现代信号处理试题

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1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得到采样信号ˆ()a xt 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题：（1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω；（2）写出()a x t 和()x n 的表达式；（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。

解：（1）000()()2cos()()j tj ta a j t j t j t X j x t edt t edte e e dt∞∞-Ω-Ω-∞-∞∞Ω-Ω-Ω-∞Ω==Ω=+⎰⎰⎰上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：00()2[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω （2）0ˆ()()()2cos()()()2cos(),a an n xt x t t nT nT t nT x n nT n δδ∞∞=-∞=-∞=-=Ω-=Ω-∞<<∞∑∑2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数：（1）最小记录时间min p T （2）最大取样时间max T （3）最少采样点数min N（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N 值。

解：（1）已知50F Hz ≤min 110.0250p T s F === （2） max 3min max 1110.52210s T ms f f ====⨯ （3） min 30.02400.510p T s N T s-===⨯ （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s 实频率分辩率提高1倍（F 变成原来的12）min 30.04800.510p T s N T s-===⨯3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ 采样，然后对采到的N 个抽样做N 点DFT ，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ 。

某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ 能有一根谱线，于是他用8KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。

问：他的目的能达到吗？答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。

提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。

采样频率由s f 到2s f 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz N f N f ss 10022== 一点也没有变。

所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率)222(NN ππ→ ，不能提高模拟频率的分辨率。

4、在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用解：在D A / 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。

此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。

在A D / 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。

5、已知10,)1)(1(1)(12<<---=-a az az a z H ，分析其因果性和稳定性。

解： )(z H 的极点为1,z a z a -==，（1）收敛域1z a -<≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。

单位脉冲响应()()()n n h n a a u n -=-，这是一个因果序列，但不收敛。

（2）收敛域a z <≤0，对应的系统是非因果且不稳定系统。

其单位脉冲响应()()(1)n n h n a a u n -=---，这是一个非因果且不收敛的序列。

（3）收敛域1a z a -<<，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。

其单位脉冲响应()n h n a =，这是一个收敛的双边序列。

6、什么叫做数字滤波器？FIR 和IIR 的比较和各自的设计方案？答：所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。

FIR ：有限脉冲响应滤波器 IIR ：无限脉冲响应滤波器★ IIR 极点可存在与单位圆的任何地方,有较强的幅度选择性,但相位特性差。

FIR 相位呈线性，但幅度特性需高阶才可调节的较好。

★ FIR 计算不产生振荡,误差影响小,可以采用FFT 算法。

IIR 有稳定问题，有限字长可能产生振荡，同阶递归算法速度受到限制。

★ IIR 可用模拟滤波器成果，得到有效的封闭式公式，设计工作量小，要求低。

FIR 仅窗函数有公式，但无显式表达通、阻带，需要计算机辅助设计。

★ IIR 设计已规格化，频率特性为分段常数的滤波器。

FIR 主要适应特殊应用，且高阶IIR 不易达到指标的滤波器。

ＩＩＲ数字滤波器设计 ★直接设计：原型变换（由一低通经过频率变形设计低通、高通、带通、带阻等）频域设计（零、极点配置；幅度平方函数），时域设计（帕德（Pade ）逼近；波形形成）★ 优化技术设计（依据一定的优化准则进行设计）ＦＩＲ数字滤波器设计★线性相位：零点的镜像存在。

偶对称：奇对称： ★窗函数（时域加权平均）：矩形，三角，余弦，布莱克曼(Blackman)系列，凯塞(Kaiser)系列，高斯★频率取样：在H(z)的单位圆上等分取样(是否带初相) ★优化技术设计：（依据一定的优化准则进行设计） 7、有一连续信号()2cos(2a x t f πϕ=+），式中20f Hz =， 2π=ϕ, 1) 求)(t x a 的周期；2) 用采样间隔T=0.02S 对)(t x a 进行采样，写出采样信号ˆ()a xt 的表达式； 3) 画出对应ˆ()a xt 的时域离散信号（序列()x n 的波形，并求出()x n 的周期。

解：（1）)(t x a 的周期是10.05a T s f== （2）ˆ()cos(2)()a n xt fnT t nT πϕδ∞=-∞=+-∑cos(40)()n nT t nT πϕδ∞=-∞=--∑（3）()x n 的数字频率为0.8w π=，252w π= 周期5N =。

()cos(0.8/2)x n n ππ=+，画出其波形如题12解图所示。

8：长度为N=10的两个有限长序列⎩⎨⎧≤≤≤≤=95,040,1)(1n n n x ⎩⎨⎧≤≤-≤≤=95,140,1)(2n n n x 作图表示)(1n x 、)(2n x 和)()()(21n x n x n y ⊗=(圆周卷积)，循环卷积区间长度L=10。

