关于欧氏几何的第5公设及非欧几何

关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。

比较了三种几何的主要特征及适用范围。

关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。

一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。

2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。

3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。

4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。

5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。

把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。

于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。

6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。

二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。

由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。

二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。

非欧几何的发现与建立的心路历程及其启示摘要：简述非欧几何的创立——从数学内部矛盾的引发、提出反问题、演绎出一个“不合常理”的体系、证明这个体系和确立非欧几何.在此基础上，阐述其对数学科学研究和数学教育研究的重要意义和影响.关键词：非欧几何；欧氏几何；“第五公设”；历程；启示Thediscoveryandtheprocessoftheestablishmentofnon-Euclideangeometryandits’InspirationLI Yi，LIN Li-yun(Department of Mathematics，Zhangzhou Teachers’College，Zhangzhou 363000，China)Abstract: This paper describes the creation of non-Euclidean geometry——it causes by the internal contradictions of mathematics 、make a counter question、deductive a “Irrational” s ystem、prove this system and establish the non-Euclidean geometry. On this basis，it describes the research’significance and impact to the mathematics research and mathematics education research.Key words: non-Euclidean geometry; Euclidean geometry; “The fifth postulate”; process; Inspiration.非欧几何在数学发展史上具有重要的地位。

它打破了欧氏几何的权威，使得几何学得到极大扩展，尤其是将公理化方法表现得淋漓尽致.另外，非欧几何艰难的发现历程同样具有研究的价值.本文尝试重新阐述非欧几何发现的心路历程，力图寻找出发现所面对的困难以及解决所使用的方法论，从而揭示非欧几何创立的完整过程，但不拘泥于细枝末节.在此基础上，结合数学科学研究和数学教育研究，提出一些启示。

欧⼏⾥得第五公设问题：⾮欧⼏何的产⽣关于欧⼏⾥得其⼈现在了解的很少.根据记载推断，欧⼏⾥得早年就学于雅典，在公元前三百年左右应托勒密王的邀请，在亚历⼭⼤城从事教学⼯作，传说他是⼀位温良敦厚的教育家，曾受教于柏拉图的“雅典学院”，深得柏拉图⼏何学的真传。

据传托勒密王曾问欧⼏⾥得有⽆学习⼏何的捷径，欧⼏⾥得回答说：“⼏何学⽆王者之道”。

另⼀则轶事说，⼀次⼀个学⽣刚学了第⼀个⼏何命题就问：“学了这些我能获得什么呢？”欧⼏⾥得叫来⼀个仆⼈吩咐说：“给这位先⽣三个分币，因为他⼀门⼼思从学过的东西中捞点什么。

”欧⼏⾥得写过不少数学、天⽂、光学和⾳乐⽅⾯的著作，现存的有《原本》、《数据》、《论剖分》、《现象》、《光学》、和《镜⾯反射》等，还有⼀些仅知其名内容失传的著作如《圆锥曲线》、《衍论》、《曲⾯轨迹》、《辩伪书》等。

所有的著作中，最重要的莫过于《原本》。

关于《原本》原始的⼿稿已不存在了，只有后来的⼀些修订本。

从1482年到19世纪末，它已⽤各种⽂字出了⼀千版以上，除《圣经》以外没有任何其他著作，其研究、使⽤和传播之⼴泛能够与它相⽐。

《原本》的中⽂译本为《⼏何原本》，它的英⽂原名为《Elements》，应译作《原本》，《⼏何原本》中的“⼏何”⼆字是利玛窦和徐光启在1307年翻译成中⽂时加上去的。

《原本》并不是单纯地讲⼏何，还包括了⼏何数论和初等代数的⼀些内容。

《原本》共⼗三篇（后来有⼈⼜附加了两篇），包括5条公理、5条公设、119个定义和465个命题。

其中公理和共设的区分是采⽤亚⾥⼠多德的⽅法，同时沿⽤当时尺规作图的演绎证明的思想。

另外，由于毕达哥拉斯学派的不可公度量的发现造成很⼤困难，《原本》中采⽤⽐例理论，把基础建⽴在⼏何直观上，避免了⽆理数所造成的困境。

《原本》中的公设是指只适⽤于⼏何的真理，包括5个：1、从任⼀点到任⼀点作直线（是可能的）；2、把有限直线不断循直线延长（是可能的）；3、以任⼀点为中⼼和任⼀距离[为半径]作⼀园（是可能的）；4、所有直⾓彼此相等；5、若⼀直线与两直线相交，且若同侧所交两内⾓之和⼩于两直⾓，则两直线⽆限延长后必相交于该侧的⼀点。

