非欧几何的诞生及其给我们的启示论文

非欧几何的发现与建立的心路历程及其启示摘要：简述非欧几何的创立——从数学内部矛盾的引发、提出反问题、演绎出一个“不合常理”的体系、证明这个体系和确立非欧几何.在此基础上，阐述其对数学科学研究和数学教育研究的重要意义和影响.关键词：非欧几何；欧氏几何；“第五公设”；历程；启示Thediscoveryandtheprocessoftheestablishmentofnon-Euclideangeometryandits’InspirationLI Yi，LIN Li-yun(Department of Mathematics，Zhangzhou Teachers’College，Zhangzhou 363000，China)Abstract: This paper describes the creation of non-Euclidean geometry——it causes by the internal contradictions of mathematics 、make a counter question、deductive a “Irrational” s ystem、prove this system and establish the non-Euclidean geometry. On this basis，it describes the research’significance and impact to the mathematics research and mathematics education research.Key words: non-Euclidean geometry; Euclidean geometry; “The fifth postulate”; process; Inspiration.非欧几何在数学发展史上具有重要的地位。

它打破了欧氏几何的权威，使得几何学得到极大扩展，尤其是将公理化方法表现得淋漓尽致.另外，非欧几何艰难的发现历程同样具有研究的价值.本文尝试重新阐述非欧几何发现的心路历程，力图寻找出发现所面对的困难以及解决所使用的方法论，从而揭示非欧几何创立的完整过程，但不拘泥于细枝末节.在此基础上，结合数学科学研究和数学教育研究，提出一些启示。

非欧几何简介
非欧几何是一种生活方式，许多人认为它是享受生活的最佳方式。

它指的是未
受传统的几何模式限制的自由性和创造性。

它可以被理解为一种娱乐方式、表达方式，可以用来探索文化的未知领域，解放人的创造力，使其表达自我的能力更为多元化。

非欧几何的精神内涵，是不受任何模式和逻辑思维所绑定的创造和表达，它强
调心灵解放、空间中释放自由，以独特的思考方式，唤起个人创新和表达的潜能，能够自圆其说，创造出奇特而独具个性的形式。

在参与非欧几何活动中，人们可以获得自由表达的乐趣，可以不受对称度、折
痕规则、记忆度等局限性，完全以自己的方式来创造素材，以这种方式去发现生活的乐趣，体验来自心灵的自由，找到自我表达的可能性。

