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习题 12.11. 判断下列方程是几阶微分方程:;)1(2y x dxdy +=;042)2(2=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy dx dy x;052)3(322=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d x 2334(4)2()1xy x y x y x '''++=+.解 (1)是一阶线性微分方程; (2)是一阶非线性微分方程; (3)是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）2xy y '=，25y x =； （2）0y y ''+=，3sin 4cos y x x =-； （3）20y y y '''-+=，2e x y x =； （4）2()0xy x y yy ''''++=，y x =． 解 (1)是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π .42π-=C 从而所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.(1) 一曲线通过原点，并且它在(,)x y 处的切线斜率等于2x y +; (2) 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.解：由题意，2y x y '=+，00x y==解：设该曲线的方程为()y f x =，(,)x y 为其上任意一点，该点处的切线斜率为y '，过该点的切线方程为()Y y y X x '-=-。
1第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1．填空： （1）1+1(-1)n n n -．（2）__0__．（3）111+-n ， _1_． （4）11+-n a a ，1a a -．（5） 收敛 ，12-s u ．（6） 发散_． 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：级数的部分和为...n s +++1-．因为lim 1)n n n s →∞→∞=-=+∞，即部分和数列不存在极限，所以原级数发散． （2）解：将级数的一般项进行分解得211111()(1)(1)2111n u n n n n n ===-+--+-， 所以，级数的部分和为111111111[()+()()...()]213243511n s n n =--+-++--+1111(1)221n n =+--+． 因为11113lim lim (1)2214n n n s n n →∞→∞=+--=+， 即部分和数列存在极限，且极限值为34，根据定义可得，原级数收敛，且收敛于34．（3）解： 因为lim lim sin 6n n n n u π→∞→∞=不存在，根据收敛级数的必要性条件可知，级数的一般项极限不为零，则原级数必定发散．3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和： （1）解：这是一个公比为34-的等比级数，因为314-<，所以收敛．其和为13343171()4u s q-===----． （2）解：这是公比为32-的等比级数，因为3>12-，所以发散．（3）解：因为1lim lim=0100+1100n n n n u n →∞→∞=≠，根据收敛级数的2必要性条件可知，原级数发散． （4）解：因为级数123nnn ∞=∑是公比为23的等比级数，所以收敛，而级数1131=3n n n n∞∞==∑∑是发散级数，根据收敛级数的性质可知，原级数发散．（5）解：原级数的一般项ln (1)-ln n u n n =+，所以原级数的部分和(ln 2-ln1)(ln 3-ln 2)...[(ln(1)-ln ]n s n n =++++ln(1)-ln1ln(1)n n =+=+，因为lim limln(1)n n n s n →∞→∞=+不存在，所以原级数发散．（6）解：原级数变形为111[()()]32n n n ∞=+∑，因为级数11()3nn ∞=∑和11()2n n ∞=∑均为公比1q <的等比级数，所以原级数收敛． 其和为113321121132s =+=--．（7）解：因为313lim =3lim()3lim011+(1+)(1+)n nn n n n nn n n e n n→∞→∞→∞==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．第二节 常数项级数的审敛法1．填空： （1） 收敛 ．（2） 发散 ； 收敛 ；可能收敛也可能发散 ． （3）1k <；1k >时，1k =．（4）1p >；1p ≤时．（5）发散 ． （6）可能发散也可能收敛 ． 2．选择：（1）D ．（2）C ．（3）B ．（4）C ．3．用比较审敛法及其极限形式判断下列级数的敛散性：（1）解：因为222+1++2lim lim 11+2n n n n n n n n→∞→∞==，而级数11n n∞=∑发散，根据比较审敛法的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定发散．（2）解：因为2211(1)(21)limlim 1(1)(21)2n n n n n n n n →∞→∞++==++，而3 级数211n n∞=∑收敛，根据比较审敛的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定收敛．（3）解：因为0sin 22n n ππ≤≤，而12n n π∞=∑是公比为12的等比级数，根据比较审敛法，原级数一定收敛．（4）解：当>1a 时，110<1n na a ≤+而11n n a∞=∑是公比为1<1a 的等比级数，根据比较审敛法，级数111nn a ∞=+∑一定收敛； 当0<1a <时，因为1lim=101nn a →∞≠+，根据级数收敛的必要性条件，级数111nn a ∞=+∑发散； 当=1a 时，原级数即112n ∞=∑，发散． （5*）解：因为ln (1+)(0,1)x x x x <≠-<<+∞，所以111ln =ln(1+)n n n n +<，即原级数为正项级数； 同时，111ln =ln ln(1)111n n n n n n +-=-->+++， 则：21111110<ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 而211n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛． 4．用比值审敛法判断下列级数的敛散性：（1）解：2+122(1)1113lim lim(1)1333n n n nn n n →∞→∞+=+=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（2）解：135(2+1)2+1(+1)!limlim 2>1135(21)+1!n n n n n n n n →∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅-，根据比值审敛法，原级数发散．4（3）解：+2+2+1+1(+1)tan+1122limlim 12tan 22n n n n n n n n n n ππππ→∞→∞=⋅=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（4）解：1+12(1)!12(+1)lim 2lim()2lim <1112!(1+)n n n n n n n nnn n n n e n n n +→∞→∞→∞+===+， 根据比值审敛法，原级数收敛．5．用根值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）解：1lim 12+12n n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （2）解：1lim 01ln(+1)n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （3）解：n b a， 当1ba<，即>a b 时，原级数收敛； 当>1ba ，即ab <时，原级数发散； 当1ba=，即=a b 时，原级数可能收敛也可能发散． 6．判别下列级数的敛散性： （1）解：10n n ==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．（2）解：原级数显然为正项级数，根据比较审敛法的极限形式，111lim =lim 1n n na b b aa n n→∞→∞+=+，所以原级数发散． （3）解：因为11lim 1>122nn n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以原级数发散．7．判别级数的敛散性，若收敛，指出条件收敛还是绝对收敛： （1）解：因为11111(1)=33n n n n n n n ∞∞---==-∑∑，而1+11+113lim =lim <1333n n n n n n n n →∞→∞-=，所以级数113n n n ∞-=∑收敛，5因此原级数绝对收敛．（2）解：因为22(21)(21)cos 22n nn n n π++≤，又因为： 22+122(23)(23)12lim =lim 12(21)2(21)2n n n nn n n n →∞→∞++=<++，所以级数21(21)2nn n ∞=+∑收敛，因此原级数绝对收敛． （3）解：级数的一般项为：11(1)(1)10n n n u -=-+，因为1lim||lim(1)1010n n n n u →∞→∞=+=≠，所以原级数的一般项不趋近 于0，原级数发散． （4*）解：这是一个交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，因为级数1n ∞=-∑发散（见第一节习题2（1）），所以原级数不是绝对收敛，又因为：0n n =，1n n u u +-=---==-，根据莱布尼兹定理可知，原级数收敛且是条件收敛．8*．解：先讨论0x >的情形． 当=1x 时，级数为112n ∞=∑，显然发散；当0<<1x 时，级数为正项级数，利用比值审敛法，1221+122221lim =lim lim 111n n n n n n n n n n nu x x x x x u x x x ++++→∞→∞→∞++⋅==<++， 所以此时级数211+n nn x x ∞=∑收敛且是绝对收敛； 当1x >时，同样利用比值审敛法，2121+12222111lim =lim lim1111n n n n n n n nn u x x x x u x x x +++→∞→∞→∞+++==<++，6 所以此时级数211+nnn x x∞=∑收敛且是绝对收敛； 再看<0x 的情形．