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数学建模案例分析--线性代数建模案例（20例）数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题 0案例二. 配方问题 (3)案例三. 投入产出问题 (4)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (6)案例五. CT图像的代数重建问题 (9)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (11)案例七. 化学方程式配平问题 (14)案例八. 互付工资问题 (15)案例十. 电路设计问题 (18)案例十一. 平面图形的几何变换 (20)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (21)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (22)(屏幕制造商需要调整矩阵元素一适应其RGB屏幕.) 求将电视台发送的数据转换成电视机屏幕所要求数据的方程. (26)案例十五. 人员流动问题 (26)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (28)案例十七. 选举问题 (30)案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?(3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ①400 + x 1 = x 4 + 300②x 2 + x 3 = 100 + 200③x 4 = x 3 + 300 ④【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=??-=-??+=??-+=?其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300?? ?-- ? ? ?-?→初等行变换10011000101600001130000000--?? ? ?-- ? ??由此可得 142434100600300x x x x x x -=-??+=??-=-?即142434100600300x x x x x x =-??=-+??=-?.为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-??=-+??=-?可得213141500200100x x x x x x =-+??=-??=+?, 123242500300600x x x x x x =-+??=-+??=-+?, 132343200300300x x x x x x =+??=-+??=+?, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=??+=?+=?+=?【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125?? ? ? ? →初等行变换101012000000?? ? ? ? ???, 可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ?+=++=++=++=+?? (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型.这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.。
数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
1 数学建模经典例题某学校有三个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名.若学生代表会议设20各级席位,公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4个席位,现在丙系有6名学生转入甲乙两系,各系人数如表第二列所示,仍按比例(表中第三列)分配席位时出现了小数(表中第四列),在将取得整数的19席分配完毕后,三席同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的系,于是三系分别占有10,6,4席(表中第5列)因为有20个代表会议在表决的时候可能出现10:10的局面,会议决定下一届增加一席,他们按照上述方法重新分配席位,计算结果见表6,7列,显然这个结果对丙系太不公平了.因为总席位增加一席,而丙系却由4席减为3席.按照比例并参照惯例的席位分配系别学生学生人数 20个席 20个席位 21个席位 21个席位人数的比例(% 的分配的分配的分配的分配比例分配参照惯例比例分配参照惯例的席位的结果的席位的结果甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配分配方法解答:Pī/Nī表示第ī个单位每个代表名额代表的人数采用相对标准,引入相对不公平概念.