欧式几何的第五公理（原创版）目录1.欧式几何的概述2.欧式几何的第五公理3.第五公理与其他公理的关系4.第五公理的独立性证明5.第五公理在几何中的应用6.非欧几何的概述7.结论正文一、欧式几何的概述欧式几何，又称为欧几里得几何，是一种基于公理的几何体系。

它由古希腊数学家欧几里得所创立，主要研究空间中点、线、面的性质及其相互关系。

欧式几何有五大公理，这五大公理互相独立，可以推导出欧式几何的所有定理和结论。

二、欧式几何的第五公理欧式几何的第五公理是：“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

”这个公理描述了直线相交的性质，是欧式几何中的一个基本假设。

三、第五公理与其他公理的关系欧式几何的五大公理是相互独立的，它们共同构成了欧式几何的公理体系。

第五公理与其他公理没有直接的逻辑联系，但是它与其他公理一起，为欧式几何的研究提供了基本的理论基础。

四、第五公理的独立性证明19 世纪时，数学家 Eugenio Beltrami 证明了第五公设与前四个公理是相互独立的，即不能由前四个公理所证明。

这意味着第五公理是欧式几何体系中不可或缺的一个基本假设。

五、第五公理在几何中的应用第五公理在欧式几何中有广泛的应用，它推导出了许多重要的几何定理和结论。

例如，通过第五公理，可以证明同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

六、非欧几何的概述非欧几何是指不遵循欧式几何的第五公理的几何体系，它包括罗氏几何、黎曼几何等。

非欧几何在数学、物理和工程领域中有广泛的应用，它们是欧式几何的重要推广和发展。

七、结论总之，欧式几何的第五公理是欧式几何体系中的一个基本假设，它与其他公理相互独立，为欧式几何的研究提供了基本的理论基础。

第五公理在几何中有广泛的应用，它推导出了许多重要的几何定理和结论。

欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。

欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。

19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。

从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。

特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。

凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。

如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。

1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。

指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。

在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。

根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。

欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。

《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。

在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。

在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。

第五公设的早期探索（上篇）细心的读者也许注意到了，在介绍欧几里得与《几何原本》时，有一条也许是整部《几何原本》中最吸引眼球的命题未曾展开说明，那便是大名鼎鼎的“公设5”——也即第五公设。