总之，非欧几何提供了一种新的娱乐方式，让我们能够在艺术创作和审美能力
上有新的体验。

不受传统几何模式的束缚，使人们能够通过发掘生活细节中的乐趣，进而得到扩充想象力、美学以及创造性的激励。

非欧几何的产生是认识论的转变欧几里德几何学体系在公元前300年被创立，发展了近两千年，成为近代几何学的基础。

然而，在19世纪中叶，随着数学研究的深入，人们开始怀疑欧几里德几何学的公理系统的完备性。

这引发了数学领域中的一场认识论革命，与欧几里德几何学相对立的，是非欧几何学的产生。

非欧几何学的诞生是认识论的转变的产物，其中最重要的一个认识论转变就是关于公理和证明的看法的变化。

在欧几里德几何学体系中，公理是被认为是不言自明、不可证明、不可疑问的真理。

公理的存在使得欧几里德几何学体系具有了确定性和严谨性，并且从公理出发可以推导出一系列定理。

然而，随着数学的发展，人们发现有些公理在不同的情境下会产生矛盾，这导致了公理系统的不完备性和不确定性。

因此，人们逐渐开始认识到，公理不是一种绝对的真理，而是人们基于经验和直觉得出的一种假设。

换而言之，公理需要验证，且验证的方法并不只是基于逻辑和推理，更需要实践的检验和验证。

非欧几何学的另一个重要认识论转变是对数学语言和符号的看法的变化。

传统的欧几里德几何语言非常形式化和抽象，只关注定理的证明，而不关注其意义和内涵。

相反，非欧几何学家开始关注符号的内涵和意义，强调语言与现实之间的联系。

他们认为，符号和语言只是智力的工具，不能将其与实际对象完全等同起来。

人们需要透过符号和语言，寻找真实的数学实体。

非欧几何的产生标志着数学的新阶段，即从认识论的角度看待数学的发展。

这种认识论的转变，推动了数学中心由公理和定理向实践和应用的转移，以及对数学本身和其在实践中的应用进行更深入的思考和研究。

与此同时，非几何学还提供了新的数学工具和思想，推动了数学的发展，并对其他领域的学科产生了深远的影响。

非欧几何带给我们的启示作者：韩志涛来源：《课程教育研究》 2020年第17期韩志涛（东北大学理学院数学系辽宁沈阳 110004）【摘要】历史上有一些事件影响深远，这样的事件之所以影响深远，是因为它们改变了人们的观念，然而历史上还没有哪个事件像非欧几何这样深刻地改变了人们的世界观，带给人们的是空前绝后的震撼，本文阐述了非欧几何的基本原理和它的影响，起到了用历史警示后人的作用。

【关键词】欧式几何非欧几何相对论黎曼几何【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）17-0229-02非欧几何带给数学的是震撼，同样的，带给物理学以及宇宙学的都是前所未有的震撼，因为它彻底地改变了人们的常识和观念，至今仍然有着无穷的魅力。

什么是非欧几何呢？欧几里得的《几何原本》至今仍然是中学平面儿何的基石。

《几何原本》五条公设中,前四条都容易验证，比方说，过平面上的两个点，可以而且只能连一条直线。

但是人们发现,第五公设“在平面上，过直线外一点,可以作一条平行于原来线的直线并且只能作一条直线”，这个结论很难用什么方法验证。

可以看出，欧几里得本人也不太相信这一公设,所以总是尽量避免直接引用它去证明其他问题。

因此在《几何原本》中,前28个命题的证明中没有用到第五公设,直到第29个命题时,才不得不用第五公设。

1815年,罗巴切夫斯基开始研究第五公设,经过10年的冥思苦想,公开声明，人们不能用其他公设、公理来证明第五公设,并得到了一条与第五公设相反的公理，即经过直线外一点，不是只能作一条，而是至少可以做两条直线和已知直线平行。

由其他原来公设,公理和修改了的公理体系,形成了新的非欧几何学，其中的严格证明类似于欧几里得几何:这种新的几何学称之为罗巴切夫斯基几何。

从罗巴切夫斯基建立的公理体系,通过逻辑推理的,可以得出与欧几里得几何完全不同的定理。

“如两个平行线之间的距离不一样”；“三角形三个内角之和居然小于180°等”；“没有矩形存在”；“彼得格拉斯定理不再成立，需要换成更复杂的公式”；“三角形的面积不能任意大”。

非欧几何非欧几何的产生与著名的第五公设问题密切相关，它是数学家们为解决这个问题而进行的长期努力的结果。

公元前3世纪，欧几里得从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，建立第一个几何学公理体系－欧几里得几何学，这个理论受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范，但人们感到欧氏几何中仍存在某种瑕疵，其中最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设”（即平行公理）。

大家普遍认为，这条公理所说明的事实通过直线外一点能且仅能作一条平行直线）并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它似乎缺少作为一条公理的自明性。

因此，尽管人们并不怀疑平行公理本身，但却怀疑它作为公理的资格。

历史上关于公理的证明遵循两条思路：其一是直接证明，妈试图将平行公理用欧几里得的欺中用一个更为自明的命题代之，沿着这条途径几乎毫无所获；其二是间接证明，即用反证法来证明，这种方法对非欧几何的产生具有特别重要的意义。