当1x =-，级数为1(1)2nn ∞=-∑，显然发散；当10x -<<和1x <-时，级数为21()(1)1nn n n x x ∞=--+∑，这是一个交错级数，对其一般项取绝对值得到正项级数21()1nnn x x ∞=-+∑，按照同样的方法可知21()1nnn x x∞=-+∑收敛，也即原级数绝对收敛； 而当0x =时，级数显然收敛且绝对收敛；综合得，原级数在1x =±时发散，其他均为绝对收敛． 9*．证明：设111(1)n n n a S ∞-=-=∑，若∑∞=-112n n a 收敛，设2121n n aS ∞-==∑，则122121111(1)n n n n n n n a a a S S ∞∞∞--====--=-∑∑∑，即21nn a∞=∑收敛，所以22-111(+)nn n n n aa a ∞∞===∑∑收敛，与11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛矛盾，所以∑∞=-112n n a 发散．因为11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛，所以∑∞=1n n a 发散．10*证明：因为222||0nnn n a b a b +≥≥，所以∑∞=1n nnba 收敛；因为2220()2||n n n nn n a b a b a b ≤+≤++，所以∑∞=+12)(n n nb a收敛；令1n b n =，因为∑∞=12n n b 收敛，所以∑∞=1n n n b a 收敛，即∑∞=1n n na 收敛．第三节 幂级数1．填空：（1）绝对收敛 ； 绝对收敛 ．（2）1ρ；+∞；_0_．（3）_1_，7 (-1,1)．（4）12=R R ；(5) (),R R -．2．选择：（1）B ．（2）B ． （3）A ． （4）C ． （5*）B （提示：令=1y x -，则1111(1)n n n n n n na x na y ∞∞++==-=∑∑21211=()n n n n n n yna yy a y ∞∞-=='=∑∑）．（6）B ．（7）D ．3． 求下列幂级数的收敛域：（1）解：因为+11=lim lim 02(1)n n n na a n ρ→∞→∞==+，收敛半径为R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞．（2）解：因为12121(1)(1)limlim 11(1)n n n n n na n a nρ++→∞→∞-+===-， 所以收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-；当1x =时，级数为211(1)nn n ∞=-∑，这是一个绝对收敛级数； 当1x =-时，级数为211n n∞=∑，这是一个收敛的正项级数； 综合得原级数的收敛域为[1,1]-．（3）解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=， 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛，当1x =时，11(1)(1)12121n n n n n n ∞∞==--=--∑∑，级数发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，所以原级数的收敛域为(1,2]．（4）解：这是一个缺奇次项的幂级数，直接使用比值审敛法得：1()lim ()n n n nu x u x +→∞=2222n x x =⋅=，8 所以当22<1x，即x <<时，级数绝对收敛；当22>1x时，即x >或<x -时，原级数发散；当x =时，级数为1n ∞=∑，发散；当x =时，级数为21(1)nn ∞=--∑，发散（见第一节习题2（1））；所以，级数的收敛域为(-．（5*）解：因为+111111+231=limlim 111123n n n na n n a nρ→∞→∞+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+11lim(1)111123n n n→∞+=++++⋅⋅⋅+，因为正项级数11n n ∞=∑发散，因此111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+=+∞，所以上述的=1ρ，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-．当1x =±时，级数为∑∞=+⋅⋅⋅+++1)131211(n n x n，因为 111=1()23n u n n+++⋅⋅⋅+→∞→∞， 所以发散，综合得原级数的收敛域为(1,1)-． 4．求下列幂级数的收敛域与和函数：（1）解：先求收敛域：利用比值审敛法可得454141()45lim lim =()41n n n n n nx u x n x u x x n +++→∞→∞+=+， 因此，当41x <，即||1x <时，级数收敛； 当1x =时，级数为141n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，级数为1()41n n ∞=-+∑，发散，所以级数的收敛域为(1,1)-．9为求和函数，令410()=41n n x s x n +∞=+∑，两端同时求导得：4141440001()==,(1,1)41411-n n n n n n x x s x x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑再两端同时积分得：400111+1()(0)=()==ln arctan 4121-xxx s x s s x dx dx x x x '-+-⎰⎰， 显然(0)=0s ，所以原级数的和函数为11+1()=ln arctan ,(1,1)412x s x x x x +∈--．（2）解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==， 故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散． 当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛域为(1,1)-．令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑2212211()21xxn nn n x S t dt ntdt xx ∞∞-==⇒===-∑∑⎰⎰22222()(||1)1(1)x x S x x xx '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭． （3）解：先求收敛域：因为1(+1)(+2)limlim 1(+1)n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞===， 所以收敛半径为1，明显当1x =±原级数发散，故级数的收敛域为(1,1)-；令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑，121111()(1)xx nn n n n n S t dt n n t dt nxxnx∞∞∞+-===⇒=+==∑∑∑⎰⎰222211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 2232()(||1)(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．10（4）解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛， 当||1x >时，级数发散．当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛域为[1,1]-．令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑， 122211()(1)1n n n S x x x∞+-='⇒=-=+∑ 201()(0)arctan 1xS x S dt x t ⇒-==+⎰()arctan (11)S x x x ⇒=-≤≤．第四节 函数展开成幂级数1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）解：利用间接展开法．因为=0=,(,)!nxn x e x n ∞∈-∞+∞∑，所以ln ln 00(ln )(ln ),(,)!!xn n xa x ann n x a a a eex x n n ∞∞======∈-∞+∞∑∑．（2）解：利用间接展开法．因为1(1)ln(1)=,(1,1]1n n n x x x n ∞+=-+∈-+∑，所以 ln()=ln[(1)]ln ln(1)x xa x a a a a++=++110(1)ln ,(,](1)nn n n a x x a a n a∞++=-=+∈-+∑． （3*）解：利用间接展开法．因为2(1)(1)...(1)(1)1...,||12!!m nm m m m m n x mx x x x n ---++=++++<122(1)x x -=⋅+11357113135...,(1,1]224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+∈-⋅⋅⋅． 注：当1=2m -时，在右端点处收敛．（4）解：利用间接展开法．因为20(1)cos =,(,)(2)!n nn t t x n ∞=-∈-∞+∞∑，所以22100000(1)(1)cos d =[]d d (2)!(2)!n nxxx n n n n t t t t t t t t n n ∞∞+==--=∑∑⎰⎰⎰ 212200(1)(1)=d ,(,)(2)!(2)!(22)n nxn n n n t t t x n n n ∞∞++==--=∈-∞+∞+∑∑⎰． 2． 解：111(1)=,(,)!nx x x x x e ee e e x n ∞-+-=-=⋅=∈-∞+∞∑．3．解：011111(2),(0,4)2422212n n n x x x x ∞==⋅=-∈---∑． 4．解：将sin x 变形为：1sin sin[()])cos()662626x x x x ππππ=-+=-+-， 利用sin x 和cos x 的展开式可得2-121211sin ()()...221!622!6(1))(),(,)622n!6n n n x x x x x x ππππ-=+---++⋅⋅--+-∈-∞+∞⋅．