不过当时说过“不久之后会有单独介绍”，现在就让我们兑现许诺，来介绍一下第五公设及对它的探索。

为避免偏离时间顺序太远，我们的介绍将只涵盖早期探索—确切地说，是所谓非欧几何诞生之前的探索。

至于非欧几何，则将留作未来话题。

第五公设之所以引发探索，在一定程度上是拜五条公设的表述繁简之别所赐。

为了看清这一点，我们将《几何原本》中的五条公设罗列于此：1. 在任意两点之间可作一直线。

2. 线段（有限直线）可任意延长。

3. 以任意中心及任意距离（为半径）可作一圆。

4. 所有直角彼此相等。

5. 若一条直线与两条直线相交，且同侧的内角之和小于两直角，则那两条直线任意延长后会在内角之和小于两直角的一侧相交。

既然罗列了公设，那么顺便说明一下，《几何原本》对公设的表述有一些细节上的瑕疵。

比如有些隐含之意未被述及。

具体地说，公设1没有述及在任意两点之间可作的直线是唯一的，公设2没有述及线段延长的方式是唯一的，第五公设未述及三条直线位于同一平面这一先决条件。

此外，同时使用“直线”和“有限直线”这两个术语，似乎意味着“直线”是无限的，其实却不然—否则就不会有第五公设中“两条直线任意延长”的说法了。

但撇开瑕疵不论，任何读到上述五条公设的人几乎必然会注意到的一个特点是：第五公设与前四条公设相比实在太繁复了，简直就像一条定理。

虽然从逻辑上讲，公设（以及公理和定义）无非是一个公理体系的推理起点，繁复与否并不妨碍功能。

但自古以来，对公设（以及公理）的一个重要判据就是自明性—或者用亚里士多德的话说，必须是明显为真却无法证明的命题，而表述繁复会损及自明性。

第五公设是欧几里得几何（平面几何1）与非欧几何（球面几何2、双曲几何3）的分野：在球面几何（又称黎曼几何）中，过直线外的任意一点没有直线能与之平行；在双曲几何（又称罗巴切夫斯基几何）中，过直线外的任意一点至少有两条直线与之平行。

