14x －(14)x ＝0的根分别为x 1、x 2，则( )A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2『解析』 在同一坐标系内画出函数y ＝(14)x ，y ＝log 4x ，y ＝log 14x 的图象，如图所示，则x 1＞1＞x 2＞0，由log 4x 1＝(14)x 1，log 14x 2＝(14)x 2得log 4x 1x 2＝(14)x 1－(14)x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选A. 『答案』 A。

第8讲函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与02x轴有交点⇔函数y＝f(x)有03零点.(3)函数零点的判定(零点存在定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有04 f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得06f(c)＝0，这个07c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点08(x0)，(x2,0)09(x1,0)无交点1,零点个数102111120有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由函数零点存在定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选B．2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 12345 6y 124.433－7424.5－36.7－123.6 则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案 B解析∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 作出函数y ＝|x －2|与g (x )＝ln x 的图象，如图所示．由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f (x )在定义域内有2个零点．故选C ．4．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点有________个． 答案 1解析 ∵f (x )＝e x ＋3x 在R 上单调递增，且f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝1>0，∴函数f (x )有1个零点．5．(2020·河南信阳调研)若函数f (x )＝3mx －4在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－23解析 由已知得f (－2)·f (0)＝(－6m －4)·(－4)≤0，解得m ≤－23，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－23.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x≤0，x2－1，x ＞0，则函数y ＝f (x )－1的零点是________.答案 0或2解析 要求函数y ＝f (x )－1的零点，则令y ＝f (x )－1＝0，即f (x )＝1，又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x≤0，x2－1，x ＞0，①当x ≤0时，f (x )＝e x ，由e x ＝1，解得x ＝0.②当x ＞0时，f (x )＝x 2－1，由x 2－1＝1，解得x ＝2(负值舍去)．综上可知，函数y ＝f (x )－1的零点是0或2.考向一 函数零点所在区间的判断例1 (1)(2020·济南模拟)已知f (x )＝x 3＋x －4，则函数f (x )的零点所在区间是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 由函数f (x )＝x 3＋x －4在定义域上单调递增，且f (1)＝1＋1－4＝－2＜0，f (2)＝8＋2－4＝6＞0，再根据函数零点存在定理可得零点所在区间是(1,2)，故选C ．(2)(2020·长春模拟)设函数f (x )＝log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x ，g (x )＝log x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的零点分别是x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0＜x 1x 2＜1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2＞2 答案 B解析 由题意可得x 1是函数y ＝log 4x 的图象和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的图象的交点的横坐标，x 2是y ＝log x 的图象和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 的图象的交点的横坐标，且x 1，x 2都是正实数，如图所示：故有log x 2＞log 4x 1，故log 4x 1－log x 2＜0，∴log 4x 1＋log 4x 2＜0，∴log 4(x 1x 2)＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选B ．判断函数零点所在区间的常用方法(1)定义法：利用函数零点存在定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上必有零点．(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b∈N *，则a ＋b ＝( )A ．0B ．2C ．5D ．7答案 C解析 ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上单调递增，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝5.2．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 函数y ＝f (x )是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．考向二 函数零点个数的讨论例2 (1)(2020·青岛模拟)已知图象连续不断的函数f (x )的定义域为R ，f (x )是周期为2的奇函数，y ＝|f (x )|在区间[－1,1]上恰有5个零点，则f (x )在区间[0,2020]上的零点个数为( )A ．5050B ．4041C ．4040D ．2020答案 B解析 因为图象连续不断的函数f (x )的定义域为R ，f (x )是周期为2的奇函数，y ＝|f (x )|在区间[－1,1]上恰有5个零点，所以f (0)＝0，f (1)＝0，x ∈(0,1)时，函数有1个零点，所以x ∈(0，1]时，函数有2个零点，所以x ∈(0,2020]时，函数有4040个零点，则f (x )在区间[0,2020]上的零点个数为4041.故选B ．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＜0，x2＋12x ，x≥0，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意，令f (f (x ))－1＝0，得f (f (x ))＝1，令f (x )＝t ，由f (t )＝1，得t ＝－1或t ＝－1＋174，作出函数f (x )的图象，如图所示，结合函数f (x )的图象可知，f (x )＝－1有1个解，f (x )＝－1＋174有2个解，故y ＝f (f (x ))－1的零点个数为3，故选B ．确定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．函数f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 由f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x |，得f (－x )＝(－x )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|－x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)·f (1)<0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．∴函数f (x )的零点个数为2，故选C ．4．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 B解析 由2x |log 0.5x |－1＝0得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，作出y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象，如图所示，则两个函数图象有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1有两个零点．多角度探究突破考向三 函数零点的应用 角度1 利用零点比较大小例3 (1)已知a 是函数f (x )＝2x －log x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( ) A ．f (x 0)＝0 B ．f (x 0)>0 C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)与0的大小关系不确定 答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝2x ，y ＝log x 的图象(图略)，由图象可知，当0<x 0<a 时，有2x 0<log x 0，即f (x 0)<0.(2)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2<x 1<x 3B ．x 1<x 2<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1答案 B解析 令y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1，因为函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1与y ＝－x 的图象的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－x －1及y ＝－x 的图象如图，结合图象可得x 1<x 2<x 3，故选B ．