5．解：211=()34154x x x x x x ----+5(5)111=()531(5)414x x x +--⋅-+-+111005111=(1)(1)(5)(1)(1)(5)3344n n nn n n n n x x ∞∞+++==---+---∑∑， 其中第一个展开式的收敛域为|5|<1x -，第二个展开式的收敛域为|5|<14x -，所以原函数的展开式的收敛域为|5|<1x -，即46x <<．第五节 函数的幂级数展开式的应用1．利用函数的幂级数的展开式求下列各数的近似值： （1）解：根据ln (1+)x 的展开式可得：35111ln2(...)(11)135x x x x x x +=+++-<<-（见教材）12令1=51x x +-，解得2(1,1)3x =∈-，带入上述展开式可得 35793579212121212ln 52(...)335793333=+⋅+⋅+⋅+⋅，如果取前五项作为其近似值，则1113151751113151712121212||=2(...)111315173333r ⋅+⋅+⋅+⋅+1123112312114114114=2(1...)111391517399⋅⋅+⋅+⋅+⋅+1123112322444(1...)119399<⋅++++ 111111112212290.00384111153319<⋅⋅=⋅⋅≈-，符合误差要求，因此取前五项作为其近似值，即35793579212121212ln 52() 1.61335793333≈+⋅+⋅+⋅+⋅≈．（2）解：根据cos x 的幂级数展开式可得246111cos18cos1()()() (10)2!104!106!10ππππ==-+-+， 6-61() 1.335106!10π≈⨯，所以取前四项作为近似值，即 246111cos181()()()0.950992!104!106!10πππ=-+-≈．（3）解：根据cos x 的幂级数展开式可得2621cos 111...2!4!6!x x x x -=-++， 于是可得0.50.5262001cos 111d =(...)d 2!4!6!x x x x x x--++⎰⎰ 3511111111=()()...0.123272!24!326!52⋅-⋅⋅+⋅⋅+≈． 2．解：因为sin arctan x x 、的展开式分为可以写为：33sin ()3!x x x o x =-+，33arctan ()3x x x o x =-+，所以3333001()sin arctan 16lim lim 6x x x o x x x x x→→+-==．第七节 傅里叶级数1．填空：（1）其中的任何两个不同函数的乘积在区间[,]ππ-上的积分为130，相同函数的乘积在此区间上积分不为0 ． （2）1()d f x x πππ-⎰，1()cos d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰，1()sin d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰． （3）02=0,()sin d n n a b f x nx x ππ=⎰．（4）1+π．（5）在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点 ， 在一个周期内至多有有限个极值点 ， 收敛 ，()f x ， 左右极限均值．2．下列函数以π2为周期，且在[,)ππ-上取值如下，试将其展开成傅里叶级数：（1）解：先利用系数公式得出傅里叶级数．2220111()d d ()2x xx a f x x e x e e πππππππ---===-⎰⎰， 22212()(1)()cos ,( 1.2 (4)n e ea f x nxdx n n ππππππ----==⋅=+⎰， 2-2121(1)()sin ,(n=1,2...)4n n e e nb f x nxdx nππππππ+---==⋅+⎰， 所以，函数的傅里叶级数为2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---+-+∑． 再考虑其收敛性．易知函数满足收敛性定理的条件，其不连续点为(21)(0,1,2,...)x k k π=+=±±，在这些点处，上述的傅里叶级数收敛于左右极限的均值，即22(0)(0)22f x f x e e ππ-++-+=，在连续点处，傅里叶级数收敛于函数2()=xf x e ，因此2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---=+-+∑(,),(21)(0,1,2,...)x x k k π∈-∞+∞≠+=±±．（2）解：先根据系数公式求傅里叶级数．40113()d sin d 4a f x x x x ππππππ--===⎰⎰， 41131sin cos (2cos2cos4)cos 422n a x nxdx x x nxdx ππππππ--==-+⎰⎰， 根据三角函数系的正交性，仅当=2,=4n n 时，0n a ≠，易得142411,28a a =-=，由于4()sin f x x =是[,]ππ-的偶函数，故0n b =； 又因为函数4()sin f x x =是连续函数，所以可得：311()cos 2cos 4,<<828f x x x x =-+-∞∞．3．解：(1) ()()f x x x ππ=-<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，，，所以 11sin ()2(1)()n n nxf x x xππ∞+==--<<∑，为所求． （2）()(02)f x x x π=<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰1n ≥11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰1n ≥22011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰15 ，，所以1sin ()2(02)n nxf x x x ππ∞==-<<∑，为所求． 4．解：要展开为余弦级数，需对函数进行偶延拓，即定义函数1cos 02()cos ,02x x f x x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，，并将1()f x 以2π周期延拓到整个数轴，得到偶函数()g x ． 对()g x 进行傅里叶展开，显然有0n b =，且0024cos d 2x a x πππ==⎰，2024(1)cos cos d ()(=1,2,...)241nn x a nx x n n πππ-==--⎰，根据上述系数即可得到()g x 在整个数轴上的傅里叶展开式，由于()g x 连续，所以其傅里叶均收敛于()g x ，最后将展开式限制在[0,]π，既得()cos2xf x =的傅里叶展开式 2124(1)()cos ,[0,]41nn f x nx x n πππ∞=-=--∈-∑．4．解：将函数进行奇延拓，并求傅里叶系数：0(0,1,2,...)n a n ==，021sin [(1)1](1,2,...)42n n b nxdx n nπππ==---=⎰，因此函数()4f x π=的正弦级数展开式为11sin +sin 3sin 5...(0,)435x x x x ππ=++∈， 根据收敛性定理，在端点=0,=x x π处傅里叶级数收敛于零．令上式中的=2x π，即可得到1111 (4357)π=-+-+．第八节 一般周期函数的傅里叶级数1．填空：220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰220011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰16（1）-1()cos (0,1,2...)l n l n xa f x dx n l lπ==⎰-1()sin (1,2...)l n l n x b f x dx n l l π==⎰．（2）02()sin(n=1,2...)l n xf x dx l lπ⎰． 2．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 做奇延拓，其傅里叶系数为0(0,1,2,...)n a n ==；20222sin +(-)sin ll l n n x n xb x dx l x dx l l l lππ=⎰⎰224=sin2l n n ππ， 所以1()=sinn n n xf x b lπ∞=∑ 22224131517=(sin sin +sin sin +...)357l x x x xl l l l πππππ--， 由于()f x 连续，上述展开式对于任意的[0,]x l ∈均成立． 3．解：()2+||f x x =为偶函数，所以展为余弦级数，其系数为0(1,2,...)n b n ==，1002(2)d 5a x x =+=⎰，1222(cos 1)2(2)cos()(1,2,...)n n a x n x dx n n πππ-=+==⎰， 因为函数()2+||f x x =满足狄氏收敛定理，所以22152(cos 1)2||cos 2n n x n x n πππ∞=-+=+∑ 2225411(cos cos3cos5...)()235x x x x ππππ=-+++-∞≤≤∞． 令上式中的=0x ，可得2222111 (8135)π+++=，又2222222=11111111(...)(...)135246n n ∞=+++++++∑ 2222221111111(...)(...)4135123=+++++++所以22222=114111=(...)=36135n nπ∞+++∑．第十二章 自测题1．填空：17 （1）仍收敛于原来的和s ．（2） 均收敛 ； 均发散 ． （3）_1_；_2__．（4）34， 12， 34． 2．选择：（1）C ．（2）A （提示：使用阿贝尔定理）．（3）D （提示：ln ln ln 2ln ln 2ln 22()n n n e e n λλλλ--⋅--===）． （4）B ．（5）A ． （6）C ．3．判别下列级数的敛散性，若收敛指出绝对收敛或条件收敛： （1）解：根据正项级数的根值审敛法，有(!)lim n n n n →∞=+∞， 所以，原级数发散．（2）解：因为2211sin 4n n n π≤，而211n n∞=∑收敛， 所以原级数收敛且绝对收敛．（3）解：这是一个交错级数，由于(1)11=-ln -ln n n n n n n-≥，所以不是绝对收敛．