首先开创间接法证明的是17世纪意大利数学爱萨开里，尽管他始终相信平行公理是可以证明的。

在观念上与非欧几何相去其远，但是他珙富于启发性的新方法，并由此开辟了一条直接通往非欧几何的途径。

另一位对非欧几何的产生作出重大贡献的是瑞士几何学家兰贝尔特，人地对平行公理的可证明性提出了怀疑。

这是观念上的重大突破。

显然，沿着兰贝尔特的思路，贯彻萨开里的方法就会引向非欧几何学。

非欧几何学的创立直接归功于三位的数学家，他们是高斯、波耶和罗巴切夫斯基从时间上说，高斯在先，但高斯从未公开发表过这方面的论著。

在非欧几何方面论著最多，并为确立和发展非欧几何始终不渝的当扒罗巴切夫斯基。

罗巴切夫斯基出生在一个分期的公务员家庭。

大给在1815年左右开始研究平行公理问题。

1823－1826年间，他浓度用萨开里相同的方法证明第五公设，到了一系列重要的结果。

罗巴切夫斯基以深刻的洞罕力导致几何学革命的新思想。

人果断地放弃了关于欧氏几何惟一性的传统观念，大胆地确信：由再运行公理否定命题出发而得到的结果代表一种新的几何学，尽管这种几何学有许多结果是令人惊异的，甚至是不可思议的，例如，在这种几何里，三角形的内角和小于180度。

非欧几何的产生是认识论的转变欧几里德几何学是古代希腊人所发明的一种几何学，它是一种欧几里德空间上的几何学。

欧几里德空间指的是三维实数空间，也就是我们通常所说的三维空间。

欧几里德几何学主要研究空间中的点、线、面以及它们之间的关系。

在欧几里德几何学中，所有的几何命题都可以推导出来，不需要进行测量或实验。

因此，它被认为是一种完美的几何学。

然而，在欧几里德几何学发明之后的几百年里，一些问题逐渐浮现出来，这些问题在欧几里德几何学中无法回答。

这些问题包括：1.平面上的平行线是否会相交？3.如果将一条线段无限地延长，它会有多远？这些问题最终导致了非欧几何的产生。

非欧几何学是指不符合欧几里德公设的几何学，例如在非欧几何学中，平面上的平行线可能相交，球面上也可能存在平行线。

由于非欧几何学不再遵守欧几里德公设，因此有时也被称为“超几何学”。

非欧几何学的产生，标志着人类对于数学的认识和理解发生了重大的转变。

传统的欧几里德几何学基于直觉和想象力，而非欧几何学则需要更为抽象的思维方式和更深入的数学思考，因为非欧几何学的公设不再可以通过直觉和感性的判断得出结论，需要更为精密的推导和证明。