在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较．5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x －log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0.故选A ．6．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案 B解析 在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示．由图象可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x ＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0.角度2 由函数零点存在情况或个数求参数范围 例4 (1)(2020·海南省新高考诊断性测试)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－4x ＋1，x≤0，2－2－x ，x>0，若关于x 的方程[f (x )－1]·[f (x )－m ]＝0恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,5)C ．(2,3)D ．(2,5)答案 A解析 由[f (x )－1][f (x )－m ]＝0，得f (x )＝1或f (x )＝m ，作出y ＝f (x )的图象，如图所示．由图可知，方程f (x )＝1有2个实根，故方程f (x )＝m 有3个实根，故m 的取值范围为(1,2)．(2)(2020·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(22，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(0,22)C ．(－∞，0)∪(0,22)D ．(－∞，0)∪(22，＋∞)答案 D解析 注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝错误!恰有3个实根即可，令h (x )＝错误!，即y ＝|kx －2|与h (x )＝错误!的图象有3个不同交点．因为h (x )＝错误!＝错误!当k ＝0时，y ＝2，如图1，y ＝2与h (x )＝错误!的图象有1个交点，不满足题意；当k ＜0时，如图2，y ＝|kx －2|与h (x )＝错误!的图象恒有3个不同交点，满足题意；当k ＞0时，如图3，当y ＝kx －2与y ＝x 2的图象相切时，联立方程得x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝0得k 2－8＝0，解得k ＝22(负值舍去)，所以k ＞22.综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞)．故选D ．已知函数零点求参数范围的常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．7．当x ∈[1,2]时，若函数y ＝12x 2与y ＝a x (a >0)的图象有交点，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2 解析 当a ＝1时，显然成立．当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，要使两个函数图象有交点，需满足12×12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2. 8．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 －14，2解析 因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －122－14，因为x ∈[－1,1]，所以2x∈12，2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －122－14∈－14，2.所以实数a 的取值范围是－14，2.一、单项选择题1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)答案 C解析 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．故选C ．2．(2021·长郡中学高三月考)设函数f (x )＝x ＋log 2x －m ，则“函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点”是“m ∈(1,6)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 函数f (x )＝x ＋log 2x －m 在区间(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－12－m ＜0，f (4)＝6－m ＞0，解得－12＜m ＜6，故“函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，4上存在零点”是“m ∈(1,6)”的必要不充分条件．故选B ． 3．(2020·北京市大兴区一模)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝x ＋1C ．y ＝－log xD ．y ＝(x －1)2答案 C解析 函数y ＝e x ＞0恒成立，不存在零点，即A 不符合题意；函数y ＝x ＋1＞0恒成立，不存在零点，即B 不符合题意；函数y ＝－log x ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，且当x ＝1时，y ＝0，所以函数的零点为x ＝1，即C 正确；函数y ＝(x －1)2在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即D 不符合题意．故选C ．4．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点答案 B解析 当x ∈(0,1]时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x ＞0，sin x ＞0，所以f ′(x )＞0，故f (x )在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (1)＝1－cos1＞0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点．当x ＞1时，f (x )＝x －cos x ＞0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故f (x )有5个零点． 6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＝x 的解，则x 0属于区间( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，13答案 C解析令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，f (x )＝x ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．f (x )＝3x －log 2(－x )的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x －log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．二、多项选择题9．(2020·山东德州高三模拟)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.则关于x 的方程f (x )＝k 的根的情况，下列结论正确的是( )A ．当k ＝1时，方程有一个实根B ．当k >1时，方程有两个实根C ．当k ＝0时，方程有一个实根D．当k≥1时，方程有实根答案ABD解析方程f(x)＝k化为e|x|＝k－|x|，设y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y1＝e|x|恰好有一个公共点时，k＝1.如图，若关于x 的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD．10．(2021·湖南郴州高三质检)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A．1<x1<2 B．x1＋x2<1C．x1＋x2<2 D．x1＜1答案AC解析函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y ＝－b的图象如图所示，可知1<x1<2,2x1－2＋2x2－2＝0，即4＝2x1＋2x2>22x1×2x2＝22x1＋x2，所以2x1＋x2＜4，所以x1＋x2＜2.11．(2020·海南中学高三月考)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．f (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x2－1，x≤1，|2－x|，x ＞1D ．f (x )＝1x－x答案 BCD解析 根据定义可知，若f (x )有不动点，则f (x )＝x 有解．对于A ，令2x ＋x ＝x ，所以2x ＝0，此时无解，故f (x )不是“不动点”函数；对于B ，令x 2－x －3＝x ，所以x ＝3或x ＝－1，所以f (x )是“不动点”函数；对于C ，当x ≤1时，令2x 2－1＝x ，所以x ＝－12或x ＝1，所以f (x )是“不动点”函数；对于D ，令1x －x ＝x ，所以x ＝±22，所以f (x )是“不动点”函数．故选BCD ．12．(2020·山东临沂高三模拟)定义域和值域均为[－a ，a ]的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，其中a ＞c ＞b ＞0，给出下列四个结论，其中正确的是( )A ．方程f (g (x ))＝0有且仅有三个解B ．方程g (f (x ))＝0有且仅有四个解C ．方程f (f (x ))＝0有且仅有八个解D ．