因为111ln(1)ln n n n n-+-+-1ln(1)10(ln )[1ln(1)]n n n n n +-=<-+-+，且1lim=0ln n n n→∞-，根据莱布尼兹定理，级数收敛，即原级数条件收敛．（4*）解：根据比值审敛法，有1(1)lim ||lim ||1n pp n n n pa n n a a n a n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 所以，当||<1a 时，即11a -<<时，级数绝对收敛； 当||1a >，根据罗比达法则可知212+++ln (ln )lim lim lim(1)x x x p p p x x x a a a a a x px p p x --→∞→∞→∞=-， 因为p 是常数，有限次使用罗比达法则，可求出上述极限为无穷，因此lim np n a n→∞=∞，所以原级数发散；当1a =时，级数既为11pn n∞=∑，此时若01p <≤时，原级数18 发散，若1p >原级数收敛且绝对收敛；当1a =-时，级数既为1(1)npn n∞=-∑，此时，若01p <≤时，根据莱布尼兹定理可知，原级数条件收敛，若1p >时，根据比较审敛法可知，原级数绝对收敛．4．解：因为11113+(2)[3+(2)]1lim lim 3+(2)(1)[3+(2)]n n n n n nn n n n n n n n++++→∞→∞--+=-+-12[1+()]3lim 3112(1)[1+()]33n n nn +→∞-==+⋅⋅-，所以，级数的收敛半径为13，收敛区间为42(,)33--；在端点4=3x -处，级数为12(1)+()3nnn n ∞=-∑，因为级数11(1)21,()3n n n n n n ∞∞==-⋅∑∑均收敛，所以在此点处，原级数收敛； 在端点2=3x -处，级数为121+()3nn n ∞=-∑，因为级数11,n n ∞=∑发散，而121()3nn n∞=-⋅∑收敛，所以在此端点处，原级数发散； 综合得，原级数的收敛域为42[,)33--． 5．解：先利用比值审敛法求幂级数的收敛域．因为2+222(2+2)!lim =lim (2+2)(2+1)(2)!n n n n x x n n n xn →∞→∞=+∞， 所以级数的收敛域为(,)-∞+∞；令22420()1......(2)!2!4!(2)!n nn x x x x s x n n ∞===+++++∑， 则3521()+......3!5!(21)!n x x x s x x n -'=++++-，所以 234()()1......2!3!4!!nx x x x x s x s x x e n '+=+++++++=，19 即()()x s x s x e '+=，这是一个一阶线性微分方程，解之得1()+2x x s x ce e -=．又因为(0)1s =，带入求得常数12c =，所以幂级数的和函数为11()(,)22x xs x e e x -=+∈-∞+∞，．6．解：因为2ln(12)ln(1)ln(12)x x x x +-=-++，而11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑，所以，=1ln(1)(11)nn x x x n∞-=--≤<∑，1=1(1)211ln(12)()22n n n n x x x n -∞-+=-<≤∑，于是得出原函数的展开式为12=1(1)2111ln(12)=()22n n n n x x x x n -∞--+--<≤∑．7．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 在[,0)π-上做奇延拓,再延拓到整个数轴，并求傅里叶系数0(0,1,2...)n a n ==， 02()sin d n b f x nx x ππ=⎰202sin d x nx x ππ=⎰221sincos (1,2,...)22n n n n n πππ=-=， 因此可得函数()f x 在[0,)π的傅里叶级数2=121()(sincos )sin ([0,),)222n n n f x nx x x n n πππππ∞=-∈≠∑， 由于3=2x π-为函数的不连续点，根据狄氏收敛性定理，和函数在3=2x π-处的值3()2s π-为左右极限的均值，即31()=24s ππ-，而5=4x π是函数的连续点，在此点处，收敛于（延拓后的）函数()f x ，即5()=04s π．8．考研题练练看：（1）C ．解析：幂级数1(1)k kk ax ∞=-∑的收敛域中心为1x =，而20 =1(1,2,...)n n k k S a n ==∑无界表明1(1)k k k a x ∞=-∑在2x =发散，因此幂级数的收敛半径1R ≤，同时，根据莱布尼兹定理，数列{}n a 单减且收敛于0，表明1(1)kkk ax ∞=-∑在0x =收敛，因此幂级数的收敛半径1R ≥，综合得收敛半径为=1R ，因此选C ． （2）A ．解析：若1n n u ∞=∑收敛，则对其任意项加括号后仍收敛，其逆命题不一定成立，所以选A ． （3）D ．解析：=11(1)a n n ∞-∑绝对收敛，即1=121a n n∞-∑收敛，所以32α>，又由2=1(1)n a n n ∞--∑条件收敛可知12α≤<，所以选D ．（4）C ．解析：根据题意，将函数在[]1,1-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1,(0,1)2()1,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，其傅里叶级数以2为周期，则当()1,1x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，所以 91111()()()()44444S S S f -=-=-=-=-．（5）D ．解析：因为1P >时，=11P n n ∞∑收敛，且lim =lim 1Pn n n n Pa n a n →∞→∞存在，所以=1nn a∞∑收敛．（6）解：先求收敛域．222212(1)212+1lim lim 12+1(1)21n n n n n nxn n x x n x n +-→∞→∞--==<--，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为1=1(1)21n n n -∞--∑，根据莱布尼兹定理，可知21此级数收敛，因此原级数的收敛域为[1,1]-．为求和函数，设112211=1(1)(1)()2121n n n n n n s x x x xn n --∞∞-=--==--∑∑， 令1211=1(1)()21n n n s x xn -∞--=-∑，则 1212112=1=1(1)1()=() (11)211n n n n n s x x x x n x -∞∞--'⎛⎫-'=-=-<< ⎪-+⎝⎭∑∑， 两端同时积分，得11201()(0)d arctan (11)1xs x s x x x x -==-<<+⎰，明显1(0)0s =，所以1()arctan (11)s x x x =-<<，既得()arctan (11)s x x x x =-<<，又因为=1x ±时，()arctan s x x x ，都有定义，且连续，所以()arctan (11)s x x x x =-≤≤．（7）B.（8）解：先求收敛域．22224(+1)4(+1)321lim 12(1)1443n n n n x x n n n →∞+++⋅⋅=<++++， 即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为2=044321n n n n ∞+++∑，发散，因此幂级数的收敛域为11x -<<．为求和函数，设2222=0=0443(21)2()==2121n nn n n n n S x x x n n ∞∞++++++∑∑，所以22=0=02()=(21)21nn n n S x n xx n ∞∞+++∑∑，令2212=0=02()=(21)()21nn n n S x n x S x x n ∞∞+=+∑∑，，对1()S x 两端积分得210=0()d =(21)d xx nn S x x n x x ∞+∑⎰⎰212=0= (11)1n n xx x x∞+=-<<-∑， 两端求导得212221()= (11)1(1)xx S x x xx '+⎛⎫=-<< ⎪--⎝⎭；22因为212=02()21n n xS x x n ∞+=+∑，两边求导得 222=02[()]2 (11)1n n xS x x x x ∞'==-<<-∑， 再对两端积分得22021()0(0) ln (11)11xxxS x S dx x xx +-⋅==-<<--⎰，所以211()ln((1,0)(0,1))1xS x x x x+=∈-⋃-， 又因为=0x 时，12(0) 1.(0)2S S ==，综合可得和函数为222111ln ,(1,0)(0,1)()1(1)3, 0x xx S x x xx x ⎧+++∈-⋃⎪=--⎨⎪=⎩． （9）(i)证明：由题意得1=1()n nn S x na x∞-'=∑，22=2=0()(1)(1)(2)n nn n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+''=-=++∑∑，2(1)0n n a n n a ---=，2=(1)(2)(0,1,2...)n n a n n a n +∴++=， ()=()S x S x ''∴，即()()0S x S x ''-=．(ii) 解：()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=,从而特征根为1λ=±，于是其通解为12()x xS x C e C e -=+，由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==得1212123121C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，,所以()2x x S x e e -=+． （10）解：（1）证明：由cos cos n n n a a b -=，及0,022n n a b ππ<<<<可得0cos cos 2n n n a a b π<=-<，所以02n n a b π<<<，由于级数1nn b∞=∑收敛，所以级数1nn a∞=∑也收敛，由收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞=．（2）证明：由于0,022n n a b ππ<<<<，23 所以sin ,sin 2222n n n n n n n na b a b b a b a ++--≤≤2222sin sin cos cos 22222222n n nnn n n n n nn n n nn n n nn n n a b b a a a b b b b a b b a b a b b b b b +--==+--≤=<=由于级数1nn b∞=∑收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nn na b ∞=∑收敛． （11）解：由于1lim1n n na a +→∞=，所以得到收敛半径1R =． 当1x =±时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()1,1-．令和函数)(x S =0(1)(3)n n n n x ∞=++∑，则2111()(43)(2)(1)(1)nn n nn n S x n n x n n x n x ∞=∞∞===++=++++∑∑∑211123"'3"'11(1)n n n n x x x x x x x x ∞∞++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑。
