非欧几何(要)

非欧几何简介Non
一、欧几里得几何与欧几里得空间
这里的欧氏几何描述二维平面的几何，高维的欧氏几何叫欧几里得空间（三维欧氏几何叫做立体几何）。

一句话概括，欧氏空间是欧氏几何在多维情况下的推广。

所以欧几里得几何又叫平面几何(plane geometry)（两要素：二维、曲率为0），它基于五条公设：
二、欧几里得几何与非欧几何
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波约指出，第五条平行公理不一定在所有的几何情况下都成立，并非几何真理，也就是三角形内角和不一定为180。

基于“三角形内角≠180°”的几何学叫做非欧几何。

以下图为例，在球上的三角形的内角和就大于180°，所以在球上的几何是非欧几何，叫做球面几何(spherical geometry)，它描述的是二维球面(2-dim surface)的几何，而不是包括球内部的球体(ball, solid sphere)。

三、第五公理/平行公理
第五公理为：
它也可以等价为：
如果将公设改为“可引最少两条平行线”引申的几何为罗氏几何（双曲几何）；
如果将公设改为“一条平行线也不能引”引申的几何为黎曼几何（椭圆几何）。

这第五公理的三个版本不能说都错或者都对，只是需要一定条件。

如果（曲面的）曲率=0，原公理成立；曲率＜0，双曲几何的平行公理成立；曲率＞0，椭圆几何的平行公理成立。

非欧几何简介欧氏几何与球面几何的区别与联系比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。

平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。

他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。

为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。

球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。

球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。

表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。

首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。

在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。

在球面上的几何中角超大于零。

不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。

所以我们可以说：当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。

因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。

因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。

另一种非欧几何通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。

当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。

有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？我们简单回顾一段几何发展史。

在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。

什么是非欧几何在相对论中的应用在探索科学的浩瀚宇宙中，相对论无疑是一颗璀璨的明星，而其中非欧几何的应用则如同神秘的密码，为我们开启了理解宇宙本质的新大门。

那么，究竟什么是非欧几何，它又是如何在相对论中发挥关键作用的呢？要理解非欧几何在相对论中的应用，首先得明白什么是非欧几何。

简单来说，非欧几何是与我们熟知的欧几里得几何不同的几何体系。

在欧几里得几何中，有一些被我们视为理所当然的公理，比如“过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行”。