解：)(1n x 、)(2n x 和)()()(21n x n x n y ⊗=分别如题3解图（a ）、（b ）、（c ）所示9：若序列()h n 是因果序列，其傅里叶变换的实部为()1cos()jwR H e w =+，求序列的()h n 及其傅里叶变换H(e jw )。

解：11()1cos()1[()]()22jwjw jwjwn R e e n H e w e eFT h n h n e ∞--=-∞=+=++==∑1,12()1,01,12e n h n n n ⎧=-⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩0,01,0()(),01,12(),00,e e n n h n h n n n h n n other n <=⎧⎫⎧⎪⎪⎪====⎨⎬⎨⎪⎪⎪>⎩⎭⎩/2()()12cos2jwjwnjw jw n wH e h n ee e ∞-=-∞==+=∑ 10、什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。

所谓严平稳随机过程是指它的任何n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。

严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。

11、写出香农公式表示式，简述香农公式的含义？答：若噪声)(t n 的单边功率谱密度为0n ，则在信道带宽B 内的噪声功率为0N n B =。

香农公式可以表示为：20log (1)(/)sC B b s n B =+。

香农公式的意义：公式表明增大信号功率S 或减小噪声功率N （或减小噪声功率谱密度0n ）可以增加信道容量，增大信道带宽B 也可以增加信道容量，但不能使信道容量无限制增大。

香农公式给出了通信系统所能达到的极限信息传输速率。

12、为消除码间干扰，基带系统特性应满足什么条件？答：码间干扰是指接收信号中除当前码元波形以外的其它码元波形在当前抽样时刻的总和，它对当前码元ak 的判决起着干扰作用，所以称为码间干扰。

若想消除码间干扰应有00[()]0Sa h k n Tt -+=∑，假设延迟00t =，无码间串扰的基带系统应满足：时域条件：{1,00,()k S k h kT ==为其他整数频域条件为：2()S iS i h T T πω+=∑ sT πω≤ 13、某宽带调频系统，调制信号为4()cos(210)m t t π=⨯，载频MHz fc100=，最大的频率偏移50f kHz ∆=，信道噪声的单边功率谱密度12010/n W Hz -=。

若要求系统解调器输出信噪比为30dB 。

试求：（1）调频指数f m ？（2）调频信号的带宽FM B ？（3）调频信号的频域表达式？解：51050==∆=kkffmmf（1）2()120FM m B f f kHz=+∆=（2）4()cos(25sin 210)FMc St A f t t ππ=+⨯23(1)450f f G m m =+=得：3240101/10200.5207.310()4509922S N S A A V n N G B =====⨯• 故474()7.310cos(2105sin 210)FM S t t t ππ-=⨯⨯+⨯14、已知电话信道的带宽为3.4kHZ ，信道输出信噪比S/N=30dB,该信道输出128个符号，个符号等概率出现且相互统计独立，试求：（1）该电话信道的信道容量。

（2）无误码时最高的传输符号速率。

解：（1）3422log (1) 3.410log (1001) 3.3910(/)SC B b s N=+=⨯=⨯ （2）2log 1287()H bit == 433.3910 4.84107B C R H ⨯===⨯ 15、自设试题：（1）在描述随机信号的频率特性时为什么不用信号的傅里叶变换而改用功率谱估计？（2）观察上述框图，说出这是哪一种经典功率谱估计的方法，并写出描述估计关系式。

现代数字信号处理题库

《现代数字信号处理》试题一、计算题（1）已知曲线 ()()(),()C p x p y p =的曲率可表达为()3222p pp pp ppp x y x y xy κ-=+a. 求椭圆 ()(cos ,sin )C a b θθθ=当0θ=和2π时的曲率。

答案：223/222223/22222223/222sin ;cos ;()(sin cos )cos ;sin ;sin cos /(sin cos );0/;/2/x a y b x y a b x a y b x y x y ab ab abab a b a b b a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθκθθθκθπκ=-=+=+=-=--=+==+=⇒==⇒=b. 试求抛物线2y ax =，当0x =时的曲率。

答案：2223/2223/2223/2223/2()(,);1;2;()(14)0;2;()/()2/(14);02x x x x xx xx x xx xx x x x C x x ax x y ax x y a x x y a x y x y x y a a x x aκκ===+=+==⇒=-+=+=⇒=c ．试求椭圆22221x y a b += 在(0,)b 和(,0)a -两点的曲率各为多少？ d.已知三次曲线32211,432y ax bx cx d b ac =+++>式中，求在y 取局部极值时的曲率。