如果P1/n1>P2/n2,则说明A方是吃亏的,或说对A方不公平.对A的相对不公平度:rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)=(p1n2)/(p2n1)-1对B的相对不公平度:rB(n1,n2)=(p2n1)/(p1n2)-1情形1:P1/(n1+1)>p2/n2,表明即使A方再增加一个名额,仍然对A方不公平,所以这个名额当然给A方情形2:P1/(n1+1)<p2/n2,表明A增加一个名额后,就对B方不公平,这时B的相对不公平度为:rB(n1+1,n2)=p2(n1+1)/p1n2-1情形3:(P1/n1)>p2/(n2+1) ,表明B增加一个名额后,就对A方不公平,这时A的相对不公平度为:rA(n1,n2+1)=p1(n2+1)/p2n1-1由以上三种情形可知,若情形1发生,名额给A方.否则须考查rB(n1+1,n2)和rA(n1,n2+1)的大小关系.如果rB<rA,则名额给方,否则给B方.由于rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1)等价于P2＊P2/n2(n2+1)< P1＊P1/n1(n1+1)若情形1发生,上式仍成立,记作Qi=pi＊pi/ni(ni+1)增加名额给Q值较大一方.Q甲=103＊103/10(10+1)=96.445Q乙=63＊63/6(6+1)=94.5Q丙=34＊34/4(4+1)=57.8因此名额加给甲班。
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数学建模和计算方法，常常用于估算复杂问题的数值解。
以下是一个用蒙特卡洛方法解决的简单例题：问题：估算圆周率π的值假设我们想使用蒙特卡洛方法来估算圆周率π的值。
我们可以通过在一个正方形内随机生成点，并计算落在一个四分之一圆内的点的比例来实现这一目标。
在一个边长为2R的正方形内（R是半径）生成随机点的坐标。
对于每个点，计算它到原点的距离（使用欧几里得距离公式：√(x² + y²)）。
如果该距离小于等于半径R，说明点落在四分之一圆内。
统计落在四分之一圆内的点的数量。
使用以下公式估算圆周率π的值：π≈ 4 * (四分之一圆内的点数) / (总点数)。
Python代码示例：import randomdef monte_carlo_pi(num_samples):inside_circle = 0for _ in range(num_samples):x = random.uniform(-1, 1)y = random.uniform(-1, 1)distance = x**2 + y**2if distance <= 1:inside_circle += 1pi_estimate = 4 * inside_circle / num_samplesreturn pi_estimate# 使用10000个随机点估算π的值num_samples = 10000estimated_pi = monte_carlo_pi(num_samples)print(f"估算的π值为: {estimated_pi}")通过增加生成随机点的数量（num_samples），您可以提高估算π值的精度。
蒙特卡洛方法的优点之一是，它的精度随着样本数量的增加而提高，因此可以灵活地控制估算的准确性。
这个例子演示了如何使用蒙特卡洛方法估算π的值，但这个方法也可以应用于解决各种其他复杂问题。
席位分配问题例题：有一个学校要召开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。
如何分配最为恰当？问题：（1）问20席该如何分配，如果有三名学生转系该怎样分配？（2）若增加21席又如何分配？问题的分析：一、20席分配情况：系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200席位分配10 6 4 20如果有三名学生转系，分配情况：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配10 6 4 20二、21席位分配情况：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.815 6.615 3.57 21按惯例席位分配11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。
要怎样才能公平呢？模型的建立：假设由两个单位公平分配席位的情况，设单位人数席位数单位A p1 n1单位B p2 n2要公平，应该有p1/n1 = p2/n2，但这一般不成立。