第五公设与非欧几何第五公设指欧几里得几何《原本》中的第五公设，其内容为：在同一平面上，若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必交于该侧的一点．图11、欧几里得第五公设的试证古代数学家很早就注意到欧几里得几何《原本》有逻辑的缺点，他们经过两千年的努力来消除它．首先是针对公理系统，一方面是增加或改换公理，另一方面是试证第五公设．第五公设的试证在几何史上占极重要的地位．因试证第五公设而发现了非欧几何，以致引起我们对几何学观点的根本改变．欧几里得以后的两千年间，几乎所有的大数学家都曾试证过第五公设．原因是：它看起来较其他公设性质复杂，而且在《原本》中应用很迟，到第29个命题才第一次应用．因此人们怀疑它是否可做为定理来证明，即只根据其它公理和《原本》中前28个命题来证明．谈到某一命题的数学证明，就是说要根据采用的公理系统纯逻辑地导出它，只能用公理或用由公理已证明的定理做根据．但如前所述，欧几里得没有完善的公理系统，因此这些试证者不能充分明显地提出问题．实际上，第五公设的试证就是要使它成为绝对几何的逻辑推论．本文后面将证明：这是不可能的．因此两千年对第五公设的试证都失败了，这些证明都或明或暗地引用了和第五公设等价的命题，即导入新的假设（公理）以替换第五公设，这类议论不能称为第五公设的证明．直到十九世纪末才有几何学近代公理法的出现，在这以前，如何辨别几何学中证明的合理性，并无清楚的准绳．因此在一定程度上，第五公设的每个试证者会自以为他的假设是合理的，后来才知道所有这些证明都是站不住脚的．这使许多数学家怀疑：（从绝对几何）证明第五公设是可能的吗？这怀疑引导到积极的结果——非欧几何的发现．2、非欧几何的产生任何较大的数学分支甚或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作．这种数学积累的发展特别适用于非欧几何．我们已介绍非欧几何的先驱者萨开里、伦倍特的工作，还有须外卡尔特（F.K.Schweikart，1780—1859年）研究他称为的星空几何，他外甥托里努斯（F.A.Taurinus，1794—1874年）继续研究星空几何，还有其他人，可称非欧几何的先驱者．至于说到非欧几何的创造者，那就要说到高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855年，德国人），约翰·鲍耶（Johann Bolyai 1802－1860年，匈牙利人）和罗巴切夫斯基（nikolai I vanovich Lobatchevsky，1793—1856年，俄国人）了．被同时代人称为“数学家之王”的高斯，一生中从未出版过非欧几何的著作．在他死后，人们从他和一些数学家的通信以及他的遗稿中，才知道他由试证第五公设到发现新几何．他最初称为反欧几何，后称星空几何，最后称非欧几何．1824年他给托里努斯的信上说：“三角形的三角之和小于180°，这假定导引到特殊的、与我们的几何完全相异的几何．这几何是完全一贯的，并且我发现它本身，结果完全令人满意．除了某一常数的值不能先天地予以表示定义而外，在这几何里我能解决任何课题．我们给予这常数值愈大，则愈接近于欧几里得几何，而且它的无穷大值会使双方系统合而为一．”为了检验这两种几何应用的可能性，高斯测量了三个山峰构成的三角形（三边为69，85与197公里）的内角之和．由于实验误差相对太大，这实验没有证明任何结论．高斯为了“害怕引起愚人的喊声”而终生未出版他的非欧几何研究著作．约翰·鲍耶是数学家伏尔夫刚·鲍耶（Wolfgang Farkas Bolyai 1775—1856年，匈牙利人）之子．他没有听从他父亲阻止他试证第五公设的劝告，因而发现了新几何．1823年（当时他21岁）他写信给父亲说：“我坚决地决定出版自己的关于平行线的著作，……，我已经从乌有创造了整个世界”．1832年出版了约翰·鲍耶的著作，以附录形式附在他父亲的一本书后发表．“附录”的拉丁文是appendix；所以约翰·鲍耶的工作在数学文献上获得了“亚编原克斯”的称呼，它的真名很长：《叙述着关于一个和欧几里得第十一公理（注：即第五公设）的真伪无关的空间的绝对真实性的学说……》．伏尔夫刚·鲍耶把这附录送给知友高斯评阅．高斯回信说：他不能称赞约翰的工作，“称赞他等于称赞我自己，因为这研究的一切内容，你儿子所采用的方法和他所达到的一些结果几乎全部和我的一部分在30～35年前已开始的个人沉思相符合的缘故．我真是被这些所恐骇到顶点了．关于我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是一生里不愿发表的．大多数人对于那里所讨论的问题都抱着不正确的态度；我仅发觉少数人听了我和他们谈这件事，觉得有兴趣……．我的目标在于把它统写下来，免得和我一同湮没．使我快乐地感到惊奇的是现在可以免去这劳力的耗费，并且特别高兴的，在我的前面有这样惊异的姿态的人正是老友的儿子”．约翰对这评语感到沉重．他不相信别人比他更早达到同一结果，认定了高斯在这个发现上要夺优先权．高斯从来没有公开表扬过约翰的工作．约翰由于没有获得任何人的理解、同情和精神上的支援而陷入失望，并且抛弃了一切数学研究．