在认识论的角度来看，非欧几何学的产生也体现了人类对于现实世界的认识和理解的深入。

欧几里德几何学是基于人类对于三维空间的感性认识和直觉理解，而非欧几何学则考虑了更为复杂的空间维度和它们之间的关系。

非欧几何学的发展，也给人类对于世界本质的认识以启示，即我们所看到的现实世界并不是唯一的，也可能有许多我们无法想象的空间维度和规律。

不仅如此，非欧几何学在其它数学和科学领域也有着广泛的应用。

在物理学中，相对论理论也是一种非欧几何学，它改变了人类对于时空的理解。

在信息科学和计算机科学中，非欧几何学也有广泛的应用，例如在计算机图形学和计算机视觉中，利用非欧几何学的理论和方法可以更为准确地描述和处理物体的形状和几何特征。

总之，非欧几何学的产生，不仅是数学领域发展的一个里程碑，也是人类对于世界本质的认识和理解之一，它深刻地影响了人类对于数学、科学和哲学等领域的认识和理解。

几何学，作为数学的一个分支，研究的是空间的形状和属性。

传统上，欧几里德几何被认为是几何学的基础，它依赖于五条公理来建立空间的理论。

然而，在19世纪，一些学者开始对这些公理进行质疑，并提出了一种被称为非欧几何的新的几何形式。

非欧几何在几何学的发展史上起着重要作用，并为我们带来了新的思考方式。

非欧几何很大一部分是由德国数学家伯恩哈德·黎曼所推动和发展的。

他的工作对于几何学领域的新的探索起到了至关重要的作用。

黎曼在他的《非欧几何的基础》中提出了几何学的新概念，他将几何学从传统的平面或曲面推广到任何维度的空间。

这种扩展为我们的世界观打开了视野。

非欧几何的核心概念是非欧空间。

在欧几里德几何中，存在一个基本公理，即“过一点可以作唯一的与已知一致的直线”。

然而，在非欧几何中，这个基本公理被否定了。

在非欧空间中，存在无数与给定直线平行的直线。

这一思想的出现颠覆了我们对空间的常规认识，挑战了我们原有的几何学思维方式。

非欧几何的发展不仅仅影响了数学领域，也改变了物理学和哲学的思考方式。

例如，爱因斯坦的相对论是建立在非欧几何的基础上的。

相对论中的时空观念采用了非欧几何的思想，通过曲率和平行线的概念来描述宇宙。

非欧几何的属性也给人们带来了新的启示。

在欧几里德几何中，三角形的内角和总是180度，然而，在非欧几何中，三角形的内角和取决于其曲率。

如果是正曲率，那么三角形的内角和大于180度；如果是负曲率，那么三角形的内角和小于180度。

这种性质在我们日常的生活中并不容易直观地观察到，但它确实是几何学领域的一个重要发现。

虽然非欧几何的发展需要深厚的数学基础，但我们也可以从中得到一些启示。

非欧几何的出现告诉我们，我们的思维方式并不是唯一的，并且我们的认知可以随着新的发现而被改变。

这也提醒我们要保持开放的心态，勇于挑战现有的观念，并不断拓展我们的思维边界。

总的来说，几何学的非欧几何是对传统欧几里德几何的一次革命性挑战。

它提出了新的思考方式，改变了我们对空间的认识，并对物理学和哲学的发展产生了深远的影响。

非欧几何的诞生及其给我们的启示摘要：数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示．关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何1 非欧几何的发展史1.1 问题的提出非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设．1.2 问题的解决1.2.1 非欧几何的萌芽沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．1.2.2 非欧几何的诞生前面提到的一些数学家尤其是兰伯特，都是非欧几何的先驱，但是他们都没有正式提出一种新几何并建立其系统的理论．而著名的数学家高斯（Gauss 1777-1855）、波约（Bolyai 1802-1860）、罗巴切夫斯基（Lobatchevsky1793-1856）就这样做了，成为非欧几何的创始人．高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人．早在1792 年他就已经有一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧几里得第五公设不成立．1794 年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2 个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的，并且是真实的，能够应用的，为此他还测量了3个山峰构成的三角形内角，他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后，从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种新几何，他称之为“绝对空间中的几何”，并写了一篇26 页的论文《绝对空间的科学》．本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理论著》．当时的波约已建立起非欧几何的思想，并且相信新几何不是自相矛盾的，在1823-11-23 给他父亲的信中，波约写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不止”[1]，在非欧几何的3 个发明人中，只有罗巴切夫斯基最早且系统地发表了自己的研究成果．罗巴切夫斯基曾卓越的指出：“直到今天，几何学中的平行线理论还是不完善的，从欧几里得时代以来，两千多年来徒劳无益的努力，促使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（如天文检测）来检验．最后，我肯定了推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了”，“不论是如何给出的，只可以认为是说明，而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的”[2]．他的工作是在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外1 点可作2 条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系．经过推理后，得出3 个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验，例如用天文观测来检验．这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶．他的结论是在1826 年2 月的一次学术报告上以《简要叙述平行定理的一个严格证明》为题报告的．由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献，人们把这种几何称为罗氏几何．1.2.3 非欧几何的发展与确认非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义．罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标．1854 年，黎曼（G．F．B．Riemann 1826-1866）摆脱高斯等前人把几何对象局限在3 维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间．黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角．并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究．在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率．他指出对于3 维空间，有以下3 种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0．黎曼指出后2 种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学．黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2 条直线都有公共点(交点)．在黎曼几何学中不承认平行线的存在．