第十二章基本知识点一．判断数项级数的敛散性1. 正项级数∑∞=1nn u ,当n u →0时,（1） 用比较审敛法，比较判别法的极限形式 （2） 用比值审敛法⎪⎩⎪⎨⎧=><=+∞→失效1发散1收敛1lim1ρρρρnn n u u2. 交错级数n nn u ∑∞=-1)1(,用莱布尼茨判别法，若满足以下条件， 01>≥+n n u u则收敛0lim =∞→n n u3. 任意项级数∑∞=1设n n u 为收敛级数,收敛若1∑∞=n n u ∑∞=1称n n u 绝对收敛,发散若1∑∞=n n u ∑∞=1称n n u 条件收敛4.注意：对于常用的几何级数、调和级数、P 级数，要牢记其性质，对于一些比较复杂的题，要巧用拆项相消等技巧二．幂级数求收敛半径和收敛域（讨论端点）1. 对标准型幂级数)0(0≠∑∞=n n nn a x a 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2.对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 .三．把f(x)展开成幂级数1. 直接展开法：利用泰勒公式2. 间接展开法：利用幂级数的性质及已知展开式的函数3. 常用函数的幂级数展开式：)(!1∞<<-∞=•∑∞=x x n enn x)11()1(1)1()1(ln 111≤<--=+-=+•∑∑∞=-+∞=x x nx n x nnn n n n)()!12()1(sin 120∞<<-∞+-=•+∞=∑x x n x n n n)()!2()1(cos 20∞<<-∞-=•∑∞=x xn x nn n四．傅里叶级数1. 周期为 2π 的函数的傅里叶级数及收敛定理)sin cos (2)(1x n b x n a a x f n n n++=∑∞=)间断点(≠x⎰-=πππx x n x f a n d cos )(1...),2,1,0(=n其中⎰-=πππx x n x f b n d sin )(1...),2,1(=n注意:若0x 为间断点,则级数收敛于2)()(00+-+x f x f2. 周期为 2π 的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数→正弦函数 偶函数→余弦函数3. 在 [0, π] 上函数的傅里叶展开 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦函数4. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式=)(x f 20a()lxn b lxn a n nn ππsincos 1++∑∞= (x ≠间断点)=n a x lxn x f llld cos)(1π⎰-,...)1,0(=n 其中 =n b x lxn x f llld sin)(1π⎰-,...)2,1(=n 当f (x )为奇（偶）函数时,为正弦（余弦）级数.5.给出[-l ,l )上函数，函数展开成傅里叶级数（先做周期延拓，然后展开）。
高数大一第十二章知识点最近，我正在学习高数大一的第十二章知识点。
这一章主要涵盖了曲线的切线与法线、函数的极值与最值、曲线的凹凸性以及函数的单调性。
接下来，我将分别介绍这些知识点，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、曲线的切线与法线在这一部分，我们学习了如何求曲线在给定点的切线和法线。
首先，我们需要掌握求导数的方法，以确定曲线在某点的斜率。
然后，我们可以使用点斜式方程来确定切线或法线的方程。
这些知识非常重要，因为它们在物理等领域的运动问题中有广泛的应用。
例如，在机械运动中，我们可以利用曲线的切线来确定物体在某一瞬间的速度和方向。
二、函数的极值与最值这一部分的内容主要关于函数的极值和最值。
我们学会了如何找到函数的极值点，并验证它们是否为极大值或极小值。
我们可以通过求导数和二阶导数来确定函数的极值点，并用函数的图像进行确认。
函数的最值是指函数在定义域内取得的最大或最小值。
求解函数的最值需要考虑函数的最值点和函数的导数。
这一知识点在优化问题中有广泛的应用，例如在经济学中，我们可以利用函数的最值来确定最优的生产方案或消费策略。
三、曲线的凹凸性曲线的凹凸性是指曲线在某一点的弯曲程度。
在这一部分，我们学习了如何确定曲线的凹凸性以及凹凸点。
为了确定曲线的凹凸性，我们需要求曲线的二阶导数，并通过分析二阶导数的正负性来确定曲线的凹凸区间。
曲线的凹凸性在物理学和经济学等领域有重要的应用，例如在力学中，我们可以利用曲线的凹凸性来分析物体的稳定性和平衡状态。
四、函数的单调性函数的单调性是指函数在某一区间上递增或递减的性质。
我们学习了如何确定函数的单调性以及单调区间。
为了确定函数的单调性，我们需要求函数的导数，并通过分析导数的正负性来确定函数的单调区间。
函数的单调性在经济学、市场分析和判断趋势等领域具有重要的应用，例如在金融市场中，我们可以利用函数的单调性来分析股票的涨跌趋势。
总结起来，高数大一的第十二章知识点涵盖了曲线的切线与法线、函数的极值与最值、曲线的凹凸性以及函数的单调性。
第十二章 微分方程一、内容提要（一）主要定义【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.一般形式为： ()(),,,,,0n F x y y y y '''=.标准形式为：()()()1,,,,n n yf x y y y -'=.【定义12.3】 微分方程的解 若将函数()y x ϕ=代入微分方程使其变成恒等式 即 ()()()(),,0,n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎣⎦或者 ()()()()()()1,,,,n n x f x x x x ϕϕϕϕ-⎡⎤'=⎣⎦则称()y x ϕ=为该方程的解.根据()y y x =是显函数还是隐函数 ,分别称之为显式解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件. （二）主要定理与公式1 可分离变量的方程一般形式()()12dyf x f y dx= 或 ()()()()12120M x M y dx N x N y dy +=. 解法： 先分离变量()()g y dy f x dx =, 再两边积分()()g y dy f x dx =⎰⎰,可得通解 ()()G y F x C =+.2.齐次方程 一般形式⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ 解法(变量替换): 令xy u =⇒ux y =, dy duu x dx dx =+，于是，原方程⇒()du u xu dx ϕ+=⇒分离变量()du dx u u x ϕ=- ⇒两边积分()du dxu u xϕ=-⎰⎰⇒积分后再用xyu =回代，便得通解. 3. 一阶线性微分方程 一般形式 ()()dyP x y Q x dx+= 解法： 常数变易法 （1） 先解出对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解()P x dx y Ce -⎰=； （2） 作变换将C 换成u ，令()()P x dxy u x e -⎰=代入方程，求出u ，即得通解为()()()()P x d xP x d xP x d xy e Q x ed xC e --⎰⎰⎰=+⎰.4. 伯努利方程()()n y x Q y x P dxdy=+ ()1,0≠≠n n 解法: 变量替换法令nyz -=1,化为一阶线性微分方程.***************************************************** 5. 全微分方程 当Q px y∂∂=∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 是全微分方程. 即 ()()(,),,0du x y P x y dx Q x y dy =+= 解法: (1)第二类曲线积分; (2)公式法()()()00,,,x y x y x y pdx Qdy μ=+⎰; (3)凑微分法.通解为 C y x u =),(.当Q px y∂∂≠∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 不是全微分方程. 方程两边乘上积分因子(),x y μ（(),0x y μ≠）后所得的方程()(),,0P x y dx Q x y dy μμ+=是全微分方程.经常用到的微分倒推公式有()dx dy d x y ±=± (),xdy ydx d xy +=222()x y xdx ydy d ++=d =22arctan ()ydx xdy xd x y y -=+2()ydx xdy yd x x -=-ln ()ydx xdy xd xy y-=221ln 2()xdy ydx x yd x y x y-+=-- 6. 可降阶的高阶微分方程 1) ()()n yf x =型解法: 对方程两边连续积分n 次,便可得到其含有n 个任意常数的通解. 2) (),y f x y '''=型(无y 项)解法: 令()x P y =',()x P y '='',代入原方程(),y f x y '''=,则有()P x f P ,=',设其解为()1,C x P ϕ=,则()1,C x y ϕ=',得通解()21,C dx C x y +=⎰ϕ.3) (),y f y y '''=型（无x 项）解法: 令()y P y =',则dy dP dx dP y ==''dydPPdx dy =, 有()P y f dydPP,=——自变量为y ,函数为P 的微分方程.