俄罗斯数学家罗巴切夫斯基最初也企图用归谬法来证明第五公设．他企图由否定“同一直线的垂线和斜线必相交”这个命题引出矛盾，但推论一个接着一个，形成了一个新的几何系统，逻辑上并无任何矛盾．于是他开始相信第五公设问题不能只用逻辑的方法来彻底解决，而必须依靠实验．他于1835年写道：“从欧几里得时起二千年来枉费心机的努力，不得不使我怀疑在这概念本身中并不曾含有那种真理，就是我们想要证明的，并且象其他物理定律那样只能用实验（譬如说天文观察）来证实的真理．终于深信我的揣度是正确的，而且认为困难的问题已经完全得到解决，我乃在1826年就此问题写成了论文”．（见他的全集，卷二，1949年俄文版第147页）．1826年2月11日罗巴切夫斯基在喀山大学数理系宣读了他的关于这种新几何学的报告《关于几何原理的议论》．这一天被认为是非欧几何的诞生日．其后，他陆续出版了许多叙述这种新几何的著作：《关于几何原本》（1829年），《想像中的几何》（1835年），《想像中的几何在某些积分上的应用》（1836年），《具有完全平行线论的几何原本》（1835—1838年），《关于平行线论的几何研究》及其他．直到逝世前一年（1855年），他几乎失明了，还通过口授写了俄文和法文的著作《汎几何》．罗巴切夫基在科学的世界观里的唯物主义倾向，对于他创立这种新几何起了重要的作用．为了验证两种几何谁能更正确地反映现实空间的属性，他进行了天文观察．但是，限于仪器的精确度，他没有得到确定的答案．虽然如此，他用实践来检验理论的作法是正确的．他曾强调说：“……打算不依靠宇宙物质而仅从理智本身之中产生出来的一切数学原理，对于数学是毫无用处的”．（《H.II.罗巴切斯基传记的材料》，苏联科学出版社1948年版，204页）．可见，形式主义者把罗巴切夫斯基的发现看作“逻辑演习”和“理智游戏”的结果，这种看法是完全错误的．罗巴切夫斯基几何（以后简称罗氏几何）将在后面“附”中系统地介绍．但为了说明为什么这发现不被他同时代的绝大多数数学家所理解，以及说明这发现的意义，我们此处简单介绍部分内容．从欧几里得第五公设立刻推得定理：通过直线AB外的一点C，在平面ABC上可引一条且仅一条直线，使其与直线AB不相交．罗巴切夫斯基首先导入相反的新假设（以代替第五公设），即：通过直线AB外的一点C，在平面ABC上可引无数直线CG，使其和直线AB都不相交（如下图2）．同AB不交的这些直线与同AB相交的那些直线CM是由两条界限直线CE与CF所分隔开的，而CE和CF也都不和AB相交．两界限直线与AB的垂线CD构成同一角度ω．罗巴切夫斯基称这两界限直线为AB的平行线．CE沿A到B的方向平行于AB，而CF沿B到A方向平行于BA．ω＝∠DCE＝∠DCF称为对应于线段DC 的平行角．显然ω＝90°．我们立刻可见：欧几里得第五公设不成立（因为∠BDC＝90°，它与ω的和小于180°）．于是那些和第五公设等价的命题都不成立．于是后面可以证明：三角形内角和小于180°；矩形不存在；相似而不合同的图形不存在；两条不相交的直线间的距离不是常数且可以无限增大．图2罗巴切夫斯基发现了平行角ω和线段x＝CD之间的关系cot＝其中ρ为常数，称为罗巴切夫斯基空间的曲率半径．由这方程知：当x从0单调增加到ln2时，ω则从90°单调减少到0．罗巴切夫斯基的假设和它的推论从直觉来看是不合理的，这就引起了他同时代的人对他的几何的不信任，甚至讽刺、嘲笑．罗巴切夫斯基不顾别人嘲讽而勇敢为新几何奋斗．但是，在他生前，新几何未得世人承认．他死后，十九世纪六十年代高斯通信录出版了，其中对罗巴切夫斯基的著作给予高度评价，引起了人们的注意．1868年（即罗氏死后十三年），意大利数学家柏尔特拉米（Beltrami，1835—1900年），发表了论文《非欧几何的实际解释》，证明了罗氏平面几何的片段可实现于欧氏空间，即拟球面上的内在几何的片段．1870年，德国数学家克莱因（F.Klein1849—1925年）解决了罗氏几何全平面或全空间的实现问题，罗氏几何和欧氏几何一样没有矛盾的事实已证明了，罗氏几何最后获得了应得的承认．同时这也确定了：第五公设是不可能证明的．3、非欧几何与现代数学十九世纪数学有许多积极的发展．在几何方面，几何基础、微分几何和射影几何三支的发展道路起初相隔很远，但到十九世纪末却非常接近了，某些部分甚至会合在一起了，这使一些古老的几何问题放出光芒，还揭露了许多新问题．罗氏几何的创立不仅解决了第五公设的独立性问题，更重要的是：它扩大了对几何本身意义的认识．自从第一种非欧几何——罗氏几何的思想获得承认以后，几何学的发展便开始了繁荣的新时期，几何对象的推广，即抽象空间概念的形成，在数学的近代阶段中起了巨大的作用．开始的一个重要结果是由德国数学家黎曼（B.Riemann，1826—1866年）得到的．他1854年在哥丁根大学的讲演《关于作为几何学基础的假设》中提出了另一种非欧几何——黎曼几何．这种理论的形式演算叙述在他的应用于热传导问题的另一著作中．所以黎曼几何的产生与数学物理密切相关．这种几何在黎曼生前也未得到应有的估价．它有着比罗氏几何更加奇特的性质：共面任二直线都相交，三角形的内角和大于180°，等等．