注意到等式不成立时有若p1/n1 >p2/n2 ，则说明单位A吃亏(即对单位A不公平)若p1/n1 <p2/n2 ，则说明单位B 吃亏(即对单位B不公平)因此可以考虑用算式p=|p1/n1-p2/n2|来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：某两个单位的人数和席位为n1 =n2 =10 ，p1 =120，p2=100，算得p=2另两个单位的人数和席位为n1 =n2 =10 ，p1 =1020，p2=1000, 算得p=2虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。
数学建模例题和答案卖饮料在超市里面有很多饮料卖，下面我们就一起来看一看他们的“出价”吧。
有两种不同的出价方法。
1、直接卖商品，如果你不直接卖你最喜欢的商品，那这个出价会让你感到失望，你可以在出了一个固定价位之后再进行加法，比如加到最低价，但也需要你给出其他的更高的底价。
2、根据“先升后降”原理：如果你卖一个饮料或者是有很多饮料可以一起卖，那么这个价格可以调整到最合适。
但是如果一个销售人员不能同时按“先升后降”原则来卖商品也是不合适的行为，所以可以将“先升后降”按照公式来进行计算。
如果顾客选择了“先升后降”规则来喝饮料时可以购买更多的商品。
比如1瓶100 ml （售价8元）装;2瓶50 ml （售价25元）装;3瓶100 ml×10袋=100 L (售价5元);4瓶50+10只需要3个工作人员进行售卖。
如果我们直接按公式进行计算，会得出“我们不需要1个工作人员进行售卖”或者“我们只需要1个售货员进行销售即可”这样的结论。
所以你是不需要对“先升后降价”规则有任何了解的。
1.根据“先升后降”原理，一个售货员只需要卖出100 ml的商品，那么这个价格是一个固定的8元；2.每卖出1个50 ml的商品，需要卖出3个50+10瓶装的商品才可以。
3.售货员只需要给该商品加上一元钱就可以了，那么这个价格应该是一元5元。
例：某超市出售的某种饮料共40箱，售价25元。
那么每箱需要卖多少钱呢？我们可以按这个公式计算：因为我们卖40箱需要20个售货员才能完成1箱的售卖，所以我们只需要卖出20箱饮料就可以了。
4.如果顾客需要买5箱50+10瓶装饮料就可以了吗？不可以，要想满足顾客需要，只能买5箱50+10瓶装。
2.根据“先升后降价”原理，一个售货员只需要在喝饮料时消费100 ml,那么这个价格是5元；而一个售货员需要在喝完饮料时再消费100 ml,那么这个价格是12元。
此时该售货员喝完100 ml饮料总的售价为12元。
数学建模皮尔逊相关系数例题皮尔逊相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
数学建模中，可以使用皮尔逊相关系数来评估变量之间的相关性。
以下是一个数学建模中使用皮尔逊相关系数的例题：假设你正在研究一个小型超市的销售数据，并想要确定某个产品的销售额与广告费用之间的相关性。
你已经收集到了该产品在过去12个月的销售额和广告费用的数据，现在你需要计算它们之间的皮尔逊相关系数。
销售额数据：[500, 600, 800, 1000, 1200, 1500, 1800, 2000, 2200, 2500, 2700, 3000]广告费用数据：[100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, 650]首先，我们需要计算这两个数据集的平均值。
销售额的平均值为：(500 + 600 + 800 + 1000 + 1200 + 1500 + 1800 + 2000 + 2200 + 2500 + 2700 + 3000) / 12 = 1691.67广告费用的平均值为：(100 + 150 + 200 + 250 + 300 + 350 + 400 + 450 + 500 + 550 + 600 + 650) / 12 = 375接下来，我们计算每个数据点与对应平均值的差异，并计算它们的乘积。
然后，将所有乘积相加并除以数据点数量，得到协方差。
(500 - 1691.67) * (100 - 375) + (600 - 1691.67) * (150 - 375) + ... + (3000 - 1691.67) * (650 - 375) / 12 = -78958.33然后，我们需要计算销售额和广告费用各自与对应平均值差异的平方和，并开根号。
然后将两者的乘积相加并除以数据点数量，得到两个变量的标准差的乘积。
√(((500 - 1691.67)^2 + (600 - 1691.67)^2 + ... + (3000 - 1691.67)^2) / 12) = 794.85√(((100 - 375)^2 + (150 - 375)^2 + ... + (650 - 375)^2) / 12) = 188.98最后，我们将协方差除以标准差的乘积，得到皮尔逊相关系数。
数学建模值班lingo例题和答案
例1
某工厂有两条生产线，分别用生产M和P两种型号的产品，利润分别为200元/个和300元/个，生产线的最大生产能力分别为每日100和 120，生产线每生产一个M产品需要1个劳动日(1个工人工作8小时成为1个劳动日)进行调试、检测等工作，而每个P产品需要2个劳动日，该厂工人每天共计能提供160劳动日，假如原材料等其他条件不受限制，问应如何安排生产计划，才能使获得的利润最大?