答案：由21,0;,2;x xx x xx x x y ax bx c y ax b ===++=+再由21,20x y ax bx c x =++=⇒=代入公式，得()1,23222x xx xx xxxx y x y xy κ-==+（2）a. 若一数字图像的灰度直方图如下图所示，试画出其累积直方图。

b ．若一连续图像的面积函数如下图所示，试画出其直方图。

(3)a.假设有一连续图像的灰度可表达为220022()()(,)exp([])x yx x y y I x y σσ--=-+写出灰度值为0.5的水平集的数学表达式，并画出此水平集的草图。

现代信号处理_公开题

1．（必选，10分）在统计信号处理中，人们常常假设信号或噪声服从高斯分布, 充分说明这个假设的理论根据以及在实际应用中带来的优点。

2． (必选，10分) (高阶累积量) 设1()[(),,()]TN N t x t x t C =∈x 为一复值矢量随机过程，假设()t x 的每个分量的均值和奇次矩都为零，给出123456***6[(),(),(),(),(),()]m m m m m m Cum x t x t x t x t x t x t 的M-C 公式，其中12345,6,,,,1,,m m m m m m N = ，上标T 和*依此表示取转置和复共轭。

3．1（三选一，10分）假设存在一个由11个阵元构成的立体阵列，建立x-y-z 直角坐标系，11个阵元的坐标分别为（1，1，1），（1，2，1），（2，1，1），（2，2，1），（1，1，2），（1，2，2），（2，1，2），（2，2，2），（1，2，3），（2，1，3），（2，2，3），空间远场处一信号源发射电磁波，假设信号源方位角为ϕ，俯仰角为θ，波长为λ，试写出阵列相对于该信号源的导向矢量。

3．2（三选一，10分）证明导向矢量矩阵与信号子空间之间可以互相（张成）表示。

3．2（三选一，10分）推导Levinson 递推公式。

4．1（二选一，10分）在卡尔曼滤波中，用下标“i ”表示时刻“i t ”。

给定状态方程和观测方程的离散形式分别为.11,111i i i i i i i i -----=++x Φx Γu wi i i i =+z H x v式中i x 是1n ⨯维状态向量；i u 是1r ⨯维控制向量，它是确定的非随机向量；已知的.1i i -Φ和,1i i -Γ分别为n n ⨯的状态转移矩阵和n r ⨯的控制矩阵；i w 为1n ⨯维随机噪声；i z 为1m ⨯维观测向量；已知的i H 为的m n ⨯维矩阵；i v 为-1m ⨯维量测噪声向量。

现代信号处理大作业题目+答案

研究生“现代信号处理”课程大型作业（以下四个题目任选三题做）1. 请用多层感知器（MLP ）神经网络误差反向传播（BP ）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]X T =，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。

其中，非线性函数采用S 型Logistic 函数。

2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补)，进而实现四带滤波器组；并画出其频响。

滤波器设计参数为：F p ＝1.7KHz , F r ＝2.3KHz , F s ＝8KHz , A rmin ≥70dB 。

3. 根据《现代数字信号处理》（姚天任等，华中理工大学出版社，2001）第四章附录提供的数据(pp.352-353)，试用如下方法估计其功率谱，并画出不同参数情况下的功率谱曲线：1） Levinson 算法2） Burg 算法3） ARMA 模型法4） MUSIC 算法4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11), 系统输入是取值为±1的随机序列)(n x ，其均值为零；参考信号)7()(-=n x n d ；信道具有脉冲响应：12(2)[1cos()]1,2,3()20 n n h n W π-⎧+=⎪=⎨⎪⎩其它式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2～4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等)，且信道受到均值为零、方差001.02=v σ(相当于信噪比为30dB)的高斯白噪声)(n v 的干扰。

试比较基于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线):1）横向/格-梯型结构LMS 算法2）横向/格-梯型结构RLS 算法并分析其结果。

图1 横向或格-梯型自适应均衡器参考文献[1] 姚天任, 孙洪. 现代数字信号处理[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 2001[2] 杨绿溪. 现代数字信号处理[M]. 北京: 科学出版社, 2007[3] S. K. Mitra. 孙洪等译. 数字信号处理——基于计算机的方法(第三版)[M]. 北京: 电子工业出版社, 2006[4] S.Haykin, 郑宝玉等译. 自适应滤波器原理(第四版)[M].北京: 电子工业出版社, 2003[5] J. G. Proakis, C. M. Rader, F. Y. Ling, etc. Algorithms for Statistical Signal Processing [M].Beijing: Tsinghua University Press, 2003一、请用多层感知器（MLP）神经网络误差反向传播（BP）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。