方程g (g (x ))＝0有且仅有一个解 答案 AD解析 由图象可知对于函数y ＝f (x )，当－a ≤y ＜－c 时，方程有一解，当y ＝－c 时，方程有两解，当－c ＜y ＜c 时方程有三解，当y ＝c 时，方程有两解，当c ＜y ≤a时，方程有一解，对于函数y ＝g (x )，由图象可知，函数g (x )为单调递减函数，当－a ≤y ≤a 时，方程有唯一解．对于A ，设t ＝g (x )，则由f (g (x ))＝0，即f (t )＝0，此时t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，即t ＝g (x )有三个不同的值，又由函数g (x )为单调递减函数且a >c >b >0，所以方程f (g (x ))＝0有三个不同的解，所以是正确的；对于B ，设t ＝f (x )，则由g (f (x ))＝0，即g (t )＝0，此时只有唯一的解t ＝b ，即方程b ＝f (x )，此时有三解，所以不正确；对于C ，设t ＝f (x )，则由f (f (x ))＝0，即f (t )＝0，此时t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，当t ＝－b,0或b 时，方程t ＝f (x )均有三个不同的解，则f (f (x ))＝0有九个解，所以不正确；对于D ，设t ＝g (x )，则由g (g (x ))＝0，即g (t )＝0，此时t ＝b ，对于方程b ＝g (x )，只有唯一的解，所以是正确的．故选AD ．三、填空题13．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xln x ，x>0，x2－x －2，x≤0，则其零点为________.答案 －1,1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为－1,1.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m，x2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值范围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.16．(2020·聊城二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，0<x≤1，－1＋ln x ，x>1，若f (a )＝f (b )，则1a ＋1b的最小值为________.答案 1＋1e2解析 已知分段函数f (x )在两段区间内都是单调函数，若f (a )＝f (b )，则必然分属两段内，不妨设0<a ≤1，b >1，则f (a )＝1－ln a ，f (b )＝－1＋ln b ，即1－ln a ＝－1＋ln b ⇒ln a ＋ln b ＝ln (ab )＝2⇒ab ＝e 2.当1a ＋1b ＝be2＋1b ＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋e2b 时，令g (b )＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋e2b ，b ∈(1，＋∞)，由双勾函数性质可知g (b )在区间(1，e)上单调递减，在区间(e ，＋∞)上单调递增，所以g (b )min ＝g (e)＝2e ，此时a ＝e(不符合题意)，当1a ＋1b ＝1a ＋ae2＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋e2a 时，令h (a )＝1e2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋e2a ，a ∈(0,1]，由双勾函数性质可知h (a )在区间(0,1]上单调递减，所以h (a )min ＝h (1)＝1＋1e2，此时a ＝1，b ＝e 2.故1a ＋1b的最小值为1＋1e2.四、解答题17．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝错误!对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．解因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)＝mx－m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m<1－0－5－1，即－12≤m<－16.21 / 21。

第8讲：函数的单调性一、课程标准1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.掌握求函数的单调性的方法·3.能处理函数的最值问题。

二、基础知识回顾1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数；f()x1－f()x2x1－x2<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋ax(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反；(4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 三、自主热身、归纳总结1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12.故选B. 3、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D ) A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.4、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．5、已知函数2()361f x x x =--，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则13a =【答案】ACD ．【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=--⨯⨯-=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确；令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==--=--． 当1a >时，1t a a，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =--=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a ，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=--=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(－∞，1－2)，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别7、已知f(x)＝xx －a (x≠a)，若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(0，1]【解析】 任设1＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1） （x 1－a ）（x 2－a ）. ∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f(x 1)－f(x 2)＞0，只需(x 1－a)(x 2－a)＞0恒成立．∴a≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]．8、函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3]【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1<x <2. 如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．三、例题选讲考点一 函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间 (1)y ＝－x 2＋2|x|＋1； (2)f(x)＝x 2－2x －3； （3）212log (32)y x x =-+【解析】(1)由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]， [1，＋∞)．(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－2x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)． (3)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( )A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1，1)D.(－3，－1]212log (32)y x x =-+212log (32)y x x =-+【答案】C【解析】令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1).变式3、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12【解析】 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解；(3)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 考点二 复合函数的单调区间例2、（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)【答案】D【解析】函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8>0，解得x >4或x <－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．变式1、函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12C.(－2，3)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞【答案】 A【解析】 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A.变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。