1872年克莱因在他的讲演《最新几何研究的比较评论》中（这演讲包含在《爱尔兰根纲领》里），给出了欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何在射影几何基础上的新的解释．到十九世纪末，黎曼几何已有很大的发展及应用，其他非欧几何也相继出现了．特别是二十世纪初期，非欧几何的研究对于那时发生的空间和时间的物理观念的改革起了重大作用．1915年爱因斯坦开始建立的广义相对论中假设：万有引力场显露在“弯曲”的时空流形中．这个四度空间的度量和欧氏空间的度量有差别，万有引力场由某个流形的黎曼几何来表示．因为有了黎曼几何这件工具才克服了建立广义相对论时所遇到的数学上的困难．有的学者（特别是B.A.福克）的研究表明：罗氏几何概念在天体物理、原子物理中都有应用，非欧几何可以直接用到物理学上去这个事实，促成了几何学理论进一步的发展．非欧几何在分析和代数方面的应用也胜过了欧氏几何，罗巴切夫斯基曾写道：“新的几何学……在几何学与分析学的互相应用上，开拓了新的、广大的园地”．（见他的《关于几何原本》一书）．他求出在罗氏空间表示弧长、曲面的面积、体积的积分，得出许多积分运算的新公式．这些公式若用直接运算来证实是很费力的，更不用说直接得到它们了．其后，法国数学家潘加来（H.Poincare 1854—1912年）用罗氏几何研究一种解析函数——自守（automorphic）函数，使它的基本区域变得简单而易于观察．对各种非欧几何的探讨扩大了几何在一般数学上的应用．又反过来对几何的发展起了促进作用．此外，罗氏几何产生的最重要的结果之一，是促进了对几何学基础的研究．后来又引起了对别的数学分支的基础的研究．公理方法已经成为现代数学的主要方法之一，它开始是由几何学基础的研究而发展起来的．数学发展的现代阶段的开端，特别是现代几何学的开端，通常以罗氏几何的发现作为其标志之一．附：罗氏几何一、罗氏平行公理及其推论由于罗巴切夫斯基保留了欧几里德几何公理体系中除了平行公理以外的全部公理，因此欧几里得几何（以下简称欧氏几何）中不牵涉平行公理的全部内容对罗氏几何也适用．不过，从平行线的定义开始，由于平行公理被罗氏平行公理所替代，罗氏几何的内容就与欧氏几何大不相同了．从此，我们将进入一个陌生的新世界．下面先说明罗氏几何中平行线的概念．罗氏平行公理过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交．设A是直线a外一点，根据罗氏公理，过A至少有两条直线BAB′和CAC′与a不相交．根据罗氏公理，可证明任何通过A并且介于直线BB′和CC′之间的直线b都与a 不相交，因此得到：推论过已知直线外一点可以作无数条直线与已知直线不相交（如下图3）．图3根据以上分析，过已知直线a外一点A的所有直线可以分成两类：（1）与已知直线a不相交的直线．（2）与已知直线a相交的直线．根据连续公理，这两类直线必存在分界线，例如下图中的直线MAM′和NAN′．我们就把它们定义为：过A点平行于直线a的直线．设AD⊥a，垂足是D，沿AD把左半平面折叠到右半平面上，则平行于a的直线AM图4（即分界线）必须重合于平行于a的直线AN．因此，过A并且平行于a的两条直线MAM′和NAN′对于a的垂线AD是对称的，它们与AD的夹角相等，即∠MAD＝∠NAD罗巴切夫斯基把这两个角叫做平行角，记成π（p），其中p是垂线AD之长，π（p）可以看成一个函数，自变量是A点，到直线a的距离p，函数值是过A平行a的直线的平行角．罗氏几何和我们所熟悉的欧氏几何有哪些不同呢？下面列表来对比一下它们主要的区别：欧氏几何罗氏几何三角形的内角和等于180°三角形的内角和小于180°并且不同的三角形有不同的内角和凸四边形的内角和等于360°凸四边形的内角和小于360°存在矩形不存在矩形存在相似形不存在相似形两三角形的三对角相等，则相似两三角形的三对角相等，则合同两平行线之间的距离处处相等两平行线之间的距离沿平行线的方向越来越小垂直锐角的一条边的直线总与角的另一边相交垂直锐角的一条边的直线不一定与角的另一边相交二、罗氏平面的模型为了证明罗氏几何的公理体系是相容的，在这一节中，我们特给出罗氏平面的两种模型．（1）罗氏平面的庞加莱（Poincare）模型．我们把坐标平面的上半部叫做罗氏平面，圆心在x轴上的半圆或垂直于x轴的射线叫做罗氏直线（图5）．下面再给出罗氏“平行”的概念．如果两条罗氏直线相切，而且切点在x轴上，则我们认为这两条罗氏直线是平行的．从这个意义上来说，我们可以把x轴看成罗氏平面上的无穷远线（图6）．图5图6给出一条罗氏直线a和线外一点A，显然过A点只能作两条罗氏直线b和c与a平行（图7）．因此在这个模型上，罗氏平行公理成立．图7（2）罗氏平面的克莱因（Klein）模型．把一个给定的圆的内部看成罗氏平面，把圆周看成罗氏平面的无穷远线，所谓罗氏直线就是这个圆的弦，如果两条罗氏直线（即两条弦）交于圆周（即无穷远线）上，则认为它们是平行的（图8）．图8显然在上述模型中，罗氏公理是成立的，因为给定一条罗氏直线a和线外一点A，很清楚过A点可以且只可以作两条罗氏直线（即两条弦）交于圆周（即无穷远线上），我们认为它们与a是平行的．现在，再来指出勒让德尔的错误，考虑△BAC中一点D（见图8的右图），我们不可能过D作一条直线既与AB边相交又与AC边相交．。