解:设两种产品的生产量分别为x和x，则
目标函数max z = 200x +300x,
例2
生产计划安排问题(@if函数的应用)。
某企业用A,B两种原油混合加工成甲、乙两种成品油销售。
数据见下表，表中百分比是成品油中原油A的最低含量。
成品油甲和乙的销售价与加工费之差分别为5和5.6（单位:千元/吨)，原油A，B的采购价分别是采购量x(单位:吨）的分段函数
f(x)和g(x)(单位:千元/吨)，该企业的现有资金限额为7200（千元)，生产成品油乙的最大能力为2000吨。
假设成品油全部能销售出去，试在充分利用现有资金和现有库存的条件下，合理安排采购和生产计划，使企业的收益最大。
解:设原油A,B的采购量分别为x, y，原油A用于生产成品油甲、乙的数量分别为x,，原油B用于生产成品油甲、乙的数量分别为x1,x，则采购原油
A，B的费用分别为f(x)和g(x)，目标函数是收益最大，约束条件有采购量约束，生产能力约束、原油含量约束、成品油与原油的关系、资金约束。
建立规划模型如下:
max z = 5(X1+x1)+5.6(X2+x2)- f(x)-g(x)。
建模课程设计-考试题目1. 蠓虫的分类实验目的: 学习利用向量夹角余弦建模方法进行生物种类的判别, 熟悉回代误判率与交叉误判率的计算, 熟练掌握Matlab关于向量的内积, 范数, 均值的计算, 提高综合编程能力.问题描述两种蠓虫Af和Apf已由生物学家根据触角长度和翅长加以区分, 现测得6只Apf和9只Af蠓虫的触长, 翅长的数据如下:Apf: (1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20, 1.86), (1.26, 2.00), (1.28, 2.00), (1.30, 1.96)Af: (1.24, 1.72), (1.36, 1.74), (1.38,1.64), (1.38,1.82), (1.38, 1.90), (1.40, 1.70), (1.48, 1.82), (1.54, 1.82), (1.56, 2.08)问题1. 如何依据以上数据, 制定一种方法, 正确区分两类蠓虫.2. 将你的方法用于触长, 翅长分别为(1.24, 1.80), (1.28, 1.84), (1.40, 2.04) 的3个样本进行识别.3. 设Af 是宝贵的传粉益虫, Apf是某种疾病的载体, 是否应该修改分类方法.4. 衡量两个向量之间的接近程度还有哪些方法, 据此建立新的判别方法, 并与上述方法进行比较, 由此你有何发现?2. 最速落径实验目的1. 熟悉用计算机模拟解决物理中的极小值问题2. 进一步熟悉多元函数求极值问题实验内容及要求问题提出: 如下图所示:图1设A, B 是不在一条铅垂线上的两点, 在连接A, B 两点的所有光滑曲线中, 找出一条曲线, 使得初速度为零的质点, 在重力作用下, 自A 点下滑到B 点所需的时间最短.分析: 由A 到B 的曲线如果是直线AB, 质点沿直线AB 的运动是匀加速的,0,A B v v ==平均速度()/22A B v v v =+=, 所需总时间为T =问题1: 对从A 到B 的曲线, 如果是a) 圆弧, b) 抛物线, 计算所需的时间, 圆弧和抛物线的选择不是唯一的, 你可任选一条, 看哪种方案所需时间少些. 时间与曲线的选择有关吗?问题3: 作图, 将模拟出来的最速落径曲线和理论曲线arccos(1)x y =-相比较, 比较模拟效果如何.问题4: 理论推导最速落径曲线方程: arccos(1)x y =-提示: 根据费马定律, 光在媒质中总是走最省时间的路线, 是否可以让质点模拟光的行为, 按照光的折射定律运行, 这样走出的轨迹就是最速路径.3. 投资的收益与风险实验目的: 学会利用线性规划建立数学模型的方法, 利用Matlab 在给定风险的条件下求解最大收益的投资方案, 建立风险与收益的函数关系.实验内容及要求1. 