直线和平面所成的角

高三数学一轮复习

立体几何系列之

线面角（直线与平面夹角）

教学目标

（1）掌握直线与平面夹角的几种求法；

（2）掌握线面角问题的综合应用。

知识梳理

直线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和平面所成的角。规定：（1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；（2）一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0角。线面角的范围是0，2

作法：作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影。

典例精讲

例1.（★★★）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, AB=BC=1.

(1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小；

(2)若直线A1C与平面ABC所成角为45°,

求三棱锥A1-ABC的体积.

【答案】：（1）因为11BCBCP，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线11BC与AC所成角

∠ABC=90°, AB=BC=1，所以4BCA，

即异面直线11BC与AC所成角大小为4。

（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，1AAABC平面，所以1ACA即为直线A1C与平面ABC所成角，所以14ACA。

RtABC中，AB=BC=1得到2AC，1RtAAC中，得到12AAAC，

所以11236ABCABCSAAV1AV

例2.（★★★）在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，（如图）

E是棱11DC的中点，F是侧面DDAA11的中心．

（1） 求三棱锥EFDA11的体积；

（2） 求EF与底面1111DCBA所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）

【答案】：（1）3111311111FDAEEFDAVV．

直线与平面所成的角的定义：

①直线和平面所成的角有三种：

a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。

c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00.

②取值范围：00≤θ≤900．

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”

最小角定理：

斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。

求直线与平面所成的角的方法: (1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在三角形中求角的大小．

(2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则

直线与平面所成的角的教案

一、教学目标

（一）知识目标：

（1）掌握斜线与平面所成角的概念，会求直线与平面所成的角；

（二）能力目标：

（1）培养学生的观察思考能力和空间想象能力；

（2）培养学生的立体感，数学美感；

（3）能熟练求解直线与平面所成角.

（三）情感目标：

让学生体验主动探究、合作学习的成功和喜悦，激发他们学习的兴趣。

二、教学重点、难点

重点：斜线与平面所成角的概念及利用概念分步求角；

难点：在一个具体的立体图形中去找某条直线与平面所成的角。

三、教学方法：探究、合作、讲练结合

四、学法指导：对于立体几何的学习，学生已初步入门，本课时让学生自己探究问题、发现问题、获取新知，并解决相关问题

五．教学过程

复习引入

直线与平面有几种关系？

1.直线在平面内 ；

2.直线相交于平面 ; 3.直线平行于平面 ;

自主预习

1. 什么是平面的斜线？斜足？斜线段？斜线在这个平面内的射影？斜线和平面所成的角？ (请同学回答)

平面的斜线 ：如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线．

从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．

斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)．

（利用自做模型让学生参与，并自己来总结如何找直线与平面所成的角）

斜线

垂线 斜线与射影所成的角 斜线与平面所成的角

射影

如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)

如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是 0

角．

例题讲解

如图长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝1，BC＝1，AA1＝ √2 ．求对角线

A1C 与平面ABCD 所成的角．

解：因为A1C是斜线；

A1A垂直于平面AC

AC是斜线A1C的射影

空间角专题复习

●知识梳理

一、异面直线所成的角及求法

(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角．

(2)取值范围：若θ是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是θ∈(0，π2]，当θ＝π2时，称异面直线a和b垂直，记为a⊥b.

(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；

二、直线与平面所成的角及求法

(1)定义：设l和α分别表示直线与平面．①若l∥α或l⊂α，则称直线l和平面α所成的角为0；②若l⊥α，则称l与α所成的角为2；③若l与α相交，则l与l在α内的射影所成的锐角为直线l与平面α所成的角．

(2)取值范围：设θ是直线l与平面α所成的角，则θ的取值范围是[0,]2．

(3)求法：定义法：探寻直线l在平面α内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线l与平面α所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．

三、二面角及求法

(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小．

(2)取值范围：规定二面角的取值范围为[0，π]．

(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角

. ●练习提升

1．如图，E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为 ( )

A．30° B．45°

C．60° D．90°

答案：C

2. 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成的角的正弦值为( )

A.32 B.52

C.105 D.1010