《欧氏平行公理与非欧几何模型——庞加莱模型》PPT教学课件

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在球面上，如果我们把大圆作为 “直线”，那么这个结论就不正 确．这是一种怀疑方式，即“过直线 外一点，没有一条直线与该直线不相 交”．
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我们还可以用另一种方式来怀疑它， 即“过直线外一点，不只一条直线与 该直线不相交”．我们把这样改变后 的结论称为非欧（双曲）平行公 理．有双曲平行公理成立的情况下， 推导出来的所有定理所组成的几何体 系称为双曲几何．
结合图8-1，我们具体说明如下：
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设 l 为 内垂直于x的射线，或者圆心在x
上的半圆，点A为 l 外的一点，则过点A必可
作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆心 在x上，且与 l 相切（显然，切点在x上，而x
上的点都不在 内），那么经过点A就有两条
“非欧直线”与 l 都不相交，所以在内非欧
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那么是否在某个特殊的“平面”上， 可以把某种曲线叫作“直线”，此时， 非欧平行公理是成立的，这个“平面” 可作为非欧几何模型．
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下面，我们给出法国数学家庞加莱建立 的满足非欧平行公理的一种几何模型．
A
l
x 图8-1
A l
x
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在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘 的上半平面（不包含x 上的点）记为 （图81），现在考虑 内部的点，我们规定 内部
在球面上，大圆具有直线在平面 上的一些最基本的性质。例如，过两 点有且只有一条直线；两点之间的连 线中直线最短，等等，这些性质球面 上的大圆都具备．所以大圆可以作为 直线所具有的基本性质的一种说明或 解释，这种解释可以视为一种模型．
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现在我们来分析一下欧氏平行公理： “过直线外一点，有且只有一条直线 与该直线不相交．”在平面上欧氏平 行公理是不证自明的．因为这个结论 没有加以证明，所以我们当然可以怀 疑它是否正确．
的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直 于x的射线称为“非欧直线”．
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那么，在 内、圆心在x上的一段圆弧，或垂直于x的射线上的一条线段
是“非欧线段”，两条“非欧直线”的夹角是“非欧角”．
这样，在 内部建立了一个非欧几何的模型，在此模型内满足：过
直线外一点，不只一条直线与该直线不相交．
欧氏平行公理与非欧几何模型 ——庞加莱模上欧氏平行公理不成立的
原因，是我们把大圆当作“直线”， 因此任意两条“直线”都相交．但是 大圆是弯曲的，并非像直线一样是笔 直的；大圆的长度是有限的，而直线 的长度是可以无限增大的．
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那么，为什么把大圆作为“直线”呢？
三角形的面积与内角
三角形的面积与内角和
三角形的面积与180°
和无关．
减180°成正比．
减内角和成正比．
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平行公理是成立的．
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当然，在中我们还需要 说明两段“非欧线段”相等 （或说合同）的概念、两个 “非欧角”相等的概念等，这 就要涉及其他的数学知这就要 涉及其他的数学知识．这里就 不再介绍了．
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上面模型是庞加莱模型，庞加莱模型是一个双曲 几何的模型．
把“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相 交”作为公理推导出的几何称为椭圆几何．
非欧几何主要有椭圆几何和双曲几何，它们与 欧氏几何有明显的差异．
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欧氏几何
过直线外一点，有 且只有一条直线与该直 线不相交．
椭圆几何
双曲几何
过直线外一点，没有一
过直线外一点，不只一
条直线与该直线不相交． 条直线与该直线不相交．
三角形内角和为180°． 三角形内角和大于180°． 三角形内角和小于180°．