问题描述: 市场上有n 种资产(如股票, 债券等等), , (1,2,,)i S i n =供投资者选择, 某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资, 公司财务人员对这n 种资产进行了评估, 估算出在这一时期内购买i S 的平均收益率为i r , 并预测出购买i S 的风险损失率为i q , 考虑到投资越分散, 总的风险就越小, 公司确定, 总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量.购买i S 要付交易费, 费率为i P , 并且当购买额不超过给定值i u 时, 交易费按购买额i u 计算, (不买无需付费), 另外, 假定同期银行存款利率是0r , 既无交易费又无风险0(5%)r = (1) 已知4n =时的相关数据如表1:表1M 息, 使净收益尽可能大, 而总体风险尽可能小.(2) 试就一般情况对以上问题进行讨论, 并利用下表的数据进行计算2. 问题的分析与模型的建立建立一个确定投资比例的向量模型, 使资产组合的净收益尽可能大, 而总体风险尽可能小.设01234,,,,x x x x x 分别是银行存款和投资于1234,,,s s s s 的投资比例系数, 由于银行存款既无交易费又没有风险, 故000,0p q == 总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量, 于是投资组合总体风险为04max{}i i i F x q ≤≤=由于题设给出M 为相当大的一笔资金, 为了简化模型, 认为该公司投资每一项资产都超过给定的定值i u , 于是资产组合的平均收益率为40()i i i i R x r p ==-∑为了使平均收益率尽可能大, 而总体风险尽可能小, 采取固定总体风险的一个上界q , 使得总体收益取得最大, 运用Matlab 软件, 对总体风险的上界从[0,3], 取步长为0.01, 计算301种不同风险时的总体收益的最大值及相应的投资比例系数. 问题:1. 绘制投资方案的净收益率与风险损失率的关系曲线, 并分析之. 对该曲线给出函数描述.2. 计算风险为0.1,0.2,,2.5时的投资比例系数与收益.3. 建立一般情况下的投资组合模型, 并利用2中数据进行计算.4. 湖泊水质富营养化的综合评价实验目的： 学习利用距离函数建模的方法，掌握客观性圈中的变异系数法以及综合评价的基本方法，熟练掌握Matlab 处理矩阵的各种方法。
实验内容及要求： 近年来，我国淡水湖水质富营养化的污染日益严重，如何对湖泊水质的富营养化进行综合评价与治理是摆在我们门前的一项重要任务，下面两表分别为我国5个湖泊的实测数据和湖泊水质的评价标准：问题1. 试利用以上数据, 分析总磷, 耗氧量, 透明度和总氮这4种指标对湖泊水质富营养化所起的作用, 哪个所起作用最大.问题2. 对上述5个湖泊的水质进行综合评估, 确定水质等级.5. 足球赛排名问题实验目的:1. 学习建立效益型矩阵的方法, 利用各向量与理想点Mahalanobis距离函数进行排序.2. 熟练掌握Matlab中处理矩阵, 进行秩和比检验的方法实验内容及要求问题下表给出了我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级联赛中的成绩, 要求:1. 设计一个依据这些成绩排除诸对名次的算法, 并给出用该算法排名次的结果.2. 把算法推广到任意N个队的情况3. 讨论: 数据应具备什么样的条件, 用你的方法才能排出诸队的名次.对上表的说明如下:1. 12支球队依次记为T1, T2,, T12.2. 符号⨯表示两队未曾比赛3. 表中的数字表示两队比赛结果.6. 水中倒影实验目的: 模拟微幅波浪水中的倒影, 探究影响倒影长度的有关因素, 解释日常生活所观察到的现象. 问题描述：站在岸边看水中倒影, 仔细观察不难看出, 同样高的灯柱, 人灯间距越大, 灯光倒影越长; 人灯间距不变, 灯柱越高, 灯光倒影越长; 人站得越高, 所看到的同一个灯柱灯光的倒影越短; 波浪越大, 灯光倒影拉得越长; 灯光倒影根部清晰明亮, 顶部稀疏黯淡.问题1. 根据光的反射定律, 建立水中虚像的坐标 (,)P x y 与人, 物间距s , 物点高度a , 观察者高度b , 波浪大小θ(波浪表面与水平面的夹角)之间满足的方程式, 并用软件求出该方程的数值解, 画出物点在水中的虚像, 解释日常生活所观察到的这一物理现象. 参考数据：05, 1.8,100,10a m b m s m θ====问题2. 如果波浪不是对称的，比如迎风角与背风角相差几度， 那么，迎风与背风所看到同一个物体（这里假设,,a b s 都一样）的倒影长度是否一样长呢？请你观察风成波的形状，模拟计算并画出迎风和背风所看到的倒影图像，合理解释这一现象。