欧式几何932年，德国数学家希尔伯特终于出来宣布：“根据平行公理之外的公理来证明平行公理的尝试已经有两千多年(直到20世纪初)，始终未获成功。

双曲几何(非欧几何)模型的发现，揭露出这种证明的不可能性”(《直观几何》)。

一.第五公设，两千年来被公认的无法证明的公设。

欧几里得第五公设，也称为平行公设（parallel postulate），因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。

这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。

公设是说：如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。

其被称为不可证明。

原因有二。

(一)。

因为他与平行公设等价。

任何与平行线有关的证明方法与他无关。

Playfair 公理。

平行公设。

给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。

于是很多我们熟悉的命题都对他无效。

如：三角形内角和为两直角。

所有三角形的内角和都相等。

存在一对相似但不全等的三角形。

所有三角形都有外接圆。

.若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。

存在一对等距的直线。

若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。

三角形内角和为180度。

总而言之，他对一切与平行有关的定理“免疫”(二)。

它是欧几里得几何的五条基本公设之一，十大公理之一。

除了其余的九条，我们不能用其他的“几何”结论去证明此公设。

欧式几何的五条公设是：1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延伸成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

欧式几何的五条公理是：1、等于同量的量彼此相等。

2、等量加等量，其和仍相等。

3、等量减等量，其差仍相等。

4、彼此能够重合的物体是全等的。

5、整体大于部分。

二.证明方法：好了我们的限制条件已经很清楚了。

欧式几何的第五公理欧式几何的第五公理，也被称为平行公理，是欧几里德在其《几何原本》中提出的一个重要命题。

它表明了平行线的存在性和唯一性，为欧式几何体系的完备性提供了基础。

在欧式几何中，我们知道两条直线如果不相交，则它们要么平行于彼此，要么相交于无穷远处。

然而，在前四条公理中，并没有明确规定平行线的存在性和唯一性。

因此，第五公理的提出填补了这一空缺。

第五公理可以表述为：通过一点外一直线上存在且只存在一条与该直线平行的直线。

这意味着对于给定的一点和一条直线，我们可以通过该点作出唯一一条与给定直线平行的直线。

这个公理看似简单，但却具有深远的影响。

它为我们提供了处理平行关系的基本工具，并且在实际应用中具有广泛的应用价值。

首先，第五公理使得我们能够研究和证明关于平行线性质的定理。

例如，在证明两条平行线之间夹角相等时，我们可以利用第五公理来构造辅助线，并通过辅助线的性质来推导出结论。

其次，第五公理也为我们提供了解决实际问题的方法。

在建筑、工程和地理测量等领域，平行线的概念被广泛应用。

例如，在设计一座桥梁时，我们需要确保桥墩之间的支撑柱是平行的，以保证结构的稳定性。

而在地理测量中，我们需要利用平行线来确定地球上不同地点之间的距离和方位。

此外，第五公理还为我们提供了一种思考空间结构和性质的方法。

通过研究平行线与其他几何图形之间的关系，我们可以深入探讨空间中的对称性、相似性和共面性等概念。

总之，欧式几何的第五公理是欧几里德几何体系中不可或缺的一部分。

它为我们提供了处理平行关系、解决实际问题以及思考空间结构和性质的基本工具。

通过深入研究和应用第五公理，我们可以更好地理解欧式几何体系，并将其应用于实际生活中。