第九章 立体几何
28 9.3.2 直线与平面所成的角
【教学目标】
1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．
2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．
【教学重点】
直线与平面所成的角．
【教学难点】
斜线与平面所成的角．
【教学方法】
本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．
【教学过程】
环节 教学内容 师生互动 设计意图
导
入 1．直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理．
2．直线与平面的位置关系．
直线与平面的位置关系利用表格进行提问（见课件）．
师：空间直线与平面垂直属于哪一种情况？
生：一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直
师：一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？ 本节内容是建立在线面垂直的基础之上的，所以学生必须对线面垂直的定义、判定定理和性质定理非常熟练．课前复习，为新课的学习扫清障碍．
新
课
1．平面的斜线
如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段．
如图，AB是平面的斜线，B是斜足，AB是斜线段．
2．直线与平面所成的角
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示．
如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)；
教师给出定义．
学生理解并记忆定义．
重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线．
教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其
引导学生在理解的基础上记忆．
此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础．
B A
数学基础模块 下册
29
新
《直线与平面的夹角》教学设计
第一课时
1、掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，提升学生的数学抽象素养.
2、理解最小角定理及公式cos θ=cos θ1cos θ2,并能利用这一公式解决相关问题．提高逻辑推理、数学运算的数学素养．
教学重点：求直线与平面所成的角问题．
教学难点：线面角的概念．
PPT课件．
一、整体概览 问题1：阅读课本第42-45页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.
预设的答案：（1）本节主要学习直线与平面的夹角第一课时直线与平面的夹角．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念，对空间角的问题有了一定的经验，线面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．
计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、探索新知 ◆教学目标
◆教学重难点
◆
◆课前准备
◆教学过程 形成定义
问题2：日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象，例如如图1所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面呈一定角度；如图2所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面呈一定角度，那么怎样来刻画直线与平面所成的角呢？
师生活动：学生在教师的指导下写出答案．
预设的答案：如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α.
追问：如图所示的长方体1111ABCD-ABCD中,平面ABCD的法向量是什么？平面1111DCBA的法向量是什么？平面11AADD、平面11BBCC的法向量又是什么？
1 专题二：直线与平面所成角的求法
直线与平面所成角是空间三大角之一，它既是教与学的难点，又是高考的热点，为帮助同学们学好这一内容，本文系统介绍求直线与平面所成角的常用方法。
【复习回顾】1、直线和平面所成角的定义及范围：
求直线和平面所成角的步骤：
一、直接法
直接法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法，直接法的关键是确定斜线在平面内的射影，下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。
（1）定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（2）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直。
（3）三垂线定理：在 的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（4）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这个斜线的射影垂直。
(5) （教材P23〃例4）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上。
（6）（教材P25〃T6）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在平面的射影是这个角的平分线。
（7）若三棱锥的三条侧棱相等，则其顶点在底面上的射影是底面三角形的 。
例1、已知正四面体ABCD中，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成角的大小。
2
例2、如图2，在正方体中，E、F分别是AB与的中点，求与平面所成角的大小。
图2
总结：直接法的关键在于确定斜线在平面上的射影，一般用以下几种方法来确定：
（1）利用几何体本身的特殊性，如正棱锥的顶点在底面上的射影在底面中心上；三条侧棱相等的三棱锥的顶点在底面上的射影在底面外心等。
直线与平面所成角（第一课时）
教材：人教版必修二（A） 授课教师： 周国灿
教学目标：（1）知识目标：①学生理解掌握直线和平面所成的角定义及定义的合理性.
②学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤.
（2）能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力.
（3）思想目标：学生进一步内化化归的数学思想方法.
教学重点：（1）直线和平面所成的角的定义的生成.
（2）求直线和平面所成的角的方法步骤.
教学难点：求直线和平面所成的角的方法步骤
教学方法：问题探索法及启发式讲授法
教 具：多媒体及传统教具
教学过程：
一、复习提问
一\直线和平面的位置关系有哪几种？
（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交 二）平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：
二、问题引入：
如图，怎样刻画不同斜线1l与2l相对同一
平面的位置呢？
三、直线和平面所成的角
一）斜线和平面所成的角的概念
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角
二）规定：
（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角.
（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是0的角.
强调： （1）直线和平面所成的角的范围是：0,90 .
（2）定义 直线和平面所成角的可行性及合理性.
P
O A
2l
1l 四、立体精讲
例1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
(例题说明：由简到难，由直观到作图逐步加深)