提示: 这里只考虑由风力所形成的微幅波, 波形曲线微圆余摆线, 参数方程为()sin 22cos 2h x t vt hy λθθθ=+-=其中, 波速为v7. 资源优化配置问题实验目的: 学习动态规划方法, 利用软件编程计算最优决策序列和总利润的最大值，并且掌握利用inline 建立编程函数的方法.试验内容及要求:问题：某公司新购置了某种设备6台, 欲分配给下属的4个企业. 已知各企业获得这种设备后年创利润如下表所示, 单位为千万元, 问应如何分配这些设备能使年创总利润最大, 最大利润为多少?8. 应聘问题实验目的: 随机模拟方法问题描述: 设想一个经理要从N个应聘者中雇佣一名秘书. 按照某种标准, 可以用1,2,,N 分别表示这些应聘者的优劣的绝对名次. 1表示最优者, N表示最劣者. 假设这些应聘者是逐个到来接受经理面试的, 并且应聘者到来的优劣次序是随机的.经理每次会见一名应聘者, 面试后决定录用与否. 如果录用到当时面试的应聘者, 则停止下面的会见, 否则面试下一位. 假定每个当时不被录用的应聘者是不能事后再召回录用的. 在经理每次面试后, 他只知道当时的应聘者与先前已面试者比较的相对名次, 而不知道当时应聘者的绝对名次. 现在要问经理要怎样决定他的录用策略, 或者说经理在何时停止他的会见(录用当时的应聘者) 是最优的. 当然这里最优要有一个标准, 通常采用下面的两种标准:(1) 第一标准: 使录用到最优应聘者的概率最大;(2) 第二标准: 使录用的应聘者的绝对名次尽量的小。
问题1.在以上两种不同标准之下, 分别讨论录用策略.问题2. 对N=100, 分别对不同的G(1,2,,100)G 做模拟, 求出成功的概率, 然后找出最优的G值, 并求出此时录用到第一名的概率。
问题3. 分别给出N=50, 100, 200, 300, 400时的最优的G值(用*()G N表示)及相应的成功概率,观察N趋向于无穷大时,*()G NN的值以及成功概率有无极限。
9. 猪的最佳销售问题一般从事猪的商业性饲养和销售总是希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润是饲养者必须首先考虑的问题。
如果把饲养技术水平、猪的类型等因素视为不变的，且不考虑市场需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。
也许有人认为，猪养的越大，售出后获利越大，其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就越多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。
试做适当的假设，引入相应的参数，建立猪的最佳销售时机的数学模型。
预备知识：盈亏平衡原理在一个追求最大利润的经济活动中，设X(t)为t时刻保有某种价值的对象所增加的价值，Y(t)为保有者t时刻所支付的费用，X(t),Y(t)分别为随时间递减和递增的函数，且X(0)>Y(0).保有者可以在某个时刻将保有对象出售以获得利润，那么保有者获得最大利润的出售时刻为盈亏时刻t*，t*满足表达式X(t*)=Y(t*).实验要求：1、设猪开始进行商业性饲养的时刻t=0, x(0)为t=0猪的体重，x(t)为猪在时刻t体重，X为猪在时刻t最大体重，y(t)为一头猪t时刻共消耗的饲养费用，x s为猪可售出的最小体重，小于x s的猪，收购站不予收购，t s为猪从重x(0)长到x s所需时间，C为猪的单位重量售价，C0为刚出生小猪的单位价格假设：（1）由于开始进行商业性饲养时已有一定体重，所以可以假设猪体重增长的速度将不断减慢，设反映猪体重增长速度的参数为α.（2）由于猪的体重越大，单位时间消耗饲养费用就越多，达到最大体重后，单位时间消耗的饲养费接近某一常数γ。