它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的．黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面．19 世纪70 年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义．贝尔特拉米的模型是一个叫“伪球面”的曲面，它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得．贝尔特拉米证明，罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球面”片上的几何关系相符合：也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言，就有一个伪球面上的内蕴几何事实．这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义．克莱茵的模型比贝尔特拉米的简单明了．在普通欧氏平面上取1 个圆，并且只考虑整个圆的内部．他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）．可以证明，这种圆内部的普通（即欧氏）几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实．在克莱茵之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型：在欧氏平面内划1 条直线，而使之分为上、下2 个平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所做出的半圆作为罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立．这样一来，如果罗氏系统在今后出现了正、反2 个相互矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译，立即成为相互矛盾的2 个欧氏几何定理，从而欧氏几何就有矛盾了．因此，只要承诺欧氏几何是无矛盾的，那么罗氏几何一定也是相容的，这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱模型转化为欧氏系统的相容性证明．由于人们承认欧氏几何是相容的，因此，罗氏几何也是相容的．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．至此，历经2 000 余a，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实．2 非欧几何发展史的启示非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵（M. Klein）在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理，并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．2.1 对数学学科本身2.1.1 数学发展的相对独立性通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性，它可以独立于物理世界而进行，可以超前于社会实践，并反作用于社会实践，推动数学乃至于整个科学向前发展．19 世纪前，数学始终与应用数学紧密结合在一起，即数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题．但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验．非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维，按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解，于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂[1]．2.1.2 数学的本质在于它的充分自由非欧几何的创立，使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造出几何理论，然后由此决定他们的空间观．这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事．正因为如此，人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程．对此，M.克莱茵说：“数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治.康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由’”．2.1.3 几何观念的更新非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨．2.2.1 非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3 人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在，但他没有向世人公布他的新思想，他受康特（Kant）唯心思想的影响，不敢向传统几何学界达2 000 a 之久的欧氏几何挑战，以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究，终于发现了新几何．这其中还有一个故事，当高斯决定将自己的发现秘而不宣时，波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世，然而高斯回信给他的父亲F.波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容，你儿子采取的思路和获得的结果，与我在30 至35 年前的思考不谋而合”[3]，波约对高斯的回答深感失望，认为高斯想剽窃自己的成果，特别是在罗巴切夫斯基关于非欧几何的著作出版后，他更决定从此不再发表论文．罗巴切夫斯基在1826 年公开新几何思想后，并没有得到同代人的理解与赞扬，反而遭到讽刺和攻击，“可是没有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的灯塔，惊涛骇浪的冲击，十足显出他刚毅的意志，他一生始终为新思想而斗争[4]”．在他双目失明时，还口授完成了《泛几何学》．3 人们发现新几何的过程启示我们：只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求、捍卫超越时代的真理．一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3 人们同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为罗氏几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身精神的高度赞扬．2.2.2 非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立，解放了人类思想，新见解、新观点不断涌现，“数学显现为人类思想的自由创造物”[5]．数学的发展使康托由衷的说道：“数学的本质在于其自由”．这种思想活跃而且民主的艺术气氛，使数学以前所未有的速度向前发展．非欧几何曲折的创建历程及其所带来的数学的发展，使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性，促使人们树立宽容、包容一切的精神与美德[6]．2.3 哲学思想方面2.3.1 认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱（Henri Poincare）说过[7]：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源．简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理要么（感官观察的事实）．