然而，非欧几何打破了这些传统的观念。

非欧几何主要包括两种类型：罗氏几何和黎曼几何。

罗氏几何中，过直线外一点可以作无数条直线与已知直线平行；而在黎曼几何里，根本不存在平行线这一概念。

这些看似奇特的设定，却在描述真实世界的某些现象时，展现出了惊人的准确性。

相对论，特别是爱因斯坦的广义相对论，是对引力现象的全新理解。

在广义相对论中，引力不再被看作是一种力，而是时空弯曲的表现。

而时空的弯曲，就需要用非欧几何来进行精确的描述。

想象一下，一个巨大的天体，比如太阳，它的质量会使周围的时空发生弯曲。

在这种弯曲的时空中，物体的运动轨迹不再是欧几里得几何所描述的直线或者简单的曲线，而是遵循着非欧几何的规则。

例如，光在经过太阳附近时会发生偏转。

按照欧几里得几何的观点，光应该沿直线传播，但在广义相对论中，由于太阳造成的时空弯曲，光实际上沿着弯曲的路径前进。

这种现象的解释和计算，就离不开非欧几何的理论支持。

再比如，黑洞的存在也是相对论中非欧几何应用的一个典型例子。

黑洞是一种极度强大的引力源，其周围的时空被极度弯曲，形成了一个“事件视界”。

在这个区域内，时空的性质完全超出了欧几里得几何的范畴，必须借助非欧几何才能准确描述。

非欧几何还帮助我们理解了宇宙的膨胀。

根据观测，宇宙正在不断地膨胀，星系之间的距离在逐渐增大。

这种膨胀的宇宙模型，如果用欧几里得几何来描述，会遇到很多无法解释的难题。

但引入非欧几何后，我们可以更加合理地描述宇宙的大尺度结构和演化。

欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。

欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。

19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。

从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。

特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。

凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。

如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。

1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。

指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。

在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。

根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。

欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。

《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。

在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。

在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。

非欧几何简介欧氏几何与球面几何的区别与联系比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异欧氏几何球面几何过两点有唯一一条直线过两个非对径点有唯一一条直线（大圆）直线直线可以无限延伸大圆是封闭的、有限的角的含义两直线的交角两个大圆在交点处切线的交角（即两个大圆所在平面的二面角的平面角）两点间距离含义连结它们的直线段长度过两点的大圆中的劣弧弧长三角形内角和等于180°大于180°三角形面积底边长乘高线长的一半，其中A 、B 、C 为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）三角形全等条件SSS ，SAS ，ASA SSS ，SAS ，ASA ，AAA 相似性存在不全等的相似三角形同球面或等球面上没有相似三角形，不存在相似概念平行性过直线外一点有且只有一条直线与之平行任意两条直线必相交于两点；没有平行的概念勾股定理余弦定理正弦定理 通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。

平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid ，公元前300年左右）整理成系统的理论。

他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。

为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。

球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。

球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。

表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征欧氏几何球面上的几何直线都是两点间距离最短的道路大边对大角，大角对大边；三角形的性质两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

三角形全等的条件SSS，SAS，ASA两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。

首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。

非欧几何罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。

由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。

我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。

因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。

在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。

下面举几个例子加以说明：欧式几何：同一直线的垂线和斜线相交。

垂直于同一直线的两条直线互相平行。

存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

罗氏几何：同一直线的垂线和斜线不一定相交。

垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。

不存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。

从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。

所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。

但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。

1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。

这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。

欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。

罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。

第一篇非欧几何论几何原理今天咱们来聊聊一个超级有趣又有点烧脑的东西——非欧几何。

你一听几何，可能就想起那些规规矩矩的三角形、四边形，还有什么平行公理之类的。

但是非欧几何呀，就像是几何世界里的调皮小鬼，打破了我们常规的认知。

在传统的欧几里得几何里，那可是有一套很严格的规则的。

比如说平行公理，就像一个老顽固一样，规定着在平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。

这就好像是给几何图形们划了一条不能逾越的线。

可是非欧几何呢，它就偏不这么干。

非欧几何有两种主要的类型，一种是罗氏几何，一种是黎曼几何。

罗氏几何就像是一个叛逆的少年，它觉得在自己的世界里，过直线外一点可以作不止一条直线与已知直线平行呢！这可把那些习惯了欧几里得几何的人吓了一跳。

就好比大家都觉得天空是蓝色的，突然有个人说在某个地方天空是绿色的，这多让人惊讶呀。

而黎曼几何呢，更是个奇特的存在。

它觉得在它的地盘里，根本就不存在平行线这回事。

这就像是在一个奇怪的星球上，所有的线都像是被一种神秘的力量拉扯着，根本不会平行。

这在我们习惯了欧几里得几何的大脑里，简直是难以想象的。

你可能会问啦，这些非欧几何到底有啥用呢？其实啊，它们可有用了呢！在我们的现实生活中，欧几里得几何可以很好地描述我们身边的一些平面图形，像盖房子的时候，设计一些规则的形状，欧几里得几何就很在行。