设其解为()1,C y P ϕ=代回原变量,()1,C y y ϕ='变量分离得通解()21,C x C y dy+=⎰ϕ.7. 线性微分方程解的理论1) 设21,y y 是二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=的解,则2211y C y C +也是它的解.2) 二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=一定有两个线性无关的特解,且这两个解的线性组合是该方程的通解.3) 设1y 为()(1)111()()()n n n y P x yP x y f x --+++=的解,2y 为()(1)1()n n y P x y-+++12()()n P x y f x -=的解,则21y y +为()(1)1112()()()()n n n y P x yP x y f x f x --+++=+的解.4)设*y 为()()()y p x y q x y f x '''++=的一个特解,Y 为对应的齐次方程()y p x y '''++()0q x y =的通解，则*Y y +为()()()y p x y q x y f x '''++=的通解.8. 二阶常系数线性微分方程1) 二阶常系数齐次线性方程0y py qy '''++=.2）n 阶常系数齐次线性方程()()()121210n n n n n yp y p y p y p y ---'+++++=)sin k k C x D x+++3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解()y py qy f x '''++=通解为*y Y y =+.其中Y 为对应齐次方程的通解,*y 为该方程的一个特解.4) 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式 1°()()xm f x e P x λ=型2°()()()cos sin xl n f x e P x x P x x λωω⎡⎤=+⎣⎦型 (其中{}max ,m l n =)二、典型题解析（一） 填空题【例12.1】2234331x y xy y x y x ''''''+++=-是 阶微分方程.解 微分方程的阶是方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，所以此方程是三阶的微分方程.【例12.2】 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为 .解 分离变量，得 1y y x'=-. 两边积分，得 ln ln ln y x C =-+. 通解为 Cy x=. 将初始条件()12y =代入，得所求特解为2y x=. 【例12.3】若()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程，则函数M N 、应满足 .解 函数M N 、应满足M Ny x∂∂=∂∂时，()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程.【例12.4】 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为 .解 设()()tan ,cos P x x Q x x ==，所以所求微分方程的通解为tan tan cos xdx xdx y e xe dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰[]cos x x C =+. 【例12.5】与积分方程0(,)xx y f x y dx =⎰等价的微分方程初值问题是 .解 方程两边求导得(),,y f x y '=当0x x =时0y =.所以等价的初值问题是()0,0x x y f x y y ='⎧=⎪⎨= ⎪⎩. 【例12.6】 已知21231,,y y x y x ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 .解 221311,1y y x y y x -=--=-是对应的齐次方程的两个线性无关的解，所以原方程的通解为()()212111y C x C x =-+-+.【例12.7】 微分方程22xy y y e '''-+=的通解为 . 解 原方程相应的齐次线性方程为220y y y '''-+=.其特征方程为2220r r -+=.特征根为1,21r i =±.故齐次方程的通解为()12cos sin xY e C x C x =+.因 1λ=，不是特征根，从而设其特解为*xy ae =，把它代入原方程，得1a =，由此原方程的通解为()12cos sin xxY e C x C x e =++.（二） 选择题【例12.8】 微分方程0dy xdx y+=的通解为 [ ] （A ）()22x y c c R +=∈ （B ） ()22x y c c R -=∈ （C ）()222x y cc R +=∈ （D ）()222x y c c R -=∈解 分离变量得到：0ydy xdx +=，积分得：22x y c +=，这里常数c 必须满足0c ≥，于是可以将方程同解写为：()222x y a a R +=∈.则应选C.【例12.9】 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程通解是 [ ]（A ）()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ （C ）()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦ （D ）()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦解 ()()12y x y x -是齐次的方程()0y P x y '+=的解，()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦是齐次方程()0y P x y '+=的通解.非齐次方程的通解为齐次方程的通解加非齐次方程的特解，所以()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦是非齐次方程的通解. 则应选B.【例12.10】 若方程()0y p x y '+=的一个特解为cos 2y x =,则该方程满足初值条件()02y =的特解为 [ ]（A ）cos 22x + （B ）cos 21x + （C ）2cos x （D ）2cos 2x .解 一阶线性齐次方程()0y p x y '+=的通解为()P x dxy Ce -⎰=,任意两个解只差一个常数因子，所以A,B,C 三项都不是该方程的解.故应选D.【例12.11】 设()p x 在(),-∞+∞连续且不恒等于零，()1y x 和()2y x 是微分方程()0y p x y '+=的两个不同特解，则下列结论中不成立的是 [ ] （A ）()()21y x y x ≡常数；（假设其中()10y x ≠）； （B ） ()12c y y -构成方程的解. （C ）12y y -=常数； （D ）()()12y x y x -在任何一点不等于零. 解 因为，在()p x 不恒等于零的条件下，非零常数不可能是微分方程()0y p x y '+=的解，如果()1y x 和()2y x 是两个不同的解，那么12y y -也是这个方程的解，从而12y y -不能等于非零的常数,故应选C.【例12.12】 微分方程2221d yy dx+=的通解是 [ ]（A ）121sin 2c c ++ （B ） 1212c c e ++（C ） 12c c + （D ）12c c e +.解 直接看出12y *=是方程的一个特解，12c c +是相应的齐次方程的通解,应选A.【例12.13】 微分方程23x y y y e x -'''+-=+的一个特解是 [ ]（A ）x aebx c -++ （B ）x axe bx c -++（C ）()x axe x bx c -++ （D ）()x ae x bx c -++.解 微分方程23x y y y e x -'''+-=+的特解等于下列两个微分方程23x y y y e -'''+-=,23y y y x '''+-=的特解之和.非齐次微分方程23x y y y e -'''+-=具有形如xaxe -的特解； 非齐次方程23y y y x '''+-=具有形如bx c +的特解， 因此，非齐次微分方程23xy y y e x -'''+-=+具有形如xaxe bx c -++的特解，于是应当选B.【例12.14】 设12,2x y e y x -==是三阶齐次线性常系数微分方程ay by '''''++0cy =的两个解，则,,a b c 的值分别为 [ ]（A ）2,1,0a b c === （B ）1,1,0a b c ==-=（C ）1,0,1a b c === （D ）1,0,0a b c =-==.解 该微分方程的特征方程为320ar br c ++=.由于该微分方程有特解1x y e -=，说明11λ=-是该方程的一个特征根；又由于该微分方程有特解22y x =，说明20λ=是该方程的一个特征根，而且是重根.于是特征方程0ay by cy '''''++=有一个单根11λ=-和一个二重根20λ=，由此得到1,1,0a b c ==-=，从而选择B.（三） 非客观题1.可分离变量的微分方程【例12.15】求下列微分方程的通解. （1）23dyxy xy dx=+. （2）221y x y xy '=+++. (3) ()()112xy xy x yy y ''-=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解 （1）将变量分离,23dyxdx y y=+, 两边积分,得()2111ln ln 332y y x c -+=+，解出 213323x C y e e y=+.记 13,C C e =± 则 2323x y Ce y =+.（2）将221y x y xy '=+++右端分解因式，得，()()211y x y '=++，分离变量，有()211dyx dx y =++.积分得 2a r c t a n 2x y x C =++ 即通解为 2arc tan 2x y x C =++. （3）直接可以看出,1y ≡是方程的一个特解.当1y ≠时, 可以将方程写成 211ydy xdxy x =-+, 两端积分得到 ()211ln 1ln 12y y x C +-=++.两端取指数得 ()1221ln1ln 1xy y C eee ++-=.当1y >时, ()1Cyey e -=当1y <时,1C y e y e-=-记1C C e =±,上两式又可写作())10yey C -=≠.