他指出：原理可能是简单的任意约定，但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件．事实上正是由于这一点，对于探索未知或目前无法感知的事物，我们可对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱因斯坦就说过[8]：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消[9,10]．2.3.2 打破人类的传统思维方式分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有“相容性”，即它是否有或会得出自相矛盾的结论．如果一个理论尚不能“自圆其说”，说明这一理论要么还只是人类经验的一种简单表述和列举，还没有进化到“理论”的高度；要么至少还需要进一步完善和改进．本来非欧几_何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的，而欧氏几何已被普遍接受．是否接受非欧几何势必产生这样的问题，矛盾的前提是否一定能够导出矛盾的结果？传统的思维方式认为这是一定的，即矛盾的前提必然导致矛盾的结果．接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚．随着时间的推移，特别是非欧几何的成果的广泛应用，使人们认识到：我们在建立理论的过程中不能保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果．因此，在理论的建立过程中，相容性是必须具备的[11]，特别是在导出某个结论的过程中，我们必须清醒的认识到建立的理论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性．2.4 对数学科研者2.4.1 勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗．罗巴切夫斯基的新学说，违背了2 000 多a 来的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”．他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击，甚至侮辱、谩骂，暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文；大主教宣布他的学说是“邪说”；大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”；即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”；连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德，在他的名著(浮士德)中写下了这样的诗句：“有几何兮，名曰：‘非欧’，自己嘲笑，莫名其妙”．面对种种攻击、嘲笑，罗巴切夫斯基毫不畏惧，寸步不让，他像屹立在大海中的灯塔，表现出一个科学家“追求科学需要的特殊勇敢”．罗巴切夫斯基坚信自己学说的正确性，为此奋斗一生．从1826 年发表了非欧几何体系后，又陆续出版了《关于几何原本》等8本著作．在他逝世前1 a，他的眼睛差不多瞎了，还口述，用俄、法2 种文字写成他的名著《泛几何学》．罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士．同样，一名数学工作者，特别是声望较高的学术专家，正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难，难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成果．数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的．我们每一位科学工作者，既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者．2.4.2 正确对待数学领域里的成就数学是一门历史性或者说积累性很强的学科．重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包含原先的理论．如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广．因此，有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被下一个人所破坏．惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”[12]．克莱茵在考察第五公设研究的历史特别是从18～19 世纪非欧几何由“潜”到“显”转变的100 多a 的历史过程时指出：“任何较大的数学分支或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作，充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人．这种数学积累特别适用于非欧几何”．事实上，自从《几何原本》以后到19 世纪，第五公设问题就像一块磁石一样广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗．这就形成了一个在科学史上时间跨度最长、成员最多，并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体．在这个共同体中，数学家相互交流思想，交换研究成果，对研究成果进行评议，形成不断竞争和激励的体制．罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．也可以说，罗氏几何的出现应归功与萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究．在今天分支越来越细的数学领域里，精通多个领域的知识的数学家也越来越少．对此，数学科研者应团结，相互进行交流；用平和的心态对待已取得的成绩，不骄不躁．2.5 对数学教师和数学学习者2.5.1 在质疑问难中培养创新思维罗巴切夫斯基认为，作为一名优秀的数学教师，讲授数学必须叙述精确、严密，所有概念都应当完全清晰．因为在他看来，数学课程是以概念为基础的，几何学尤其如此．所以他在备课中，通过对欧氏几何的逻辑结构的全面思考，发现了其逻辑体系的缺陷，使他感到非常困惑．他决心在自己的教学实践中消除那些缺陷．后来他确实编写了一本几何教科书《几何学教程》（1883）．他不仅在教材中形成并贯彻了他的非欧几何思想，而且他关于非欧几何的研究，始终是和教学活动相结合的．他关于非欧几何的许多定理都是在授课过程中推导出来的，在学生中交流、修改和完善的．我们可以肯定的说，他创立非欧几何的伟大成果是从几何教育改革的角度切入的，是一个数学教育家取得伟大突破的成功范例．正如数学史家鲍尔加斯指出的“罗巴切夫斯基希望建立起在教学法意义上无可指责的几何学”，“这是促使他改革新几何的重要原因”．“他对教学法的探讨，获得了出色的、开创几何学发展新阶段的、作为人类研究和征服周世界围新方法的科学结论”．所以作为一名21 世纪的数学教师，在平时的教学过程中要不断的学习这个时代的新的知识，要勇于质疑你已经掌握的知识；教学中要引导学生广开思路，重视发散思维；教师要精选一些典型问题，鼓励学生标新立异、大胆猜想、探索，培养学生的创新意识．2.5.2 在教学中训练学生的创新思维罗巴切夫斯基刚开始是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明．在仅存下来的他的学生听课笔记中，就记载着他在1816-1817 学年度几何教学中给出的几个证明．但他很快就意识到证明是错误的．前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明．于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答．罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的．“学起于思，思源于疑”，我们在探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展．教师不仅要善于设。