但是当我们要研究一些大尺度的东西，比如说宇宙的形状，或者是一些弯曲的空间，非欧几何就闪亮登场啦。

就拿地球来说吧，地球其实是个球体，是个弯曲的空间。

如果我们用欧几里得几何的那一套来描述地球上的距离、方向之类的，就会出现很多问题。

但是黎曼几何就可以很好地处理这种弯曲空间的情况。

它就像是专门为这种弯曲的世界量身定制的工具一样。

非欧几何的出现，也让数学家们的思维更加开阔了。

以前大家都觉得欧几里得几何就是几何的全部，就像在一个小盒子里看世界。

但是非欧几何把这个小盒子打破了，让数学家们看到了外面更广阔的天地。

什么是非欧几何它与欧几里得几何有何不同在我们探索数学的广袤世界时，欧几里得几何是我们最初接触的重要领域之一。

然而，随着数学的发展，非欧几何的出现打破了传统的认知，为我们打开了全新的视角。

那么，究竟什么是非欧几何？它与欧几里得几何又有着怎样显著的不同呢？要理解非欧几何，我们得先回顾一下欧几里得几何。

欧几里得几何，是以古希腊数学家欧几里得的《几何原本》为基础构建的几何体系。

在这个体系中，有着一系列我们熟悉的公理和定理。

比如，两点之间直线最短；三角形内角和等于 180 度；平行线永不相交等等。

欧几里得几何在很长一段时间里被认为是描述空间和形状的唯一正确方式。

它在我们日常生活中的建筑、工程、制图等方面都有着广泛的应用。

我们所熟悉的房屋结构、道路规划，都遵循着欧几里得几何的规则。

然而，非欧几何的出现挑战了这种传统观念。

非欧几何主要包括两种类型：罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）。

罗巴切夫斯基几何中，最显著的特点是平行线不再是永不相交。

想象一下，在一个双曲平面上，过直线外一点可以画出多条与之平行的直线。

这与我们在欧几里得几何中的认知完全不同。

而且，在双曲几何中，三角形的内角和小于 180 度。

这种几何模型在一些特殊的物理学和天文学研究中具有重要意义。

黎曼几何则是另一种非欧几何。

在黎曼几何中，没有绝对的平行线概念。

并且，三角形的内角和大于 180 度。

这种几何在广义相对论中发挥了关键作用，帮助我们理解弯曲的时空。

那么，为什么会出现非欧几何呢？这其实是数学发展的必然结果。

当人们对空间和形状的认识不断深入，发现欧几里得几何在某些情况下无法很好地描述现实世界中的现象。

比如，在研究大尺度的宇宙空间或者微观世界时，欧几里得几何的局限性就逐渐显现出来。

从数学的本质来看，欧几里得几何是基于平坦的空间假设，而非欧几何则是对弯曲空间的描述。

这就好比我们在平地上走路和在山坡上走路的感觉是不同的。

欧几里得几何就像是在平地上行走的规则，而非欧几何则是在山坡或者更复杂地形上行走的规则。

非欧几何19世纪，由于各国数学家对欧几里得《几何原本≮五公设(见第五公设)的怀疑和探索，出现了许多不同于欧几里得几何的几何。

通常把这些称为非欧几何。

第一非欧几何——罗巴切夫基几何，就是在对平行公设的研究中诞生的。

罗巴切夫斯基是俄国数学家，1792年生于高尔基城的一个穷职员家庭。

他从小聪明好学，才思过人，15岁时以高材生的资格进入喀山大学，毕业即获硕士学位，后留校任教，历任教授、数学—物理系系主任、校长等职。

从1816年起，罗巴切夫斯基开始像他的前人一样尝试证明第五公设，但很快发现他的证明无法逃脱循环论证的错误。

于是他改变了研究方法。

罗巴切夫斯基首先提出两个不同的假设：(1)过直线AB外一点P只能作一条直线与AB不相交；(2)过直线AB外一点P不止作一条直线与AB不相交。

如采用(1)作公理，可以导出我们熟悉的欧几里得几何。

罗巴切夫斯基从(2)出发，推导出一系列前后一贯的命题，构成了逻辑上没有矛盾，但与欧几里得几何完全不同的另外一种几何。

罗巴切夫斯称这种新的几何系统为“虚几何学”。

1826年2月23日，俄国喀山大学物理—数学系的学术会议上，罗巴切夫斯基宣读了他的论文《几何原理概述及平行线定理的严格证明》，向被称颂为“几何学经典”的欧氏几何发出了挑战：“直到今天为止，几何学中的平行线理论是不完全的。

从欧几里得时代以来，两千年徒劳无益的努力，使我怀疑在概念(指…第五公设‟)本身之中，并未包含那样的真实情况!”1829—1830年他在《喀山学报》上发表《论几何基础》，这是世界上最早的非欧几何的文献；1837年他用法文发表了《虚几何学》；1840年用德文写他影响最大的专著《平行理论的几何研究》。

但由于罗巴切夫斯基的新学说背离了几千年的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威，也违反了人们的“常识”，因此，他的学说一发表，就遭到社会上的攻击、侮辱和谩骂。

科学院拒绝接受他的论文，大主教宣布他的学说是“邪说”，有人在杂志上谩骂罗巴切夫斯基是“疯子”。