由于1y ≡是方程的一个解,故上式中常数C 也可以为零,于是方程通解为 ())1yey C R -=∈.将()12y =代入通解得到 2C =,所求解为 ()1yey -=【注】在(1)解题过程中，把任意常数13c e ±改写为C .适当地进行改写，使解的形式更为简便.2.可化为可分离变量的方程【例12.16】求满足方程()222120x y dx x dy ++=且过点()1,2的积分曲线.解 不能直接分离变量，令xy u =, 则 du ydx xdy =+. 原方程化为()2120u u dx x du dx x ⎛⎫++-=⎪⎝⎭, 即()221dudx x u =--.积分得 11ln 12x C u -=-+-回代得方程的通解11ln 21x C xy -=-再代入1,2,1x y C ===-得.故所求积分曲线为11ln 1.21x xy -=--【例12.17】求方程()21y x y '=-的通解.解 不能直接分离变量，令x y u -=，则y x u =-, 且 1dy du dx dx=-, 代入原方程，得222111,du du u dx u dx u--==分离变量，得 221u du dx u =-， 即 2111du dx u ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭. 积分，得 111ln 21u u x C u -+=++， 将u x y =-回代，即得通解211y x y Ce x y --=-+.3.齐次方程或可化为齐次方程的微分方程【例12.18】求ln dy yxy dx x =的通解. 解 方程变形为ln dy y y dx x x =, 此方程为齐次方程,令,yu y xu x==则,方程化为 ln du x u x xu u dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,整理且分离变量得()ln 1du dxu u x=-.积分得 ()ln ln 1ln ln u x C -=+ .即 ln 1u Cx -=,1Cx u e +=,通解为 1Cx y xe+=.【例12.19】求21241dy x y dx x y ++=+-的解.解 此方程为可化为齐次的微分方程.因为12024=,故作变换2z x y =+, 则原方程化为111221dz z dx z +⎛⎫-= ⎪-⎝⎭， 4121dz z dx z +=-即. 当410z +≠,分离变量,得该方程的通解为843ln |41|x z z c -++=(c 为任意常数).将2z x y =+代入上式得原方程的通解为483ln 481x y x y c -+++=(c 为任意常数)另外410z +=,即14z =-是方程的特解. 故原方程由特解为 4810x y ++=.【例12.20】求24dy y x dx x y --=++的解. 解 此方程为可化为齐次的微分方程 ，一般形式为111dyax by c f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭. 因为112011-=-≠,作变换x X hy Y k=+⎧⎨=+⎩,则,dx dX dy dY ==,代入原方程得, 24dY Y X k h dX X Y h k -+--=++++, 解方程组2040k h h k --=⎧⎨++=⎩得3,1h k =-=-. 令 31x X y Y =-⎧⎨=-⎩,原方程化为 11Y dY Y X XY dX X Y X--==++, 令Y u X =， 则 1,1d u u u XdX u -+=+ 分离变量 211u dXdu u X +=-+, 得 ()21ln 1arctan ln 2u u X C ++=-+,原方程的通解为1a r c t a n3y x Ce+-+=.4.一阶线性微分方程 【例12.21】解下列方程 （1）1sin dy x y dx x x +=. （2）()tan 5dy x y dx-=. （3）2.y xdy ydx y e dy -= （4）()()21arctan y dx y x dy +=-.解 （1）（解法一）公式法 在方程中，()1,P x x =()sin x Q x x= 方程的通解为 ()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 11sin dx dx x x x e edx C x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()1cos x C x=-+. （解法二）常数变易法 对应的齐次方程10dy y dx x+=，得通解ln ln c cy y x x ==或者.令()c x y x=，并代入原方程得，()()sin ,cos c x x c x x c '==-+,代入得原方程的通解为 ()1cos y x c x=-+. （2）将方程化为标准形式cot 5cot y y x x '-=,这里cot ,5cot P x Q x =-=，所以方程的通解为()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ cot cot 5cot xdx xdx e e xdx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()sin 5csc x x C =-+.即原方程的通解为 sin 5y C x =-.（3）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程改写成 y dx xye dy y-=-， 这是一阶线性方程.对应的齐次方程0dx xdy y-=的通解是 x cy =, 然后用常数变异法得原方程的通解 yx cy ye =-.（4）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程变形为 22arctan 11dx x ydy y y+=++ 这是一阶非齐次线性方程,它的通解是2211112arctan 1dy dyy y y x e e dy C y -++⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎰ arctan arctan [arctan arctan ]yy ey e d y C -=⋅+⎰ 分部积分求出原方程的解为 arctan arctan 1y x y Ce -=-+.5.伯努利方程【例12.22】求下列方程的通解.（1）26dy y xy dx x =-； （2）232y x y xy+'=. 解 （1）化为标准形式26dy y xy dx x -=-，此方程是伯努利方程. 两边除以2y ，得 216dy yy x dx x---=-. 令1z y -=， 则 2dz dy y dx dx -=- 方程变为6dz z x dx x+=， 这是一阶线性微分方程.解得 268c x z x =+还原y 得原方程的通解2686188c x x x c y x y =+-=或者. （2）方程化为标准形式2122y x y y x -'-=，此方程是伯努利方程. 以y 乘两端，得 22122x yy y x '-=. 令2z y =，得 21z z x x'-=，这是一阶线性微分方程，解得 22x z x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将2z y =代回，得原方程的通解为222x y x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.********************************************************************6.全微分方程与可化为全微分方程的方程 【例12.23】求下列方程的通解.（1）()()220x y dx x y dy ++-=. （2）(1)(1)0x x y yx e dx e dy y++-=.（3）()()120y dx x y dy ++--=. （4）()3230ydx x x y dy +-=. （5）()210xdy ydx x dx ---=解 （1）方法一 设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微, 且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 由公式，得 ()()()00,,0,xyu x y P x dx Q x y dy=+⎰⎰ ()()202x yxdx x y dy=++-⎰⎰3213x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. 方法二 设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微,且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 用不定积分求解.因为()2,uP x y x y x∂==+∂ 对上式两边对x 积分，得()()()()2,,u x y P x y dx x y dx y ϕ==++⎰⎰()313x xy y ϕ=++. 又因为 (),u Q x y y ∂=∂ ,()3123x xy y x y y ϕ∂⎡⎤++=-⎢⎥∂⎣⎦()2y y ϕ'=-，故()2.y y ϕ=-从而 ()321,.3u x y x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. （2） 设1, (1).x x yyx P e Q e y=+=-2xy Q x Pe x y y ∂∂=-=∂∂所以此方程为全微分方程. 方法一 （用公式计算）设此方程的通解为(),u x y c =,在平面上取一确定点()0,1,则 ()()()1,0,,y xu x y Q y dy P x y dx =+⎰⎰10011x y x yye dy e dxy ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰101xyxydy e dx⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ 1x yx ye =+-.因此方程的通解为 x yx ye C +=.方法二 （用分项组合法求解） 将方程各项重新组合为 0x x yyx dx e dy ye d y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 0x x yyydx xdy dx e dy e y ⎛⎫-++=⎪⎝⎭积分，得 ()0x yd x ye +=， 故通解为 x yx ye C +=.