论非欧几何的诞生Non-Euclidean geometry又名非欧几里得几何，简称非欧几何。

通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》，其中的公式五“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

”从古希腊时代开始到19世纪的2000对年来，数学家们始终对这条公设耿耿于怀，试图解决并证明它，但对第五公设既无法正面证明，也无法从反面推出矛盾。

从《几何原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。

因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。

通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。

在长达两千年的漫长岁月中整个数学面貌已经焕然一新。

继解析几何和微积分诞生之后，新的数学分支纷纷脱颖而出。

无数困难问题得以解决。

许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。

但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。

大数学家们也不例外。

法国数学家达朗贝尔在1759年说。

第五公设问题是“几何原理中的家丑”。

18世纪，意大利的萨凯里提出用归谬法试图证明第五公设，萨凯里从四边形开始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D，这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断。

萨凯里还提出了钝角和锐角的假设，但是因为与经验认识违背，但是放弃了最后结论，但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法。

其后瑞士数学家兰伯特所作的工作与萨凯里相似，他也考察了一类四边形，其中3个角为直角，而第四个角有三种可能性：锐角，直角，钝角。

之后兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论。

他没有像萨开里那样囿于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第五公设的可证明性提出了怀疑。

在他的思想中甚至包含了非欧几何学可以存的想法，这是观念上的一个重要冲破。

非欧几何的创立：人类认识史上最伟大的成果非欧几何的创立与数学的变革非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。

经得起历史风霜考验的,只有欧几里得的《几何原本》《几何原本》作为古希腊数学的一种总结性再创造，作为欧几里得精心雕琢的数学模式，成为古希腊文化中的一块瑰宝。

但是，无论是把欧氏几何作为一种哲学的表现，还是把它作为一种基督教神的教义理性，欧氏几何中有关第五公设（即：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧面两个内角的和小于两直角，则这两条直线无限延长后在这一侧相交）的论述总让人感到有某些不尽人意的遗憾，比如语言叙述冗长，与公理、公设应有的明显、直观性和不证自明的真理程度似乎有些差别。

特别是，在第五公设的叙述中还隐含有直线可以无限延长的涵义，由于古希腊人在数学中对无限基本上采取了一种完全排斥的态度，因此这也引起了人们的关注和不安。

出于对柏拉图哲学的领悟，或是出于对欧氏几何体系的爱护，再加上后来对神学宗教的信仰，人们一直都希望能对欧几里得的第五公设做出新的叙述或能对它进行证明将其从公设中去掉而成为一个定理。

从公元前300年到公元1800年的这两千多年的时间里，几乎所有有作为的数学家、神学家都在第五公设上投入了大量的精力：哲学家、神学家希望能由此进一步完善欧氏几何的理想化地位，数学家则希望能使几何的逻辑演绎体系更加完美。

然而，在长达两千多年的时间中尽管数学家使用了不同的方法，结果却都没能获得成功。

这里有数学家萨开里（Saccheri 1667-1733）、兰伯特(Lambert 1728-1777)和陶里努斯(Taurinus 1794-1874)等人对非欧几何逻辑可能性的初步认识，但他们的努力离非欧几何的确立只有一步之遥。

非欧几何两千多年的失败历史无疑促使人们对这种证明的方法和目的等做出一定的反思，特别是由于正面的努力始终未能获得成功，因此，一些数学家就开始了反面的努力，即是希望能从相反的规定引出矛盾而用反证法证明第五公设。