（3）在方程()()120y dx x y dy ++--=中， 设()(),1,,2P x y y Q x y x y =+=--，易知 1P Q y x∂∂==∂∂，此方程为全微分方程. 现将方程写成20ydx xdy dx ydy dy ++--=， 或 ()21202d xy dx dy d y ⎛⎫+--=⎪⎝⎭.积分得通解 2112,2xy x y y C +--= 或 2224xy x y y C +--=.（4）设32,3P y Q x x y ==-, 因为22119P Qx y y x∂∂=≠-=∂∂,所以此方程不是全微分方程.原方程改写为 3230ydx xdy x y dy +-= (1), 取()31xy 为积分因子.方程(1)两端同乘以()31xy ,原方程变为()33,ydx xdydyyxy +-即 ()()213ln 02d d y xy ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭,积分，得原方程的通解为 ()213ln 2y C xy +=. （5）本题不是全微分方程.需要寻找积分因子使其化为全微分方程,对于微分形式xdy ydx -,乘以函数22221111,,,x y xy x y+中的每一个都可成为一个全微分方程,如果同时使后面一项也成为全微分,可取积分因子()21,x y xμ=,将原方程变成全微分方程22110xdy ydx dx x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭,积分得到原方程通解21.y x Cx ++= 7.可降阶的高阶微分方程（1）()ny f x =型【例12.24】求微分方程cos y x x '''=-的通解. 解 两边积分，得 211sin ,2y x x C ''=-+ 两边再积分，得 3121cos ,6y x x C x C '=+++ 两边再积分，得通解 421231sin .242C y x x x C x C =++++ （2）(,)ny f x y '=型【例12.25】解初值问题()()ln 101xy y y y y e⎧''''=⎪=⎨⎪'=⎩.解 令()dy y p x dx '==, 22d y dpdx dx =, 代入方程,则原方程化为ln dp x p p dx=, 这是可分离变量方程,解出 1C xp e =,于是原方程的通解为 ()1121C xC y p x dx e C ==+⎰,由初值条件()1121110,C x C x y e C =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得到 11210CC e C +=,再由初值条件 ()111C x x y ee ='==又得到 ()11C y ee '==,于是 121,C C e ==-.所求特解为x y e e =-.在解可降阶的二阶微分方程的初值问题时，一出现任意常数，就应及时利用初值条件确定它，这样可以简化后面的求解过程.（3）(,)y f y y '''=型【例12.26】求微分方程22212dy d y dx dx y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的通解.解 令(),dy p p y dx ==则22d y dp dy dp p dx dy dx dy =⋅=,代入原方程，得212dp p p dy y+=， 是一阶线性齐次微分方程. 分离变量221pdp dy p y=+, 积分得 ()21ln 1ln ln p y C +=+即 211dy C y dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,分离变量dx =两端积分 ，得2x C =+, 化简得通解 ()()2122141C y x C C -=+.8.二阶和高阶常系数线性微分方程【例12.27】设μ为实数,求方程0y y μ''+=的通解. 解 此方程为二阶常系数线性微分方程.其特征方程为20r μ+=,可以分三种情况讨论:(1) 0μ>,此时特征方程有一对复根r =±因此方程的通解为12y C C =+(2) 0μ=,此时特征方程有两个相等的重根120r r ==,于是方程的通解为12y C C x =+.(3) 0μ<,此时特征方程有两个单实根r =于是方程的通解为12y C C e =+,()12,C C R ∈.【例12.28】求方程221y y x '''+=+的通解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()x m P x eλ型（其中()221,0m P x x λ=+=）.与所给方程对应的齐次方程为 0y y '''+=,它的特征方程为 20r r +=. 有两个实根120,1r r ==-,于是与所给方程对应的齐次方程的通解为12x Y C C e -=+.因为0λ=是特征方程的一个单根,所以应设特解为()*2y x ax bx c =++.把它代入所给方程，得()()22326221ax b a x c b x ++++=+.比较两端x 的同次幂的系数,得3226021a b a c b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解此方程组，得 2,2,53a b c ==-=.于是求得一个特解为 *322253y x x x =-+. 从而所求的通解为 32122253xy C C ex x x -=++-+. 【例12.29】求方程244x y y y e -'''++=满足初始条件()()00,01y y '==的特解.解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()1,2m P x λ==-）.与所给方程对应的齐次方程为对应齐次方程为 440y y y '''++=.它的特征方程 2440r r ++=有两个重根122r r ==-，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为()212x Y C C x e-=+. 由于2λ=-是特征方程的重根,所以应设方程的一个特解为*22x y ax e -=.把它代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 12a =, 因此求得一个特解为 *2212x y x e -=从而原方程的通解为 ()2221212xx y C C x e x e --=++. 代入初始条件()()00,01y y '==，得120,1C C ==-.原方程所求的特解为 22212xx y xex e --=-+. 【例12.30】求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，非齐次项为两项之和.根据定理，它的特解是下面两个方程的特解之和.y y x ''+= （1）cos y y x ''+= （2）所给方程对应的齐次方程 0y y ''+= 它的特征方程 210r +=, 特征根为 r i =±, 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为:12cos sin Y C x C x =+.设方程y y x ''+=的特解1y *,因为0λ=不是特征根，所以该方程具有形如1y ax b *=+的特解，将其代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 1,0,a b ==所以方程（1）的特解为 1y x *=设方程cos y y x ''+=的特解为2y *,因为i λ=是特征根,所以该方程具有形如2(cos sin )y x a x b x *=+的特解, 将其代入方程比较等式两端同次幂的系数,得10,,2a b ==所以方程（2）的特解为 *21sin 2y x x =.从而原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【例12.31】求三阶常系数非齐次线性微分方程2441y y y x ''''''-+=-的通解.解 这是一个三阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()21,0m P x x λ=-=）.所给方程对应的齐次方程为 440y y y ''''''-+=.它的特征方程为 32440,r r r -+=特征根为 1230,2r r r ===，所以对应齐次线性微分方程的通解为()2123x Y C C C x e =++.因为0λ=是方程的特征根，所以其特解设为 ()2y x A x B x C *=++，代入方程，解得111,,.1248A B C ===于是32111.1248y x x x *=++ 因此方程的通解为()2321231111248x y C C C x e x x x =+++++.9.微分方程的应用【例12.32】设曲线l 过点()1,1，曲线上任一点(),P x y 处的切线交x 轴于点T ，若,P T O T =求曲线l 的方程.解 （1）列方程 设曲线l 的方程为()y y x =，则曲线l 在点(),P x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-，切线与x 轴的交点T 的坐标为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭.P (1,1)故PT ==y OT x y =-'. 由 PT OT =，有()22222212,y y y y x x y y y '+=-+'''即 222.xyy x y '=-（2）初值问题 由题意，曲线l 过点()1,1，得初值问题22121y dx x y dy xyx =⎧-=⎪⎨⎪= ⎩ （1） （3）解方程 方程（1）为齐次微分方程，令x uy =，（1）可化为变量分离的方程221u dydu u y-=+，解得21.1Cy u =+代回x uy =，得通解221.x y C y +=由初值条件11y x ==，得12.C =故所求曲线l 的方程为()222 0.x y y x +=>【例12.33】 某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内的含污染物A 的污水量为6V ,流入湖泊内不含污染物A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V,已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标。
